2.4 功 动能 势能 机械能守恒定律

本节讨论力的空间积累效应，进而讨论功和能的关系．

2.4.1 功 功率

1. 功

在力学中，功的最基本的定义是恒力的功．如图 2.17所示，一物体做直线运动，在恒力$F$的作用下物体发生位移 $\Delta r,F$ 与 $\Delta r$ 的夹角为 $\alpha$，则恒力$F$所做的功定义为:力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘积．一般用$W$表示功，则有

W = F | Δ r | cos α$$W=F\mid \Delta r\mid \cos \alpha$$

(2.23) 图 2.17 恒力的功 按矢量内积的定义，式(2.23)可写为

W = F · Δ r (2.24)$$W=F\cdot \Delta r\text{\hspace{1em}(2.24)}$$

即恒力的功等于力与质点位移的内积(或称标量积). 功是标量，它只有大小，没有方向．功的正负由 $\alpha$ 决定．当 $\alpha >\frac{\pi }{2}$ 时，功为负值，此时说某力做负功，或说克服某力做功; 当 $\alpha <\frac{\pi }{2}$ 时，功为正值，此时说某力做正功; 当 $\alpha =\frac{\pi }{2}$ 时，功值为零，此时说某力不做功，如物体做曲线运动时法向力就不做功．另外，因为位移的值与参考系有关，所以功值是一个相对量．

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如果物体受到变力作用或做曲线运动，上面所讨论的功的计算公式就不能直接套用。但如果将运动的轨迹曲线分割成许多个足够小的位移元 $\mathrm{d}r$ ，使得每段位移元 $\mathrm{d}r$ 中，作用在质点上的力 $F$ 都能看成恒力（见图 2.18），则力 $F$ 在这段位移元上所做的元功为

d W = boldsymbol F · d boldsymbol r$$\mathrm{d}W=\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$$

图2.18 变力的功

力 $F$ 在轨迹 ab 上所做的总功就等于各小段上元功的代数和，即

W = ∫_ a ^ b boldsymbol F · d boldsymbol r = ∫_ a ^ b F cos α | d boldsymbol r | = ∫_ a ^ b F _ τ d s (2.25)$$W={\int }_a^b\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\int }_a^{b}F\cos \alpha |\mathrm{d}\mathbf{r}|={\int }_a^b{F}_{\tau }\mathrm{d}s\text{\hspace{1em}(2.25)}$$

式中， $ds=|dr|$ ; $F_{\tau }$ 是力 $F$ 在位移元 dr 方向上的投影， $F_{\tau }=F\cos \alpha$．式(2.25)是计算变力做功的一般公式．在直角坐标系中，因为

l boldsymbol F = F _ x boldsymbol i + F _ y boldsymbol j + F _ z boldsymbol k d boldsymbol r = d x boldsymbol i + d y boldsymbol j + d z boldsymbol k$$\begin{array}{l}\mathbf{F}=F_x\mathbf{i}+F_y\mathbf{j}+F_z\mathbf{k}\\ \mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{i}+\mathrm{d}y\mathbf{j}+\mathrm{d}z\mathbf{k}\end{array}$$

所以式 $(2.25)$ 可表示为

r l W & = ∫_ a ^ b (F _ x d x + F _ y d y + F _ z d z) & = ∫_ (x _ 0, y _ 0, z _ 0) ^ (x, y, z) (F _ x d x + F _ y d y + F _ z d z) (2.26)$$\begin{array}{rl}W& ={\int }_a^b(F_x\mathrm{d}x+F_y\mathrm{d}y+F_z\mathrm{d}z)\\ & ={\int }_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)}(F_x\mathrm{d}x+F_y\mathrm{d}y+F_z\mathrm{d}z)\end{array}\text{\hspace{1em}(2.26)}$$

功也可以用图解法计算．以路程 $s$ 为横坐标，$F_{\tau }$ 为纵坐标，根据 $F$ 随路程变化而变化的关系所描绘的曲线称为示功图．在图 2.19 中，阴影部分的面积等于力 $F_{\tau i}$ 在$d{s}_i$ 上做的元功．曲线与边界线所围的面积就是变力 $F$ 在整个路程上所做的总功．用示功图求功较为直接、方便，所以工程上常采用此方法．

图2.19 变力做功的示功图

2. 功率

力在单位时间内做的功称为功率．设力 $F$ 在 $\Delta t$ 时间内做的功为 $\Delta W$ ，则这段时间内力 $F$ 的平均功率为

overline P = frac Δ WΔ t$$\overline{P}=\frac{\Delta W}{\Delta t}$$

当 $\Delta t\to 0$ 时，则某一时刻力 $F$ 的瞬时功率为

P = lim _ Δ t arrow 0 frac Δ WΔ t = frac d Wd t = F · v (2.27)$$P=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta W}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=F\cdot v\text{\hspace{1em}(2.27)}$$

即瞬时功率等于力和速度的内积． 在国际单位制中，功的单位名称是焦耳，简称焦，符号是$J$;功率的单位名称是瓦特，简称瓦，符号是$W$.1 W = 1 J/s.

3.保守力的功

下面通过分析重力、万有引力、弹性力做功的特点，引入保守力的概念．

1) 重力的功

这里讨论的重力是指地面附近几百米高度范围内的重力，故可视为恒力． 设质量为 $m$ 的质点在重力作用下由 $A$ 点沿任意路径移到 $B$ 点，如图 2.20($a$) 所示，选取地面为坐标原点，$z$ 轴垂直于地面，向上为正。重力只有 $z$ 轴方向的分量，即 $F_z=-mg$ ，应用式(2.26)，有

W = ∫_ z _ 0 ^ z F _ z d z = ∫_ z _ 0 ^ z - m g d z = - (m g z - m g z _ 0) (2.28)$$W={\int }_{z_0}^z{F}_z\mathrm{d}z={\int }_{z_0}^z-mg\mathrm{d}z=-(mgz-mg{z}_0)\text{\hspace{1em}(2.28)}$$

式(2.28)表明，重力的功只由质点相对于地面的始末位置 $z_0$ 和$z$决定，而与所通过的路径无关．

2) 万有引力的功

考虑质量分别为 $m$ 和 $M$ 的两个质点，质点 $m$ 相对于质点 $M$ 的初位置为 $r_A$ ，末位置为 $r_B$ ，如图 2.20($b$) 所示。质点 $m$ 受到质点 $M$ 的万有引力的矢量式为

