15.1 黑体辐射 普朗克量子假设

第15章 量子物理基础

量子物理是研究微观粒子(线度约为 $10^{-10}$ m) 运动规律及物质的微观结构的理论．量子论和相对论是 20 世纪初的重大理论成果，是近、现代物理学的理论支柱． 1900 年，普朗克用能量量子化的假设成功地解释了黑体辐射规律，标志着量子论的诞生． 1905 年，爱因斯坦提出了光量子的概念，成功地解释了光电效应． 1913 年，玻尔在卢瑟福提出的原子有核模型的基础上，应用量子化概念，解释了氢原子光谱的规律． 1922 年，康普顿进一步证实了光的量子性．这一时期的量子论，对微观粒子的本性还缺乏全面认识，因此称为早期量子论或旧量子论． 1924 年，德布罗意提出微观粒子的波粒二象性的假说，指出微观粒子也具有波动性． 1927 年，戴维孙和革末的电子衍射实验证实了电子具有波动性． 1926 年，薛定谔发表《波动力学》, 提出微观实物粒子所遵守的波动方程，即薛定谔方程，这与 1925 年海森伯建立的矩阵力学是等价的，它们是量子力学最初的两种不同形式． 1926 年，玻恩对物质波作出统计解释． 1927 年，海森伯提出不确定关系． 1928 年，狄拉克把量子力学和狭义相对论相结合，创立了相对论量子力学．至此，量子力学的体系基本建立起来了． 量子力学的建立，开辟了人们认识微观世界的道路，帮助人们找到了探索原子、分子的微观结构及在原子、分子水平上探索物质结构的理论武器.1927年以后，量子 力学被广泛应用于研究微观物理学的各领域中，如原子、原子核、固体、半导体等，取得了巨大成就．这些研究成果，催生了新的技术，促进了生产力的发展． 量子论在解决实际问题中不断发展.1939年，海森伯和泡利建立了量子场论．而量子电动力学就是关于电磁场 的量子论.20世纪70年代又出现了量子色动力学、量子味动力学，这些理论都还在发展之中． 现在，从粒子物理到天体物理、从化学到生物和医学、从晶体管到大规模集成电路、从激光到超导材料，几乎一切高新技术都离不开量子论．可以说，人们的日常生活已经和量子论密切相关，没有量子论就没有现代物质文明． 本篇首先介绍早期量子论，只介绍薛定谔方程及其在几个一维问题中的应用，以及量子力学对氢原子和多电子原子的应用的几个主要结论; 其次简单介绍原子核物理、粒子物理、固体的能带理论、激光、超导、纳米科学技术; 最后介绍玻色-爱因斯坦凝聚态．

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数字资源量子力学的十大应用 ↗

章按照量子论发展史，首先介绍早期量子论，其次介绍量子力学，最后介绍原子物理学的主要内容．

15.1.1 热辐射 黑体辐射定律

当加热一铁块时，温度在 $300^{\circ }$ C 以下，只感觉到它发热，看不见发光．随着温度的升高，不仅物体辐射的能量愈来愈大，而且物体颜色开始呈暗红色，继而变为赤红、橙红、黄白色，温度达到 $1500^{\circ }$ C 后，出现白光．其他物体加热时发光的颜色也有类似的随温度而改变的现象．这说明在不同温度下物体能发出不同波长的电磁波．实验表明，任何物体在任何温度下，都向外发射波长不同的电磁波．在不同的温度下发出的各种电磁波的能量按波长的分布有所不同，这种能量按波长的分布随温度而不同的电磁辐射叫作热辐射． 为了定量描述某物体在一定温度下发出的能量随波长的分布，引入单色辐射本领(也叫作单色辐出度)的概念．波长为 $\lambda$ 的单色辐射本领是指单位时间内从物体的单位面积上发出的波长在 $\lambda$ 附近的单位波长间隔所辐射的能量．通常用 $M_{\lambda }(T)$ 表示．在国际单位制(SI)中，它的单位名称为瓦每立方米，符号为 $W/m^3$ . 任何物体在任何温度下，不但能辐射电磁波，还能吸收电磁波．理论和实验表明，辐射本领大的表面，其吸收本领也大，反之亦然．物体表面越黑，吸收本领越大，辐射本领也越大．能全部吸收投射在它上面的各种波长的电磁波的物体叫作绝对黑体，简称黑体．黑体的吸收本领最大，辐射本领也最大．在自然界中，黑体是不存在的，即使最黑的烟煤也只能吸收99%的入射光能．若不管用什么材料制成一个空腔，在腔壁上开一小孔，就是一个黑体模型，如图 15.1所示．入射到小孔的电磁波，进入小孔后在腔内多次反射被吸收，几乎没有电磁波再从小孔出来，这与构成空腔的材料无关．从辐射的角度看，如果将空腔加热到一定温度，内壁发出的辐射也是经过多次反射后射出小孔，所以小孔的辐射实际上就是黑体辐射． 黑体辐射只与温度有关．保持一定温度，用实验方法测出黑体单色辐射本领随波长变化的曲线．取不同的温度得到不同的实验曲线，如图 15.2 所示．由图 15.2 可看出，在任何确定的温度下，黑体对不同波长的单色辐射本领是不同的，在某一波长值 ${\lambda }_{\mathrm{m}}$ 处有极大值，当温度升高时，极大值向短波方向移动，同时曲线向上抬高并变得更为尖锐．根据实验结果，可得下面两条黑体辐射定律．

