第4章 习题（解答题）

解答题

习题 4.3.1

惯性系 $S^{\prime }$ 相对另一惯性系 $S$ 沿 $x$ 轴做匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点。在 $S$ 系中测得两事件的时空坐标分别为 $x_1=6\times 10^4$ m, $t_1=2\times 10^{-4}$ s，以及 $x_2=12\times 10^4$ m, $t_2=1\times 10^{-4}$ s。已知在 $S^{\prime }$ 系中测得这两事件同时发生。试问： (1) $S^{\prime }$ 系相对 $S$ 系的速度是多少？ (2) $S^{\prime }$ 系中测得的两事件的空间间隔是多少？

习题 4.3.2

长度 $l_0=1m$ 的米尺静止于 $S^{\prime }$ 系中，与 $x^{\prime }$ 轴的夹角 ${\theta }^{\prime }=30^{\circ }$ ， $S^{\prime }$ 系相对 $S$ 系沿 $x$ 轴运动，在 $S$ 系中观测者测得米尺与 $x$ 轴的夹角 $\theta =45^{\circ }$ 。试求： (1) $S^{\prime }$ 系和 $S$ 系的相对运动速度； (2) S 系中测得的米尺长度.

习题 4.3.3

两个惯性系中的观察者 $O$ 和 $O$’ 以 0.6c ($c$ 表示真空中的光速) 的相对速度相互接近, 如果观察者 $O$ 测得两人的初始距离是 20 m, 则观察者 $O$’ 测得两人经过多长时间相遇?

习题 4.3.4

观测者甲、乙分别静止于两个惯性系 $S$ 和 $S^{\prime }$ 中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4 s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5 s。求： (1) $S^{\prime }$ 系相对于$S$系的运动速度；

习题 4.3.5

6 000 m 的高空大气层中产生了一个 $\pi$ 介子，以速率 v = 0.998c 飞向地球。假定该 $\pi$ 介子在其自身的静止系中的寿命等于其平均寿命 $2\times 10^{-6}$ s。试分别从地球上的观测者和 $\pi$ 介子静止系中的观测者来判断该 $\pi$ 介子能否到达地球。

习题 4.3.6

设物体相对 $S^{\prime }$ 系沿 $x^{\prime }$ 轴正方向以速率 0.8c 运动，如果 $S^{\prime }$ 系相对 $S$ 系沿 $x$ 轴正方向的速率也是 0.8c，则物体相对 $S$ 系的速率是多少？

习题 4.3.7

飞船 $A$ 以 0.8c 的速率相对地球向正东飞行，飞船 $B$ 以 0.6c 的速率相对地球向正西飞行。当两飞船即将相遇时，飞船 $A$ 在自己的天窗处相隔 2 s 发射两颗信号弹。在飞船 $B$ 中的观测者测得两颗信号弹的时间间隔为多少？

习题 4.3.8

(1) 火箭 $A$ 和 $B$ 分别以 0.8c 和 0.6c 的速率相对地球沿 $x$ 轴正、负方向飞行。试求由火箭 $B$ 测得的火箭 $A$ 的速率。(2) 若火箭 $A$ 相对地球以 0.8c 的速率沿 $y$ 轴正方向运动，火箭 $B$ 的速率不变，求 $A$ 相对 $B$ 的速率。

习题 4.3.9

静止在 $S$ 系中的观测者测得一光子沿与 $x$ 轴成 $60^{\circ }$ 角的方向飞行。另一观测者静止于 $S^{\prime }$ 系， $S^{\prime }$ 系的 $x^{\prime }$ 轴与 $x$ 轴一致，并以 0.6c 的速率沿 $x$ 轴方向运动。 $S^{\prime }$ 系中的观测者观测到的光子的运动方向如何？

习题 4.3.10

(1) 如果将电子由静止加速到速率为 $0.1c$ ，须对它做多少功？(2) 如果将电子由速率为 $0.8c$ 加速到 $0.9c$ ，又须对它做多少功？

习题 4.3.11

$\mu$ 子的静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命 ${\tau }_0=2\times 10^{-6}\mathrm{s}$ ，若它在实验室参考系中的平均寿命 $\tau =7\times 10^{-6}\mathrm{s}$ ，则其质量是电子静止质量的多少倍？

习题 4.3.12

一物体的速度使其质量增加了 $10\%$ ，此物体在运动方向上缩短了百分之多少？

习题 4.3.13

氢原子的同位素氘 $\left(\frac{2}{1}\mathrm{H}\right)$ 和氚 $\left(\frac{3}{1}\mathrm{H}\right)$ 在高温条件下发生聚变反应，产生氦 $\left(\frac{4}{2}\mathrm{He}\right)$ 原子核和一个中子 $\left(\frac{1}{0}\mathrm{n}\right)$ ，并释放出大量能量，其反应方程为

$${}_1^2\mathrm{H}+{}_1^3\mathrm{H}\to {}_2^4\mathrm{He}+{}_0^1\mathrm{n}$$

已知氘核的静止质量为 2.0135 amu(1 amu = 1.660 × 10 ${}^{-27}$ kg)，氚核、氦核及中子的质量分别为 3.0155 amu、4.0015 amu、1.00865 amu。求上述聚变反应释放出来的能量。

习题 4.3.14

要使电子的速率从 $1.2\times 10^8$ m/s 增加到 $2.4\times 10^8$ m/s，必须做多少功？

习题 4.3.15

粒子的静止质量为 $m_0$ ，当其动能等于其静能时，其质量和动量各等于多少？

习题 4.3.16

太阳的辐射能来自其内部的核聚变反应. 太阳每秒向周围空间辐射出的能量约为 $5\times 10^{26}$ J, 基于这个原因, 太阳每秒减少多少质量? 把这个质量同太阳目前的质量 $2\times 10^{30}$ kg 作比较, 估算太阳的寿命是多少年.