±b F = - G frac m Mr ^ 2 ±b r _ 0$$F=-G\frac{mM}{r^2}{r}_0$$

式中， $r_0$ 表示质点 $m$ 相对于质点 $M$ 的位矢方向的单位矢量。则万有引力的元功为

d W = boldsymbol F · d boldsymbol r = - G frac m Mr ^ 2 boldsymbol r _ 0 · d boldsymbol r$$\mathrm{d}W=\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=-G\frac{mM}{r^2}{\mathbf{r}}_0\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$$

因为矢量模的平方等于矢量自身的标积，即 ${\left|A\right|}^2=A\cdot A$，所以 而 故有 同理，有

r l d (A ^ 2) & = d (boldsymbol A · boldsymbol A) = 2 boldsymbol A · d boldsymbol A & d (A ^ 2) = 2 A d A & boldsymbol A · d boldsymbol A = A d A & boldsymbol r · d boldsymbol r = r d r (2.29)$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}(A^2)& =\mathrm{d}(\mathbf{A}\cdot \mathbf{A})=2\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{A}\\ & \mathrm{d}(A^2)=2A\mathrm{d}A\\ & \mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{A}=A\mathrm{d}A\\ & \mathbf{r}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=r\mathrm{d}r\end{array}\text{\hspace{1em}(2.29)}$$

又考虑到 $r_0=\frac{r}{r}$ ，所以

d W = - G frac m Mr ^ 2 d r$$\mathrm{d}W=-G\frac{mM}{r^2}\mathrm{d}r$$

于是质点 $m$ 由 $A$ 点移到 $B$ 点时，万有引力做的功为

W = ∫_ r _ A ^ r _ B - G frac m Mr ^ 2 d r = - [ (- G frac m Mr _ B) - (- G frac m Mr _ A) ] (2.30)$$W={\int }_{r_A}^{r_B}-G\frac{mM}{r^2}\mathrm{d}r=-\left[\left(-G\frac{mM}{r_B}\right)-\left(-G\frac{mM}{r_A}\right)\right]\text{\hspace{1em}(2.30)}$$

这说明万有引力的功也只与始末位置有关，而与具体的路径无关．
($a$) 重力的功
($b$) 万有引力的功
图 2.20 重力与万有引力的功

3) 弹性力的功

如图 2.21 所示，选取弹簧自然伸长处为坐标原点，则当弹簧形变量为 $x$ 时，弹簧对质点的弹性力为

图2.21 弹性力的功

F = - k x$$F=-kx$$

式中，负号表示弹性力的方向总是指向弹簧的平衡位置，即坐标原点．$k$ 为弹簧的刚度系数，单位是 $N/m$ 因为作用力只有 $x$ 轴分量，故由式(2.26）可得

W = ∫_ x _ 0 ^ x F _ x d x = ∫_ x _ 0 ^ x - k x d x = - (frac 12 k x ^ 2 - frac 12 k x _ 0 ^ 2) (2.31)$$W={\int }_{x_0}^x{F}_x\mathrm{d}x={\int }_{x_0}^x-kx\mathrm{d}x=-\left(\frac{1}{2}k{x}^2-\frac{1}{2}k{x}_0^2\right)\text{\hspace{1em}(2.31)}$$

这说明弹性力的功只与始末位置有关，而与弹簧的中间形变过程无关． 综上所述，重力、万有引力、弹性力的功的共同特点是，它们都只与物体的始末位置有关，而与具体路径无关。或者说，当在这些力作用下的物体沿任意闭合路径绕行一周时，它们的功值均为零。在物理学中，除了这些力，静电力、分子力等也具有这种特性，把具有这种特性的力统称为保守力。保守力可用下面的数学表达式来定义，即

oint_ l ±b F _ 保 · d ±b r = 0 (2.32)$${\oint }_l{F}_{\mathrm{保}}\cdot \mathrm{d}r=0\text{\hspace{1em}(2.32)}$$

如果某力的功与路径有关，或该力沿任意闭合路径的功值不等于零，则称这种力为非保守力，如摩擦力、爆炸力等． 在离水面的高度为 $H$ 的岸上，有人用大小不变的力 $F$ 拉绳使船靠岸，如图 2.22 所示．求船从离岸 $x_1$ 处移到 $x_2$ 处的过程中，力 $F$ 对船所做的功．

解

由题意知，虽然力的大小不变，但其方向在不断变化，故仍然是变力做功． 如图 2.22 所示，以岸边为坐标原点，向左为 $x$ 轴正方向，则力 $F$ 在坐标为 $x$ 处的任意一小段位移元 dx 上所做的元功为

r l d W & = F · d x = F cos α (- d x) & = - F frac xsqrt x ^ 2 + H ^ 2 d x$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}W& =F\cdot \mathrm{d}x=F\cos \alpha (-\mathrm{d}x)\\ & =-F\frac{x}{\sqrt{x^2+H^2}}\mathrm{d}x\end{array}$$

由于 $x_1>x_2$ ，所以力 $F$ 做正功．

r l W & = ∫_ x _ 1 ^ x _ 2 - F frac x d xsqrt x ^ 2 + H ^ 2 & = F (sqrt H ^ 2 + x _ 1 ^ 2 - sqrt H ^ 2 + x _ 2 ^ 2)$$\begin{array}{rl}W& ={\int }_{x_1}^{x_2}-F\frac{x\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+H^2}}\\ & =F(\sqrt{H^2+x_1^2}-\sqrt{H^2+x_2^2})\end{array}$$

于是

图2.22 例2.9图

例 2.10

一质点所受外力 $F=(y^2-x^2)i+3xyj$ (SI)，求质点由点(0,0)运动到点(2,4)的过程中力 $F$ 所做的功：（1）先沿 $x$ 轴由点(0,0)运动到点(2,0)，再平行于 $y$ 轴由点(2,0)运动到点(2,4)；(2)沿连接(0,0)、(2,4)两点的直线运动；(3)沿抛物线 $y=x^2$ 由点(0,0)运动到点(2,4).

