13.2 单缝夫琅禾费衍射

图 13.4 所示是单缝夫琅禾费衍射实验原理。在衍射屏 $K$ 上开有一条细长狭缝，单色光源 $S$ 发出的光经透镜 $L_1$ 后变为平行光束，射向单缝后产生衍射，再经透镜 $L_2$ 聚焦在焦平面处的屏幕 $E$ 上，呈现出一系列平行于狭缝的衍射条纹。

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现在用菲涅耳半波带法来分析产生明、暗纹的条件. 设衍射屏上的狭缝的宽度为 $a$ （如图 13.5 ，为方便理解，特将狭缝放大），在平行单色光的垂直照射下，狭缝所在的平面就是入射光束的一个波阵面（等相位面）。按照惠更斯原理，波阵面上的每一点都可以发射子波，并以球面波的形式向各方向传播。显然，每一子波源发出的光线有无穷多条，每个可能的方向都有，这些光线都称为衍射光线。例如，图 13.5 点处的1、2、3光线就代表该点发出的任意3个传播方向的光线，而波阵面上各点发出的各条衍射光则互相构成各方向的平行光束。如图 13.5中，光线 $AB$ ，为方便理解，特将狭缝放大），在平行单色光的垂直照射下，狭缝所在的平面就是入射光束的一个波阵面（等相位面）。按照惠更斯原理，波阵面上的每一点都可以发射子波，并以球面波的形式向各方向传播。显然，每一子波源发出的光线有无穷多条，每个可能的方向都有，这些光线都称为衍射光线。例如，图13.5中 $A$ 点处的1、2、3光线就代表该点发出的任意3个传播方向的光线，而波阵面上各点发出的各条衍射光则互相构成各方向的平行光束。如图13.5中，光线 $1,1^{\prime },1^{\prime \prime },1^{\prime \prime }$ ……构成一个平行光束，光线 $2,2^{\prime },2^{\prime \prime },2^{\prime \prime }$ ……构成另一个方向的平行光束，以此类推。每一个方向的平行光与原入射方向间的夹角用 $\phi$ 表示， $\phi$ 就称为衍射角。按几何光学原理，各平行光束经过透镜 ${\mathrm{L}}_2$ 后，会聚于焦平面（屏幕$E$）上的不同位置处。由于每一束平行光中所包含的光线均来自同一光源$S$，根据惠更斯-菲涅耳原理，各平行光线间有干涉作用，因而在屏幕上形成明暗相间的条纹。

图 13.4 单缝夫琅禾费衍射实验原理

图13.5 单缝衍射

首先,考虑沿入射光方向传播的衍射光(1),如图 13.6所示,这些衍射光线从AB面发出时的相位是相同的,而经过透镜又不会引起附加光程差,它们经透镜会聚于焦点 $P_0$ 时,其相位仍然相同,因此它们在 $P_0$ 点处的光振动是相互加强的,于是在 $P_0$ 点处出现明纹,为中央明纹中心.

图13.6 单缝衍射条纹的位置

其次，考虑一束与原入射方向成 $\phi$ 角的衍射光线(2)，它们经透镜后会聚于屏幕上的 $P$ 点. 显然, 由 AB 面上各点发出的衍射光线到达 $P$ 点的光程各不相同, 因而各子波在 $P$ 点的相位也各不相同. 对其光程差可作这样的分析: 过 $B$ 点作平面 BC 与衍射光线 (2) 垂直, 由凸透镜的等光程性可知, BC 面上各点发出的光线到达 $P$ 点的光程都相等, 因此各衍射光线到达 $P$ 点时的相位差就等于它们在 BC 面上的相位差, 它取决于各衍射光线从 AB 面上相应位置到 BC 面的光程差. 例如, 狭缝边缘 $A$、$B$ 两点的衍射光线间的光程差为 $AC=a\sin \phi$ , 显然, 这是沿 $\phi$ 角方向各衍射光线之间的最大光程差, 其他各衍射光线间的光程差连续变化. 衍射角 $\phi$ 不同, 最大光程差 AC 不同, $P$ 点的位置也不同. 由菲涅耳半波带法分析可知, 屏幕上不同点的光强分布, 正是取决于此最大光程差. 菲涅耳将波阵面 AB 分割成许多面积相等的波带来研究. 其方法是: 将 AC 用一系列平行于 BC 的平面来划分, 这些平面中两相邻平面间的距离等于入射单色光的半波长, 即 $\frac{\lambda }{2}$ , 如图 13.7 所示. 这些平面同时也将狭缝处的波阵面 AB 分为 $A{A}_1,A_1{A}_2,A_{2}B$ 等整数个波带, 称为半波带. 由于这些波带的面积相等, 所以波带上子波源的数目也相等. 任何两个相邻的波带上对应点所发出的光线到达 BC 面的光程差均为 $\frac{\lambda }{2}$ , 即相位差为 $\pi$ , 经凸透镜会聚在 $P$ 点时, 将一一相互抵消.

