1.2.1 齐次式

齐次式是什么意思呢？在高中阶段，我们接触到的齐次式主要是指二元齐次式，包括分式型、方程型和不等式型。这三种形式都有一个共同的特点：每一项的次数是相同的。齐次式的主要作用是进行消元，例如：

(1) $\frac{x^2+3xy}{y^2+2x^2}$ 为分式型齐次式，它的每一项的次数都为 2，如果将每项都除以 $x^2$ ，那么会得到 $\frac{1+3\cdot \frac{y}{x}}{{\left(\frac{y}{x}\right)}^2+2}$ . 令 $t=\frac{y}{x}$ ，则得到 $\frac{1+3t}{t^2+2}$ ，我们就将二元化为一元了.

(2) $2a^2-c^2-ac>0$ 为不等式型齐次式, 它的每一项的次数都为2, 如果每项都除以 $a^2$ , 那么会得到 $2-{\left(\frac{c}{a}\right)}^2-\frac{c}{a}>0$ , 令 $e=\frac{c}{a}$ , 则 $2-e-e^2>0$ , 我们就得到一元二次不等式了.

在三角函数中, 我们见到的大多是关于 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 的二元齐次式, 结合商数关系, 我们可以将二元齐次式化成关于 $\tan \alpha$ 的一元分式、方程或不等式, 比如下面这道例题:

例 1.19

（2009 陕西文 2）若 $\tan \alpha =2$ , 则 $\frac{2\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +2\cos \alpha }$ 的值是 ( )

A. 0 B. $\frac{3}{4}$ C. 1 D. $\frac{5}{4}$

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将原式分子分母都除以 $\cos \alpha$ 可得 $\frac{2\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +2\cos \alpha }=\frac{2\tan \alpha -1}{\tan \alpha +2}=\frac{3}{4}$ , 故选 $B$.

一般情况下题目不会直接给齐次式, 需要我们先做适当的变形, 然后构造齐次式, 最后齐次化切求解.

例 1.20

（2023 广东湛江二模-多选题）若 $5\sin 2\alpha +5\cos 2\alpha +1=0$ ，则 $\tan \alpha$ 的值可能为 ( ).

A. 2 B. 3 C. $-\frac{1}{3}$ D. $-\frac{1}{2}$

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本题求的是切, 但已知条件给的是关于弦的方程, 故我们考虑将方程化成关于弦的齐次方程, 然后再齐次化切. 原方程等价于 $10\sin \alpha \cos \alpha +5({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )+{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =0$ , 整理得 $2{\sin }^2\alpha -5\sin \alpha \cos \alpha -3{\cos }^2\alpha =0$ , 此方程是关于 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 的齐二次方程, 每一项都除以 ${\cos }^2\alpha$ , 得 $2{\tan }^2\alpha -5\tan \alpha -3=0$ , 解得 $\tan \alpha =3$ 或 $\tan \alpha =-\frac{1}{2}$ , 故选 BD.

与方程、不等式不同, 如果将二次代数式化成齐次式, 我们一般要先化成分式, 而化成分式, 就会用到 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ .

例 1.21

（2016 全国 III 理 5）已知 $\tan \alpha =\frac{3}{4}$ , 则 ${\cos }^2\alpha +2\sin 2\alpha =()$ .

A. $\frac{64}{25}$ B. $\frac{48}{25}$ C. 1 D. $\frac{16}{25}$

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所求的式子并不是分式, 但注意到所求式是二次式, 利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 可得 ${\cos }^2\alpha +2\sin 2\alpha =\frac{{\cos }^2\alpha +4\sin \alpha \cos \alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }=\frac{1+4\tan \alpha }{{\tan }^2\alpha +1}$ . 因为 $\tan \alpha =\frac{3}{4}$ , 所以代入得 $\frac{1+4\times \frac{3}{4}}{1+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=\frac{64}{25}$ , 故选 $A$.

如果所给的代数式不是二次的, 而是一次的, 此时需要先平方再利用平方和关系, 见下例:

例 1.22

（2013 浙江理 6 节选）已知 $\alpha \in \mathbb{R}$ , $\sin \alpha +2\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{2}$ , 则 $\tan \alpha =$ ____.

