2.4 功 动能 势能 机械能守恒定律

本节讨论力的空间积累效应,进而讨论功和能的关系.

2.4.1 功 功率

1. 功

在力学中,功的最基本的定义是恒力的功.如图 2.17所示,一物体做直线运动,在恒力$F$的作用下物体发生位移 $\Delta r,F$ 与 $\Delta r$ 的夹角为 $\alpha$ ,则恒力$F$所做的功定义为:力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘积.一般用$W$表示功,则有

$$W=F\mid \Delta r\mid \cos \alpha$$

(2.23) 图 2.17 恒力的功 按矢量内积的定义,式(2.23)可写为

$$W=F\cdot \Delta r\text{\hspace{1em}(2.24)}$$

即恒力的功等于力与质点位移的内积(或称标量积). 功是标量, 它只有大小, 没有方向. 功的正负由 $\alpha$ 决定. 当 $\alpha >\frac{\pi }{2}$ 时, 功为负值, 此时说某力做负功, 或说克服某力做功; 当 $\alpha <\frac{\pi }{2}$ 时, 功为正值, 此时说某力做正功; 当 $\alpha =\frac{\pi }{2}$ 时, 功值为零, 此时说某力不做功, 如物体做曲线运动时法向力就不做功. 另外, 因为位移的值与参考系有关, 所以功值是一个相对量.

数字资源·变力的功

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如果物体受到变力作用或做曲线运动，上面所讨论的功的计算公式就不能直接套用。但如果将运动的轨迹曲线分割成许多个足够小的位移元 $\mathrm{d}r$ ，使得每段位移元 $\mathrm{d}r$ 中，作用在质点上的力 $F$ 都能看成恒力（见图 2.18），则力 $F$ 在这段位移元上所做的元功为

$$\mathrm{d}W=\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$$

图2.18 变力的功

力 $F$ 在轨迹 ab 上所做的总功就等于各小段上元功的代数和, 即

$$W={\int }_a^b\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\int }_a^{b}F\cos \alpha |\mathrm{d}\mathbf{r}|={\int }_a^b{F}_{\tau }\mathrm{d}s\text{\hspace{1em}(2.25)}$$

式中， $ds=|dr|$ ; $F_{\tau }$ 是力 $F$ 在位移元 dr 方向上的投影， $F_{\tau }=F\cos \alpha$ . 式(2.25)是计算变力做功的一般公式. 在直角坐标系中，因为

$$\begin{array}{l}\mathbf{F}=F_x\mathbf{i}+F_y\mathbf{j}+F_z\mathbf{k}\\ \mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{i}+\mathrm{d}y\mathbf{j}+\mathrm{d}z\mathbf{k}\end{array}$$

所以式 $(2.25)$ 可表示为

$$\begin{array}{rl}W& ={\int }_a^b(F_x\mathrm{d}x+F_y\mathrm{d}y+F_z\mathrm{d}z)\\ & ={\int }_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)}(F_x\mathrm{d}x+F_y\mathrm{d}y+F_z\mathrm{d}z)\end{array}\text{\hspace{1em}(2.26)}$$

功也可以用图解法计算. 以路程 $s$ 为横坐标, $F_{\tau }$ 为纵坐标, 根据 $F$ 随路程变化而变化的关系所描绘的曲线称为示功图. 在图 2.19 中, 阴影部分的面积等于力 $F_{\tau i}$ 在$d{s}_i$ 上做的元功. 曲线与边界线所围的面积就是变力 $F$ 在整个路程上所做的总功. 用示功图求功较为直接、方便, 所以工程上常采用此方法.

图2.19 变力做功的示功图

2. 功率

力在单位时间内做的功称为功率. 设力 $F$ 在 $\Delta t$ 时间内做的功为 $\Delta W$ ，则这段时间内力 $F$ 的平均功率为

$$\overline{P}=\frac{\Delta W}{\Delta t}$$

当 $\Delta t\to 0$ 时，则某一时刻力 $F$ 的瞬时功率为

$$P=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta W}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=F\cdot v\text{\hspace{1em}(2.27)}$$

即瞬时功率等于力和速度的内积. 在国际单位制中,功的单位名称是焦耳,简称焦,符号是$J$;功率的单位名称是瓦特,简称瓦,符号是$W$.1 W = 1 J/s.

3.保守力的功

下面通过分析重力、万有引力、弹性力做功的特点，引入保守力的概念.

1) 重力的功

这里讨论的重力是指地面附近几百米高度范围内的重力,故可视为恒力. 设质量为 $m$ 的质点在重力作用下由 $A$ 点沿任意路径移到 $B$ 点，如图 2.20($a$) 所示，选取地面为坐标原点，$z$ 轴垂直于地面，向上为正。重力只有 $z$ 轴方向的分量，即 $F_z=-mg$ ，应用式(2.26)，有

$$W={\int }_{z_0}^z{F}_z\mathrm{d}z={\int }_{z_0}^z-mg\mathrm{d}z=-(mgz-mg{z}_0)\text{\hspace{1em}(2.28)}$$

式(2.28)表明,重力的功只由质点相对于地面的始末位置 $z_0$ 和$z$决定,而与所通过的路径无关.