解

（1）由点 $(0,0)$ 沿 $x$ 轴运动到点 $(2,0)$ ，此时 y=0，dy=0，所以

W _ 1 = ∫_ 0 ^ 2 F _ x d x = ∫_ 0 ^ 2 (- x ^ 2) d x = - frac 83 J$$W_1={\int }_0^2{F}_x\mathrm{d}x={\int }_0^2(-x^2)\mathrm{d}x=-\frac{8}{3}\mathrm{J}$$

(2) 因为由坐标原点到点 $(2,4)$ 的直线方程为 y = 2x，所以 由点(2,0)平行于 $y$ 轴运动到点(2,4)，此时 x=2，dx=0，故

r l W & = ∫_ 0 ^ 2 F _ x d x + ∫_ 0 ^ 4 F _ y d y & = ∫_ 0 ^ 2 (4 x ^ 2 - x ^ 2) d x + ∫_ 0 ^ 4 frac 32 y ^ 2 d y = 4 0 J$$\begin{array}{rl}W& ={\int }_0^2{F}_x\mathrm{d}x+{\int }_0^4{F}_y\mathrm{d}y\\ & ={\int }_0^2(4x^2-x^2)\mathrm{d}x+{\int }_0^4\frac{3}{2}{y}^2\mathrm{d}y=40\mathrm{J}\end{array}$$W _ 2 = ∫_ 0 ^ 4 F _ y d y = ∫_ 0 ^ 4 6 y d y = 4 8 J$$W_2={\int }_0^4{F}_y\mathrm{d}y={\int }_0^{4}6y\mathrm{d}y=48\mathrm{J}$$W = W _ 1 + W _ 2 = 4 5 frac 13 J$$W=W_1+W_2=45\frac{1}{3}\mathrm{J}$$

(3) 因为 $y=x^2$ ，所以

W = ∫_ 0 ^ 2 (x ^ 4 - x ^ 2) d x + ∫_ 0 ^ 4 3 y ^ frac 32 d y = frac 6 3 21 5 J$$W={\int }_0^2(x^4-x^2)\mathrm{d}x+{\int }_0^{4}3y^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}y=\frac{632}{15}\mathrm{J}$$

可见题中所示力是非保守力．

2.4.2 动能 动能定理

下面讨论力对物体做功后，物体的运动状态将发生的变化． 设有一质点沿任一曲线运动．在曲线上任取一位移元 $\mathrm{d}r$，则力 $F$ 在这段位移元上的功为

d W = boldsymbol F · d boldsymbol r = frac d (m boldsymbol v)d t · boldsymbol v d t = m boldsymbol v · d boldsymbol v$$\mathrm{d}W=\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{\mathrm{d}(m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t}\cdot \mathbf{v}\mathrm{d}t=m\mathbf{v}\cdot \mathrm{d}\mathbf{v}$$

与 $r\cdot dr$ 类似[见式(2.29)]，可得

boldsymbol v · d boldsymbol v = v d v$$\mathbf{v}\cdot \mathrm{d}\mathbf{v}=v\mathrm{d}v$$

所以

d W = m v d v = d (frac 12 m v ^ 2)$$\mathrm{d}W=mv\mathrm{d}v=\mathrm{d}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)$$

若质点由初位置1处运动到末位置2处，其速率由 $v_1$ 增至 $v_2$ ，则有

W = ∫_ 1 ^ 2 d W = ∫_ v _ 1 ^ v _ 2 d (frac 12 m v ^ 2) = frac 12 m v _ 2 ^ 2 - frac 12 m v _ 1 ^ 2$$W={\int }_1^2\mathrm{d}W={\int }_{v_1}^{v_2}\mathrm{d}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2$$

即

∫_ 1 ^ 2 boldsymbol F · d boldsymbol r = frac 12 m v _ 2 ^ 2 - frac 12 m v _ 1 ^ 2 (2.33)$${\int }_1^2\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2\text{\hspace{1em}(2.33)}$$

由式(2.33)可知，如果把 $\frac{1}{2}m{v}^2$ 看作一个独立的物理量，就可发现 $\frac{1}{2}m{v}^2$ 是与力在空间上的积累效应相联系的．$\frac{1}{2}m{v}^2$ 称为质点的动能．动能是标量，是与参考系的选择有关的相对量．如果令 $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$，则式(2.33)又可写成

W _ 1 - 2 = E _ k2 - E _ k1 (2.34)$$W_{1-2}=E_{k2}-E_{k1}\text{\hspace{1em}(2.34)}$$

式(2.34)说明外力对质点所做的功等于质点动能的增量．式(2.33)就是质点动能定理的数学表达式．

例 2.11

一质量为 $10\mathrm{kg}$ 的物体沿 $x$ 轴无摩擦地滑动， $t=0$ 时物体静止于原点。（1）物体在力 $F=3+4t(\mathrm{N})$ 的作用下运动了 $3\mathrm{s}$ 时，它的速度增至多大？（2）物体在力 $F=3+4x(\mathrm{N})$ 的作用下移动了 $3\mathrm{m}$ 时，它的速度增至多大？

解

（1）由动量定理 ${\int }_0^{t}F\mathrm{d}t=mv$ ，得 (2) 由动能定理 ${\int }_0^{x}F\mathrm{d}x=\frac{1}{2}m{v}^2$ ，得

v = ∫_ 0 ^ t frac Fm d t = ∫_ 0 ^ 3 frac 3 + 4 t1 0 d t = 2. 7 m/s$$v={\int }_0^t\frac{F}{m}\mathrm{d}t={\int }_0^3\frac{3+4t}{10}\mathrm{d}t=2.7m/s$$r l v & = sqrt ∫_ 0 ^ x frac 2 Fm d x = sqrt ∫_ 0 ^ 3 frac 2 (3 + 4 x)1 0 d x & = 2. 3 m/s$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{{\int }_0^x\frac{2F}{m}\mathrm{d}x}=\sqrt{{\int }_0^3\frac{2(3+4x)}{10}\mathrm{d}x}\\ & =2.3m/s\end{array}$$

