8.4 绝热过程

8.4.1 绝热过程

在系统不与外界交换热量的条件下，系统的状态变化过程叫作绝热过程．绝热过程的特征是在任意微过程中， dQ=0.一个被良好的绝热材料所包围的系统，或由于过程进行得很快，系统来不及和外界交换热量的过程，如内燃机中的爆炸过程等，都可近似地看作准静态绝热过程． 由于绝热过程 dQ = 0，所以根据热力学第一定律，系统对外界做的功为

p d V = - d E$$p\mathrm{d}V=-\mathrm{d}E$$

由此可见，绝热过程中系统对外界做功是以系统内能的减少为代价的。在气体由初态（温度为 $T_1$ ）绝热地膨胀到末态（温度为 $T_2$ ）的过程中，气体对外界做的功为

∫_ V _ 1 ^ V _ 2 p d V = - frac MM _ mol C _ V, m (T _ 2 - T _ 1) (8.19)$${\int }_{V_1}^{V_2}p\mathrm{d}V=-\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}}{C}_{V,\mathrm{m}}(T_2-T_1)\text{\hspace{1em}(8.19)}$$

从式(8.19)可看出，当气体绝热膨胀对外界做功时，气体的内能减少，温度要降低，而压强也在减小，所以绝热过程中，气体的温度、压强、体积3个参量同时改变．可以证明(推导过程在下面讨论),对于理想气体的绝热准静态过程，在$p$、$V$、T3个参量中，每两个量之间的关系为

p V ^ γ = 恒量 (8.20)$$p{V}^{\gamma }=\mathrm{恒量}\text{\hspace{1em}(8.20)}$$ T V ^ γ - 1 = 恒量 (8.21)$$T{V}^{\gamma -1}=\mathrm{恒量}\text{\hspace{1em}(8.21)}$$ p ^ γ - 1 T ^ - γ = 恒量 (8.22)$$p^{\gamma -1}{T}^{-\gamma }=\mathrm{恒量}\text{\hspace{1em}(8.22)}$$

这些方程均称为绝热过程方程，简称绝热方程．式中，指数 $\gamma$ 为理想气体的摩尔热容比 $(C_{p,\mathrm{m}}/C_{V,\mathrm{m}})$，这也是工程上将 $\gamma$ 称为绝热系数的原因.3个方程中的各恒量均不相同，使用时可根据实际情况选取一个公式． 在 p-V 图上的绝热曲线是根据绝热方程 $p{V}^{\gamma }=$ 恒量作出的．图 8.10 点的同一气体的等温线．由图 8.10 可以看出，通过同一点的绝热线比等温线陡，下面对两条曲线的交点 $A$ 点的同一气体的等温线．由图 8.10 可以看出，通过同一点的绝热线比等温线陡，下面对两条曲线的交点 $A$ 处斜率的计算，证实了这一点． 等温线: 由 pV = C ($C$ 为常数), 两边取微分，整理后得斜率为

图 8.10 绝热线比等温线陡

frac d pd V _ T = - frac pV$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}{V}_T}=-\frac{p}{V}$$

$A$ 处的斜率为

frac d pd V _ T = - frac p _ AV _ A$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}{V}_T}=-\frac{p_A}{V_A}$$

绝热线:由 $p{V}^{\gamma }=C$ ($C$ 为常数),两边取微分，整理后得斜率为

frac d pd V _ s = - γ frac pV$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}{V}_s}=-\gamma \frac{p}{V}$$

$A$ 处的斜率为

frac d pd V _ s = - γ frac p _ AV _ A$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}{V}_s}=-\gamma \frac{p_A}{V_A}$$

由于 $\gamma >1$ ，比较两式，所以绝热线比等温线陡。究其物理原因，等温过程中压强的减小量 $\Delta p_T$ ，仅是体积增大所致，而在绝热过程中压强的减小量 $\Delta p_S$ ，是由体积增大，同时温度降低两个原因所致，所以 $\Delta p_S$ 的值比 $\Delta p_T$ 的值大。

