1.6.2 单调性与周期的关系

结论总结 1.3

若正、余弦函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T$，且在 $(x_1,x_2)$ 上单调，则 $\frac{T}{2}⩾x_2-x_1$ .

$\frac{T}{2}⩾x_2-x_1$ 并不能保证函数在 $(x_1,x_2)$ 上单调. 此时需要再次验证单调性.

例 1.69

(2025 天津 8) $f(x)=\sin (\omega x+\phi )(\omega >0,-\pi <\phi <\pi )$ ，在 $\left[-\frac{5\pi }{12},\frac{\pi }{12}\right]$ 上单调递增，且 $x=\frac{\pi }{12}$ 为它的一条对称轴， $\left(\frac{\pi }{3},0\right)$ 是它的一个对称中心，当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时， $f(x)$ 的最小值为（）.

A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ B. $-\frac{1}{2}$ C. 1

D. 0

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因为 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{5\pi }{12},\frac{\pi }{12}\right]$ 上单调递增, 所以该区间长度不超过半个周期, 即

$$\frac{\pi }{12}-\left(-\frac{5\pi }{12}\right)⩽\frac{T}{2}⟹T⩾\pi .$$

又因为 $\underbrace{x=\frac{\pi }{12}}$ 是一条对称轴，且 $\left(\frac{\pi }{3},0\right)$ 为其对称中心，所以该对称轴和对称中心必然是相邻的，否则它们的距离至少为 $\frac{3}{4}T$ ，即 $\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{12}⩾\frac{3}{4}T$ ，解得 $T⩽\frac{\pi }{3}$ ，这与结论 $T⩾\pi$ 矛盾，故该对称轴与对称中心必相邻。由此可得： $\frac{2\pi }{\omega }=4\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{12}\right)\Rightarrow \omega =2.$

由①②可知 $x=\frac{\pi }{12}$ 为 $f(x)$ 的极大值点, 故 $2\times \frac{\pi }{12}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ , 解得 $\phi =\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ . 又 $-\pi <\phi <\pi$ , 因此 $\phi =\frac{\pi }{3}$ , 即 $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ . 令 $t=2x+\frac{\pi }{3}$ , 因为 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ , 所以 $t\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\right]$ , 函数 $y=\sin t$ 在 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递增, 在 $\left[\frac{\pi }{2},\frac{4\pi }{3}\right]$ 上单调递减, 故其最小值为 $\min \left\{\sin \frac{\pi }{3},\sin \frac{4\pi }{3}\right\}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ , 故选 $A$.

前面我们强调, 利用单调性推出的周期范围, 要再次验证, 看所得的范围能否保证题中的单调性. 不过, 例1.69的解析似乎没有体现这一点. 但是, 下面这个例题, 要是不验证, 就要出问题.

例 1.70

(2016 全国 $I$ 理 12) 已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )\left(\omega >0,|\phi |⩽\frac{\pi }{2}\right)$ ， $x=-\frac{\pi }{4}$ 为 $f(x)$ 的零点， $x=\frac{\pi }{4}$ 为 $y=f(x)$ 图像的对称轴，且 $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi }{18},\frac{5\pi }{36}\right)$ 上单调，则 $\omega$ 的最大值为（）.

A. 11 B. 9 C. 7 D. 5

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因为 $x=-\frac{\pi }{4}$ 为 $f(x)$ 的零点, $x=\frac{\pi }{4}$ 为 $f(x)$ 的对称轴, 所以 $\frac{\pi }{4}-\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{T}{4}+k\cdot \frac{T}{2}(k\in \mathbb{N})$ , 即 $T=\frac{2\pi }{2k+1}=\frac{2\pi }{\omega }(k\in \mathbb{N})$ , 解得 $\omega =2k+1(k\in \mathbb{N})$ . 由 $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi }{18},\frac{5\pi }{36}\right)$ 上单调, 得 $\frac{2\pi }{\omega }⩾2\left(\frac{5\pi }{36}-\frac{\pi }{18}\right)$ , 解得 $\omega ⩽12$ .

(1) 当 $\omega =11$ 时, $f(x)=\sin (11x+\phi )$ . 因为 $x=\frac{\pi }{4}$ 为 $f(x)$ 的对称轴, 所以 $\frac{11\pi }{4}+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in$ $\mathbb{Z})$ 。又由 $|\phi |⩽\frac{\pi }{2}$ 可得 $k=2,\phi =-\frac{\pi }{4}$ 。此时 $f(x)=\sin \left(11x-\frac{\pi }{4}\right)$ 。令 $z=11x-\frac{\pi }{4},x\in \left(\frac{\pi }{18},\frac{5\pi }{36}\right)$ ，则 $z\in \left(\frac{13\pi }{36},\frac{23\pi }{18}\right)$ ，而 $y=\sin z$ 在 $\left(\frac{13\pi }{36},\frac{23\pi }{18}\right)$ 上不单调，所以 $\omega =11$ 错误。

(2) 当 $\omega =9$ 时, $f(x)=\sin (9x+\phi )$ , 因为 $x=\frac{\pi }{4}$ 为 $f(x)$ 的对称轴, 所以 $\frac{9\pi }{4}+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$ . 又 $|\phi |⩽\frac{\pi }{2}$ , 所以 $k=2,\phi =\frac{\pi }{4}$ , 此时 $f(x)=\sin \left(9x+\frac{\pi }{4}\right)$ . 令 $z=9x+\frac{\pi }{4},x\in \left(\frac{\pi }{18},\frac{5\pi }{36}\right)$ , 则 $z\in \left(\frac{3\pi }{4},\frac{3\pi }{2}\right)$ , 且 $y=\sin z$ 在区间 $\left(\frac{3\pi }{4},\frac{3\pi }{2}\right)$ 上单调递减, 所以 $\omega =9$ 正确.

综上所述, $\omega$ 的最大值为 9, 故选 $B$.

该例就是一个很好的体现, 即利用单调性得出的周期范围不能保证单调性就一定成立, 因此, 验证是必要的.

变式 1.70.1

（2021 芜湖模考）设函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )(\omega >0,|\phi |<\pi )$ . 若 $f(x)⩽f\left(\frac{5\pi }{8}\right)$ 对任意 $x$ 都成立，且 $f\left(\frac{11\pi }{8}\right)=0,f(x)$ 在 $\left(-\frac{3\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)$ 上单调，则（）. A. $\omega =\frac{2}{3},\phi =\frac{\pi }{12}$ B. $\omega =\frac{2}{3},\phi =-\frac{11\pi }{12}$ C. $\omega =\frac{1}{3},\phi =-\frac{11\pi }{24}$ D. $\omega =\frac{1}{3},\phi =\frac{7\pi }{24}$

变式 1.70.2

（2023 湖北联考）函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )\left(\omega >0,|\phi |⩽\frac{\pi }{2}\right)$ ，已知 $\left(-\frac{\pi }{6},0\right)$ 为 $f(x)$ 图像的一个对称中心，直线 $x=\frac{13\pi }{12}$ 为 $f(x)$ 图像的一条对称轴，且 $f(x)$ 在 $\left[\frac{13\pi }{12},\frac{19\pi }{12}\right]$ 上单调递减．记满足条件的所有 $\omega$ 的值的和为 $S$，则 $S$ 的值为（）.

A. $\frac{12}{5}$ B. $\frac{8}{5}$ C. $\frac{16}{5}$ D. $\frac{18}{5}$