2) 万有引力的功

考虑质量分别为 $m$ 和 $M$ 的两个质点，质点 $m$ 相对于质点 $M$ 的初位置为 $r_A$ ，末位置为 $r_B$ ，如图 2.20($b$) 所示。质点 $m$ 受到质点 $M$ 的万有引力的矢量式为

$$F=-G\frac{mM}{r^2}{r}_0$$

式中， $r_0$ 表示质点 $m$ 相对于质点 $M$ 的位矢方向的单位矢量。则万有引力的元功为

$$\mathrm{d}W=\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=-G\frac{mM}{r^2}{\mathbf{r}}_0\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$$

因为矢量模的平方等于矢量自身的标积, 即 ${\left|A\right|}^2=A\cdot A$ , 所以 而 故有 同理，有

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}(A^2)& =\mathrm{d}(\mathbf{A}\cdot \mathbf{A})=2\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{A}\\ & \mathrm{d}(A^2)=2A\mathrm{d}A\\ & \mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{A}=A\mathrm{d}A\\ & \mathbf{r}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=r\mathrm{d}r\end{array}\text{\hspace{1em}(2.29)}$$

又考虑到 $r_0=\frac{r}{r}$ ，所以

$$\mathrm{d}W=-G\frac{mM}{r^2}\mathrm{d}r$$

于是质点 $m$ 由 $A$ 点移到 $B$ 点时, 万有引力做的功为

$$W={\int }_{r_A}^{r_B}-G\frac{mM}{r^2}\mathrm{d}r=-\left[\left(-G\frac{mM}{r_B}\right)-\left(-G\frac{mM}{r_A}\right)\right]\text{\hspace{1em}(2.30)}$$

这说明万有引力的功也只与始末位置有关，而与具体的路径无关.
($a$) 重力的功
($b$) 万有引力的功
图 2.20 重力与万有引力的功

3) 弹性力的功

如图 2.21 所示,选取弹簧自然伸长处为坐标原点,则当弹簧形变量为 $x$ 时,弹簧对质点的弹性力为

图2.21 弹性力的功

$$F=-kx$$

式中，负号表示弹性力的方向总是指向弹簧的平衡位置，即坐标原点. $k$ 为弹簧的刚度系数，单位是 $N/m$ 因为作用力只有 $x$ 轴分量，故由式(2.26）可得

$$W={\int }_{x_0}^x{F}_x\mathrm{d}x={\int }_{x_0}^x-kx\mathrm{d}x=-\left(\frac{1}{2}k{x}^2-\frac{1}{2}k{x}_0^2\right)\text{\hspace{1em}(2.31)}$$

这说明弹性力的功只与始末位置有关,而与弹簧的中间形变过程无关. 综上所述，重力、万有引力、弹性力的功的共同特点是，它们都只与物体的始末位置有关，而与具体路径无关。或者说，当在这些力作用下的物体沿任意闭合路径绕行一周时，它们的功值均为零。在物理学中，除了这些力，静电力、分子力等也具有这种特性，把具有这种特性的力统称为保守力。保守力可用下面的数学表达式来定义，即

$${\oint }_l{F}_{\mathrm{保}}\cdot \mathrm{d}r=0\text{\hspace{1em}(2.32)}$$

如果某力的功与路径有关,或该力沿任意闭合路径的功值不等于零,则称这种力为非保守力,如摩擦力、爆炸力等. 在离水面的高度为 $H$ 的岸上,有人用大小不变的力 $F$ 拉绳使船靠岸,如图 2.22 所示.求船从离岸 $x_1$ 处移到 $x_2$ 处的过程中,力 $F$ 对船所做的功.

解

由题意知,虽然力的大小不变,但其方向在不断变化,故仍然是变力做功. 如图 2.22 所示, 以岸边为坐标原点, 向左为 $x$ 轴正方向, 则力 $F$ 在坐标为 $x$ 处的任意一小段位移元 dx 上所做的元功为

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}W& =F\cdot \mathrm{d}x=F\cos \alpha (-\mathrm{d}x)\\ & =-F\frac{x}{\sqrt{x^2+H^2}}\mathrm{d}x\end{array}$$

由于 $x_1>x_2$ ，所以力 $F$ 做正功.

$$\begin{array}{rl}W& ={\int }_{x_1}^{x_2}-F\frac{x\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+H^2}}\\ & =F(\sqrt{H^2+x_1^2}-\sqrt{H^2+x_2^2})\end{array}$$

于是

图2.22 例2.9图

例 2.10

一质点所受外力 $F=(y^2-x^2)i+3xyj$ (SI)，求质点由点(0,0)运动到点(2,4)的过程中力 $F$ 所做的功：（1）先沿 $x$ 轴由点(0,0)运动到点(2,0)，再平行于 $y$ 轴由点(2,0)运动到点(2,4)；(2)沿连接(0,0)、(2,4)两点的直线运动；(3)沿抛物线 $y=x^2$ 由点(0,0)运动到点(2,4).