图 13.7 菲涅耳半波带法

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如果 AC 是半波长的偶数倍, 则可将狭缝处的波阵面 AB 分成偶数个半波带, 于是在 $P$ 点将出现暗纹; 如果 AC 是半波长的奇数倍, 则可将狭缝处的波阵面 AB 分成奇数个半波带, 相邻半波带发出的衍射光将成对抵消, 最后剩下一个半波带的光线没有被抵消, 于是 $P$ 点将出现明纹. 综上所述，当平行单色光垂直于狭缝入射时，单缝衍射明、暗纹的条件为

$$a\sin \phi =\{\begin{array}{ll}0& \text{ 中央明纹中心 }\\ \pm k\lambda & \text{ 暗纹 }\\ \pm (2k+1)\frac{\lambda }{2}& \text{ 明纹 }\end{array}(k=1,2,3,\dots )\text{\hspace{1em}(13.3)}$$

式中，$k$ 为级次，正、负号表示衍射条纹对称分布于中央明纹的两侧. 必须指出,对于任意衍射角 $\phi$ 来说,AB 一般不能恰好分成整数个半波带,即 AC 不一定等于 $\frac{\lambda }{2}$ 的整数倍,对应于这些衍射角的衍射光束,经凸透镜会聚后,在屏幕上的光强介于最大光强与最小光强之间.因而在单缝衍射条纹中,光强的分布并不是均匀的.如图 13.8 所示,中央明纹最亮,条纹也最宽(约为其他明纹宽度的两倍),中央明纹的宽度指两个第 1 级暗纹中心的间距,因此满足 $a\sin {\phi }_0=-\lambda$ 与 $a\sin {\phi }_0=\lambda$ .当 ${\phi }_0$ 很小时, ${\phi }_0\approx \sin {\phi }_0=\pm \frac{\lambda }{a}$ ,因此中央明纹的角宽度(两个第 1 级暗纹中心对凸透镜中心所张的角度)即为 $2{\phi }_0\approx 2\frac{\lambda }{a}$ .有时也用半角宽度描述,即

$${\phi }_0=\frac{\lambda }{a}\text{\hspace{1em}(13.4)}$$

这一关系称为衍射的反比律. 如图 13.9 所示, 以 $f$ 表示凸透镜的焦距, 则在屏幕上观察到的中央明纹的线宽度为

$$\Delta x_0=2f\tan {\phi }_0=2\frac{\lambda }{a}f\text{\hspace{1em}(13.5)}$$

显然,其他明纹的角宽度近似为

$$\Delta \phi =(k+1)\frac{\lambda }{a}-k\frac{\lambda }{a}=\frac{\lambda }{a}\text{\hspace{1em}(13.6)}$$

其线宽度为 $\Delta x=\frac{\lambda }{a}f$ . 而各级明纹的亮度随着级次的增大而迅速减小. 这是因为 $\phi$ 角愈大, $AB$ 波阵面被分成的半波带数愈多, 每个半波带的面积愈小, 透过来的光通量亦愈小, 因而未被抵消的半波带上发出的光在屏幕上产生的明纹的亮度愈低.

图13.8 单缝衍射光强分布

图13.9 单缝衍射中央明纹的角宽度和线宽度

当缝宽 $a$ 一定时, 对同一级衍射条纹, 波长 $\lambda$ 愈大, 衍射角 $\phi$ 愈大, 因此若用白光入射, 除中央明纹的中部仍是白色外, 其两侧将出现一系列由紫到红的彩色条纹, 称为衍射光谱. 由式(13.3)和式(13.4)可知,对波长 $\lambda$ 一定的单色光来说,当$a$愈小时($a$不能小于 $\lambda$ ),对应于各级条纹的 $\phi$ 就愈大,即衍射愈明显;当$a$愈大时,各级条纹所对应的 $\phi$ 将愈小,这些条纹都密布于中央明纹附近而逐渐分辨不清,也就是衍射愈不明显.如果 $a\gg \lambda$ ,各级衍射条纹将集中在 $P_0$ 点附近,形成单一的明纹,这就是凸透镜所成的狭缝的像.这个像相当于是由 ${\phi }_0$ 趋于零时的平行光束形成的,也就是说,它是由入射到AB面的平行光束沿直线传播所引起的.由此可见,中央明纹的中心就是几何光学的像点.这样,在衍射实验的实际操作中,可借助几何光学的成像规律,迅速找到中央明纹的位置.一般只能看到光的直线传播现象,是因为光的波长极短,而障碍物上缝的宽度比波长大得多,因而衍射现象极不明显.只有当缝极窄,以至其缝宽可与波长相比拟时,衍射现象才较为显著. 由菲涅耳半波带法导出的式(13.3)只是近似准确.实际上除中央明纹中心外,其他明纹都要向中央移近少许.

