6.2 平面简谐波

平面简谐波在介质中传播,虽然各质点都在各自的平衡位置附近按余弦(或正弦）规律振动，但同一时刻各质点的振动状态却不尽相同。只有定量地描述出每个质点的振动状态，才算解决了平面简谐波的运动学问题。 在平面简谐波中, 波线是一组垂直于波面的平行射线, 因此可选用其中一条波线为代表来研究平面波的传播规律. 也就是说, 平面简谐波的波函数就是任一波线上任一点的振动方程的通式.

6.2.1 平面简谐波的波函数

数字资源·平面简谐波的波函数

查看资源

设有一平面简谐波，在理想介质中沿 $x$ 轴正方向传播，$x$ 轴即为某一波线，在此波线上任取一点为坐标原点，并在坐标原点振动相位为零时开始计时，则坐标原点的振动方程为 平面简谐波的 波函数

$$y_0=A\cos \omega t\text{\hspace{1em}(6.14)}$$

设 $P$ 为 $x$ 轴上任意一点, 其坐标为 $x$, 而用 $y$ 表示该处质点偏离平衡位置的位移, 如图 6.7 所示, 下面求 $P$ 点的振动方程. 设波在介质中的传播速度为 $u$，则坐标原点的振动状态传到 $P$ 点所需要的时间为 $\Delta t=\frac{x}{u}$ ，因此，$P$ 点在 $t$ 时刻将重复坐标原点在 $\left(t-\frac{x}{u}\right)$ 时刻的振动状态，即 $P$ 点在 $t$ 时刻的振动方程为

图6.7 波函数的推导

$$y=A\cos \omega \left(t-\frac{x}{u}\right)\text{\hspace{1em}(6.15)}$$

式(6.15)就是沿$x$轴正方向传播的平面简谐波的表达式,或称波函数,有时也称波动方程 ^① . 如 6.1 节所述, 当一列波在介质中传播时, 沿着波的传播方向向前看去, 前方各质点的振动要依次落后于波源的振动. 因此, 式(6.15) 中的 $\frac{x}{u}$ 也可理解为 $P$ 点的振动落后于坐标原点的振动的时间. 显然, 这列波若沿 $x$ 轴负方向传播, 则 $P$ 点的振动超前于坐标原点的振动, 超前的时间为 $\frac{x}{u}$ , 此时 $P$ 点的振动方程为

$$y=A\cos \omega \left(t+\frac{x}{u}\right)\text{\hspace{1em}(6.16)}$$

式(6.16)就是沿 $x$ 轴负方向传播的平面简谐波的表达式. 若波源(坐标原点)的振动初相位在开始计时时不为零,即

$$y_0=A\cos (\omega t+{\phi }_0)\text{\hspace{1em}(6.17)}$$

由于波源的初相位对波传播过程的贡献是固定的，与波的传播方向、时间、距离无关，因此波函数为

$$y=A\cos \left[\omega \left(t\mp \frac{x}{u}\right)+{\phi }_0\right]\text{\hspace{1em}(6.18)}$$

将 $\omega =2\pi \nu =\frac{2\pi }{T},u=\frac{\lambda }{T}=\frac{\omega }{2\pi }\lambda$ 代入式(6.18)，经整理，可得到如下几种常用的波函数：

$$y=A\cos \left[2\pi \left(\frac{t}{T}\mp \frac{x}{\lambda }\right)+{\phi }_0\right]\text{\hspace{1em}(6.19)}$$ $$y=A\cos \left[2\pi \nu t\mp \frac{2\pi x}{\lambda }+{\phi }_0\right]\text{\hspace{1em}(6.20)}$$ $$y=A\cos \left[\frac{2\pi }{\lambda }(ut\mp x)+{\phi }_0\right]=A\cos [k(ut\mp x)+{\phi }_0]\text{\hspace{1em}(6.21)}$$

式中， $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ 称为波矢.