解

（1）由点 $(0,0)$ 沿 $x$ 轴运动到点 $(2,0)$ ，此时 y=0，dy=0，所以

$$W_1={\int }_0^2{F}_x\mathrm{d}x={\int }_0^2(-x^2)\mathrm{d}x=-\frac{8}{3}\mathrm{J}$$

(2) 因为由坐标原点到点 $(2,4)$ 的直线方程为 y = 2x，所以 由点(2,0)平行于 $y$ 轴运动到点(2,4)，此时 x=2，dx=0，故

$$\begin{array}{rl}W& ={\int }_0^2{F}_x\mathrm{d}x+{\int }_0^4{F}_y\mathrm{d}y\\ & ={\int }_0^2(4x^2-x^2)\mathrm{d}x+{\int }_0^4\frac{3}{2}{y}^2\mathrm{d}y=40\mathrm{J}\end{array}$$$$W_2={\int }_0^4{F}_y\mathrm{d}y={\int }_0^{4}6y\mathrm{d}y=48\mathrm{J}$$$$W=W_1+W_2=45\frac{1}{3}\mathrm{J}$$

(3) 因为 $y=x^2$ ，所以

$$W={\int }_0^2(x^4-x^2)\mathrm{d}x+{\int }_0^{4}3y^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}y=\frac{632}{15}\mathrm{J}$$

可见题中所示力是非保守力.

2.4.2 动能 动能定理

下面讨论力对物体做功后,物体的运动状态将发生的变化. 设有一质点沿任一曲线运动. 在曲线上任取一位移元 $\mathrm{d}r$ , 则力 $F$ 在这段位移元上的功为

$$\mathrm{d}W=\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{\mathrm{d}(m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t}\cdot \mathbf{v}\mathrm{d}t=m\mathbf{v}\cdot \mathrm{d}\mathbf{v}$$

与 $r\cdot dr$ 类似[见式(2.29)]，可得

$$\mathbf{v}\cdot \mathrm{d}\mathbf{v}=v\mathrm{d}v$$

所以

$$\mathrm{d}W=mv\mathrm{d}v=\mathrm{d}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)$$

若质点由初位置1处运动到末位置2处，其速率由 $v_1$ 增至 $v_2$ ，则有

$$W={\int }_1^2\mathrm{d}W={\int }_{v_1}^{v_2}\mathrm{d}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2$$

即

$${\int }_1^2\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2\text{\hspace{1em}(2.33)}$$

由式(2.33)可知,如果把 $\frac{1}{2}m{v}^2$ 看作一个独立的物理量,就可发现 $\frac{1}{2}m{v}^2$ 是与力在空间上的积累效应相联系的. $\frac{1}{2}m{v}^2$ 称为质点的动能.动能是标量,是与参考系的选择有关的相对量.如果令 $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$ ,则式(2.33)又可写成

$$W_{1-2}=E_{k2}-E_{k1}\text{\hspace{1em}(2.34)}$$

式(2.34)说明外力对质点所做的功等于质点动能的增量.式(2.33)就是质点动能定理的数学表达式.

例 2.11

一质量为 $10\mathrm{kg}$ 的物体沿 $x$ 轴无摩擦地滑动， $t=0$ 时物体静止于原点。（1）物体在力 $F=3+4t(\mathrm{N})$ 的作用下运动了 $3\mathrm{s}$ 时，它的速度增至多大？（2）物体在力 $F=3+4x(\mathrm{N})$ 的作用下移动了 $3\mathrm{m}$ 时，它的速度增至多大？

解

（1）由动量定理 ${\int }_0^{t}F\mathrm{d}t=mv$ ，得 (2) 由动能定理 ${\int }_0^{x}F\mathrm{d}x=\frac{1}{2}m{v}^2$ ，得

$$v={\int }_0^t\frac{F}{m}\mathrm{d}t={\int }_0^3\frac{3+4t}{10}\mathrm{d}t=2.7m/s$$$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{{\int }_0^x\frac{2F}{m}\mathrm{d}x}=\sqrt{{\int }_0^3\frac{2(3+4x)}{10}\mathrm{d}x}\\ & =2.3m/s\end{array}$$

2.4.3 势能

数字资源·势能的定义和意义

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在第1章已指出，描述质点机械运动状态的参量是位矢 $r$ 和速度 $v$ 。对应于状态参量 $v$ 引入了动能 $E_{\mathrm{k}}=E_{\mathrm{k}}(v)$ ，那么对应于状态参量 $r$ 可引入什么样的能量形式呢？下面讨论这个问题。 势能的定义和意义 在前面的讨论中已指出,保守力的功与质点运动的路径无关,仅取决于相互作用的两个物体的初态和末态的相对位置.如重力、万有引力、弹性力的功,其值分别为

$$\begin{array}{rl}& W_{\text{重}}=-(mgz-mg{z}_0)\\ & W_{\text{引}}=-\left[\left(-G\frac{mM}{r}\right)-\left(-G\frac{mM}{r_0}\right)\right]\\ & W_{\text{弹}}=-\left(\frac{1}{2}k{x}^2-\frac{1}{2}k{x}_0^2\right)\end{array}$$