例 13.1

用波长为 $\lambda$ 的单色光照射狭缝, 得到单缝夫琅禾费衍射图样, 第3级暗纹位于屏幕上的 $P$ 点处. 问: (1) 若将狭缝宽度减小到原来的一半, 那么 $P$ 点处是明纹还是暗纹? (2) 若用波长为 $1.5\lambda$ 的单色光照射狭缝, $P$ 点处是明纹还是暗纹?

解

利用半波带法直接求解,与暗纹对应的半波带数为偶数 $2k(k=1,2,3,\cdots$ 为暗纹级次);与除中央明纹外的明纹对应的半波带数为奇数 $2k+1(k=1,2,3,\cdots$ 为明纹级次). 根据已知条件,在屏幕上的 $P$ 点处出现第 3 级暗纹,所以对于 $P$ 位置,狭缝处的波阵面可划分为 6 个半波带. (1) 缝宽减小到原来的一半, 对于 $P$ 点, 狭缝处的波阵面可分为 3 个半波带, 则在 $P$ 点处出现第 1 级明纹. (2) 改用波长为 $1.5\lambda$ 的单色光照射, 则狭缝处的波阵面可划分的半波带数变为原来的 $\frac{1}{1.5}$ , 对于 $P$ 位置, 半波带数变为 4 个, 所以在 $P$ 点处将出现第 2 级暗纹.

例 13.2

波长 $\lambda =600nm$ 的单色光垂直入射到缝宽 $a=0.2mm$ 的狭缝上，缝后用焦距 $f=50cm$ 的凸透镜将衍射光会聚于屏幕上。求：(1) 中央明纹的角宽度、线宽度；(2) 第 1 级明纹的位置及狭缝处波阵面可分为几个半波带；(3) 第 1 级明纹的宽度。

解

（1）第1级暗纹对应的衍射角 ${\phi }_0$ 满足

$$\sin {\phi }_0=\frac{\lambda }{a}=\frac{6\times 10^{-7}}{2\times 10^{-4}}=3\times 10^{-3}$$

因 $\sin {\phi }_0$ 很小，可知中央明纹的角宽度为

$$2{\phi }_0\approx 2\sin {\phi }_0=6\times 10^{-3}\mathrm{rad}$$

第1级暗纹到中央明纹中心 $O$ 的距离为

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =f\tan {\phi }_0\approx f{\phi }_0=0.5\times 3\times 10^{-3}\mathrm{m}\\ & =1.5\times 10^{-3}\mathrm{m}=1.5\mathrm{mm}\end{array}$$

因此中央明纹的线宽度为

$$\Delta x_0=2x_1=2\times 1.5\mathrm{mm}=3\mathrm{mm}$$

(2) 第 1 级明纹对应的衍射角 $\phi$ 满足

$$\begin{array}{rl}\sin \phi & =(2k+1)\frac{\lambda }{2a}=\frac{3\times 6\times 10^{-7}}{2\times 2\times 10^{-4}}\\ & =4.5\times 10^{-3}\end{array}$$

可知第1级明纹中心到中央明纹中心的距离为

$$\begin{array}{rl}x& =f\tan \phi \approx f\sin \phi =0.5\times 4.5\times 10^{-3}\mathrm{m}\\ & =2.25\times 10^{-3}\mathrm{m}=2.25\mathrm{mm}\end{array}$$

对应于该 $\phi$ 值，狭缝处波阵面可分的半波带数为

$$2k+1=3$$

(3) 设第 2 级暗纹到中央明纹中心 $O$ 的距离为 $x_2$ ，对应的衍射角为 ${\phi }_2$ ，故第 1 级明纹的线宽度为

$$\begin{array}{rl}\Delta x& =x_2-x_1=f\tan {\phi }_2-f\tan {\phi }_1\\ & \approx f\left(\frac{2\lambda }{a}-\frac{\lambda }{a}\right)=\frac{\lambda }{a}f=\frac{6\times 10^{-7}\times 0.5}{2\times 10^{-4}}\mathrm{m}\\ & =1.5\times 10^{-3}\mathrm{m}=1.5\mathrm{mm}\end{array}$$

由此可见,第1级明纹的宽度约为中央明纹宽度的一半.