图15.1 黑体模型

图 15.2 黑体单色辐射本领随波长变化的实验曲线

1. 斯特藩-玻尔兹曼定律

由实验曲线可得黑体辐射的总辐射本领(也叫作辐射出射度，可用曲线与$x$轴所围的区域的面积表示)为

M _ b (T) = ∫_ 0 ^ ∞ M _ b λ (T) d λ$$M_{\mathrm{b}}(T)={\int }_0^{\infty }{M}_{\mathrm{b}\lambda }(T)\mathrm{d}\lambda$$

它与温度的 4 次方成正比，即

M _ b (T) = σ T ^ 4 (15.1)$$M_{\mathrm{b}}(T)=\sigma T^4\text{\hspace{1em}(15.1)}$$

实验测得 $\sigma =5.670\times 10^{-8}{\text{W/(m}}^2\cdot {\text{K}}^4)$ ，称为斯特藩常量。这个规律称为斯特藩-玻尔兹曼定律。可见，黑体的总辐射本领随温度的升高而急剧增加。

2. 维恩位移定律

在任意温度下，黑体的辐射本领都有一个极大值，这个极大值对应的波长用 ${\lambda }_m$ 表示，称为峰值波长。 ${\lambda }_m$ 与温度 $T$ 有如下确定的关系：

T λ_ m = b (15.2)$$T{\lambda }_{\mathrm{m}}=b\text{\hspace{1em}(15.2)}$$

实验测得 $b=2.898\times 10^{-3}m\cdot K$ ，称为维恩常数。式(15.2)称为维恩位移定律。 根据维恩位移定律，可知温度升高，峰值波长向短波方向移动．可以得出，温度较低(常温), 辐射波长在红外区，随着温度的升高，${\lambda }_m$ 向短波方向移动，辐射则由红变黄、变白．

例 15.1

在地球大气层外的飞船上，测得太阳辐射本领的峰值在 465 nm 处．假定太阳是一个黑体，试计算太阳表面的温度和单位面积辐射的功率．

解 根据维恩位移定律 $T{\lambda }_m=b$ 可得太阳表面的温度为 $T=\frac{b}{{\lambda }_m}=\frac{2.898\times 10^{-3}}{465\times 10^{-9}}K=6232K$

根据斯特藩-玻尔兹曼定律，太阳单位面积所辐射的功率为 $M=\sigma T^4=5.670\times 10^{-8}\times 6232^{4}W/m^2$ $=8.552\times 10^{7}W/m^2$

15.1.2 普朗克量子假设

要从理论上解释黑体辐射定律，就必须从理论上找出黑体的单色辐射本领 $M_{\mathrm{b}\lambda }(T)$ 与 $\lambda ,T$ 的具体函数形式。19世纪末，许多物理学家在经典物理学的基础上寻找这一关系式，结果都失败了。其中最典型的是维恩公式和瑞利-金斯公式。1896年，维恩利用辐射按波长的分布类似于麦克斯韦分子速度分布的思想，得出理论公式：

M _ b λ (T) = C _ 1 λ^ - 5 e ^ - frac C _ 2λ T$$M_{\mathrm{b}\lambda }(T)=C_1{\lambda }^{-5}{\mathrm{e}}^{-\frac{C_2}{\lambda T}}$$