可以看出，保守力做功的结果总是等于一个由相对位置决定的函数增量的负值。而功总是与能量的改变量相联系。因此，上述由相对位置决定的函数必定是某种能量的函数形式。现在将其称为势能函数，用 $E_p$ 表示。即

$${\int }_1^2{F}_{\mathrm{保}}\bullet \mathrm{d}r=-(E_{\mathrm{p}}-E_{p0})=-\Delta E_{\mathrm{p}}\text{\hspace{1em}(2.35)}$$

式(2.35)定义的只是势能之差,而不是势能函数本身.为了定义势能函数,可以将式(2.35)的定积分改写为不定积分,即

$$E_{\mathrm{p}}=-\int F_{\mathrm{保}}\cdot \mathrm{d}r+c\text{\hspace{1em}(2.36)}$$

式中，$c$ 是一个由系统的零势能点决定的积分常数. 式(2.36)表明只要已知一种保守力的力函数,即可求出与之相关的势能函数.例如,已知万有引力的力函数为

$$\mathbf{F}=-G\frac{mM}{r^2}{\mathbf{r}}_0$$

数字资源·潮汐

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那么由式(2.36)知,与万有引力相对应的势能函数为

$$E_{\mathrm{p}\text{引}}=-\int -G\frac{mM}{r^2}{r}_0\bullet \mathrm{d}r=-G\frac{mM}{r}+c$$

如果令 $r\to \infty$ 时 $E_{\mathrm{p}}$ 引 $=0$ ，则 $c=0$ .即取无穷远处为引力势能的零势能点时，引力势能函数为

$$E_{\mathrm{p}\mathrm{引}}=-G\frac{mM}{r}\text{\hspace{1em}(2.37)}$$

读者自己可以证明:若取离地面的高度 z = 0 的点为重力势能的零势能点(此时 c = 0),则重力势能函数为

$$E_{\mathrm{p}\text{重}}=mgz\text{\hspace{1em}(2.38)}$$

对于弹簧的弹性力, 若取弹簧自然伸长处为坐标原点和弹性势能的零势能点 (此时 c = 0), 则弹性势能函数为

$$E_{\mathrm{p}\mathrm{弹}}=\frac{1}{2}k{x}^2\text{\hspace{1em}(2.39)}$$

有关势能的几点讨论如下. （1）势能是相对量，其值与零势能点的选择有关。零势能点的选择不同，式(2.36)中常数 $c$ 就不同。上面的讨论说明，对于给定的保守力的力函数，只要选取适当的零势能点，总可使 $c=0$ 。在一般情况下，这时的势能函数较为简洁，如式(2.37)、式(2.38)、式(2.39)所示。需要说明的是，并非在任何情况下，式(2.36)中的积分常数都一定能为零，这一点在静电场中尤为突出。 （2）势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应于一种保守力的函数就可引进一种相关的势能函数。因此，势能函数的形式就不可能像动能那样有统一的表达式。 （3）势能由以保守力形式相互作用的物体系统所共有.例如，式(2.37)所表示的实际上是物体 $m,M$ 互以万有引力作用的结果；式(2.38)所表示的实际上是物体与地球互以重力作用的结果；式(2.39)所表示的是物体与弹簧以弹性力相互作用的结果.在平常的叙述中，说某物体具有多少势能，这只是一种简便叙述，不能认为势能是某一物体所有. （4）由于势能由相互以保守力作用的系统所共有，因此式(2.35)的物理意义可解释为：一对保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，当保守力做正功时，系统势能减少；当保守力做负功时，系统势能增加。

*2.4.4 势能曲线

将势能随相对位置变化的函数关系用一条曲线描绘出来,就是势能曲线.图 2.23($a$)、($b$)、($c$)分别给出的就是重力势能、弹性势能及引力势能的势能曲线. 势能曲线可提供多种信息. (1) 质点在轨迹上任意位置时,质点系所具有的势能值可由势能曲线读出. (2) 势能曲线上任意一点处切线的斜率 $\left(\mathrm{d}{E}_{\mathrm{p}}/\mathrm{d}l\right)$ 的负值, 表示质点在该处所受的保守力. 设有一保守系统，其中一质点沿 $x$ 轴方向做一维运动，则由式(2.36)有

$$\mathrm{d}{E}_{\mathrm{p}}=-F(x)\mathrm{d}x$$

故可知
($a$) 重力势能的势能曲线

$$F(x)=-\frac{\mathrm{d}{E}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}x}\text{\hspace{1em}(2.40)}$$

