第5章 习题（解答题）

解答题

习题 5.3.1

符合什么规律的运动才是简谐振动？分别分析下列运动是不是简谐振动. (1) 拍皮球时球的运动； (2) 如题 5.3.1 图所示, 一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动 (设小球所经过的弧线很短).
题5.3.1图

习题 5.3.2

弹簧振子的振幅增大到原振幅的 2 倍时, 其振动周期、振动能量、最大速度和最大加速度等物理量将如何变化?

习题 5.3.3

单摆的周期受哪些因素影响？把某一单摆由赤道拿到北极去，它的周期是否变化？

习题 5.3.4

简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的？在什么情况下是异号的？加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增大？

习题 5.3.5

质量为 $10\times 10^{-3}$ kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按 $x=0.1\cos \left(8\pi t+\frac{2\pi }{3}\right)$ (SI) 的规律做简谐振动. (1) 求振动的周期、振幅、初相位及速度与加速度的最大值； (2) 求最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等？ (3) 求 $t_2=5s$ 与 $t_1=1s$ 两个时刻的相位差.

习题 5.3.6

一个沿 $x$ 轴做简谐振动的弹簧振子, 振幅为 $A$, 周期为 $T$, 其振动方程用余弦函数表示. 如果 t = 0 时质点的状态分别是: (1) $x_0=-A$ ; (2) 过平衡位置向 $x$ 轴正方向运动； (3) 过 $x=\frac{A}{2}$ 处且向 $x$ 轴负方向运动； (4) 过 $x=-\frac{A}{\sqrt{2}}$ 处且向 $x$ 轴正方向运动. 试求出相应的初相位，并写出振动方程.

习题 5.3.7

一质量为 $10\times 10^{-3}$ kg 的物体做简谐振动，振幅为 24 cm，周期为 4.0 s，当 t = 0 时位移为 +24 cm。求： (1) t = 0.5 s 时, 物体所在的位置及此时所受力的大小和方向; (2) 由起始位置运动到 x = 12 cm 处所需的最短时间； (3) 在 $x=12cm$ 处物体的总能量.

习题 5.3.8

有一轻弹簧,下面悬挂质量为 1.0 g 的物体时,伸长量为 4.9 cm. 用这个弹簧和一个质量为 8.0 g 的小球构成弹簧振子,将小球由平衡位置向下拉开 1.0 cm 后,给予向上的初速率 $v_0=5.0cm/s$ , 求振动周期和振动方程.

习题 5.3.9

题 5.3.9 图所示为两个简谐振动的 x-t 曲线，试分别写出其简谐振动方程.
($a$)
($b$)
题5.3.9图

习题 5.3.10

有一单摆，摆长 $l=1.0\mathrm{m}$ ，摆球质量 $m=10\times 10^{-3}\mathrm{kg}$ ，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量 $F\Delta t=1.0\times 10^{-4}\mathrm{kg}\cdot m/s$ ，取打击时刻为计时起点（ $t=0$ ），求振动的初相位和角振幅，并写出小球的振动方程。

习题 5.3.11

有两个同方向同频率的简谐振动 $A$ 和 $B$，其合振动的振幅为 0.20 m，相位与简谐振动 $A$ 的相位差为 $\frac{\pi }{6}$ ，已知简谐振动 $A$ 的振幅为 0.173 m，求简谐振动 $B$ 的振幅，以及简谐振动 $A$ 和 $B$ 的相位差。

习题 5.3.12

试用最简单的方法求出下列两组简谐振动合成后所得合振动的振幅：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=5\cos \left(3t+\frac{\pi }{3}\right)\mathrm{cm}\\ x_2=5\cos \left(3t+\frac{7\pi }{3}\right)\mathrm{cm}\end{array}$$$$\{\begin{array}{l}{x}_1=5\cos \left(3t+\frac{\pi }{3}\right)\mathrm{cm}\\ x_2=5\cos \left(3t+\frac{4\pi }{3}\right)\mathrm{cm}\end{array}$$

习题 5.3.13

一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,振动方程为 $\{\begin{array}{l}{x}_1=0.4\cos \left(2t+\frac{\pi }{6}\right)\mathrm{m}\\ x_2=0.3\cos \left(2t-\frac{5}{6}\pi \right)\mathrm{m}\end{array}$ 试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振幅和初相位,并写出合振动方程.

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