*8.4.2 绝热方程的推导

根据热力学第一定律及绝热过程的特征 $(\mathrm{d}Q=0)$ ，可得

p d V = - frac MM _ mol C _ V, m d T$$p\mathrm{d}V=-\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}}{C}_{V,\mathrm{m}}\mathrm{d}T$$

将理想气体状态方程 $pV=\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}}RT$ 两边取微分，得

p d V + V d p = frac MM _ mol R d T$$p\mathrm{d}V+V\mathrm{d}p=\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}}R\mathrm{d}T$$

将上述两个方程联立并消去 $\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}}\mathrm{d}T$ ，得

(C _ V, m + R) p d V = - C _ V, m V d p$$(C_{V,\mathrm{m}}+R)p\mathrm{d}V=-C_{V,\mathrm{m}}V\mathrm{d}p$$

因为 $C_{p,\mathrm{m}}=C_{V,\mathrm{m}}+R,\gamma =C_{p,\mathrm{m}}/C_{V,\mathrm{m}}$ ，则有

frac d pp + γ frac d VV = 0$$\frac{\mathrm{d}p}{p}+\gamma \frac{\mathrm{d}V}{V}=0$$

将上式两边积分，得

ln p + γ ln V = text 恒量$$\ln p+\gamma \ln V=\text{ 恒量 }$$

或

p V ^ γ = text 恒量$$p{V}^{\gamma }=\text{ 恒量 }$$

这就是绝热方程(8.20).应用 $pV=\frac{M}{M_{mol}}RT$ 和上式分别消去$p$或$V$可得

T V ^ γ - 1 = 恒量$$T{V}^{\gamma -1}=\mathrm{恒量}$$ p ^ γ - 1 T ^ - γ = text 恒量$$p^{\gamma -1}{T}^{-\gamma }=\text{恒量}$$

例 8.1

1 mol 单原子理想气体，由状态 $a(p_1,V_1)$ ，先等容加热至压强增大 1 倍，再等压加热至体积增大 1 倍，最后经绝热膨胀，其温度降至初始温度，如图 8.11 所示。试求： (1) 状态 $d$ 的体积 $V_d$ ; (2) 整个过程对外界做的功； (3) 整个过程吸收的热量．

解

（1）根据理想气体状态方程 $T_a=\frac{p_1{V}_1}{R}$ ，依题意有

T _ d = T _ a = frac p _ 1 V _ 1R, T _ c = frac p _ c V _ cR$$T_d=T_a=\frac{p_1{V}_1}{R},T_c=\frac{p_c{V}_c}{R}$$T _ c = frac 2 p _ 1 · 2 V _ 1R = frac 4 p _ 1 V _ 1R = 4 T _ a$$T_c=\frac{2p_1\cdot 2V_1}{R}=\frac{4p_1{V}_1}{R}=4T_a$$

图8.11 例8.1图

$c$ 点与 $d$ 点在同一绝热线上，由绝热方程

T _ c V _ c ^ γ - 1 = T _ d V _ d ^ γ - 1$$T_c{V}_c^{\gamma -1}=T_d{V}_d^{\gamma -1}$$

(3) 计算整个过程吸收的总热量有两种方法．

W = W _ a b + W _ b c + W _ c d = frac 1 32 p _ 1 V _ 1$$W=W_{ab}+W_{bc}+W_{cd}=\frac{13}{2}{p}_1{V}_1$$

整个过程对外界做的总功为 方法一:根据整个过程吸收的总热量等于各分过程吸收热量的和，先求各分过程吸收的热量，则 得

Q _ a b = C _ V, m (T _ b - T _ a) = frac 32 R (T _ b - T _ a) = frac 32 p _ 1 V _ 1$$Q_{ab}=C_{V,\mathrm{m}}(T_b-T_a)=\frac{3}{2}R(T_b-T_a)=\frac{3}{2}{p}_1{V}_1$$V _ d = (frac T _ cT _ d) ^ frac 1γ - 1 V _ c = 4 ^ frac 11 . 6 7 - 1 × 2 V _ 1 = 1 5. 8 V _ 1$$V_d={\left(\frac{T_c}{T_d}\right)}^{\frac{1}{\gamma -1}}{V}_c=4^{\frac{1}{1.67-1}}\times 2V_1=15.8V_1$$Q _ b c = C _ p, m (T _ c - T _ b) = frac 52 R (T _ c - T _ b)$$Q_{bc}=C_{p,\mathrm{m}}(T_c-T_b)=\frac{5}{2}R(T_c-T_b)$$