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将 $\sin \alpha +2\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{2}$ 平方可得 ${\sin }^2\alpha +4{\cos }^2\alpha +4\sin \alpha \cos \alpha =\frac{5}{2}$ , 利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 可得 $\frac{{\sin }^2\alpha +4{\cos }^2\alpha +4\sin \alpha \cos \alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }=\frac{{\tan }^2\alpha +4+4\tan \alpha }{{\tan }^2\alpha +1}=\frac{5}{2}$ ,

化简可得 $3{\tan }^2\alpha -8\tan \alpha -3=0$ ，因式分解可得 $(\tan \alpha -3)(3\tan \alpha +1)=0$ ，所以 $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$ 或 $\tan \alpha =3$ ，故填 $-\frac{1}{3}$ 或 3.

三角函数中的“齐次化切”是一个很重要的技巧, 现总结如下:

经验总结 1.2

(1)如果分式、等式或不等式是关于 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 的 $n$ 次齐次式，则将齐次式中的每一项都除以 ${\cos }^n\alpha$ ，就可以得到一个关于 $\tan \alpha$ 的分式、等式或不等式.

(2) 如果是二次代数式, 则需要利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 化成分式.

(3) 如果是一次代数式, 则需要先平方再利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 化成分式.

变式 1.22.1

（2022 山西二模）若 $\sin 10^{\circ }=a\sin 100^{\circ }$ ，则 $\sin 20^{\circ }=()$ .

A. $\frac{a}{a^2+1}$ B. $-\frac{a}{a^2+1}$ C. $\frac{2a}{a^2+1}$ D. $-\frac{2a}{a^2+1}$

变式 1.22.2

（2021 新高考 I 6）若 $\tan \alpha =-2$ ，则 $\frac{\sin \alpha (1+\sin 2\alpha )}{\sin \alpha +\cos \alpha }=()$ .

A. $-\frac{6}{5}$ B. $-\frac{2}{5}$ C. $\frac{2}{5}$ D. $\frac{6}{5}$

在高中阶段, 我们接触的齐次式主要是二元的, 但是对二元以上的齐次式也不应该感到陌生. 同学们还记得两角和或差的正切公式是怎么推导出来的吗? 我们回忆一下:

$$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}=\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }.$$

观察上式, 你会发现它是关于 $\sin \alpha ,\cos \alpha ,\sin \beta ,\cos \beta$ 的四元齐二次式, 每一项都除以 $\cos \alpha \cos \beta$ 就能齐次化切, 过程如下所示:

$$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}{\frac{\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }-\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }.$$

给大家强调一下, 课本上的公式不能只是记住就行了, 必须会推导, 比如下面这道题就是两角和或差的正切公式的翻版.

例 1.23

（2015 重庆理 9）若 $\tan \alpha =2\tan \frac{\pi }{5}$ ，则 $\frac{\cos \left(\alpha -\frac{3\pi }{10}\right)}{\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{5}\right)}=()$ .

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

思路分析

因为已知 $\tan \alpha =2\tan \frac{\pi }{5}$ , 所以所求分式考虑构造关于 $\alpha$ 的正、余弦的齐次式, 还有关于 $\frac{\pi }{5}$ 的正、余弦的齐次式, 发现 $\frac{3\pi }{10}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5}$ , 代入后分别利用诱导公式和两角和差展开, 即可构造关于正弦和余弦的齐次式, 然后齐次化切即可得到 $\tan \alpha$ 和 $\tan \frac{\pi }{5}$ .

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因为 $\frac{3\pi }{10}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5},\tan \alpha =2\tan \frac{\pi }{5}$ ，所以

$$\begin{array}{r}\frac{\cos (\alpha -\frac{3\pi }{10})}{\sin (\alpha -\frac{\pi }{5})}=\frac{\cos [\alpha -(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5})]}{\sin (\alpha -\frac{\pi }{5})}=\frac{\cos [(\alpha +\frac{\pi }{5})-\frac{\pi }{2}]}{\sin (\alpha -\frac{\pi }{5})}=\frac{\sin (\alpha +\frac{\pi }{5})}{\sin (\alpha -\frac{\pi }{5})}\\ =\frac{\sin \alpha \cos \frac{\pi }{5}+\cos \alpha \sin \frac{\pi }{5}}{\sin \alpha \cos \frac{\pi }{5}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{5}}=\frac{\tan \alpha +\tan \frac{\pi }{5}}{\tan \alpha -\tan \frac{\pi }{5}}=\frac{2\tan \frac{\pi }{5}+\tan \frac{\pi }{5}}{2\tan \frac{\pi }{5}-\tan \frac{\pi }{5}}\end{array}$$

故选C.