9.8 电场的能量

9.8.1 带电系统的能量

对于电量为 $Q$ 的带电体 $A$, 可以设想是在不断地把微小电量 dq 从无穷远处移到带电体 $A$ 上的过程中, 外界克服电场力做的功增加了带电体 $A$ 的能量, 即

$$\mathrm{d}{W}_{\mathrm{e}}=\mathrm{d}W=\mathrm{d}qu$$

式中，$u$ 表示带电体 $A$ 的电势。所以，带电体 $A$ 在从不带电到带有电量 $Q$ 的整个过程中积蓄的能量为

$$W_{\mathrm{e}}=\int \mathrm{d}{W}_{\mathrm{e}}={\int }_0^{Q}u\mathrm{d}q\text{\hspace{1em}(9.35)}$$

实际上,电容器充电的过程就是在电源作用下不断地从原来中性的极板 $B$ 上取正电荷移到极板 $A$ 上的过程.所以,当电容为 $C$ 的电容器两极板分别带有电量 + Q、-Q,两极板的电势差为 $U$ 时,电容器具有的能量为

$$W_{\mathrm{e}}={\int }_0^{Q}u\mathrm{d}q={\int }_0^Q\frac{q}{C}\mathrm{d}q=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}\text{\hspace{1em}(9.36)}$$

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式(9.36)也可表示为 $W_e=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}UQ$ .无论电容器的结构如何,这一结果都正确.

9.8.2 电场能量

静电场的能量 在不随时间变化的静电场中,电荷和电场总是同时存在的,无法分辨电能是与电荷相关联还是与电场相关联.随时间迅速变化的电场和磁场将以电磁波的形式在空间传播,电场可以脱离电荷而传播到很远的地方.实际上,电磁波携带能量已经是人所共知的事实.大量事实证明,能量确实是定域在(或者说分布在)电场中的. 既然能量定域在电场中,我们就可以把带电系统的能量公式用描述电场的物理量 $E$ 和 $D$ 来表示.为简单起见,考虑一个理想的平行板电容器,它的极板面积为 $S$,极板间的电场所占空间体积 V = Sd,极板上的自由电荷的电量为 $Q$,极板间电压为 $U$,则该电容器储存的能量 $W_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2}QU$ . 因为极板上的面电荷密度 $\sigma =\frac{Q}{S}=D$ , $U=Ed$ , 所以

$$W_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2}QU=\frac{1}{2}\sigma SU=\frac{1}{2}DSEd=\frac{1}{2}DEV$$

而电场中单位体积的能量,即电场能量密度为

$$w_{\mathrm{e}}=\frac{W_{\mathrm{e}}}{V}=\frac{1}{2}DE\text{\hspace{1em}(9.37)}$$

可以证明,电场能量密度的公式适用于任何电场.在电场不均匀时,总电场能量等于 $w_e$ 在电场强度不为零的空间$V$的体积分,即

$$W_{\mathrm{e}}={\int }_V{w}_{\mathrm{e}}\mathrm{d}V={\int }_V\frac{1}{2}DE\mathrm{d}V\text{\hspace{1em}(9.38)}$$

在真空中， $D={\epsilon }_{0}E$ ，则

$$W_{\mathrm{e}}={\int }_V\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2\mathrm{d}V$$

式中， $W_e$ 是纯粹的电场能量. 在各向同性的电介质中有

$$\mathbf{D}={\epsilon }_0{\epsilon }_{\mathrm{r}}\mathbf{E}=\epsilon \mathbf{E},W_{\mathrm{e}}={\int }_V\frac{1}{2}\epsilon E^2\mathrm{d}V$$

这时 $W_e$ 还包含电介质极化能. 在各向异性的电介质中, $D$ 与 $E$ 的方向不同, 式(9.38)应采用以下形式:

$$W_{\mathrm{e}}={\int }_V\frac{1}{2}D\cdot E\mathrm{d}V\text{\hspace{1em}(9.39)}$$

例 9.20

计算均匀带电球体的静电能. 球的半径为 $R$，带电量为 $Q$. 为简单起见，设球内、外介质的介电常量均为 ${\epsilon }_0$ .

解

方法一: 直接计算定域在电场中的能量. 均匀带电球体的电场分布已在例9.7 中求出, $E$ 沿着球的半径方向, 大小为

$$E=\{\begin{array}{ll}\frac{Qr}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}& (r⩽R)\\ \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}& (r>R)\end{array}$$$$q=\rho \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)=\frac{Q{r}^3}{R^3}$$

此时带电球体表面的电势为 于是，利用式(9.38)可得静电场的能量为

$$\begin{array}{rl}{W}_{\mathrm{e}}& ={\int }_V\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2\mathrm{d}V=\frac{{\epsilon }_0}{2}{\int }_0^R{\left(\frac{Qr}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}\right)}^{2}4\pi r^2\mathrm{d}r\\ & +\frac{{\epsilon }_0}{2}{\int }_R^{\infty }{\left(\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\right)}^{2}4\pi r^2\mathrm{d}r\\ & =\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_0{R}^6}{\int }_0^R{r}^4\mathrm{d}r+\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_0}{\int }_R^{\infty }\frac{\mathrm{d}r}{r^2}\\ & =\frac{Q^2}{40\pi {\epsilon }_{0}R}+\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_{0}R}=\frac{3Q^2}{20\pi {\epsilon }_{0}R}\end{array}$$$$U(r)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}=\frac{Q{r}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}$$

这时增加一个厚度为 dr 的带电薄球壳, 带电球体增加的电量 dq 为 * 方法二: 设想把带电球体分割成一系列半径为 $r$ 的带电薄球壳 ( $r$ 从零逐渐增大至 $R$ ), 并相继把这些带电薄球壳移到一起累加形成带电球体. 当带电球体的半径为 $r$ 时带有电量

$$\mathrm{d}q=\rho 4\pi r^2\mathrm{d}r=\frac{3Q{r}^2}{R^3}\mathrm{d}r$$

把以上电量从无穷远处移到带电球体处，并累加到半径为 $r$ 的带电球体上，外界需克服电场力做功，即带电球体半径增大 dr 时，带电球体增加的静电能为

$$\mathrm{d}{W}_{\mathrm{e}}=U\mathrm{d}q=\frac{Q{r}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}\frac{3Q{r}^2}{R^3}\mathrm{d}r=\frac{3Q^2{r}^4}{4\pi {\epsilon }_0{R}^6}\mathrm{d}r$$

由此可知，半径为 $R$ 的均匀带电球体的静电能为

$$W_{\mathrm{e}}=\int \mathrm{d}{W}_{\mathrm{e}}={\int }_0^R\frac{3Q^2{r}^4}{4\pi {\epsilon }_0{R}^6}\mathrm{d}r=\frac{3Q^2}{20\pi {\epsilon }_{0}R}$$

可以看到，两种解法的结果相同.