2.4.3 势能

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在第1章已指出，描述质点机械运动状态的参量是位矢 $r$ 和速度 $v$ 。对应于状态参量 $v$ 引入了动能 $E_{\mathrm{k}}=E_{\mathrm{k}}(v)$ ，那么对应于状态参量 $r$ 可引入什么样的能量形式呢？下面讨论这个问题。 势能的定义和意义 在前面的讨论中已指出，保守力的功与质点运动的路径无关，仅取决于相互作用的两个物体的初态和末态的相对位置．如重力、万有引力、弹性力的功，其值分别为

r l & W _ text 重 = - (m g z - m g z _ 0) & W _ text 引 = - [ (- G frac m Mr) - (- G frac m Mr _ 0) ] & W _ text 弹 = - (frac 12 k x ^ 2 - frac 12 k x _ 0 ^ 2)$$\begin{array}{rl}& W_{\text{重}}=-(mgz-mg{z}_0)\\ & W_{\text{引}}=-\left[\left(-G\frac{mM}{r}\right)-\left(-G\frac{mM}{r_0}\right)\right]\\ & W_{\text{弹}}=-\left(\frac{1}{2}k{x}^2-\frac{1}{2}k{x}_0^2\right)\end{array}$$

可以看出，保守力做功的结果总是等于一个由相对位置决定的函数增量的负值。而功总是与能量的改变量相联系。因此，上述由相对位置决定的函数必定是某种能量的函数形式。现在将其称为势能函数，用 $E_p$ 表示。即

∫_ 1 ^ 2 ±b F _ 保 bullet d ±b r = - (E _ p - E _ p0) = - Δ E _ p (2.35)$${\int }_1^2{F}_{\mathrm{保}}\bullet \mathrm{d}r=-(E_{\mathrm{p}}-E_{p0})=-\Delta E_{\mathrm{p}}\text{\hspace{1em}(2.35)}$$

式(2.35)定义的只是势能之差，而不是势能函数本身．为了定义势能函数，可以将式(2.35)的定积分改写为不定积分，即

E _ p = - ∫ F _ 保 · d r + c (2.36)$$E_{\mathrm{p}}=-\int F_{\mathrm{保}}\cdot \mathrm{d}r+c\text{\hspace{1em}(2.36)}$$

式中，$c$ 是一个由系统的零势能点决定的积分常数． 式(2.36)表明只要已知一种保守力的力函数，即可求出与之相关的势能函数．例如，已知万有引力的力函数为

mathbf F = - G frac m Mr ^ 2 mathbf r _ 0$$\mathbf{F}=-G\frac{mM}{r^2}{\mathbf{r}}_0$$

数字资源潮汐 ↗

那么由式(2.36)知，与万有引力相对应的势能函数为

E _ p text 引 = - ∫ - G frac m Mr ^ 2 r _ 0 bullet d r = - G frac m Mr + c$$E_{\mathrm{p}\text{引}}=-\int -G\frac{mM}{r^2}{r}_0\bullet \mathrm{d}r=-G\frac{mM}{r}+c$$

如果令 $r\to \infty$ 时 $E_{\mathrm{p}}$ 引 $=0$ ，则 $c=0$．即取无穷远处为引力势能的零势能点时，引力势能函数为

E _ p引 = - G frac m Mr (2.37)$$E_{\mathrm{p}\mathrm{引}}=-G\frac{mM}{r}\text{\hspace{1em}(2.37)}$$

读者自己可以证明:若取离地面的高度 z = 0 的点为重力势能的零势能点(此时 c = 0),则重力势能函数为

E _ p text 重 = m g z (2.38)$$E_{\mathrm{p}\text{重}}=mgz\text{\hspace{1em}(2.38)}$$

对于弹簧的弹性力，若取弹簧自然伸长处为坐标原点和弹性势能的零势能点 (此时 c = 0), 则弹性势能函数为

E _ p 弹 = frac 12 k x ^ 2 (2.39)$$E_{\mathrm{p}\mathrm{弹}}=\frac{1}{2}k{x}^2\text{\hspace{1em}(2.39)}$$

有关势能的几点讨论如下． （1）势能是相对量，其值与零势能点的选择有关。零势能点的选择不同，式(2.36)中常数 $c$ 就不同。上面的讨论说明，对于给定的保守力的力函数，只要选取适当的零势能点，总可使 $c=0$ 。在一般情况下，这时的势能函数较为简洁，如式(2.37)、式(2.38)、式(2.39)所示。需要说明的是，并非在任何情况下，式(2.36)中的积分常数都一定能为零，这一点在静电场中尤为突出。 （2）势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应于一种保守力的函数就可引进一种相关的势能函数。因此，势能函数的形式就不可能像动能那样有统一的表达式。 （3）势能由以保守力形式相互作用的物体系统所共有．例如，式(2.37)所表示的实际上是物体 $m,M$ 互以万有引力作用的结果；式(2.38)所表示的实际上是物体与地球互以重力作用的结果；式(2.39)所表示的是物体与弹簧以弹性力相互作用的结果．在平常的叙述中，说某物体具有多少势能，这只是一种简便叙述，不能认为势能是某一物体所有． （4）由于势能由相互以保守力作用的系统所共有，因此式(2.35)的物理意义可解释为：一对保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，当保守力做正功时，系统势能减少；当保守力做负功时，系统势能增加。

*2.4.4 势能曲线

将势能随相对位置变化的函数关系用一条曲线描绘出来，就是势能曲线．图 2.23($a$)、($b$)、($c$)分别给出的就是重力势能、弹性势能及引力势能的势能曲线． 势能曲线可提供多种信息． (1) 质点在轨迹上任意位置时，质点系所具有的势能值可由势能曲线读出． (2) 势能曲线上任意一点处切线的斜率 $\left(\mathrm{d}{E}_{\mathrm{p}}/\mathrm{d}l\right)$ 的负值，表示质点在该处所受的保守力． 设有一保守系统，其中一质点沿 $x$ 轴方向做一维运动，则由式(2.36)有

d E _ p = - F (x) d x$$\mathrm{d}{E}_{\mathrm{p}}=-F(x)\mathrm{d}x$$

故可知
($a$) 重力势能的势能曲线

F (x) = - frac d E _ pd x (2.40)$$F(x)=-\frac{\mathrm{d}{E}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}x}\text{\hspace{1em}(2.40)}$$

