12.5 劈尖干涉 牛顿环

本节讨论光线入射在厚度不均匀的薄膜上所产生的干涉现象,其干涉条纹称为等厚干涉条纹.

12.5.1 劈尖干涉

将两块平板玻璃的一端叠合，在另一端垫入一薄纸片或一细丝，如图 12.13($a$)所示，则在两块平板玻璃间形成一端薄、一端厚的空气膜，这是一个劈尖形的空气膜，叫作空气劈尖。空气膜的两个表面为两块平板玻璃的内表面。两块平板玻璃叠合端的交线称为棱边，其夹角 $\theta$ 称为劈尖楔角。在平行于棱边的直线上的各点，空气膜的厚度 $e$ 是相等的。 中国物理学家 当平行单色光垂直照射底面的平板玻璃时,就可在空气劈尖表面观察到明暗相间的干涉条纹.这是由空气膜的上、下表面反射出来的两列光波干涉形成的.

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考虑空气膜的厚度为 $e$ 处，由上、下表面反射的两相干光的光程差为

$$\Delta =2e+\frac{\lambda }{2}\text{\hspace{1em}(12.18)}$$

严济慈 式中， $\frac{\lambda }{2}$ 为光在空气膜的下表面反射时的半波损失。于是两表面反射光的干涉条件为

$$\Delta =\{\begin{array}{ll}2e+\frac{\lambda }{2}=k\lambda & (k=1,2,3,\dots )(\text{明纹})\\ 2e+\frac{\lambda }{2}=(2k+1)\frac{\lambda }{2}& (k=0,1,2,\dots )(\text{暗纹})\end{array}\text{\hspace{1em}(12.19)}$$

由此可见，凡是空气劈尖上厚度相同的地方，两反射光的光程差都相等，都与一定的明纹或暗纹的 $k$ 值相对应。因此这些条纹叫作等厚干涉条纹。这样的干涉称为等厚干涉。 如果平板玻璃的表面是严格的几何平面,即劈尖的表面是严格的平面,则平行于棱边的直线上的各点,其空气膜的厚度都相同,由式(12.18)可知,两相干光的光程差也一样,所以从式(12.19)可知,干涉条纹是平行于棱边的一系列明暗相间的直条纹,如图 12.13($b$)所示.如果平板玻璃的表面不平整,则干涉条纹将在凹凸不平处发生弯曲,由此可以检验平板玻璃是否平整.此外,在两块平板玻璃的接触处,e=0,两反射光的光程差为 $\frac{\lambda }{2}$ ,所以棱边处应为暗纹,事实正是如此.
($a$)
($b$)

图12.13 劈尖干涉

在劈尖干涉的直条纹中,任何两条相邻明纹或暗纹之间的距离 $l$ 都是相同的,即条纹间距相等,这是因为

$$l\sin \theta =e_{k+1}-e_k=\frac{1}{2}(k+1)\lambda -\frac{1}{2}k\lambda =\frac{\lambda }{2}\text{\hspace{1em}(12.20)}$$

式(12.20)说明,当一定波长的单色光入射时,劈尖的干涉条纹间距$l$仅与楔角θ有关.θ愈小,则$l$愈大,干涉条纹愈稀疏;θ愈大,则$l$愈小,干涉条纹愈密集.因此,应使θ较小,这时可在劈尖上方观察到清晰的干涉条纹;否则,干涉条纹将密得无法分辨.式(12.20)还说明,任何两相邻明纹或暗纹之间的空气膜的厚度差为 $\frac{\lambda }{2}$ .所以,在某处的空气膜厚度改变 $\frac{\lambda }{2}$ 的过程中,将观察到该处干涉条纹由亮逐渐变暗后又逐渐变亮(或由暗逐渐变亮后又逐渐变暗),好像干涉条纹移动了一条.若观察到干涉条纹移动了$N$条,则该处空气膜的厚度将改变 $N\frac{\lambda }{2}$ .干涉膨胀仪可测量样品微小长度的变化就是根据的这一原理. 如果构成劈尖的介质膜不是空气,而是其他透明物质(如液体、二氧化硅晶体等),其上、下表面两反射光的光程差的计算方法与上述方法类同,但附加光程差的计算方法应具体问题具体分析.

12.5.2 牛顿环

将一曲率半径相当大的平凸透镜叠放在一平板玻璃上,如图 12.14($a$)或($c$为中心的明暗相间的环形干涉条纹,如图 12.14($O$为中心的明暗相间的环形干涉条纹,如图12.14($b$)所示.若用白光照射,则条纹呈彩色.这些环形干涉条纹叫作牛顿环,它是等厚条纹的一个特例. 根据前面的分析方法,可求出各环形明、暗纹的半径 $r$、波长 $\lambda$ 及透镜的曲率半径 $R$ 三者之间的关系.在空气膜的任意厚度 $e$ 处,上、下表面的反射光的相干条件为

$$2e+\frac{\lambda }{2}=\{\begin{array}{ll}k\lambda & (k=1,2,3,\dots )(\text{明纹})\\ (2k+1)\frac{\lambda }{2}& (k=0,1,2,\dots )(\text{暗纹})\end{array}\text{\hspace{1em}(12.21)}$$

