9.4 电场强度与电势的关系

9.4.1 等势面

电势是标量，静电场中各点的电势一般是逐点变化的．但是，总存在某些电势相等的点．由电势相等的各点所构成的曲面叫作等势面．如点电荷电场中，电势 $U=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$，说明其等势面是球面．而点电荷电场的电场线沿半径方向，所以电场线与等势面处处正交． 实际上，不仅是点电荷的电场，在任意静电场中，等势面与电场线总是处处正交．证明如下． 设在任意静电场中，电荷 $q_0$ 沿着等势面上一位移元 dl 从 $a$ 点移到 $b$ 点，则电场力做的功为

d W = q _ 0 boldsymbol E · d l = q _ 0 E cos θ d l = q _ 0 (U _ a - U _ b) = 0$$\mathrm{d}W=q_0\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}l=q_{0}E\cos \theta \mathrm{d}l=q_0(U_a-U_b)=0$$

因为上式中 $q_0,E,\mathrm{d}l$ 均不等于零，所以

cos θ = 0, θ = frac π2$$\cos \theta =0,\theta =\frac{\pi }{2}$$

说明 $E$ 与 dl 垂直，即电场线与等势面正交． 如果让正电荷 $q_0$ 沿任意静电场的电场线上的位移元 $\mathrm{d}l$ 从 $a$ 点移到 $b^{\prime }$ 点，则电场力做的功为

d W ^ prime = q _ 0 E · d l = q _ 0 E d l cos 0 = q _ 0 E d l > 0$$\mathrm{d}{W}^{\prime }=q_{0}E\cdot \mathrm{d}l=q_{0}E\mathrm{d}l\cos 0=q_{0}E\mathrm{d}l>0$$

又有

d W ^ prime = q _ 0 (U _ a - U _ b ^ prime)$$\mathrm{d}{W}^{\prime }=q_0(U_a-U_{b^{\prime }})$$

因此 $U_a-U_{b^{\prime }}>0$ ，即 $U_a>U_{b^{\prime }}$ ，电场线总是指向电势降落的方向。 为了使等势面能反映电场的强弱，画等势面时，规定电场中任意两相邻等势面间的电势差都相等，则电场强度较大的区域等势面较密集，电场强度较小的区域等势面较稀疏． 测绘等势面是研究电场的一种有效方法．在实际应用中，经常先通过测量绘出带电体周围电场的等势面，再由此推知电场的分布． 图 9.17 所示为几种常见电场的等势面和电场线，图中的虚线表示等势面，实线表示电场线．
($a$) 正点电荷

(b) 电偶极子

(c) 正、负带电板

图 9.17 几种常见电场的等势面和电场线

($d$) 不规则形状的带电导体

*9.4.2 电场强度与电势梯度的关系

电势定义式 $U={\int }_r^{\infty }E\cdot \mathrm{d}l$ 反映了静电场中电势与电场强度的积分关系，在求出电场强度分布后，可由该式求得电势分布．然而，在许多实际问题中，静电场的电势分布往往更容易求得，要由电势分布求得电场强度分布，就必须了解电场强度与电势的微分关系． 在任意静电场中，取两个十分靠近的等势面，电势分别为 $U$ 和 $U+\mathrm{d}U$ ，且设 $\mathrm{d}U>0,a$ 点在电势为 $U$ 的等势面上， $b$ 点在电势为 $U+\mathrm{d}U$ 的等势面上，从 $a$ 点到 $b$ 点的位移元为dl，如图 9.18所示．当正电荷 $q_0$ 从 $a$ 点沿dl移到 $b$ 点时，电场强度 $E$ 近似不变，则电场力做的功为

W = q _ 0 (U _ a - U _ b) = q _ 0 [ U - (U + d U) ] = - q _ 0 d U$$W=q_0(U_a-U_b)=q_0[U-(U+\mathrm{d}U)]=-q_0\mathrm{d}U$$

图9.18 $E$ 与 $U$ 的关系

另外

W = q _ 0 boldsymbol E · d boldsymbol l = q _ 0 E cos θ d l = q _ 0 E _ l d l$$W=q_0\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=q_{0}E\cos \theta \mathrm{d}l=q_0{E}_l\mathrm{d}l$$

式中， $E_l=E\cos \theta$ ，是电场强度$E$在dl方向上的分量。由上面两式可得

- d U = E _ l d l$$-\mathrm{d}U=E_l\mathrm{d}l$$

即

E _ l = - frac d Ud l$$E_l=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}l}$$

此式表明:电场中某一点的电场强度 $E$ 沿某一方向的分量 $E_l$ 等于电势沿该方向变化率的负值．显然，在直角坐标系中，$U$ 是 $x$、$y$、$z$ 的函数，电场强度 $E$ 在 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴三个方向上的分量分别为