($b$) 弹性势能的势能曲线
图 2.23 势能曲线
) 引力势能的势能曲线 势能函数取极值时，势能曲线的切线斜率为零，物体在相应位置受力为零，这些位置即为平衡位置。进一步的理论指出，势能曲线的极大值点是不稳定平衡位置，势能曲线的极小值点是稳定平衡位置，如图 2.24所示[图 2.24($c$) 引力势能的势能曲线 势能函数取极值时，势能曲线的切线斜率为零，物体在相应位置受力为零，这些位置即为平衡位置。进一步的理论指出，势能曲线的极大值点是不稳定平衡位置，势能曲线的极小值点是稳定平衡位置，如图2.24所示[图2.24($c$)表示随遇平衡位置]。
($a$) 稳定平衡位置
($b$) 不稳定平衡位置 图 2.24 势能曲线的极值点与平衡位置的对应关系 若质点做三维运动，则有
($c$) 随遇平衡位置
图 2.24 势能曲线的极值点与平衡位置的对应关系 若质点做三维运动，则有

boldsymbol F = F _ x boldsymbol i + F _ y boldsymbol j + F _ z boldsymbol k = - (frac ∂ E _ p∂ x boldsymbol i + frac ∂ E _ p∂ y boldsymbol j + frac ∂ E _ p∂ z boldsymbol k) (2.41)$$\mathbf{F}=F_x\mathbf{i}+F_y\mathbf{j}+F_z\mathbf{k}=-\left(\frac{\partial E_{\mathrm{p}}}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial E_{\mathrm{p}}}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial E_{\mathrm{p}}}{\partial z}\mathbf{k}\right)\text{\hspace{1em}(2.41)}$$

这是直角坐标系中由势能函数求保守力的一般式．

例 2.12

一刚度系数为 $k$ 的轻弹簧，下悬一质量为 $m$ 的物体而处于静止状态。今以该平衡位置为坐标原点，并作为系统的重力势能和弹性势能的零势能点，那么当物体 $m$ 偏离平衡位置的位移为 $x$ 时，整个系统的总势能为多少？

解

题中所指系统是由地球、弹簧、物体 $m$ 所组成的系统．为便于叙述，以弹簧原长处 (即自然伸长处) 为坐标原点 $O^{\prime }$，并以向下为 $x$ 轴正方向 (见图 2.25), 则当物体 $m$ 位于平衡位置 $O$ 点时，其坐标值为

x _ 1 ^ prime = frac m gk$$x_1^{\prime }=\frac{mg}{k}$$

由势能函数的定义可知，弹性势能为

E _ p弹 = frac 12 k x ^ prime 2 + c$$E_{\mathrm{p}\mathrm{弹}}=\frac{1}{2}k{x}^{\prime 2}+c$$

根据题意，物体 $m$ 在 $O$ 点时 $E_{p弹}=0$，所以 $c=-\frac{1}{2}k{x}_1^{\prime 2}$．即以 $O$ 点为弹性势能的零势能点时，系统的弹性势能表达式为

E _ p 弹 = frac 12 k x ^ prime 2 - frac 12 k x _ 1 ^ prime 2$$E_{\mathrm{p}\mathrm{弹}}=\frac{1}{2}k{x}^{\prime 2}-\frac{1}{2}k{x}_1^{\prime 2}$$

图2.25 例2.12图

当物体 $m$ 到 $O$ 点的距离为 $x$ 时，它相对于 $O^{\prime }$ 点的坐标 $x^{\prime }=x+x_1^{\prime }$ ，所以此时系统的弹性势能为

E _ p 弹 = frac 12 k (x + x _ 1 ^ prime) ^ 2 - frac 12 k x _ 1 ^ prime 2$$E_{\mathrm{p}\mathrm{弹}}=\frac{1}{2}k(x+x_1^{\prime }{)}^2-\frac{1}{2}k{x}_1^{\prime 2}$$= frac 12 k x ^ 2 + k x _ 1 ^ prime x = frac 12 k x ^ 2 + m g x$$=\frac{1}{2}k{x}^2+k{x}_1^{\prime }x=\frac{1}{2}k{x}^2+mgx$$

同时，题中又设 $O$ 点处重力势能为零，故 $x$ 处的重力势能为

= frac 12 k x ^ 2$$=\frac{1}{2}k{x}^2$$E _ p text 重 = - m g x$$E_{\mathrm{p}\text{重}}=-mgx$$

则总势能为

E _ p = E _ p 弹 + E _ p 重 = frac 12 k x ^ 2 + m g x - m g x$$E_{\mathrm{p}}=E_{\mathrm{p}\mathrm{弹}}+E_{\mathrm{p}\mathrm{重}}=\frac{1}{2}k{x}^2+mgx-mgx$$

这说明，对于竖直悬挂的弹簧，若以平衡位置为坐标原点及重力势能、弹性势能的零势能点，则此系统的总势能（或称系统的振动势能）为 $\frac{1}{2}k{x}^2$ 。这种处理方法在讨论弹簧振子的简谐振动能量时极为方便。

2.4.5 质点系的动能定理与功能原理

设一质点系有 $n$ 个质点，现考察第 $i$ 个质点．由2.3节可知，质点 $i$ 所受合力为 $F_{i\text{外}}+{\sum }_{j=1,j\ne i}^n{f}_{ji}$ ，则对质点 $i$ 应用动能定理有

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原理

∫_ 1 ^ 2 ±b F _ i text 外 bullet d ±b r _ i + ∫ ∑_ j = 1, j ≠ i ^ n ±b f _ j i bullet d ±b r _ i = frac 12 m _ i v _ i 2 ^ 2 - frac 12 m _ i v _ i 1 ^ 2$${\int }_1^2{F}_{i\text{外}}\bullet \mathrm{d}{r}_i+\int \sum _{j=1,j\ne i}^n{f}_{ji}\bullet \mathrm{d}{r}_i=\frac{1}{2}{m}_i{v}_{i2}^2-\frac{1}{2}{m}_i{v}_{i1}^2$$