($b$) 弹性势能的势能曲线
图 2.23 势能曲线
) 引力势能的势能曲线 势能函数取极值时，势能曲线的切线斜率为零，物体在相应位置受力为零，这些位置即为平衡位置。进一步的理论指出，势能曲线的极大值点是不稳定平衡位置，势能曲线的极小值点是稳定平衡位置，如图 2.24所示[图 2.24($c$) 引力势能的势能曲线 势能函数取极值时，势能曲线的切线斜率为零，物体在相应位置受力为零，这些位置即为平衡位置。进一步的理论指出，势能曲线的极大值点是不稳定平衡位置，势能曲线的极小值点是稳定平衡位置，如图2.24所示[图2.24($c$)表示随遇平衡位置]。
($a$) 稳定平衡位置
($b$) 不稳定平衡位置 图 2.24 势能曲线的极值点与平衡位置的对应关系 若质点做三维运动，则有
($c$) 随遇平衡位置
图 2.24 势能曲线的极值点与平衡位置的对应关系 若质点做三维运动，则有

$$\mathbf{F}=F_x\mathbf{i}+F_y\mathbf{j}+F_z\mathbf{k}=-\left(\frac{\partial E_{\mathrm{p}}}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial E_{\mathrm{p}}}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial E_{\mathrm{p}}}{\partial z}\mathbf{k}\right)\text{\hspace{1em}(2.41)}$$

这是直角坐标系中由势能函数求保守力的一般式.

例 2.12

一刚度系数为 $k$ 的轻弹簧，下悬一质量为 $m$ 的物体而处于静止状态。今以该平衡位置为坐标原点，并作为系统的重力势能和弹性势能的零势能点，那么当物体 $m$ 偏离平衡位置的位移为 $x$ 时，整个系统的总势能为多少？

解

题中所指系统是由地球、弹簧、物体 $m$ 所组成的系统. 为便于叙述, 以弹簧原长处 (即自然伸长处) 为坐标原点 $O^{\prime }$ , 并以向下为 $x$ 轴正方向 (见图 2.25), 则当物体 $m$ 位于平衡位置 $O$ 点时, 其坐标值为

$$x_1^{\prime }=\frac{mg}{k}$$

由势能函数的定义可知,弹性势能为

$$E_{\mathrm{p}\mathrm{弹}}=\frac{1}{2}k{x}^{\prime 2}+c$$

根据题意,物体 $m$ 在 $O$ 点时 $E_{p弹}=0$ , 所以 $c=-\frac{1}{2}k{x}_1^{\prime 2}$ . 即以 $O$ 点为弹性势能的零势能点时, 系统的弹性势能表达式为

$$E_{\mathrm{p}\mathrm{弹}}=\frac{1}{2}k{x}^{\prime 2}-\frac{1}{2}k{x}_1^{\prime 2}$$

图2.25 例2.12图

当物体 $m$ 到 $O$ 点的距离为 $x$ 时，它相对于 $O^{\prime }$ 点的坐标 $x^{\prime }=x+x_1^{\prime }$ ，所以此时系统的弹性势能为

$$E_{\mathrm{p}\mathrm{弹}}=\frac{1}{2}k(x+x_1^{\prime }{)}^2-\frac{1}{2}k{x}_1^{\prime 2}$$$$=\frac{1}{2}k{x}^2+k{x}_1^{\prime }x=\frac{1}{2}k{x}^2+mgx$$

同时，题中又设 $O$ 点处重力势能为零，故 $x$ 处的重力势能为

$$=\frac{1}{2}k{x}^2$$$$E_{\mathrm{p}\text{重}}=-mgx$$

则总势能为

$$E_{\mathrm{p}}=E_{\mathrm{p}\mathrm{弹}}+E_{\mathrm{p}\mathrm{重}}=\frac{1}{2}k{x}^2+mgx-mgx$$

这说明，对于竖直悬挂的弹簧，若以平衡位置为坐标原点及重力势能、弹性势能的零势能点，则此系统的总势能（或称系统的振动势能）为 $\frac{1}{2}k{x}^2$ 。这种处理方法在讨论弹簧振子的简谐振动能量时极为方便。

2.4.5 质点系的动能定理与功能原理

设一质点系有 $n$ 个质点，现考察第 $i$ 个质点.由2.3节可知，质点 $i$ 所受合力为 $F_{i\text{外}}+{\sum }_{j=1,j\ne i}^n{f}_{ji}$ ，则对质点 $i$ 应用动能定理有

数字资源·质点系的动能定理与功能原理

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原理

$${\int }_1^2{F}_{i\text{外}}\bullet \mathrm{d}{r}_i+\int \sum _{j=1,j\ne i}^n{f}_{ji}\bullet \mathrm{d}{r}_i=\frac{1}{2}{m}_i{v}_{i2}^2-\frac{1}{2}{m}_i{v}_{i1}^2$$

对所有质点求和可得

$$\sum _{i=1}^n{\int }_1^2{F}_{i\text{外}}\bullet \mathrm{d}{r}_i+\sum _{i=1}^n{\int }_{j=1,j\ne i}^{{\sum }_{j=1,j\ne i}^n}{f}_{ji}\bullet \mathrm{d}{r}_i=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{m}_i{v}_{i2}^2-\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{m}_i{v}_{i1}^2\text{\hspace{1em}(2.42)}$$

式 $(2.42)$ 便是质点系的动能定理的数学表达式.