E _ x = - frac ∂ U∂ x, E _ y = - frac ∂ U∂ y, E _ z = - frac ∂ U∂ z$$E_x=-\frac{\partial U}{\partial x},E_y=-\frac{\partial U}{\partial y},E_z=-\frac{\partial U}{\partial z}$$

即电场强度 $E$ 的矢量表达式可写成

boldsymbol E = - (frac ∂ U∂ x boldsymbol i + frac ∂ U∂ y boldsymbol j + frac ∂ U∂ z boldsymbol k) (9.21a)$$\mathbf{E}=-\left(\frac{\partial U}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial U}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial U}{\partial z}\mathbf{k}\right)\text{\hspace{1em}(9.21a)}$$

在数学上，矢量 $\frac{\partial U}{\partial x}i+\frac{\partial U}{\partial y}j+\frac{\partial U}{\partial z}k$ 称为电势的梯度，用 $\mathrm{grad}U$ 或 $\nabla U$ 表示．因此，式(9.21a)又可写成

boldsymbol E = - operatornamegrad U = - ∇ U (9.21b)$$\mathbf{E}=-\mathrm{grad}U=-\nabla U\text{\hspace{1em}(9.21b)}$$

式中

∇ = frac ∂∂ x boldsymbol i + frac ∂∂ y boldsymbol j + frac ∂∂ z boldsymbol k$$\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial z}\mathbf{k}$$

式(9.21b)表明:电场中任意一点的电场强度等于该点电势梯度的负值．在国际单位制(SI)中，电势梯度的单位名称为伏特每米，符号为V/m,电场强度也用这个单位．

数字资源压电体 ↗

由图 9.18可知，在两等势面之间，从 $a$ 点沿不同方向的电势变化率不同。其中沿等势面法线 $n$ 方向的电势变化率最大。若以 $\mathrm{dn}$ 表示 $a$ 点处两等势面的法向距离， $n_0$ 表示法线 $n$ 方向上的单位矢量，同时考虑到电场线与等势面正交且指向电势降落的方向， $n$ 指向电势升高的方向，即电场强度 $E$ 沿法线 $n$ 的相反方向，则有 压电体

±b E = - frac d Ud n ±b n _ 0$$E=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}n}{n}_0$$

因为电势梯度与电场强度的关系为

operatornamegrad U = ∇ U = - E$$\mathrm{grad}U=\nabla U=-E$$

所以电势梯度为

mathbf g r a d U = ∇ U = frac d Ud n boldsymbol n _ 0$$\mathbf{grad}U=\nabla U=\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}n}{\mathbf{n}}_0$$

即电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面法线方向的变化率，它的方向沿等势面法线方向且指向电势增大的方向．

例 9.14

利用电场强度与电势梯度的关系，求半径为 $R$、面电荷密度为 $\sigma$ 的均匀带电圆盘轴线上的电场强度．

解

如图 9.19 所示，取圆环 $dS=2\pi rdr$，圆环的带电量 $dq=\sigma 2\pi rdr=\sigma \pi d{r}^2$，电荷 dq 在轴线上距离圆盘中心 $O$ 点 $x$ 的 $P$ 点产生的电势为

d U = frac σ π d r ^ 24 π ε_ 0 (r ^ 2 + x ^ 2) ^ 1 / 2$$\mathrm{d}U=\frac{\sigma \pi \mathrm{d}{r}^2}{4\pi {\epsilon }_0(r^2+x^2{)}^{1/2}}$$

则圆盘在 $P$ 点产生的电势为

r l U & = ∫ d U = frac σ4 ε_ 0 ∫_ 0 ^ R frac d r ^ 2(r ^ 2 + x ^ 2) ^ 1 / 2 & = frac σ2 ε_ 0 (sqrt R ^ 2 + x ^ 2 - x)$$\begin{array}{rl}U& =\int \mathrm{d}U=\frac{\sigma }{4{\epsilon }_0}{\int }_0^R\frac{\mathrm{d}{r}^2}{(r^2+x^2{)}^{1/2}}\\ & =\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}(\sqrt{R^2+x^2}-x)\end{array}$$

因此 $P$ 点处的电场强度分量为

E _ x = - frac ∂ U∂ x = frac σ2 ε_ 0 (1 - frac xsqrt R ^ 2 + x ^ 2)$$E_x=-\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\left(1-\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}\right)$$E _ y = - frac ∂ U∂ y = 0$$E_y=-\frac{\partial U}{\partial y}=0$$

图9.19 例9.14图

E _ z = - frac ∂ U∂ z = 0$$E_z=-\frac{\partial U}{\partial z}=0$$

即轴线上一点的电场强度为

boldsymbol E = frac σ2 ε_ 0 (1 - frac xsqrt R ^ 2 + x ^ 2) boldsymbol i$$\mathbf{E}=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\left(1-\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}\right)\mathbf{i}$$