对所有质点求和可得

∑_ i = 1 ^ n ∫_ 1 ^ 2 ±b F _ i text 外 bullet d ±b r _ i + ∑_ i = 1 ^ n ∫_ j = 1, j ≠ i ^ ∑_ j = 1, j ≠ i ^ n ±b f _ j i bullet d ±b r _ i = ∑_ i = 1 ^ n frac 12 m _ i v _ i 2 ^ 2 - ∑_ i = 1 ^ n frac 12 m _ i v _ i 1 ^ 2 (2.42)$$\sum _{i=1}^n{\int }_1^2{F}_{i\text{外}}\bullet \mathrm{d}{r}_i+\sum _{i=1}^n{\int }_{j=1,j\ne i}^{{\sum }_{j=1,j\ne i}^n}{f}_{ji}\bullet \mathrm{d}{r}_i=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{m}_i{v}_{i2}^2-\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{m}_i{v}_{i1}^2\text{\hspace{1em}(2.42)}$$

式 $(2.42)$ 便是质点系的动能定理的数学表达式．

在式(2.42)中，不能先求合力，再求合力的功．这是因为在质点系内各质点的位移 $d{r}_i$ 是不同的，不能作为公因子提到求和符号之外．因此，在计算质点系的功时，只能先求每个力的功，再对这些功求和． 在质点系内，内力总是成对出现．可以把内力分为保守内力和非保守内力．于是内力的功可分为两部分，即保守内力的功和非保守内力的功，现分别用 $W_{内保}$ 和 $W_{内非}$ 表示．如果再用 $W_{外}$ 表示质点系外力的功，用 $E_k$ 表示质点系的总动能，则式(2.42) 可表示为

W _ 外 + W _ 内非 + W _ 内保 = E _ k2 - E _ k1 (2.43)$$W_{\mathrm{外}}+W_{\mathrm{内非}}+W_{\mathrm{内保}}=E_{k2}-E_{k1}\text{\hspace{1em}(2.43)}$$

即质点系总动能的增量等于外力的功、质点系内保守内力的功和质点系内非保守内力的功三者之和，这称为质点系的动能定理． 考虑到一对保守内力的功之和等于相关势能增量的负值，即有 $W_{内保}=-\Delta E_p=-(E_{p2}-E_{p1})$ (式中 $E_p$ 表示系统内各种势能的和),则式(2.43)又可进一步表示成

W _ 外 + W _ 内非 = (E _ k2 - E _ k1) + (E _ p2 - E _ p1) (2.44)$$W_{\mathrm{外}}+W_{\mathrm{内非}}=(E_{k2}-E_{k1})+(E_{p2}-E_{p1})\text{\hspace{1em}(2.44)}$$

如果令

E = E _ k + E _ p (2.45)$$E=E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}}\text{\hspace{1em}(2.45)}$$

表示系统的机械能，则有

W _ 外 + W _ 内非 = E _ 2 - E _ 1 (2.46)$$W_{\mathrm{外}}+W_{\mathrm{内非}}=E_2-E_1\text{\hspace{1em}(2.46)}$$

这就是质点系的功能原理的数学表达式．即系统机械能的增量等于外力所做的功与非保守内力所做的功之和． 顺便指出，由于势能的大小与零势能点的选择有关，因此在运用功能原理解题时，应先指明系统的范围，并确定零势能点．

例 2.13

一轻弹簧的一端系于固定斜面的上端，另一端连着质量为 $m$ 的物块（见图 2.26），物块与斜面的滑动摩擦系数为 $\mu$ ，弹簧的刚度系数为 $k$ ，斜面倾角为 $\theta$ ，今将物块由弹簧的自然长度拉伸 $l$ 后由静止释放，物块开始运动，物块第一次静止在什么位置上？

解

以弹簧、物块、地球为系统，取弹簧自然伸长处为坐标原点，沿斜面向下为 $x$ 轴正方向，且以坐标原点为弹性势能和重力势能的零势能点，则由功能原理[式(2.46)]，在物块向上滑至 $x$ 处时，有

(frac 12 m v ^ 2 + frac 12 k x ^ 2 - m g x sin θ) - (frac 12 k l ^ 2 - m g l sin θ)$$\left(\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2-mgx\sin \theta \right)-\left(\frac{1}{2}k{l}^2-mgl\sin \theta \right)$$= - μ m g cos θ (l - x)$$=-\mu mg\cos \theta (l-x)$$

图2.26 例2.13图

物块静止位置与 $v=0$ 对应，故有 解得

frac 12 k x ^ 2 - m g x (sin θ + μ cos θ) +$$\frac{1}{2}k{x}^2-mgx(\sin \theta +\mu \cos \theta )+$$x = frac 2 m g (sin θ + μ cos θ)k - l$$x=\frac{2mg(\sin \theta +\mu \cos \theta )}{k}-l$$m g l (sin θ + μ cos θ) - frac 12 k l ^ 2 = 0$$mgl(\sin \theta +\mu \cos \theta )-\frac{1}{2}k{l}^2=0$$

方程的另一根 x = l，即初始位置，舍去。

2.4.6 机械能守恒定律

由功能原理[式(2.46)]可知： 若 $W_{外}+W_{内非}>0$ ，则系统的机械能增加； 若 $W_{外}+W_{内非}<0$ ，则系统的机械能减少； 若 $W_{外}+W_{内非}=0$ ，则系统的机械能保持不变。 现考虑 $W_{外}=0$ 的情况． 若 $W_{内非}>0$ ，则系统的机械能增加。如炸弹爆炸，人从静止开始走动，就属于这种情形（这里伴随有其他形式能量转化为机械能的过程）。 若 $W_{内非}<0$ ，则系统的机械能减少。如克服摩擦力做功，这样的非保守力常称为耗散力（这时伴随有机械能转化为其他形式能量的过程）。 若 $W_{内非}=0$ ，则系统的机械能守恒。 由以上分析可知，当系统所受合外力所做的功及非保守内力所做的功均为零时，系统的机械能保持不变．这就是机械能守恒定律． 当系统的机械能守恒时，有 或 即

r l & E _ k1 + E _ p1 = E _ k2 + E _ p2 & E _ p2 - E _ p1 = - (E _ k2 - E _ k1) & Δ E _ p = - Δ E _ k (2.47)$$\begin{array}{rl}& E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}\\ & E_{p2}-E_{p1}=-(E_{k2}-E_{k1})\\ & \Delta E_{\mathrm{p}}=-\Delta E_{\mathrm{k}}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.47)}$$