由图 12.14($c$)可得

$$r^2=R^2-(R-e{)}^2=2eR-e^2$$

因 $R\gg e$ ，可略去 $e^2$ 项，于是

$$e=\frac{r^2}{2R}$$

代入式(12.21)，可得干涉明、暗纹的半径分别为

数字资源·牛顿环的条纹公式

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$$r_{\text{ 明 }}=\sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda }{2}}(k=1,2,3,\dots )\text{\hspace{1em}(12.22)}$$ $$r_{\mathrm{暗}}=\sqrt{kR\lambda }(k=0,1,2,\dots )\text{\hspace{1em}(12.23)}$$

式(12.22)和式(12.23)表明，$k$值越大，环形条纹的半径越大，但相邻环形明纹（或暗纹）的半径之差越小，即随着牛顿环半径的增大，环形条纹变得愈来愈密.

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($a$)
($b$)
($c$)
图 12.14 牛顿环 在透镜与平板玻璃的接触点 $O$ 处，因为 $e=0$ ，两反射光的光程差为 $\frac{\lambda }{2}$ 所以牛顿环的中心是一个暗斑（因实际接触处不可能是点而是圆面）。实际测量平凸透镜的曲率半径 $R$ 的方法是分别测出两个环形暗纹的半径 $r_k$ 和 $r_{k+m}$ ，代入式(12.23)后，即可联立解出

$$R=\frac{r_{k+m}^2-r_k^2}{m\lambda }\text{\hspace{1em}(12.24)}$$

本节介绍的两种干涉现象,在透射光中也可以观察到.但透射光干涉的明、暗纹条件恰好与反射光相反.所以,在牛顿环中用透射光观察时,中心处为一亮斑.

例 12.4

利用劈尖干涉可以测量微小角度. 如图 12.15 所示, 用某单色光垂直照射折射率 $n=1.4$ 的劈尖, 测得两相邻明纹之间的距离是 $l=0.25\mathrm{cm}$ . 已知单色光在空气中的波长 $\lambda =700\mathrm{nm}$ , 求劈尖的顶角 $\theta$ .

解

在劈尖的表面上(见图 12.15) 取第 $k$ 级和第 $k+1$ 级两条明纹, 用 $e_k$ 和 $e_{k+1}$ 分别表示这两条明纹所在处空气膜的厚度. 按明纹出现的条件, $e_k$ 和 $e_{k+1}$ 应满足下列两式:

$$2n{e}_k+\frac{\lambda }{2}=k\lambda$$$$2n{e}_{k+1}+\frac{\lambda }{2}=(k+1)\lambda$$

图12.15 劈尖

两式相减，得

$$n(e_{k+1}-e_k)=\frac{\lambda }{2}$$$$e_{k+1}-e_k=\frac{\lambda }{2n}\text{\hspace{1em}(1◯)}$$

② 由图 12.15可见， $(e_{k+1}-e_k)$ 与两相邻明纹的间隔 $l$ 之间的关系为

$$\sin \theta =\frac{\lambda }{2nl}$$$$l\sin \theta =e_{k+1}-e_k$$

将 $n=1.4,l=0.25\mathrm{cm},\lambda =7\times 10^{-5}\mathrm{cm}$ 代入式②，得

$$\sin \theta =\frac{\lambda }{2nl}=\frac{7\times 10^{-5}\mathrm{cm}}{2\times 1.4\times 0.25\mathrm{cm}}=10^{-4}$$

代入式 ①, 得 因为 $\sin \theta$ 很小，所以 $\theta \approx \sin \theta =10^{-4}$ rad.

例 12.5

用干涉膨胀仪可测定固体的热膨胀系数，干涉膨胀仪的结构如图 12.16所示。在平台$D$上放置一上表面稍微倾斜的待测样品$W$，在$W$外套一个热膨胀系数很小的用石英制成的圆环$C$，环顶上放一平板玻璃$A$，它与样品的上表面构成一空气劈尖。以波长为 $\lambda$ 的单色光自$A$板垂直入射在该空气劈尖上，产生等厚干涉条纹。当样品受热膨胀时（不计圆环$C$的膨胀），劈尖的下表面位置上升，使干涉条纹移动。设温度为 $t_0$ 时，样品的高度为 $L_0$ ，温度升高到 $t$ 时，样品的高度增为 $L$ 。在此过程中，相对视场中某一刻线移动的条纹数目为 $N$ 。求样品的热膨胀系数 $\beta$ 。

