1.1.3 两角和差公式

知识点 1.3

（1） ${\mathrm{S}}_{\alpha \pm \beta }$ ： $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta (\alpha ,\beta \in \mathbb{R})$

（2） ${\mathrm{C}}_{\alpha \pm \beta }$ ： $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta (\alpha ,\beta \in \mathbb{R})$

（3） ${\mathrm{T}}_{\alpha \pm \beta }$ ： $\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }\left(\alpha ,\beta ,\alpha \pm \beta \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right).$

我们推荐同学们记住这6个公式, 如果有同学不愿意记这么多, 就只需要记住两角和 $\alpha +\beta$ 的三个公式, 两角差 $\alpha -\beta$ 可以改写为 $\alpha +(-\beta )$ , 然后结合诱导公式就可以推出来.

两角和差公式的应用有三个方面. 第一是正用公式, 所谓正用公式, 就是将 $\cos (\alpha \pm \beta )$ , $\sin (\alpha \pm \beta )$ , $\tan (\alpha \pm \beta )$ 按知识点1.3展开, 例如下面例题正用两角和的正切公式.

例 1.6

（2020 全国Ⅲ理 9）已知 $2\tan \theta -\tan \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=7$ ，则 $\tan \theta =()$ . A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

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本例求解的是 $\tan \theta$ 的值, 很明显需要对三角函数式 $2\tan \theta -\tan \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=7$ 化简, 这个化简实质就是利用正切公式将 $\tan \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ 展开. 由题意可得 $2\tan \theta -\frac{1+\tan \theta }{1-\tan \theta }=7$ , 整理得 ${\tan }^2\theta -4\tan \theta +4=0$ , 解得 $\tan \theta =2$ , 故选 $D$ .

第二是逆用公式, 所谓逆用公式, 就是观察式子是否符合公式 (见知识点1.3) 右侧的特征.

例 1.7

(2014 全国 $I$ 理 8) 设 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ , $\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ ，且 $\tan \alpha =\frac{1+\sin \beta }{\cos \beta }$ ，则 ( )。 A. $3\alpha -\beta =\frac{\pi }{2}$ B. $2\alpha -\beta =\frac{\pi }{2}$ C. $3\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$ D. $2\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$

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因为等式中既有切, 又有弦, 故先利用商数关系切化弦.

由 $\tan \alpha =\frac{1+\sin \beta }{\cos \beta }$ , 得 $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1+\sin \beta }{\cos \beta }$ , 交叉相乘得 $\underset{\stackrel{◯}{1}}{\underbrace{\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }}=\cos \alpha$ . ①符合公式 $S_{(\alpha -\beta )}$ 等号右侧的结构特征, 故 $\sin (\alpha -\beta )=\cos \alpha$ , 又 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ , $\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ , 易得 $\alpha -\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ , 所以 $(\alpha -\beta )+\alpha =\frac{\pi }{2}$ , 即 $2\alpha -\beta =\frac{\pi }{2}$ , 故选 $B$.

例1.7中的切化弦是一个很重要的技巧, 现总结如下: