9.8 电场的能量

9.8.1 带电系统的能量

对于电量为 $Q$ 的带电体 $A$，可以设想是在不断地把微小电量 dq 从无穷远处移到带电体 $A$ 上的过程中，外界克服电场力做的功增加了带电体 $A$ 的能量，即

d W _ e = d W = d q u$$\mathrm{d}{W}_{\mathrm{e}}=\mathrm{d}W=\mathrm{d}qu$$

式中，$u$ 表示带电体 $A$ 的电势。所以，带电体 $A$ 在从不带电到带有电量 $Q$ 的整个过程中积蓄的能量为

W _ e = ∫ d W _ e = ∫_ 0 ^ Q u d q (9.35)$$W_{\mathrm{e}}=\int \mathrm{d}{W}_{\mathrm{e}}={\int }_0^{Q}u\mathrm{d}q\text{\hspace{1em}(9.35)}$$

实际上，电容器充电的过程就是在电源作用下不断地从原来中性的极板 $B$ 上取正电荷移到极板 $A$ 上的过程．所以，当电容为 $C$ 的电容器两极板分别带有电量 + Q、-Q,两极板的电势差为 $U$ 时，电容器具有的能量为

W _ e = ∫_ 0 ^ Q u d q = ∫_ 0 ^ Q frac qC d q = frac 12 frac Q ^ 2C (9.36)$$W_{\mathrm{e}}={\int }_0^{Q}u\mathrm{d}q={\int }_0^Q\frac{q}{C}\mathrm{d}q=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}\text{\hspace{1em}(9.36)}$$

数字资源静电场的能量 ↗

式(9.36)也可表示为 $W_e=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}UQ$．无论电容器的结构如何，这一结果都正确．

9.8.2 电场能量

静电场的能量 在不随时间变化的静电场中，电荷和电场总是同时存在的，无法分辨电能是与电荷相关联还是与电场相关联．随时间迅速变化的电场和磁场将以电磁波的形式在空间传播，电场可以脱离电荷而传播到很远的地方．实际上，电磁波携带能量已经是人所共知的事实．大量事实证明，能量确实是定域在(或者说分布在)电场中的． 既然能量定域在电场中，我们就可以把带电系统的能量公式用描述电场的物理量 $E$ 和 $D$ 来表示．为简单起见，考虑一个理想的平行板电容器，它的极板面积为 $S$，极板间的电场所占空间体积 V = Sd,极板上的自由电荷的电量为 $Q$，极板间电压为 $U$，则该电容器储存的能量 $W_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2}QU$．因为极板上的面电荷密度 $\sigma =\frac{Q}{S}=D$ , $U=Ed$，所以

W _ e = frac 12 Q U = frac 12 σ S U = frac 12 D S E d = frac 12 D E V$$W_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2}QU=\frac{1}{2}\sigma SU=\frac{1}{2}DSEd=\frac{1}{2}DEV$$

而电场中单位体积的能量，即电场能量密度为

w _ e = frac W _ eV = frac 12 D E (9.37)$$w_{\mathrm{e}}=\frac{W_{\mathrm{e}}}{V}=\frac{1}{2}DE\text{\hspace{1em}(9.37)}$$

可以证明，电场能量密度的公式适用于任何电场．在电场不均匀时，总电场能量等于 $w_e$ 在电场强度不为零的空间$V$的体积分，即

W _ e = ∫_ V w _ e d V = ∫_ V frac 12 D E d V (9.38)$$W_{\mathrm{e}}={\int }_V{w}_{\mathrm{e}}\mathrm{d}V={\int }_V\frac{1}{2}DE\mathrm{d}V\text{\hspace{1em}(9.38)}$$

在真空中， $D={\epsilon }_{0}E$ ，则

W _ e = ∫_ V frac 12 ε_ 0 E ^ 2 d V$$W_{\mathrm{e}}={\int }_V\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2\mathrm{d}V$$

式中， $W_e$ 是纯粹的电场能量．在各向同性的电介质中有

boldsymbol D = ε_ 0 ε_ r boldsymbol E = ε boldsymbol E, W _ e = ∫_ V frac 12 ε E ^ 2 d V$$\mathbf{D}={\epsilon }_0{\epsilon }_{\mathrm{r}}\mathbf{E}=\epsilon \mathbf{E},W_{\mathrm{e}}={\int }_V\frac{1}{2}\epsilon E^2\mathrm{d}V$$

这时 $W_e$ 还包含电介质极化能．在各向异性的电介质中，$D$ 与 $E$ 的方向不同，式(9.38)应采用以下形式:

W _ e = ∫_ V frac 12 D · E d V (9.39)$$W_{\mathrm{e}}={\int }_V\frac{1}{2}D\cdot E\mathrm{d}V\text{\hspace{1em}(9.39)}$$

例 9.20

计算均匀带电球体的静电能．球的半径为 $R$，带电量为 $Q$．为简单起见，设球内、外介质的介电常量均为 ${\epsilon }_0$ .

