第9章 习题（解答题）

解答题

习题 9.3.1

将电量都是 $q$ 的三个点电荷分别放在正三角形的三个顶点处. 试问: (1) 在此三角形的中心放一个什么样的电荷, 就可以使这四个电荷都达到平衡 (每个电荷受其他三个电荷的静电力之和都为零)? (2) 这种平衡与三角形的边长有无关系?

习题 9.3.2

两小球的质量都是 $m$，都用长为 $l$ 的细绳挂在同一点，它们带有相同的电量，静止时两线夹角为 $2\theta$ ，如题 9.3.2 图所示。设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量。

习题 9.3.3

根据点电荷电场强度公式 $E=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$ 可知，当被考察的场点距场源点电荷很近 $(r\to 0)$ 时，电场强度 $E\to \infty$ ，这是没有物理意义的，对此应如何理解？
题9.3.2图

习题 9.3.4

在真空中有 $A$、$B$ 两平行板，相对距离为 $d$，板面积均为 $S$，其带电量分别为 +q 和 -q，则这两板之间有相互作用力 $F$。有人说 $F=\frac{q^2}{4\pi {\epsilon }_0{d}^2}$ ；又有人说，因为 F = qE, $E=\frac{q}{{\epsilon }_{0}S}$ ，所以 $F=\frac{q^2}{{\epsilon }_{0}S}$ 。试问：这两种说法对吗？为什么？F 应等于多少？

习题 9.3.5

长 $l=15.0\mathrm{cm}$ 的直导线 $AB$ 上均匀地分布着线电荷密度 $\lambda =5.0\times 10^{-9}\mathrm{C}/\mathrm{m}$ 的正电荷. 求: (1) 在导线的延长线上与导线 $B$ 端相距 $d_1=5.0\mathrm{cm}$ 处 $P$ 点的电场强度; (2) 在导线的垂直平分线上与导线中点相距 $d_2=5.0cm$ 处 $Q$ 点的电场强度.

习题 9.3.6

一个半径为 $R$ 的均匀带电半圆环，线电荷密度为 $\lambda$ ，求环心 $O$ 点的电场强度.

习题 9.3.7

均匀带电的细线弯成正方形，边长为 $l$ ，总电量为 $q$ .(1)求此正方形轴线上距离中心 $r$ 处的电场强度 $E$ ；(2)证明：在 $r\gg l$ 处，(1)中所述电场强度 $E$ 相当于点电荷 $q$ 产生的电场强度.

习题 9.3.8

(1) 点电荷 $q$ 位于一边长为 $a$ 的立方体中心, 试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量; (2) 如果该点电荷移动到该立方体的一个顶点上, 这时穿过立方体各面的电通量是多少?

习题 9.3.9

均匀带电球壳内半径为 6 cm, 外半径为 10 cm, 体电荷密度为 $2\times 10^{-5}$ C/m ${}^3$ . 试求距球心 5 cm、8 cm 及 12 cm 的各点的电场强度.

习题 9.3.10

半径分别为 $R_1$ 和 $R_2(R_2>R_1)$ 的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量 $\lambda$ 和 $-\lambda$ ，试求：(1) $r<R_1$ ; (2) $R_1<r<R_2$ ; (3) $r>R_2$ 处各点的电场强度.

习题 9.3.11

两个无限大的平行平面都均匀带电，面电荷密度分别为 ${\sigma }_1$ 和 ${\sigma }_2$ ，试求空间各处的电场强度。

习题 9.3.12

半径为 $R$ 的均匀带电球体的体电荷密度为 $\rho$ ，若在球内挖去一个半径为 $r(r<R)$ 的小球体，如题 9.3.12 图所示。试求两球心 $O$ 点与 $O^{\prime }$ 点的电场强度，并证明小球空腔内的电场是均匀的。

习题 9.3.13

一电偶极子由 $q=1.0\times 10^{-6}$ C 的两个异号点电荷组成，两电荷距离 d = 0.2 cm，把该电偶极子放在电场强度为 $1.0\times 10^5$ N/C 的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩.

