8.4 绝热过程

8.4.1 绝热过程

在系统不与外界交换热量的条件下,系统的状态变化过程叫作绝热过程.绝热过程的特征是在任意微过程中,dQ=0.一个被良好的绝热材料所包围的系统,或由于过程进行得很快,系统来不及和外界交换热量的过程,如内燃机中的爆炸过程等,都可近似地看作准静态绝热过程. 由于绝热过程 dQ = 0，所以根据热力学第一定律，系统对外界做的功为

$$p\mathrm{d}V=-\mathrm{d}E$$

由此可见，绝热过程中系统对外界做功是以系统内能的减少为代价的。在气体由初态（温度为 $T_1$ ）绝热地膨胀到末态（温度为 $T_2$ ）的过程中，气体对外界做的功为

$${\int }_{V_1}^{V_2}p\mathrm{d}V=-\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}}{C}_{V,\mathrm{m}}(T_2-T_1)\text{\hspace{1em}(8.19)}$$

从式(8.19)可看出,当气体绝热膨胀对外界做功时,气体的内能减少,温度要降低,而压强也在减小,所以绝热过程中,气体的温度、压强、体积3个参量同时改变.可以证明(推导过程在下面讨论),对于理想气体的绝热准静态过程,在$p$、$V$、T3个参量中,每两个量之间的关系为

$$p{V}^{\gamma }=\mathrm{恒量}\text{\hspace{1em}(8.20)}$$ $$T{V}^{\gamma -1}=\mathrm{恒量}\text{\hspace{1em}(8.21)}$$ $$p^{\gamma -1}{T}^{-\gamma }=\mathrm{恒量}\text{\hspace{1em}(8.22)}$$

这些方程均称为绝热过程方程,简称绝热方程.式中,指数 $\gamma$ 为理想气体的摩尔热容比 $(C_{p,\mathrm{m}}/C_{V,\mathrm{m}})$ ,这也是工程上将 $\gamma$ 称为绝热系数的原因.3个方程中的各恒量均不相同,使用时可根据实际情况选取一个公式. 在 p-V 图上的绝热曲线是根据绝热方程 $p{V}^{\gamma }=$ 恒量作出的. 图 8.10 点的同一气体的等温线. 由图 8.10 可以看出, 通过同一点的绝热线比等温线陡, 下面对两条曲线的交点 $A$ 点的同一气体的等温线. 由图 8.10 可以看出, 通过同一点的绝热线比等温线陡, 下面对两条曲线的交点 $A$ 处斜率的计算, 证实了这一点. 等温线: 由 pV = C ($C$ 为常数), 两边取微分, 整理后得斜率为

图 8.10 绝热线比等温线陡

$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}{V}_T}=-\frac{p}{V}$$

$A$ 处的斜率为

$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}{V}_T}=-\frac{p_A}{V_A}$$

绝热线:由 $p{V}^{\gamma }=C$ ($C$ 为常数),两边取微分,整理后得斜率为

$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}{V}_s}=-\gamma \frac{p}{V}$$

$A$ 处的斜率为

$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}{V}_s}=-\gamma \frac{p_A}{V_A}$$

由于 $\gamma >1$ ，比较两式，所以绝热线比等温线陡。究其物理原因，等温过程中压强的减小量 $\Delta p_T$ ，仅是体积增大所致，而在绝热过程中压强的减小量 $\Delta p_S$ ，是由体积增大，同时温度降低两个原因所致，所以 $\Delta p_S$ 的值比 $\Delta p_T$ 的值大。

*8.4.2 绝热方程的推导

根据热力学第一定律及绝热过程的特征 $(\mathrm{d}Q=0)$ ，可得

$$p\mathrm{d}V=-\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}}{C}_{V,\mathrm{m}}\mathrm{d}T$$

将理想气体状态方程 $pV=\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}}RT$ 两边取微分，得

$$p\mathrm{d}V+V\mathrm{d}p=\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}}R\mathrm{d}T$$

将上述两个方程联立并消去 $\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}}\mathrm{d}T$ ，得

$$(C_{V,\mathrm{m}}+R)p\mathrm{d}V=-C_{V,\mathrm{m}}V\mathrm{d}p$$

因为 $C_{p,\mathrm{m}}=C_{V,\mathrm{m}}+R,\gamma =C_{p,\mathrm{m}}/C_{V,\mathrm{m}}$ ，则有

$$\frac{\mathrm{d}p}{p}+\gamma \frac{\mathrm{d}V}{V}=0$$

将上式两边积分, 得

$$\ln p+\gamma \ln V=\text{ 恒量 }$$

或

$$p{V}^{\gamma }=\text{ 恒量 }$$

这就是绝热方程(8.20).应用 $pV=\frac{M}{M_{mol}}RT$ 和上式分别消去$p$或$V$可得

$$T{V}^{\gamma -1}=\mathrm{恒量}$$ $$p^{\gamma -1}{T}^{-\gamma }=\text{恒量}$$

例 8.1

1 mol 单原子理想气体，由状态 $a(p_1,V_1)$ ，先等容加热至压强增大 1 倍，再等压加热至体积增大 1 倍，最后经绝热膨胀，其温度降至初始温度，如图 8.11 所示。试求： (1) 状态 $d$ 的体积 $V_d$ ; (2) 整个过程对外界做的功； (3) 整个过程吸收的热量.