6.2.2 波函数的物理意义

为了深刻理解平面简谐波的波函数的物理意义,下面分几种情况进行讨论. (1) 如果 $x=x_0$ 为给定值，则位移 $y$ 仅是时间 $t$ 的函数： $y=y(t)$ . 波函数改写为

$$y(t)=A\cos \left(\omega t-\frac{\omega x_0}{u}+{\phi }_0\right)=A\cos \left(\omega t-2\pi \frac{x_0}{\lambda }+{\phi }_0\right)\text{\hspace{1em}(6.22)}$$

这就是波线上 $x_0$ 处质点在任意时刻离开平衡位置的位移，式(6.22)即为 $x_0$ 处质点的振动方程，表明任意坐标 $x_0$ 处质点均在做简谐振动，相应地可作出其振动曲线，如图 6.8 所示. 由式(6.22)可知, $x_0$ 处质点在t=0时刻的位移为

$$\begin{array}{rl}y(0,x_0)& =A\cos \left(-\frac{\omega x_0}{u}+{\phi }_0\right)\\ & =A\cos \left(-2\pi \frac{x_0}{\lambda }+{\phi }_0\right)\end{array}$$

图 6.8 波线上给定点的振动曲线 该处质点的振动初相位为 ${\phi }^{\prime }=-\frac{\omega x_0}{u}+{\phi }_0=-2\pi \frac{x_0}{\lambda }+{\phi }_0$ ，显然 $x_0$ 处质点的振动相位比坐标原点 $O$ 处质点的振动相位始终落后 $\frac{\omega x_0}{u}$ 或 $2\pi \frac{x_0}{\lambda }$ . $x_0$ 越大，相位落后越多。因此，沿着波的传播方向，各质点的振动相位依次落后。 $x_0=\lambda ,2\lambda ,3\lambda ,\cdots$ 各处质点的振动相位依次为 ${\phi }^{\prime }=-2\pi +{\phi }_0,-4\pi +{\phi }_0,-6\pi +{\phi }_0,\cdots$ ，这正好表明波线上每隔一个波长的距离，质点的振动曲线就重复一次，波长的确代表了波的空间周期性。 读者自己可以导出,同一质点在相邻两个时刻的振动相位差为

$$\Delta \phi =\omega (t_2-t_1)=\frac{t_2-t_1}{T}2\pi \text{\hspace{1em}(6.23)}$$

(2) 若 $t=t_0$ 为给定值，则位移 $y$ 只是坐标 $x$ 的函数： $y=y(x)$ . 波函数变为

$$y=A\cos \left[\omega \left(t_0-\frac{x}{u}\right)+{\phi }_0\right]\text{\hspace{1em}(6.24)}$$

这时方程给出了在 $t_0$ 时刻波线上各质点离开各自平衡位置的位移分布情况，称为 $t_0$ 时刻的波形方程. $t_0$ 时刻的波形曲线如图 6.9所示，它是一条简谐函数曲线，正好说明它是一列简谐波.应该注意的是，对于横波， $t_0$ 时刻的 $y-x$ 曲线实际上就是该时刻波线上所有质点的分布图形；对于纵波，波形曲线并不反映真实的质点分布情况，而只表示该时刻所有质点的位移分布. 由上面的讨论,读者自己可以导出,同一波线上两质点之间的相位差为

$$\Delta \phi =-\frac{2\pi }{\lambda }(x_2-x_1)\text{\hspace{1em}(6.25)}$$

图 6.9 给定时刻 $(t=t_0)$ 的波形曲线 这说明波动周期反映了波动在时间上的周期性. (3) 如果 $t$、$x$ 都在变化, 波函数

$$y(t,x)=A\cos \left[\omega \left(t-\frac{x}{u}\right)+{\phi }_0\right]$$

给出了波线上各个不同质点在不同时刻的位移,或者说它包括了各个不同时刻的波形,也就是反映了波形不断向前推进的波动传播的全过程. 进一步分析波函数便可更深入地了解波动的本质.