在式(2.42)中, 不能先求合力, 再求合力的功. 这是因为在质点系内各质点的位移 $d{r}_i$ 是不同的, 不能作为公因子提到求和符号之外. 因此, 在计算质点系的功时, 只能先求每个力的功, 再对这些功求和. 在质点系内, 内力总是成对出现. 可以把内力分为保守内力和非保守内力. 于是内力的功可分为两部分, 即保守内力的功和非保守内力的功, 现分别用 $W_{内保}$ 和 $W_{内非}$ 表示. 如果再用 $W_{外}$ 表示质点系外力的功, 用 $E_k$ 表示质点系的总动能, 则式(2.42) 可表示为

$$W_{\mathrm{外}}+W_{\mathrm{内非}}+W_{\mathrm{内保}}=E_{k2}-E_{k1}\text{\hspace{1em}(2.43)}$$

即质点系总动能的增量等于外力的功、质点系内保守内力的功和质点系内非保守内力的功三者之和，这称为质点系的动能定理. 考虑到一对保守内力的功之和等于相关势能增量的负值,即有 $W_{内保}=-\Delta E_p=-(E_{p2}-E_{p1})$ (式中 $E_p$ 表示系统内各种势能的和),则式(2.43)又可进一步表示成

$$W_{\mathrm{外}}+W_{\mathrm{内非}}=(E_{k2}-E_{k1})+(E_{p2}-E_{p1})\text{\hspace{1em}(2.44)}$$

如果令

$$E=E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}}\text{\hspace{1em}(2.45)}$$

表示系统的机械能,则有

$$W_{\mathrm{外}}+W_{\mathrm{内非}}=E_2-E_1\text{\hspace{1em}(2.46)}$$

这就是质点系的功能原理的数学表达式. 即系统机械能的增量等于外力所做的功与非保守内力所做的功之和. 顺便指出,由于势能的大小与零势能点的选择有关,因此在运用功能原理解题时,应先指明系统的范围,并确定零势能点.

例 2.13

一轻弹簧的一端系于固定斜面的上端，另一端连着质量为 $m$ 的物块（见图 2.26），物块与斜面的滑动摩擦系数为 $\mu$ ，弹簧的刚度系数为 $k$ ，斜面倾角为 $\theta$ ，今将物块由弹簧的自然长度拉伸 $l$ 后由静止释放，物块开始运动，物块第一次静止在什么位置上？

解

以弹簧、物块、地球为系统，取弹簧自然伸长处为坐标原点，沿斜面向下为 $x$ 轴正方向，且以坐标原点为弹性势能和重力势能的零势能点，则由功能原理[式(2.46)]，在物块向上滑至 $x$ 处时，有

$$\left(\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2-mgx\sin \theta \right)-\left(\frac{1}{2}k{l}^2-mgl\sin \theta \right)$$$$=-\mu mg\cos \theta (l-x)$$

图2.26 例2.13图

物块静止位置与 $v=0$ 对应，故有 解得

$$\frac{1}{2}k{x}^2-mgx(\sin \theta +\mu \cos \theta )+$$$$x=\frac{2mg(\sin \theta +\mu \cos \theta )}{k}-l$$$$mgl(\sin \theta +\mu \cos \theta )-\frac{1}{2}k{l}^2=0$$

方程的另一根 x = l，即初始位置，舍去。

2.4.6 机械能守恒定律

由功能原理[式(2.46)]可知： 若 $W_{外}+W_{内非}>0$ ，则系统的机械能增加； 若 $W_{外}+W_{内非}<0$ ，则系统的机械能减少； 若 $W_{外}+W_{内非}=0$ ，则系统的机械能保持不变。 现考虑 $W_{外}=0$ 的情况. 若 $W_{内非}>0$ ，则系统的机械能增加。如炸弹爆炸，人从静止开始走动，就属于这种情形（这里伴随有其他形式能量转化为机械能的过程）。 若 $W_{内非}<0$ ，则系统的机械能减少。如克服摩擦力做功，这样的非保守力常称为耗散力（这时伴随有机械能转化为其他形式能量的过程）。 若 $W_{内非}=0$ ，则系统的机械能守恒。 由以上分析可知,当系统所受合外力所做的功及非保守内力所做的功均为零时,系统的机械能保持不变.这就是机械能守恒定律. 当系统的机械能守恒时,有 或 即

$$\begin{array}{rl}& E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}\\ & E_{p2}-E_{p1}=-(E_{k2}-E_{k1})\\ & \Delta E_{\mathrm{p}}=-\Delta E_{\mathrm{k}}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.47)}$$

(2.48) 这表明系统势能的增量等于系统动能减少的量.