解

（1）根据理想气体状态方程 $T_a=\frac{p_1{V}_1}{R}$ ，依题意有

$$T_d=T_a=\frac{p_1{V}_1}{R},T_c=\frac{p_c{V}_c}{R}$$$$T_c=\frac{2p_1\cdot 2V_1}{R}=\frac{4p_1{V}_1}{R}=4T_a$$

图8.11 例8.1图

$c$ 点与 $d$ 点在同一绝热线上，由绝热方程

$$T_c{V}_c^{\gamma -1}=T_d{V}_d^{\gamma -1}$$

(3) 计算整个过程吸收的总热量有两种方法.

$$W=W_{ab}+W_{bc}+W_{cd}=\frac{13}{2}{p}_1{V}_1$$

整个过程对外界做的总功为 方法一:根据整个过程吸收的总热量等于各分过程吸收热量的和,先求各分过程吸收的热量,则 得

$$Q_{ab}=C_{V,\mathrm{m}}(T_b-T_a)=\frac{3}{2}R(T_b-T_a)=\frac{3}{2}{p}_1{V}_1$$$$V_d={\left(\frac{T_c}{T_d}\right)}^{\frac{1}{\gamma -1}}{V}_c=4^{\frac{1}{1.67-1}}\times 2V_1=15.8V_1$$$$Q_{bc}=C_{p,\mathrm{m}}(T_c-T_b)=\frac{5}{2}R(T_c-T_b)$$

(2) 先求各分过程的功, 即

$$W_{ab}=0$$$$\begin{array}{rl}& W_{bc}=2p_1(2V_1-V_1)=2p_1{V}_1\\ & W_{cd}=-\Delta E_{cd}=-C_{V,\mathrm{m}}(T_d-T_c)\\ & =C_{V,\mathrm{m}}(T_c-T_d)=\frac{3}{2}R(4T_a-T_a)\\ & =\frac{9}{2}R{T}_a=\frac{9}{2}{p}_1{V}_1\end{array}$$$$\frac{5}{2}(p_c{V}_c-p_b{V}_b)=5p_1{V}_1$$$$Q_{cd}=0$$

所以

$$Q=Q_{ab}+Q_{bc}+Q_{cd}=\frac{13}{2}{p}_1{V}_1$$

方法二：对 abcd 整个过程应用热力学第一定律，得

$$Q_{abcd}=\Delta E_{ad}+W_{abcd}$$

依题意，由于 $T_a=T_d$ ，故 $\Delta E_{ad}=0$ ，则

$$Q_{abcd}=W_{abcd}=\frac{13}{2}{p}_1{V}_1$$

例 8.2

某理想气体的 p-V 关系如图 8.12 所示，由初态 $a$ 经准静态过程（直线 ab）变到末态 $b$。已知该理想气体的定容摩尔热容 $C_{V,m}=3R$ ，求该理想气体在 ab 过程中的摩尔热容。

解

$a\to b$ 过程的方程为

$$\frac{p}{V}=\tan \theta (\text{ 恒量 })\text{\hspace{1em}(1◯)}$$

设该过程的摩尔热容为 $C_{\mathrm{m}}$ ，则对 $1\mathrm{mol}$ 理想气体，有

$$C_{\mathrm{m}}\mathrm{d}T=C_{V,\mathrm{m}}\mathrm{d}T+p\mathrm{d}V$$$$pV=RT\text{\hspace{1em}(2◯)}$$

③ 由式 ① 与式 ③ 联立得 $V^2\tan \theta =RT$ ，两边微分，得

图8.12 例8.2图

$$2p\mathrm{d}V=R\mathrm{d}T$$

代入式 ②, 有

$$C_{\mathrm{m}}\mathrm{d}T=C_{V,\mathrm{m}}\mathrm{d}T+\frac{1}{2}R\mathrm{d}T$$

所以

$$C_{\mathrm{m}}=C_{V,\mathrm{m}}+\frac{1}{2}R=\frac{7}{2}R$$