数字资源·波函数的物理意义

查看资源

根据波函数可知，$t$ 时刻的波形方程为

$$y(x)=A\cos \left[\omega \left(t-\frac{x}{u}\right)+{\phi }_0\right]$$

波函数的物理意义 而 $t+\Delta t$ 时刻的波形方程为

$$y(x)=A\cos \left[\omega \left(t+\Delta t-\frac{x}{u}\right)+{\phi }_0\right]$$

分别用实线和虚线表示 $t$ 时刻和稍后的 $t+\Delta t$ 时刻的两条波形曲线，如图 6.10所示，便可形象地看出波形向前传播的图像，波形向前传播的速度就等于波速 $u$.

图6.10 波形的传播

设 $t$ 时刻、$x$ 处的某个振动状态经过 $\Delta t$ 时间，传播了 $\Delta x=u\Delta t$ 的距离，用波函数表示为

$$\begin{array}{rl}& A\cos \left[\omega \left(t+\Delta t-\frac{x+u\Delta t}{u}\right)+{\phi }_0\right]=A\cos \left[\omega \left(t-\frac{x}{u}\right)+{\phi }_0\right]\\ & y(t+\Delta t,x+\Delta x)=y(t,x)\end{array}$$

即 (6.26) 这就是说，想获取 $t+\Delta t$ 时刻的波形，只要将 $t$ 时刻的波形沿波的前进方向移动 $\Delta x(\Delta x=u\Delta t)$ 距离即可.故式(6.26）描述的波称为行波.

6.2.3 波动微分方程与波速

仅从运动学角度研究波还不够,只有对波进行动力学分析才能了解波传播的机制并进一步研究波动.

1. 波动微分方程

在介质中取一体积元,分析其受力情况,应用动力学规律进行研究.以下仅以平面横波为例讨论. 图 6.11 表示横波在某瞬时的波形图，取 $x$ 和 $x+\Delta x$ 处两波面所围体积元为隔离体。体积元两侧受剪切力 $f_x$ 和 $f_{x+\Delta x}$ 作用。相比之下重力可不计。体积元发生剪切变形，剪切应变为 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}$ 。用 $S$ 表示体积元的横截面面积，根据胡克定律有

$$\frac{f_x}{S}={\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x}G$$

图 6.11 当波传播时,介质内某体积元的受力和形变

式中，$G$ 为剪切模量. 体积元的 $y$ 坐标是 $x$ 和 $t$ 的函数. 现在讨论某瞬时的情况, 将 $t$ 视为定值. 上式可写成偏导数形式:

$$\frac{f_x}{S}={\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}|}_{x}G$$

同理也可自 $x+\Delta x$ 处得

$$\frac{f_{x+\Delta x}}{S}=\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}{|}_{x+\Delta x}G$$

体积元所受合外力为

$$f_{x+\Delta x}-f_x={\left[\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}\right|}_{x+\Delta x}-{\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}|}_x]GS$$

方括号内为函数 $\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}$ 在 $\Delta x$ 上的增量.若不计高阶无穷小，有

$$\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}{|}_{x+\Delta x}-\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}{|}_x=\frac{{\partial }^{2}y(x,t)}{\partial x^2}{|}_x\Delta x$$

代入上式得

$$f_{x+\Delta x}-f_x=\frac{{\partial }^{2}y(x,t)}{\partial x^2}{|}_x\Delta xGS$$

体积元在上述合外力作用下的加速度为 $\frac{{\partial }^{2}y(x,t)}{\partial t^2}$ ，故有

$$f_{x+\Delta x}-f_x=\Delta m\cdot \frac{{\partial }^{2}y(x,t)}{\partial t^2}$$

式中， $\Delta m$ 为体积元质量。用 $\rho$ 表示介质密度，因 $\Delta m=\rho S\Delta x$ ，由上两式得

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=\frac{G}{\rho }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}\text{\hspace{1em}(6.27)}$$

此即弹性介质中横波的波动微分方程. 依照类似方法,可得固体内弹性平面纵波的波动微分方程为

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=\frac{E}{\rho }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}\text{\hspace{1em}(6.28)}$$

