2.5 解三角形的实际应用

在实践中, 我们经常会遇到测量距离、高度、角度等的实际问题. 具体测量时, 常常会遇到 “不能到达” 的困难. 首先, 我们看看 “底部不可达” 的高度测量问题.

$$\angle ACB=\alpha ,\angle ADB=\beta ,CD=a,$$

则 $AB=\frac{a\tan \alpha \tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }$

图2-11

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在 Rt△ABC 中, 由 $\tan \alpha =\frac{AB}{BC}$ , 可得 $BC=\frac{AB}{\tan \alpha }$ , 同理在 Rt△ABD 中, 得 $BD=\frac{AB}{\tan \beta }$ , 故 BC-BD= $\frac{AB}{\tan \alpha }-\frac{AB}{\tan \beta }$ , 解得 $AB=\frac{a\tan \alpha \tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }$ .

知识点2.5中的结论无需记住, 但需要掌握它的推导过程. 为了节省篇幅, 在接下来的例题和变式中, 我们将直接应用这个结论. 但是, 在进行个人练习时, 请记得先推导出该结论.

例 2.34

(2014 四川理 13) 如图 2-12 所示, 从气球 $A$ 上测得正前方的河流的两岸 $B$, $C$ 的俯角分别为 $75^{\circ },30^{\circ }$ , 此时气球的高是 60m, 则河流的宽度 BC 等于 ____ m.

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如图 2-13所示,由题意知 $\angle ACD=30^{\circ },\angle ABD=75^{\circ }$ ，则 $AD=\frac{BC\tan \angle ACD\tan \angle ABD}{\tan \angle ABD-\tan \angle ACD},$ $BC=\frac{AD(\tan \angle ABD-\tan \angle ACD)}{\tan \angle ACD\tan \angle ABD}=\frac{60(\tan 75^{\circ }-\tan 30^{\circ })}{\tan 30^{\circ }\tan 75^{\circ }}=120(\sqrt{3}-1).$ 故填 $120(\sqrt{3}-1).$

图2-12

图2-13

变式 2.34.1

(2021 全国乙理 9) 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作, 其中第一题是测量海岛的高. 如图 2-14 所示, 点 $E$, $H$, $G$ 在水平线 AC 上, DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度, 称为 “表高”, EG 称为 “表距”, GC 和 EH 都称为 “表目距”, GC 与 EH 的差称为 “表目距的差”, 则海岛的高 AB = ( ). A. 表高 × 表距 + 表高 $B$. 表高 × 表距 - 表高 $C$. 表高 × 表距 + 表距 $D$. 表高 × 表距 - 表距

图2-14

例2.34及其变式属于知识点2.5中的“底部不可达”问题, 我们可以直接应用该问题的结论. 然而, 并不是所有的高度测量都符合这个模型. 如果不符合, 同学们只需要记住一点: 测量高度一定与解直角三角形有关. 请看下面的例题.

例 2.35

(2021 全国甲理 8) 2020 年 12 月 8 日, 中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86 (单位: $m$), 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一. 图 2-15 是三角高程测量法的一个示意图, 现有 $A$, $B$, $C$ 三点, 且 $A$, $B$, $C$ 在同一水平面上的投影 $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ 满足 $\angle A^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }=45^{\circ },\angle A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }=60^{\circ }$ . 由 $C$ 点测得 $B$ 点的仰角为 $15^{\circ },B{B}^{\prime }$ 与 $C{C}^{\prime }$ 的差为 100; 由 $B$ 点测得 $A$ 点的仰角为 $45^{\circ }$ , 则 $A$, $C$ 两点到水平面 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 的高度差 $A{A}^{\prime }-C{C}^{\prime }$ 约为 ( ). ( $\sqrt{3}\approx 1.732$ )

A. 346

B. 373

C. 446

D. 473

图2-15

图2-16

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如图 2-16所示, 过 $C$ 作 $CD\perp B{B}^{\prime }$ , 垂足为 $D$ , 过 $D$ 作 $DE\perp A{A}^{\prime }$ , 垂足为 $E$ , 连接 $CE$ , 过 $B$ 作 $BF\perp A{A}^{\prime }$ , 垂足为 $F$ , 则由题意可得 $\angle BCD=15^{\circ }$ , $\angle ABF=45^{\circ }$ , $BD=B{B}^{\prime }-C{C}^{\prime }=100$ , $AF=BF$ , 所以 $A{A}^{\prime }-C{C}^{\prime }=AF+EF=BF+BD=A^{\prime }{B}^{\prime }+100$ .