2.4.7 能量守恒定律

上面的讨论已指出，当 $W_{\text{外}}=0,W_{\text{内非}}\ne 0$ 时，虽然系统与外界无机械能的交换，但系统的机械能仍不守恒。那么，系统增加（或减少）的机械能是从何处来的（或向何处去了）呢？现在讨论 $W_{\text{外}}=0$ 的孤立系统情况。 大量事实证明,在孤立系统内,若系统的机械能发生了变化,必然伴随着等值的其他形式能量(如内能、电磁能、化学能、生物能及核能等)的增加或减少.这说明能量既不能消失也不会创生,只能从一种形式转化成另一种形式.也就是说,在一个孤立系统内,不论发生何种变化过程,各种形式的能量之间怎样转化,系统的总能量都将保持不变.这就是能量守恒定律.

数字资源·时空对称性与守恒定律

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时空对称性和守恒定律 能量守恒定律是自然界中的普遍规律. 它不仅适用于物质的机械运动、热运动、电磁运动、核子运动等物理运动形式, 而且适用于化学运动、生物运动等运动形式. 由于运动是物质的存在形式, 而能量又是物质运动的量度, 因此, 能量守恒定律的深刻含义是, 运动既不能消失也不能创造, 它只能由一种形式转化为另一种形式. 能量的守恒在数量上体现了运动的守恒.

例 2.14

在光滑的水平台面上放有质量为 $M$ 的沙箱，一颗从左方飞来的质量为 $m$ 的子弹从沙箱左侧击入，在沙箱中前进一段距离 $l$ 后停止。在这段时间内沙箱向右运动的距离为 $\xi$ ，此后沙箱带着子弹匀速运动。求此过程中内力所做的功。（假定子弹所受阻力为一恒力）

解

如图 2.27 所示, 设子弹对沙箱的作用力为 $f^{\prime }$ , 沙箱的位移大小为 $\xi$ ; 沙箱对子弹的作用力为 $f$. 子弹的位移大小为 $\xi +l,f=-f^{\prime }$ . 则这一对内力做的功为 功之和不为零，它等于子弹与沙箱组成的系统的机械能的损失。损失的机械能转化为热能。

$$W=-f(\xi +l)+f^{\prime }\xi =-fl\ne 0$$

说明 沙箱对子弹做的功 $-f(\xi +l)$ 与子弹对沙箱做的功 $f^{\prime }\xi =-f\xi$ 两者不相等；而这一对内力做的

图2.27 例2.14图

关于一对内力做的功之和的一般证明： 考虑质点系内第 $i$ 个质点和第 $j$ 个质点，设质点 $j$ 对质点 $i$ 的作用力为 ${\mathbf{F}}_{ji}$ ，质点 $i$ 对质点 $j$ 的作用力为 ${\mathbf{F}}_{ij}$ 。当 $i$ 和 $j$ 两个质点运动时，这一对作用与反作用内力均要做功。这两个力所做的元功之和应为

$$\mathrm{d}W={\mathbf{F}}_{ji}\cdot \mathrm{d}{\mathbf{r}}_i+{\mathbf{F}}_{ij}\cdot \mathrm{d}{\mathbf{r}}_j$$

由 $F_{ij}=-F_{ji}$ 可以得到

$$\mathrm{d}W={\mathbf{F}}_{ji}\cdot (\mathrm{d}{\mathbf{r}}_i-\mathrm{d}{\mathbf{r}}_j)={\mathbf{F}}_{ji}\cdot \mathrm{d}({\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j)={\mathbf{F}}_{ji}\cdot \mathrm{d}{\mathbf{r}}_{ij}$$

式中， $r_i$ 和 $r_j$ 分别为 $i$ 和 $j$ 两个质点对参考系坐标原点的位矢， $r_{ij}$ 是质点 $i$ 对质点 $j$ 的相对位矢， $d{r}_i$ 和 $d{r}_j$ 则分别是两个质点的位移元， $d{r}_{ij}$ 为两个质点间的相对位移元（见图 2.28）.

图2.28 一对内力做功之和

由以上讨论可得到两点结论： （1）由于 $d{r}_i$ 与 $d{r}_j$ 不一定相同， $d{r}_{ij}$ 一般不为零，故一对内力的元功之和一般不为零，一对内力做的功之和一般也不为零； (2) 因相对位矢 $r_{ij}$ 及相对位移元 $d{r}_{ij}$ 与参考系无关, 故一对内力做的功之和也与参考系的选择无关.

例 2.15

如图 2.29 所示, 一链条长为 $l$, 质量为 $m$, 放在桌面上并使其一部分下垂, 下垂部分的长度为 $a$. 设链条与桌面间的滑动摩擦系数为 $\mu$ , 令链条从静止开始运动. (1) 从开始运动到链条离开桌面的过程中, 摩擦力对链条做了多少功? (2) 链条离开桌面时的速率是多少?

解

（1）建立坐标系，如图 2.29所示.设某时刻链条下垂部分的长度为 $x$ ，则保留在桌面上的长度为 $l-x$ ，剩余长度所受摩擦力 $f=\mu mg(l-x)/l$ ，方向与滑动方向相反. 在链条滑落过程中,摩擦力做的功为

$$\begin{array}{rl}{W}_f& ={\int }_a^l\left[-\mu ng(l-x)\mathrm{d}x\right]/l\\ & =-{\left[\frac{\mu ng}{l}\left(lx-\frac{1}{2}{x}^2\right)\right]}_a^l\\ & =-\frac{\mu ng}{2l}(l-a{)}^2\end{array}$$

（2）链条所受重力、摩擦力两个力做功，依据动能定理，则有

$$\sum W=W_G+W_f=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$$

而在滑落过程中,重力做的功为

例 2.16

试分析航天器的三种宇宙速度.