(2.48) 这表明系统势能的增量等于系统动能减少的量．

2.4.7 能量守恒定律

上面的讨论已指出，当 $W_{\text{外}}=0,W_{\text{内非}}\ne 0$ 时，虽然系统与外界无机械能的交换，但系统的机械能仍不守恒。那么，系统增加（或减少）的机械能是从何处来的（或向何处去了）呢？现在讨论 $W_{\text{外}}=0$ 的孤立系统情况。 大量事实证明，在孤立系统内，若系统的机械能发生了变化，必然伴随着等值的其他形式能量(如内能、电磁能、化学能、生物能及核能等)的增加或减少．这说明能量既不能消失也不会创生，只能从一种形式转化成另一种形式．也就是说，在一个孤立系统内，不论发生何种变化过程，各种形式的能量之间怎样转化，系统的总能量都将保持不变．这就是能量守恒定律．

数字资源时空对称性与守恒定律 ↗

时空对称性和守恒定律 能量守恒定律是自然界中的普遍规律．它不仅适用于物质的机械运动、热运动、电磁运动、核子运动等物理运动形式，而且适用于化学运动、生物运动等运动形式．由于运动是物质的存在形式，而能量又是物质运动的量度，因此，能量守恒定律的深刻含义是，运动既不能消失也不能创造，它只能由一种形式转化为另一种形式．能量的守恒在数量上体现了运动的守恒．

例 2.14

在光滑的水平台面上放有质量为 $M$ 的沙箱，一颗从左方飞来的质量为 $m$ 的子弹从沙箱左侧击入，在沙箱中前进一段距离 $l$ 后停止。在这段时间内沙箱向右运动的距离为 $\xi$ ，此后沙箱带着子弹匀速运动。求此过程中内力所做的功。（假定子弹所受阻力为一恒力）

解

如图 2.27 所示，设子弹对沙箱的作用力为 $f^{\prime }$，沙箱的位移大小为 $\xi$ ; 沙箱对子弹的作用力为 $f$．子弹的位移大小为 $\xi +l,f=-f^{\prime }$．则这一对内力做的功为 功之和不为零，它等于子弹与沙箱组成的系统的机械能的损失。损失的机械能转化为热能。

W = - f (ξ + l) + f ^ prime ξ = - f l ≠ 0$$W=-f(\xi +l)+f^{\prime }\xi =-fl\ne 0$$

说明 沙箱对子弹做的功 $-f(\xi +l)$ 与子弹对沙箱做的功 $f^{\prime }\xi =-f\xi$ 两者不相等；而这一对内力做的

图2.27 例2.14图

关于一对内力做的功之和的一般证明： 考虑质点系内第 $i$ 个质点和第 $j$ 个质点，设质点 $j$ 对质点 $i$ 的作用力为 ${\mathbf{F}}_{ji}$ ，质点 $i$ 对质点 $j$ 的作用力为 ${\mathbf{F}}_{ij}$ 。当 $i$ 和 $j$ 两个质点运动时，这一对作用与反作用内力均要做功。这两个力所做的元功之和应为

d W = boldsymbol F _ j i · d boldsymbol r _ i + boldsymbol F _ i j · d boldsymbol r _ j$$\mathrm{d}W={\mathbf{F}}_{ji}\cdot \mathrm{d}{\mathbf{r}}_i+{\mathbf{F}}_{ij}\cdot \mathrm{d}{\mathbf{r}}_j$$

由 $F_{ij}=-F_{ji}$ 可以得到

d W = boldsymbol F _ j i · (d boldsymbol r _ i - d boldsymbol r _ j) = boldsymbol F _ j i · d (boldsymbol r _ i - boldsymbol r _ j) = boldsymbol F _ j i · d boldsymbol r _ i j$$\mathrm{d}W={\mathbf{F}}_{ji}\cdot (\mathrm{d}{\mathbf{r}}_i-\mathrm{d}{\mathbf{r}}_j)={\mathbf{F}}_{ji}\cdot \mathrm{d}({\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j)={\mathbf{F}}_{ji}\cdot \mathrm{d}{\mathbf{r}}_{ij}$$

式中， $r_i$ 和 $r_j$ 分别为 $i$ 和 $j$ 两个质点对参考系坐标原点的位矢， $r_{ij}$ 是质点 $i$ 对质点 $j$ 的相对位矢， $d{r}_i$ 和 $d{r}_j$ 则分别是两个质点的位移元， $d{r}_{ij}$ 为两个质点间的相对位移元（见图 2.28）.

图2.28 一对内力做功之和

由以上讨论可得到两点结论： （1）由于 $d{r}_i$ 与 $d{r}_j$ 不一定相同， $d{r}_{ij}$ 一般不为零，故一对内力的元功之和一般不为零，一对内力做的功之和一般也不为零； (2) 因相对位矢 $r_{ij}$ 及相对位移元 $d{r}_{ij}$ 与参考系无关，故一对内力做的功之和也与参考系的选择无关．

例 2.15

如图 2.29 所示，一链条长为 $l$，质量为 $m$，放在桌面上并使其一部分下垂，下垂部分的长度为 $a$．设链条与桌面间的滑动摩擦系数为 $\mu$，令链条从静止开始运动．(1) 从开始运动到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功? (2) 链条离开桌面时的速率是多少?

解

（1）建立坐标系，如图 2.29所示．设某时刻链条下垂部分的长度为 $x$ ，则保留在桌面上的长度为 $l-x$ ，剩余长度所受摩擦力 $f=\mu mg(l-x)/l$ ，方向与滑动方向相反． 在链条滑落过程中，摩擦力做的功为

r l W _ f & = ∫_ a ^ l [ - μ n g (l - x) d x ] / l & = - [ frac μ n gl (l x - frac 12 x ^ 2) ] _ a ^ l & = - frac μ n g2 l (l - a) ^ 2$$\begin{array}{rl}{W}_f& ={\int }_a^l\left[-\mu ng(l-x)\mathrm{d}x\right]/l\\ & =-{\left[\frac{\mu ng}{l}\left(lx-\frac{1}{2}{x}^2\right)\right]}_a^l\\ & =-\frac{\mu ng}{2l}(l-a{)}^2\end{array}$$

（2）链条所受重力、摩擦力两个力做功，依据动能定理，则有

∑ W = W _ G + W _ f = frac 12 m v ^ 2 - frac 12 m v _ 0 ^ 2$$\sum W=W_G+W_f=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$$