在 Rt△BCD 中, $CD=\frac{BD}{\tan \angle BCD}=\frac{100}{\tan 15^{\circ }}$ .

在 $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 中， $B^{\prime }{C}^{\prime }=CD$ ， $\angle B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }$ ，由正弦定理得

$$\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{\sin \angle B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{\sin \angle A^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }}⟹A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }\sin \angle A^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }}{\sin \angle B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{100\sin 45^{\circ }}{\tan 15^{\circ }\sin 75^{\circ }}=\frac{50\sqrt{2}}{\sin 15^{\circ }}.$$

而 $\sin 15^{\circ }=\sin (45^{\circ }-30^{\circ })=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }-\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ，所以

$$A^{\prime }{B}^{\prime }=50\sqrt{2}\times \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=100(\sqrt{3}+1)\approx 273.$$

因 $A{A}^{\prime }-C{C}^{\prime }=A^{\prime }{B}^{\prime }+100\approx 373$ . 故选 $B$.

变式 2.35.1

(2014 全国 $I$ 文 16) 如图 2-17 所示, 为测量山高 MN, 选择 $A$ 和另一座山的山顶 $C$ 为测量观测点. 从 $A$ 点测得 $M$ 点的仰角 $\angle MAN=60^{\circ }$ , $C$ 点的仰角 $\angle CAB=45^{\circ }$ 以及 $\angle MAC=75^{\circ }$ , 从 $\sim$ 点测得 $\angle MCA=60^{\circ }$ . 已知山高 BC = 100m, 则山高 MN = ____ m.

图2-17

除了测量高度, 测量距离也在高考中出现过, 常见三种题型: 山两侧、河两岸、河对岸.

知识点 2.6

(1) 山两侧 AB: 如图 2-18 所示, 选定一点 $C$, 测得 $\angle ACB=\alpha ,AC=b,BC=a$ . (2) 河两岸 AB: 如图 2-19 所示, 在 $AB=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \alpha }$ . (2) 河两岸 AB: 如图 2-19 所示, 在 $A$ 的对岸选定一点 $C$ 中已知两角和一边, 故可用正弦定理求出 AB. (3) 河对岸 AB: 如图 2-20 所示, 在 $\angle ACB=\alpha ,\angle ABC=\beta ,BC=a$ , 则在 $△ABC$ 中已知两角和一边, 故可用正弦定理求出 AB. (3) 河对岸 AB: 如图 2-20 所示, 在 $A$, $B$ 两点的对岸选定两点 $C$, $D$, 测得 CD = a, $\angle ADC=\alpha ,\angle BDC=\beta ,\angle BCD=\gamma ,\angle ACD=\delta$ , 则在 $△ADC$ 和 $△BDC$ 中都是已知两角和一边, 可用正弦定理分别求出 AC 和 BC, 从而在 $△ABC$ 中已知两边和夹角, 故用余弦定理可以求出 AB.

图2-18

图2-19

图2-20

例 2.36

为了测量两山顶 $M$, $N$ 间的距离, 飞机沿水平方向在 $A$, $B$ 两点进行测量, $A$, $B$, $M$, $N$ 在同一个铅锤面内, 如图 2-21 所示. 能够测量的数据有俯角和 $A$, $B$ 间的距离. 请设计一个方案, 包括:

($I$) 指出需要测量的数据 (用字母表示, 并在图中标出);

(Ⅱ) 用文字和公式写出计算 $M$, $N$ 间的距离的步骤.