式中， $\rho$ 表示介质密度，$E$ 为杨氏模量。张紧的柔软线绳上传播的横波的波动微分方程为

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=\frac{T}{\mu }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}\text{\hspace{1em}(6.29)}$$

式中，$T$ 为线绳所受张力； $\mu$ 为单位长度线绳的质量，称为线密度. 以上波函数均根据质点动力学方程得出,故波动微分方程即为关于波的动力学方程.该方程的未知函数为 $y(x,t)$ , 方程中 $y$ 的两个偏导数都是以线性方式出现的, 故本节讨论的波函数是线性的.

2. 波速

波动微分方程给出了介质内体积元的运动和受力的关系,反映了波动传播的机制,对应于经典力学的动力学方程.波函数对应于运动学方程,故波函数是波动微分方程的解.平面简谐波为平面波的特例，故平面简谐波的波函数应为波动微分方程一特殊的解. 将式(6.18)的平面简谐波的波函数分别对 $t$ 和 $x$ 求二阶偏导数(设波沿 $x$ 轴正方向传播)，有

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=-A{\omega }^2\cos \left[\omega \left(t-\frac{x}{u}\right)+{\phi }_0\right]$$ $$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=-A\frac{{\omega }^2}{u^2}\cos \left[\omega \left(t-\frac{x}{u}\right)+{\phi }_0\right]$$

比较上面两式可得

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=\frac{1}{u^2}\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}\text{\hspace{1em}(6.30)}$$

将其与式(6.27)相比,即可得固体中弹性横波的波速为

$$u_{\perp }=\sqrt{G/\rho }$$

同理可得固体中弹性纵波的波速为

$$u_{//}=\sqrt{E/\rho }$$

由此可知,固体中波速和介质弹性密切相关.现在有各种精确测量声速或测量固体的杨氏模量和剪切模量的方法.张紧的软绳中横波的波速为

$$u_{\perp }=\sqrt{T/\mu }$$

流体中纵波的波速为

$$u_{//}=\sqrt{B/\rho }$$

式中， $B$ 为流体的体积模量. 以上即为式(6.7)～式(6.10)的根由. 表 6.1 给出某些波速实验值, $L$ 和 $T$ 分别表示纵波和横波. 表中列出的波阻(或声阻), 将在 6.5 节中介绍. 表 6.1 波速和波阻

介质	温度/°C	波速/(m/s)	波阻/(N·s/m3)
空气	0	331.45	429
氧气	0	316	452
氢气	0	1284	116
水	20	1483	$1.48\times 10^6$
水银	20	1451	$19.6\times 10^6$
液氦	-272.15	239	$0.035\times 10^6$
液氧	-183	909	$1.04\times 10^6$
血液		1530	$1.62\times 10^6$
肌肉		1545～1630	$1.65\times 10^6\sim 1.74\times 10^6$
骨骼		2700～4100	$3.2\times 10^6\sim 7.4\times 10^6$
铁		L:5950T:3240	$47.0\times 10^6$
铝		L:6420T:3040	$17.3\times 10^6$
火石玻璃		L:3980T:2380	$15.4\times 10^6$

例 6.1

已知波函数为 $y=0.1\cos \frac{\pi }{10}(25t-x)$ ，其中 $x$, $y$ 的单位为 $m$, $t$ 的单位为 $s$，求：(1) 振幅、波长、周期、波速；(2) 距坐标原点 8 m 和 10 m 两点处质点振动的相位差；(3) 波线上某质点在时间间隔 0.2 s 内的相位差.

