15.5 不确定关系

在经典力学中,一个粒子(质点)的运动状态是用位置(坐标)和速度(动量)来描述的,因而质点的运动也就有一定的轨道.但对微观粒子,由于具有波粒二象性,它的空间位置需要用概率波来描述,而概率波只能给出粒子在各处出现的概率,因此任意时刻粒子不具有确定的位置.与此相联系,粒子在各时刻也不具有确定的动量.粒子在某一方向($x$轴方向)上位置的不确定量 $\Delta x$ 和在该方向上动量的不确定量 $\Delta p_x$ 的关系为

$$\Delta x\Delta p_x⩾h$$

这种关系称为海森伯不确定关系. 量子力学认为, 这种位置和动量的不能同时测定性, 不是由仪器和测量方法引起的, 而完全是由微观粒子的波粒二象性造成的. 如果仍然使用坐标和动量来描述微观粒子的运动, 则必然存在这种不确定性. 下面以光 (或电子) 的单缝衍射为例来说明这一关系. 图 15.16 所示为一束波长为 $\lambda$ 的单色光沿 $y$ 轴方向入射到缝宽为 $\Delta x$ 的单缝上，通过缝后在屏幕上观测到衍射条纹。对于一个光子来说，不能确切地说它从缝中哪一点通过，只能说它是从宽为 $\Delta x$ 的缝中通过的，因此它在 $x$ 轴方向上位置的不确定量为 $\Delta x$ 。通过缝后，在 $x$ 轴方向上的动量 $p_x$ 的大小不为零，衍射条纹表明，如果 $p_x$ 的大小为零，则只能观测到与缝同宽的一条明纹，而实际衍射条纹比缝宽大得多。这里只考虑中央明纹的宽度，则对于其半角宽 $\phi$ （第 1 级暗纹的衍射角），根据单缝衍射公式，有

$$\Delta x\sin \phi =\lambda$$

对应于该衍射方向，光子在 $x$ 轴方向上的动量大小为 $p_x=p\sin \phi$ 。所以， $p_x$ 的不确定量 $\Delta p_x\approx p_x=p\sin \phi$ ，故

$$\Delta p_x=p\frac{\lambda }{\Delta x}$$

图 15.16 光子(或电子)的单缝衍射

再利用德布罗意公式 $\lambda =\frac{h}{p}$ ，可得

$$\Delta x\Delta p_x\approx h$$

考虑一级以上的条纹,则得

$$\Delta x\Delta p_x⩾h$$

量子力学给出的结果为

$$\Delta x\Delta p_x⩾\frac{\hslash }{2}$$

式中

$$\hslash =\frac{h}{2\pi }=1.0545887\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$$

称为约化普朗克常量. 由于实际上此公式通常只用于数量级的估计,因此又常简写为

$$\Delta x\Delta p_x⩾\hslash \text{\hspace{1em}(15.23)}$$

同理可得

$$\Delta y\Delta p_y⩾\frac{\hslash }{2}$$ $$\Delta z\Delta p_z⩾\frac{\hslash }{2}$$

这就是说,坐标(位置)越准确,动量就越不准确;动量越准确,坐标就越不准确.这和衍射实验的结果一致,单缝宽 $\Delta x$ 越小,衍射条纹越宽,即 $\Delta p_x$ 越大. 可以证明,能量和时间也有类似的不确定关系

$$\Delta E\Delta t⩾\frac{\hslash }{2}\text{\hspace{1em}(15.24)}$$

式中， $\Delta E$ 是系统能量的不确定量， $\Delta t$ 是时间的不确定量。下面用一特例说明上式。设一质量为 $m$ 的粒子以速率 $v$ 做直线运动，其动能为

$$E=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{p^2}{2m}$$

将上式两端取微分, 得

$$\Delta E=\frac{p}{m}\Delta p=\frac{mv}{m}\Delta p=v\Delta p$$

另外， $x=vt$ ，则有 $\Delta x=v\Delta t$ ，利用式(15.23)有

$$\Delta x\Delta p_x=\frac{\Delta E}{v}v\Delta t=\Delta E\Delta t⩾\hslash$$

原子处于某激发能级的平均时间称为平均寿命,用 $\tau$ 表示.利用能量和时间的不确定关系,可见能级宽度 $\Delta E$ 与它的平均寿命 $\tau$ 成反比,能级寿命越短,能级宽度越宽,反之越窄.

例 15.12

原子的线度为 $10^{-10}$ m，求原子中电子速度的不确定量.

解

“电子在原子中” 就意味着电子位置的不确定量为 $\Delta x=10^{-10}$ m. 根据不确定关系, 可得

$$\begin{array}{rl}\Delta v_x& =\frac{\hslash }{m\Delta x}=\frac{1.05\times 10^{-34}}{9.11\times 10^{-31}\times 10^{-10}}m/s\\ & =1.2\times 10^{6}m/s\end{array}$$

按玻尔理论算得氢原子中电子的运动速度约为 $10^{6}m/s$ ，它与上面计算的速度不确定量同数量级。因此对于原子中的电子，讨论它的轨道与速度是没有实际意义的。

例 15.13

假定原子中的电子在某激发态的平均寿命 $\tau =10^{-8}$ s，该激发态的能级宽度是多少？

解

$\Delta E⩾\frac{\hslash }{\tau }=\frac{1.05\times 10^{-34}}{10^{-8}}\text{ J}$ $=1.05\times 10^{-26}\text{ J}$ $=6.56\times 10^{-8}\text{ eV}$

当原子从激发态向基态跃迁时,由于能级有一定的宽度,故光谱线也有一定的宽度,称为自然宽度.反过来,根据谱线的自然宽度,可以确定原子在激发态的平均寿命.

例 15.14

一维运动的粒子被限制在宽为 $a$ 的范围内运动, 应用不确定关系估计质量为 $m$ 的粒子的零点能(即最小能量).

解

位置的不确定量为 $\Delta x=a$ ，则动量的最小不确定量为 所以最小能量为

$$\Delta p_x=\frac{\hslash }{a}$$$$E=\frac{p_x^2}{2m}=\frac{\Delta p_x^2}{2m}=\frac{{\hslash }^2}{2m{a}^2}$$

这便是零点能.

例 15.15

氦氖激光器发出波长 $\lambda =632.8nm$ 的光，谱线宽度 $\Delta \lambda =10^{-9}nm$ ，求这种光子沿 $x$ 轴方向传播时，它的 $x$ 轴坐标的不确定量。

解

根据德布罗意公式 $p_x=\frac{h}{\lambda }$ , 对等式两边微分并只取其绝对值, 得

$$\Delta p_x=\frac{h}{{\lambda }^2}\Delta \lambda$$

这就是光学中的相干长度,即波列的长度.将 $\lambda$ 、 $\Delta \lambda$ 的数值代入,可得 根据不确定关系,可得

$$\Delta x=\frac{\hslash }{\Delta p_x}=\frac{{\lambda }^2}{2\pi \Delta \lambda }\approx \frac{{\lambda }^2}{\Delta \lambda }$$$$\begin{array}{rl}\Delta x& \approx \frac{{\lambda }^2}{\Delta \lambda }=\frac{(6328\times 10^{-10}{)}^2}{10^{-9}\times 10^{-9}}\mathrm{m}\\ & =4\times 10^5\mathrm{m}=400\mathrm{km}\end{array}$$