思路分析

$M,N$ 不可到达，飞机通过飞行可以测量 $AB$ 的长度，且可以在 $A,B$ 两点分别测量到 $M,N$ 的俯角，明显这是“河对岸”模型.

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($I$) 需要测量的数据有: 点 $A$ 到点 $M,N$ 的俯角 ${\alpha }_1,{\beta }_1$ ; 点 $B$ 到点 $M,N$ 的俯角 ${\alpha }_2,{\beta }_2;A,B$ 间的距离 $d$ (图 2-22).

图2-21

图2-22

(Ⅱ) 第一步: 计算 $AM$ , 在 $△ABM$ 中, $AB=d$ , $\angle BAM={\alpha }_1$ , $\angle ABM={\alpha }_2$ , 由正弦定理得

$$\frac{AM}{\sin \angle ABM}=\frac{AB}{\sin \angle AMB}⟹AM=\frac{AB\sin \angle ABM}{\sin \angle AMB}=\frac{d\sin {\alpha }_2}{\sin ({\alpha }_1+{\alpha }_2)}.$$

第二步: 计算 $AN$ , 在 $△ABN$ 中, $AB=d$ , $\angle BAN={\beta }_1$ , $\angle ABN=180^{\circ }-{\beta }_2$ , 由正弦定理得

$$\frac{AN}{\sin \angle ABN}=\frac{AB}{\sin \angle ANB}⟹AN=\frac{AB\sin \angle ABN}{\sin \angle ANB}=\frac{d\sin {\beta }_2}{\sin ({\beta }_1+{\beta }_2)}.$$

第三步: 计算 $MN$ , 在 $△AMN$ 中, $\angle MAN={\alpha }_1-{\beta }_1$ , 由余弦定理得

$$MN=\sqrt{A{M}^2+A{N}^2-2AM\cdot AN\cos ({\alpha }_1-{\beta }_1)}.$$

如果测量高度与测量距离结合, 我们只需找到对应的模型, 然后分别求出即可, 比如下面例题, 先是 “河两岸” 模型求出 $C$, $B$ 距离, 再求出高度 CD.

例 2.37

（2015 湖北文 15）如图 2-23 所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶 $D$ 在西偏北 $30^{\circ }$ 的方向上，行驶 600m 后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北 $75^{\circ }$ 的方向上，仰角为 $30^{\circ }$ ，则此山的高度为 ____ m.

图2-23

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依题意有 $AB=600\mathrm{m},\angle CAB=30^{\circ },\angle CBA=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ },\angle DBC=30^{\circ },DC\perp CB,$ 故 $\angle ACB=45^{\circ }$ . 在 $△ABC$ 中, 由正弦定理得

$$\frac{AB}{\sin \angle ACB}=\frac{CB}{\sin \angle CAB}⟹CB=\frac{AB\sin \angle CAB}{\sin \angle ACB}=\frac{600\sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=300\sqrt{2}.$$

所以在 Rt△BCD 中, $CD=CB\tan 30^{\circ }=100\sqrt{6}m$ , 故此山的高度 CD 为 $100\sqrt{6}m$ .

变式 2.37.1

如图 2-24 所示, 测量河对岸的塔高 AB 时, 可以选取与塔底 $B$ 在同一水平内的两个测量基点 $C$ 与 $D$. 现测得 $\angle BCD=\alpha ,\angle BDC=\beta ,CD=s$ , 在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $\theta$ , 求塔高 AB.

图2-24

变式 2.37.2

(2014 上海 11) 某货船在 $A$ 处看灯塔 $M$ 在北偏东 $30^{\circ }$ 方向, 它以 18 海里每小时的速度向正北方向航行, 经过 40 分钟到达 $B$ 处, 看到灯塔 $M$ 在北偏东 $75^{\circ }$ 方向, 此时货船到灯塔 $M$ 的距离为 ____ 海里.