解

（1）第一宇宙速度.航天器绕地球运动所需的最小速度，称为第一宇宙速度.以地心为坐标原点，航天器在距地心 $r$ 处绕地球做圆周运动的速度为 $v_1$ ，则有

$$G\frac{m{M}_{\mathrm{地}}}{r^2}=m\frac{v_1^2}{r}$$$$v_1=\sqrt{G\frac{M_{\mathrm{地}}}{r}}=\sqrt{\frac{R^2}{r}{g}_0}$$

式中，$m$ 为航天器的质量， $M_{地}$ 为地球的质量，$R$ 为地球半径， $g_0=G\frac{M_{地}}{R^2}$ 为地球表面处的重力加速度。若 r=R，则 图2.29 例2.15图

$$v_1=\sqrt{R{g}_0}\approx 7.9km/s$$

这就是第一宇宙速度. (2) 第二宇宙速度. 在地球表面处的航天器要脱离地球引力范围所需的最小速度, 称为第二宇宙速度.

$$W_G={\int }_a^l\frac{mg}{l}x\mathrm{d}x=\frac{mg(l^2-a^2)}{2l}$$

又 $v_0=0$ ，则

$$\sum W=\frac{mg(l^2-a^2)}{2l}-\frac{\mu mg(l-a{)}^2}{2l}=\frac{1}{2}m{v}^2$$

解得链条离开桌面时的速率为 以地球和航天器为系统，航天器在地球表面处的引力势能为 $-G\frac{m{M}_{地}}{R}$ ，动能为 $\frac{1}{2}m{v}_2^2$ ，航天器能脱离地球时，地球的引力可忽略不计，系统势能为零，动能的最小量为零，由机械能守恒定律，有

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2}m{v}_2^2-G\frac{m{M}_{\mathrm{地}}}{R}=0\\ & v_2=\sqrt{2R{g}_0}=\sqrt{2}{v}_1\approx 11.2km/s\end{array}$$

这就是第二宇宙速度. （3）第三宇宙速度. 在地球表面发射的航天器, 能逃逸出太阳系所需的最小速度, 称为第三宇宙速度. 作为近似处理, 可分两步进行: 第一步, 从地球表面把航天器送出地球引力圈, 在此过程中略去太阳引力, 这一步的计算方法与分析第二宇宙速度类似, 所不同的是航天器还必须有剩余动能 $\frac{1}{2}m{v}^2$ , 因此有

$$\frac{1}{2}m{v}_3^2-G\frac{m{M}_{\mathrm{地}}}{R}=\frac{1}{2}m{v}^2$$

由前面的讨论知: $G\frac{m{M}_{地}}{R}=\frac{1}{2}m{v}_2^2$ ，代入上式，有 $v_3^2=v_2^2+v^2$ . 第二步,航天器由脱离地球引力圈的地点(近似为地球公转的轨道上)出发,继续运动,逃离太阳系,在此过程中,忽略地球的引力.以太阳为参考系,地球绕太阳的公转速度(相当于计算地球相对于太阳的第一宇宙速度)为

$$v_1^{\prime }=\sqrt{G\frac{M_{\mathrm{太}}}{r_0}}\approx 30km/s$$

式中， $M_{\text{太}}$ 为太阳的质量， $r_0$ 为太阳中心到地球中心的距离。航天器逃离太阳引力范围所需的速度（相当于计算地球相对于太阳的第二宇宙速度）为

$$\frac{1}{2}m{v}_2^{\prime 2}-G\frac{m{M}_{\mathrm{太}}}{r_0}=0$$$$v_2^{\prime }=\sqrt{\frac{2G{M}_{\mathrm{太}}}{r_0}}=\sqrt{2}{v}_1^{\prime }\approx 42.4km/s$$

为了充分利用地球的公转速度,必须使航天器在第二步开始时的速度沿公转方向,这样,在第二步开始时,航天器所需的相对地球速度为

$$v=v_2^{\prime }-v_1^{\prime }=12.4km/s$$

这就是第一步航天器所需的剩余动能所对应的速度. 因此 即

$$\begin{array}{rl}{v}_3^2& =v_2^2+v^2=11.2^2{\mathrm{km}}^2/{\mathrm{s}}^2+12.4^2{\mathrm{km}}^2/{\mathrm{s}}^2\\ & =16.7^2{\mathrm{km}}^2/{\mathrm{s}}^2\\ & v_3=16.7\mathrm{km}/\mathrm{s}\end{array}$$

这就是第三宇宙速度. 以上三种宇宙速度仅为理论上的最小速度,没有考虑空气阻力的影响.