图12.16 干涉膨胀仪的结构

解

在劈尖干涉的等厚干涉条纹中, 设温度为 $t_0$ 时, 第 $k$ 级暗纹所在处的空气膜的厚度为

解

在劈尖干涉的等厚干涉条纹中, 设温度为 $t_0$ 两温度下该处空气膜的厚度差为

$$e_k=k\frac{\lambda }{2}$$$$L-L_0=e_k-e_{k-N}=N\frac{\lambda }{2}$$

由题意，得 温度升高到 $t$ 时, 同一处的空气膜的厚度变为

$$\beta =\frac{L-L_0}{L_0}\cdot \frac{1}{t-t_0}=\frac{N\lambda }{2L_0(t-t_0)}$$$$e_{k-N}=(k-N)\frac{\lambda }{2}$$

例 12.6

如图 12.17 所示, 由两块平板玻璃构成一空气劈尖, 劈尖楔角为 $\theta =5.0\times 10^{-5}$ rad, 用波长 $\lambda =0.5\mu m$ 的平行单色光垂直照射该空气劈尖, 在空气劈尖的上方观察空气劈尖表面上的等厚干涉条纹. (1) 若将下面的平板玻璃向下平移, 看到有 15 条条纹移过, 求平板玻璃下移的距离; (2) 若向空气劈尖中注入某种液体, 看到第 5 级明纹在空气劈尖上移动了 0.5 cm, 求液体的折射率.

图 12.17 空气劈尖

解

（1）空气劈尖下面的平板玻璃向下平移，但劈尖楔角保持不变，使空气劈尖表面上的等厚干涉条纹（平行于空气劈尖棱边的一些等间距的直线段）整个向棱边方向移动（条纹间距不变）. 设原来第 $k$ 级明纹处空气劈尖的厚度为 $e_1$ ，光垂直入射时，劈尖干涉的明纹条件（有半波损失）为

$$2e_1+\frac{\lambda }{2}=k\lambda$$

将下面的平板玻璃向下平移后,原来的第 $k$ 级明纹处变成第 $k+15$ 级明纹处,该处的厚度由 $e_1$ 变成 $e_2$ ,由干涉条件,有

$$2e_2+\frac{\lambda }{2}=(k+15)\lambda$$

两式相减，得

$$e_2-e_1=\frac{15\lambda }{2}=\frac{15\times 0.5}{2}\mu \mathrm{m}=3.75\mu \mathrm{m}$$

即为平板玻璃向下平移的距离. (2) 平板玻璃不动, 在空气劈尖中注入某种液体时, 空气劈尖上的条纹也发生移动 (也向棱边方向移动, 条纹间距也发生变化). 未加液体时, 第 5 级明纹在厚度 $e$ 处, 满足

$$2e+\frac{\lambda }{2}=5\lambda$$

入液体(设折射率为 $n$) 后, 第 5 级明纹移至厚度为 $e^{\prime }$ 处, 满足

$$2n{e}^{\prime }+\frac{\lambda }{2}=5\lambda$$

两式相减，得

$$e^{\prime }=\frac{e}{n}$$

由几何关系可知,条纹在空气劈尖上移动的距离为

$$\Delta l=\frac{e-e^{\prime }}{\theta }=\frac{e-\frac{e}{n}}{\theta }=\frac{n-1}{n\theta }e$$

由 $2e+\frac{\lambda }{2}=5\lambda$ ，得

$$\begin{array}{rl}e& =\frac{1}{2}\times \left(5-\frac{1}{2}\right)\lambda =\frac{1}{2}\times \frac{9}{2}\times 0.5\mu \mathrm{m}\\ & =1.125\mu \mathrm{m}\end{array}$$

则液体的折射率为

$$\begin{array}{rl}n& =\frac{e}{e-\theta \Delta l}\\ & =\frac{1.125\times 10^{-6}}{1.125\times 10^{-6}-5.0\times 10^{-5}\times 0.5\times 10^{-2}}\\ & =1.29\end{array}$$

例 12.7

在牛顿环实验中,透镜的曲率半径为 $5.0m$ , 圆平面的直径为 $2.0cm$ . (1) 用波长 $\lambda =589.3nm$ 的单色光垂直照射时, 可看到多少条干涉条纹? (2) 若在空气膜中注入折射率为 $n$ 的液体, 可看到 46 条明纹, 求液体的折射率.

解

（1）由牛顿环的明纹半径公式

$$r=\sqrt{\frac{(2k-1)}{2}R\lambda }$$$$r=\sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda }{2n}}$$

可见条纹级次越高，条纹半径越大，由上式得

$$\begin{array}{rl}k& =\frac{r^2}{R\lambda }+\frac{1}{2}=\frac{(1.0\times 10^{-2}{)}^2}{5\times 5.893\times 10^{-7}}+\frac{1}{2}\\ & =34.4\end{array}$$

故 可看到 34 条干涉条纹. (2) 若在空气膜中注入液体, 则明纹的半径为

$$\begin{array}{rl}n& =\frac{(2k-1)R\lambda }{2r^2}\\ & =\frac{(2\times 46-1)\times 5\times 5.893\times 10^{-7}}{2\times (1.0\times 10^{-2}{)}^2}\\ & =1.34\end{array}$$

可见在空气膜中注入液体后，干涉条纹将变密.