习题 9.3.14

两点电荷的电量分别为 $q_1=1.5\times 10^{-8}\mathrm{C},q_2=3.0\times 10^{-8}\mathrm{C}$ , 相距 $r_1=42\mathrm{cm}$ , 要把它们之间的距离变为 $r_2=25\mathrm{cm}$ , 需做多少功? 题9.3.12图

习题 9.3.15

如题 9.3.15 图所示，在 $A$、$B$ 两点处放有电量分别为 +q、-q 的点电荷，$A$、$B$ 两点间的距离为 2R，现将另一正试验点电荷 $q_0$ 从 $O$ 点经过半圆弧移到 $C$ 点，求移动过程中电场力做的功.

习题 9.3.16

如题 9.3.16 图所示的绝缘细线上均匀分布着线电荷密度为 $\lambda$ 的正电荷，两段直导线的长度和半圆环的半径都等于 $R$。试求环中心 $O$ 点处的电场强度和电势。
题9.3.15图
题9.3.16图

习题 9.3.17

一电子绕一均匀带电的长直导线以 $2\times 10^{4}m/s$ 的匀速率做圆周运动. 求带电长直导线上的线电荷密度 (电子质量 $m_0=9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$ , 电子电量 $e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$ ).

习题 9.3.18

空气可以承受的电场强度的最大值为 $E=30kV/cm$ ，超过这个数值时，空气要发生火花放电。今有一高压平行板电容器，极板间距 $d=0.5cm$ ，求此电容器可承受的最高电压。

习题 9.3.19

证明:对于两个无限大的平行平面带电导体板(见题9.3.19图)来说,(1)相向的两面上,面电荷密度总是大小相等而符号相反;(2)相背的两面上,面电荷密度总是大小相等且符号相同.

习题 9.3.20

三个平行金属板 $A$、$B$、$C$ 的面积都是 $200c{m}^2$ ，$A$ 和 $B$ 相距 $4.0mm$ ，$A$ 和 $C$ 相距 $2.0mm$ ，B、$C$ 都接地，如题 9.3.20 图所示。如果使 $A$ 板带正电荷（电量为 $3.0\times 10^{-7}C$ ），略去边缘效应，问：(1) B 板和 $C$ 板上的感应电荷各是多少？(2) 以地面的电势为零，则 $A$ 板的电势是多少？
题9.3.19图
题9.3.20图

习题 9.3.21

两个半径分别为 $R_1$ 和 $R_2(R_1<R_2)$ 的同心薄金属球壳，现使内球壳带电 $+q$ ，求：(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；* (3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷分布及外球壳上的电势的改变量.

习题 9.3.22

半径为 $R$ 的金属球离地面很远，并用导线与地相连，在与球心相距 $d=3R$ 处有一点电荷 $+q$ 求金属球上的感应电荷的电量.

习题 9.3.23

有三个大小相同的金属小球，小球1、2带有等量同号电荷，相距甚远，两者间的静电力大小为 $F_0$ .求：(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触小球1、2后移去，小球1、2之间的静电力；(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后移去，小球1、2之间的静电力.

习题 9.3.24

在半径为 $R_1$ 的金属球之外包有一层外半径为 $R_2$ 的均匀电介质球壳，电介质的相对介电常量为 ${\epsilon }_{\mathrm{r}}$ ，金属球带电 $Q.$ 求：(1)电介质内、外的电场强度；(2)电介质内、外的电势；(3)金属球的电势.

习题 9.3.25

如题 9.3.25 图所示, 在平行板电容器的一半空间内充入相对介电常量为 ${\epsilon }_r$ 的电介质. 求: 在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值.

$$R_1$$$$R_2(R_2>R_1)$$

题9.3.25图

$$l\gg R_2-R_1$$$$(R_1<r<R_2)$$

习题 9.3.27

3个电容器的连接方式如题9.3.27图所示， $C_1=0.25\mu F,C_2=0.15\mu F,C_3=0.20\mu F,C_1$ 上的电压为50 V，求 $U_{AB}$ .
题9.3.27图

习题 9.3.28

$C_1$ 和 $C_2$ 两电容器分别标明“200 pF、500 V”和“300 pF、900 V”，则把它们串联起来后的等效电容是多少？

习题 9.3.29

有一半径为 $R_1=2.0cm$ 的导体球，其外套一同心的导体球壳，导体球壳的内、外半径分别为 $R_2=4.0cm$ 和 $R_3=5.0cm$ ，当导体球带电量 $Q=3.0\times 10^{-8}C$ 时，求： (1) 整个电场储存的能量； (2) 如果将导体球壳接地，电场储存的能量； (3) 由导体球和导体球壳组成的电容器的电容。