(2) 先求各分过程的功，即

W _ a b = 0$$W_{ab}=0$$r l & W _ b c = 2 p _ 1 (2 V _ 1 - V _ 1) = 2 p _ 1 V _ 1 & W _ c d = - Δ E _ c d = - C _ V, m (T _ d - T _ c) & = C _ V, m (T _ c - T _ d) = frac 32 R (4 T _ a - T _ a) & = frac 92 R T _ a = frac 92 p _ 1 V _ 1$$\begin{array}{rl}& W_{bc}=2p_1(2V_1-V_1)=2p_1{V}_1\\ & W_{cd}=-\Delta E_{cd}=-C_{V,\mathrm{m}}(T_d-T_c)\\ & =C_{V,\mathrm{m}}(T_c-T_d)=\frac{3}{2}R(4T_a-T_a)\\ & =\frac{9}{2}R{T}_a=\frac{9}{2}{p}_1{V}_1\end{array}$$frac 52 (p _ c V _ c - p _ b V _ b) = 5 p _ 1 V _ 1$$\frac{5}{2}(p_c{V}_c-p_b{V}_b)=5p_1{V}_1$$Q _ c d = 0$$Q_{cd}=0$$

所以

Q = Q _ a b + Q _ b c + Q _ c d = frac 1 32 p _ 1 V _ 1$$Q=Q_{ab}+Q_{bc}+Q_{cd}=\frac{13}{2}{p}_1{V}_1$$

方法二：对 abcd 整个过程应用热力学第一定律，得

Q _ a b c d = Δ E _ a d + W _ a b c d$$Q_{abcd}=\Delta E_{ad}+W_{abcd}$$

依题意，由于 $T_a=T_d$ ，故 $\Delta E_{ad}=0$ ，则

Q _ a b c d = W _ a b c d = frac 1 32 p _ 1 V _ 1$$Q_{abcd}=W_{abcd}=\frac{13}{2}{p}_1{V}_1$$

例 8.2

某理想气体的 p-V 关系如图 8.12 所示，由初态 $a$ 经准静态过程（直线 ab）变到末态 $b$。已知该理想气体的定容摩尔热容 $C_{V,m}=3R$ ，求该理想气体在 ab 过程中的摩尔热容。

解

$a\to b$ 过程的方程为

frac pV = tan θ (text 恒量 ) (\textcircled{1)$$\frac{p}{V}=\tan \theta (\text{ 恒量 })\text{\hspace{1em}(1◯)}$$

设该过程的摩尔热容为 $C_{\mathrm{m}}$ ，则对 $1\mathrm{mol}$ 理想气体，有

C _ m d T = C _ V, m d T + p d V$$C_{\mathrm{m}}\mathrm{d}T=C_{V,\mathrm{m}}\mathrm{d}T+p\mathrm{d}V$$p V = R T (\textcircled{2)$$pV=RT\text{\hspace{1em}(2◯)}$$

③ 由式 ① 与式 ③ 联立得 $V^2\tan \theta =RT$ ，两边微分，得

图8.12 例8.2图

2 p d V = R d T$$2p\mathrm{d}V=R\mathrm{d}T$$

代入式 ②, 有

C _ m d T = C _ V, m d T + frac 12 R d T$$C_{\mathrm{m}}\mathrm{d}T=C_{V,\mathrm{m}}\mathrm{d}T+\frac{1}{2}R\mathrm{d}T$$

所以

C _ m = C _ V, m + frac 12 R = frac 72 R$$C_{\mathrm{m}}=C_{V,\mathrm{m}}+\frac{1}{2}R=\frac{7}{2}R$$