解

（1）用比较法将题干中的波函数改写成如下形式：

$$y=0.1\cos \frac{25}{10}\pi \left(t-\frac{x}{25}\right)$$

并与波函数的标准形式 $y=A\cos \left[\omega \left(t-\frac{x}{u}\right)+{\phi }_0\right]$ 比较，即可得

$$A=0.1\mathrm{m},\omega =\frac{25}{10}\pi \mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$$$$u=25m/s,{\phi }_0=0$$

所以 $T=\frac{2\pi }{\omega }=0.8\mathrm{s},\lambda =uT=20\mathrm{m}$ （2）同一时刻波线上坐标为 $x_1$ 和 $x_2$ 两点处质点振动的相位差

$$\Delta \phi =-\frac{2\pi }{\lambda }(x_2-x_1)=-2\pi \frac{\delta }{\lambda }$$

$\delta =x_2-x_1$ 是波动传播到 $x_1$ 和 $x_2$ 处的波程差，上式就是同一时刻波线上任意两点间相位差与波程差的关系. 当 $\delta =x_2-x_1=10m-8m=2m$ 时，

$$\Delta \phi =-2\pi \frac{\delta }{\lambda }=-\frac{\pi }{5}$$

负号表示 $x_2$ 处的振动相位落后于 $x_1$ 处的振动相位. （3）对于波线上任意一个给定点 $(x\text{ 一定})$ ，在时间间隔 $\Delta t$ 内的相位差

$$\Delta \phi =\omega (t_2-t_1)=\omega \Delta t$$

已知 $\Delta t=0.2\mathrm{s}$ ，则

$$\Delta \phi =\frac{\pi }{2}$$

例 6.2

一平面波在介质中以速度 $u=20m/s$ 沿直线传播，已知在传播路径上某点 $A$ 的振动方程为 $y_A=3\cos 4\pi t$ ，如图 6.12 所示。（1）若以 $A$ 点为坐标原点，写出波函数，并求出 $C$、$D$ 两点的振动方程；（2）若以 $B$ 点为坐标原点，写出波函数，并求出 $C$、$D$ 两点的振动方程。

解

已知 $u=20\mathrm{m}/\mathrm{s},\omega =4\pi \mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ , 则

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=0.5\mathrm{s},\lambda =uT=10\mathrm{m}$$

（1）若以 $A$ 点为坐标原点，则坐标原点的振动方程为 $y_0=y_A=3\cos 4\pi t$ ，所以波函数为

$$y=3\cos 4\pi \left(t-\frac{x}{20}\right)=3\cos \left(4\pi t-\frac{\pi }{5}x\right)$$

式中，$x$ 是波线上任意一点的坐标（以 $A$ 点为坐标原点）。对 $C$ 点， $x_C=-13m$ ；对 $D$ 点， $x_D=9m$ 。故可直接写出 $C$ 点和 $D$ 点的振动方程分别为

$$\begin{array}{l}{y}_C=3\cos \left(4\pi t-\frac{\pi }{5}{x}_C\right)=3\cos \left(4\pi t+\frac{13}{5}\pi \right)\\ y_D=3\cos \left(4\pi t-\frac{\pi }{5}{x}_D\right)=3\cos \left(4\pi t-\frac{9}{5}\pi \right)\end{array}$$

(2) 若以 $B$ 点为坐标原点, 则坐标原点的振动方程为 $y_0=y_B$ . 由于波从左向右传播, 因此 $B$ 点的振动始终比 $A$ 点超前一段时间 $\Delta t=\frac{5}{20}s=\frac{1}{4}s$ , 故 $B$ 点在 $t$ 时刻的振动状态与 $A$ 点在 $t+\Delta t$ 时刻的振动状态相同, 即

$$y_O=y_B(t)=y_A(t+\Delta t)=3\cos 4\pi \left(t+\frac{1}{4}\right)$$

图6.12 例6.2图

此时波函数为

$$y=3\cos \left[4\pi \left(t-\frac{x}{20}\right)+\pi \right]=3\cos \left(4\pi t-\frac{\pi }{5}x+\pi \right)$$