而在滑落过程中，重力做的功为

例 2.16

试分析航天器的三种宇宙速度．

解

（1）第一宇宙速度．航天器绕地球运动所需的最小速度，称为第一宇宙速度．以地心为坐标原点，航天器在距地心 $r$ 处绕地球做圆周运动的速度为 $v_1$ ，则有

G frac m M _ 地r ^ 2 = m frac v _ 1 ^ 2r$$G\frac{m{M}_{\mathrm{地}}}{r^2}=m\frac{v_1^2}{r}$$v _ 1 = sqrt G frac M _ 地r = sqrt frac R ^ 2r g _ 0$$v_1=\sqrt{G\frac{M_{\mathrm{地}}}{r}}=\sqrt{\frac{R^2}{r}{g}_0}$$

式中，$m$ 为航天器的质量， $M_{地}$ 为地球的质量，$R$ 为地球半径， $g_0=G\frac{M_{地}}{R^2}$ 为地球表面处的重力加速度。若 r=R，则 图2.29 例2.15图

v _ 1 = sqrt R g _ 0 ≈ 7. 9 km/s$$v_1=\sqrt{R{g}_0}\approx 7.9km/s$$

这就是第一宇宙速度． (2) 第二宇宙速度．在地球表面处的航天器要脱离地球引力范围所需的最小速度，称为第二宇宙速度．

W _ G = ∫_ a ^ l frac m gl x d x = frac m g (l ^ 2 - a ^ 2)2 l$$W_G={\int }_a^l\frac{mg}{l}x\mathrm{d}x=\frac{mg(l^2-a^2)}{2l}$$

又 $v_0=0$ ，则

∑ W = frac m g (l ^ 2 - a ^ 2)2 l - frac μ m g (l - a) ^ 22 l = frac 12 m v ^ 2$$\sum W=\frac{mg(l^2-a^2)}{2l}-\frac{\mu mg(l-a{)}^2}{2l}=\frac{1}{2}m{v}^2$$

解得链条离开桌面时的速率为 以地球和航天器为系统，航天器在地球表面处的引力势能为 $-G\frac{m{M}_{地}}{R}$ ，动能为 $\frac{1}{2}m{v}_2^2$ ，航天器能脱离地球时，地球的引力可忽略不计，系统势能为零，动能的最小量为零，由机械能守恒定律，有

r l & frac 12 m v _ 2 ^ 2 - G frac m M _ 地R = 0 & v _ 2 = sqrt 2 R g _ 0 = sqrt 2 v _ 1 ≈ 1 1. 2 km/s$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2}m{v}_2^2-G\frac{m{M}_{\mathrm{地}}}{R}=0\\ & v_2=\sqrt{2R{g}_0}=\sqrt{2}{v}_1\approx 11.2km/s\end{array}$$

这就是第二宇宙速度． （3）第三宇宙速度．在地球表面发射的航天器，能逃逸出太阳系所需的最小速度，称为第三宇宙速度．作为近似处理，可分两步进行: 第一步，从地球表面把航天器送出地球引力圈，在此过程中略去太阳引力，这一步的计算方法与分析第二宇宙速度类似，所不同的是航天器还必须有剩余动能 $\frac{1}{2}m{v}^2$，因此有

frac 12 m v _ 3 ^ 2 - G frac m M _ 地R = frac 12 m v ^ 2$$\frac{1}{2}m{v}_3^2-G\frac{m{M}_{\mathrm{地}}}{R}=\frac{1}{2}m{v}^2$$

由前面的讨论知: $G\frac{m{M}_{地}}{R}=\frac{1}{2}m{v}_2^2$ ，代入上式，有 $v_3^2=v_2^2+v^2$ . 第二步，航天器由脱离地球引力圈的地点(近似为地球公转的轨道上)出发，继续运动，逃离太阳系，在此过程中，忽略地球的引力．以太阳为参考系，地球绕太阳的公转速度(相当于计算地球相对于太阳的第一宇宙速度)为

v _ 1 ^ prime = sqrt G frac M _ 太r _ 0 ≈ 3 0 : km/s$$v_1^{\prime }=\sqrt{G\frac{M_{\mathrm{太}}}{r_0}}\approx 30km/s$$

式中， $M_{\text{太}}$ 为太阳的质量， $r_0$ 为太阳中心到地球中心的距离。航天器逃离太阳引力范围所需的速度（相当于计算地球相对于太阳的第二宇宙速度）为

frac 12 m v _ 2 ^ prime 2 - G frac m M _ 太r _ 0 = 0$$\frac{1}{2}m{v}_2^{\prime 2}-G\frac{m{M}_{\mathrm{太}}}{r_0}=0$$v _ 2 ^ prime = sqrt frac 2 G M _ 太r _ 0 = sqrt 2 v _ 1 ^ prime ≈ 4 2. 4 : km/s$$v_2^{\prime }=\sqrt{\frac{2G{M}_{\mathrm{太}}}{r_0}}=\sqrt{2}{v}_1^{\prime }\approx 42.4km/s$$

为了充分利用地球的公转速度，必须使航天器在第二步开始时的速度沿公转方向，这样，在第二步开始时，航天器所需的相对地球速度为

v = v _ 2 ^ prime - v _ 1 ^ prime = 1 2. 4 km/s$$v=v_2^{\prime }-v_1^{\prime }=12.4km/s$$

这就是第一步航天器所需的剩余动能所对应的速度．因此 即

r l v _ 3 ^ 2 & = v _ 2 ^ 2 + v ^ 2 = 1 1. 2 ^ 2 km ^ 2 / s ^ 2 + 1 2. 4 ^ 2 km ^ 2 / s ^ 2 & = 1 6. 7 ^ 2 km ^ 2 / s ^ 2 & v _ 3 = 1 6. 7 km / s$$\begin{array}{rl}{v}_3^2& =v_2^2+v^2=11.2^2{\mathrm{km}}^2/{\mathrm{s}}^2+12.4^2{\mathrm{km}}^2/{\mathrm{s}}^2\\ & =16.7^2{\mathrm{km}}^2/{\mathrm{s}}^2\\ & v_3=16.7\mathrm{km}/\mathrm{s}\end{array}$$

这就是第三宇宙速度． 以上三种宇宙速度仅为理论上的最小速度，没有考虑空气阻力的影响．