解

方法一: 直接计算定域在电场中的能量． 均匀带电球体的电场分布已在例9.7 中求出，$E$ 沿着球的半径方向，大小为

E = { l l frac Q r4 π ε_ 0 R ^ 3 & (r ≤slant R) frac Q4 π ε_ 0 r ^ 2 & (r > R) .$$E=\{\begin{array}{ll}\frac{Qr}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}& (r⩽R)\\ \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}& (r>R)\end{array}$$q = ρ (frac 43 π r ^ 3) = frac Q r ^ 3R ^ 3$$q=\rho \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)=\frac{Q{r}^3}{R^3}$$

此时带电球体表面的电势为 于是，利用式(9.38)可得静电场的能量为

r l W _ e & = ∫_ V frac 12 ε_ 0 E ^ 2 d V = frac ε_ 02 ∫_ 0 ^ R (frac Q r4 π ε_ 0 R ^ 3) ^ 2 4 π r ^ 2 d r & + frac ε_ 02 ∫_ R ^ ∞ (frac Q4 π ε_ 0 r ^ 2) ^ 2 4 π r ^ 2 d r & = frac Q ^ 28 π ε_ 0 R ^ 6 ∫_ 0 ^ R r ^ 4 d r + frac Q ^ 28 π ε_ 0 ∫_ R ^ ∞ frac d rr ^ 2 & = frac Q ^ 24 0 π ε_ 0 R + frac Q ^ 28 π ε_ 0 R = frac 3 Q ^ 22 0 π ε_ 0 R$$\begin{array}{rl}{W}_{\mathrm{e}}& ={\int }_V\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2\mathrm{d}V=\frac{{\epsilon }_0}{2}{\int }_0^R{\left(\frac{Qr}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}\right)}^{2}4\pi r^2\mathrm{d}r\\ & +\frac{{\epsilon }_0}{2}{\int }_R^{\infty }{\left(\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\right)}^{2}4\pi r^2\mathrm{d}r\\ & =\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_0{R}^6}{\int }_0^R{r}^4\mathrm{d}r+\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_0}{\int }_R^{\infty }\frac{\mathrm{d}r}{r^2}\\ & =\frac{Q^2}{40\pi {\epsilon }_{0}R}+\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_{0}R}=\frac{3Q^2}{20\pi {\epsilon }_{0}R}\end{array}$$U (r) = frac q4 π ε_ 0 r = frac Q r ^ 24 π ε_ 0 R ^ 3$$U(r)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}=\frac{Q{r}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}$$

这时增加一个厚度为 dr 的带电薄球壳，带电球体增加的电量 dq 为 * 方法二: 设想把带电球体分割成一系列半径为 $r$ 的带电薄球壳 ( $r$ 从零逐渐增大至 $R$ ), 并相继把这些带电薄球壳移到一起累加形成带电球体．当带电球体的半径为 $r$ 时带有电量

d q = ρ 4 π r ^ 2 d r = frac 3 Q r ^ 2R ^ 3 d r$$\mathrm{d}q=\rho 4\pi r^2\mathrm{d}r=\frac{3Q{r}^2}{R^3}\mathrm{d}r$$

把以上电量从无穷远处移到带电球体处，并累加到半径为 $r$ 的带电球体上，外界需克服电场力做功，即带电球体半径增大 dr 时，带电球体增加的静电能为

d W _ e = U d q = frac Q r ^ 24 π ε_ 0 R ^ 3 frac 3 Q r ^ 2R ^ 3 d r = frac 3 Q ^ 2 r ^ 44 π ε_ 0 R ^ 6 d r$$\mathrm{d}{W}_{\mathrm{e}}=U\mathrm{d}q=\frac{Q{r}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}\frac{3Q{r}^2}{R^3}\mathrm{d}r=\frac{3Q^2{r}^4}{4\pi {\epsilon }_0{R}^6}\mathrm{d}r$$

由此可知，半径为 $R$ 的均匀带电球体的静电能为

W _ e = ∫ d W _ e = ∫_ 0 ^ R frac 3 Q ^ 2 r ^ 44 π ε_ 0 R ^ 6 d r = frac 3 Q ^ 22 0 π ε_ 0 R$$W_{\mathrm{e}}=\int \mathrm{d}{W}_{\mathrm{e}}={\int }_0^R\frac{3Q^2{r}^4}{4\pi {\epsilon }_0{R}^6}\mathrm{d}r=\frac{3Q^2}{20\pi {\epsilon }_{0}R}$$

可以看到，两种解法的结果相同．