式中，$x$ 是波线上任意一点的坐标（以 $B$ 点为坐标原点）。所以对 $C$ 点， $x_C=-8m$ ；对 $D$ 点， $x_D=14m$ 。代入波函数可写出 $C$ 点和 $D$ 点的振动方程分别为

$$\begin{array}{rl}{y}_C& =3\cos \left(4\pi t+\frac{8}{5}\pi +\pi \right)\\ & =3\cos \left(4\pi t+\frac{13}{5}\pi \right)=3\cos \left(4\pi t+\frac{3}{5}\pi \right)\\ y_D& =3\cos \left(4\pi t-\frac{\pi }{5}\times 14+\pi \right)=3\cos \left(4\pi t-\frac{9}{5}\pi \right)\end{array}$$

由本例可知,对一列给定的平面波,坐标原点选取不同,波函数的形式就不同,但每个质点的振动方程却是相同的,即每个质点的振动规律是确定的,与坐标原点的选取无关.

例 6.3

一平面简谐横波以 $u=400m/s$ 的波速在均匀介质中沿 $x$ 轴正方向传播。位于坐标原点的质点的振动周期为 0.01 s，振幅为 0.1 m，取坐标原点处质点经过平衡位置且向正方向运动时作为计时起点。（1）写出波函数；（2）写出距坐标原点 2 m 的质点 $P$ 的振动方程；（3）画出 $t_1=0.005s$ 和 $t_2=0.0075s$ 时的波形图；（4）若以距原点 2 m 的点为坐标原点，写出波函数。

解

（1）由题意知，坐标原点 $O$ 处质点的振动初始条件为： $t=0$ 时， $y_0=0,v_0>0$ 。设坐标原点 $O$ 处质点的振动方程为 $y_0=A\cos (\omega t+{\phi }_0)$ ，将初始条件代入，可求出坐标原点处质点的振动初相位 ${\phi }_0=\frac{3}{2}\pi$ ，坐标原点的振动方程为

$$y_0=0.1\cos \left(200\pi t+\frac{3}{2}\pi \right)$$

故波函数为

$$y=0.1\cos \left[200\pi \left(t-\frac{x}{400}\right)+\frac{3}{2}\pi \right]$$

（2）质点 $P$ 所在位置的坐标为 $x_P=2m$ ，代入上面的波函数，即可得质点 $P$ 的振动方程为

$$\begin{array}{rl}{y}_P& =0.1\cos \left[200\pi \left(t-\frac{2}{400}\right)+\frac{3}{2}\pi \right]\\ & =0.1\cos \left(200\pi t+\frac{\pi }{2}\right)\end{array}$$

(3) 将 $t_1=0.005s$ 代入波函数, 得此时刻的波形方程为

$$\begin{array}{rl}y& =0.1\cos \left[200\pi \left(0.005-\frac{x}{400}\right)+\frac{3}{2}\pi \right]\\ & =0.1\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}x\right)\end{array}$$

画出对应的波形曲线，如图 6.13中实线所示。因为 $T=0.01\mathrm{s}$ ，故 $t_1=0.005\mathrm{s}$ 到 $t_2=0.0075\mathrm{s}$ 经历了 $\Delta t=t_2-t_4=0.0025\mathrm{s}=\frac{1}{4}T$ ，故 $t_2=0.0075\mathrm{s}$ 时刻的波形图只需将 $t_1=0.005\mathrm{s}$ 即可得到，如图 6.13中虚线所示。$\frac{1}{4}\lambda =\frac{1}{4}uT=1\mathrm{m}$ 即可得到，如图6.13中虚线所示。

图6.13 $t_1=0.005\mathrm{s}$ 和 $t_2=0.0075\mathrm{s}$ 时的波形图

（4）由（2）中结果可知，新坐标原点 $O^{\prime }$ 的振动方程为

$$y_{O^{\prime }}=y_P=0.1\cos \left(200\pi t+\frac{\pi }{2}\right)$$

所以新坐标系下的波函数为

$$y^{\prime }=0.1\cos \left[200\pi \left(t-\frac{x^{\prime }}{400}\right)+\frac{\pi }{2}\right]$$

式中， $x^{\prime }$ 是波线上各点在新坐标系下的位置坐标.