这个公式在短波部分与实验结果接近，但在长波部分与实验结果偏差较大．瑞利(1900年)和金斯(1905年)根据经典电磁理论和线性谐振子能量按自由度均分的思想，得到的理论公式为

M _ b λ (T) = C _ 3 λ^ - 4 T$$M_{\mathrm{b}\lambda }(T)=C_3{\lambda }^{-4}T$$

这个公式在波长很长的情况下与实验结果接近，在短波部分则与实验结果完全不符，物理学史上称其为“紫外区的灾难”。以上两式中的 $C_1,C_2,C_3$ 都是常数。

数字资源1900 年,普朗克从理论上推导出一个与实验结果符合得非常好的公式:普朗克 ↗

M _ b λ (T) = 2 π h c ^ 2 λ^ - 5 frac 1e ^ h c / λ k T - 1 (15.3)$$M_{\mathrm{b}\lambda }(T)=2\pi h{c}^2{\lambda }^{-5}\frac{1}{{\mathrm{e}}^{hc/\lambda kT}-1}\text{\hspace{1em}(15.3)}$$

称为普朗克公式．式中，$c$ 为真空中的光速，$k$ 为玻尔兹曼常量，$e$ 为自然对数的底，$h$ 为普朗克常量．由实验测定

h = 6. 6 2 6 0 7 0 1 5 × 1 0 ^ - 3 4 J · s$$h=6.62607015\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$$

为推导出这个公式，普朗克提出了如下两条假设，其中第二条假设是与经典理论互相矛盾的． （1）黑体由带电谐振子组成（即把组成空腔壁的分子、原子的振动看作线性谐振子）。这些谐振子辐射电磁波，并和周围的电磁场交换能量。 中国物理学家 （2）这些谐振子的能量不能连续变化，只能取一些分立值，这些分立值是最小能量 $\epsilon$ 的整数倍，即

数字资源叶企孙 ↗

ε , 2 ε , 3 ε , … , n ε , … (n text 为正整数，称为量子数)$$\epsilon ,2\epsilon ,3\epsilon ,\dots ,n\epsilon ,\dots (n\text{为正整数，称为量子数})$$

而且假设频率为 $\nu$ 的谐振子的最小能量为

ε = h ν$$\epsilon =h\nu$$

称为能量子，$h$ 称为普朗克常量。 根据普朗克公式可以推导出斯特藩-玻尔兹曼定律和维恩位移定律，这说明理论与实验结果符合得很好．图 15.3 所示为热辐射的理论公式与实验结果的比较．

图 15.3 热辐射的理论公式与实验结果的比较(○表示实验结果)

普朗克的量子假设打破了经典物理认为能量连续的概念，这是一个新的重大发现，开创了物理学的新时代．普朗克常量 $h$ 是近代物理学最重要的常量之一，它是近代物理学和经典物理学的判据．因此，把 1900 年普朗克提出的量子假设作为量子论的起点．

例 15.2

某物体辐射频率为 $6.0\times 10^{14}$ Hz 的黄光，这种辐射的能量子的能量是多大?

解 根据普朗克能量子公式 $\epsilon =h\nu =6.63\times 10^{-34}\times 6.0\times 10^{14}\text{ J}$ $=4.0\times 10^{-19}\text{ J}$

此能量就是辐射体在辐射或吸收黄光过程中最小的能量单元．

例 15.3

质量 $m=1.0kg$ 的物体和刚度系数 $k=20N/m$ 的弹簧组成谐振子系统，系统以振幅 $A=0.01m$ 振动。（1）如果该系统的能量是按照普朗克假设量子化的，则量子数 $n$ 为多大？（2）如果 $n$ 改变一个单位，则系统能量的变化量与原系统能量的比值为多大？

解

（1）该谐振子的振动频率

r l ν & = frac 12 π sqrt frac km = frac 12 π sqrt frac 2 01 . 0 Hz & = 0. 7 1 Hz$$\begin{array}{rl}\nu & =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{20}{1.0}}\mathrm{Hz}\\ & =0.71\mathrm{Hz}\end{array}$$

量子数为 系统的机械能为

r l n & = frac Eε = frac Eh ν = frac 1 . 0 × 1 0 ^ - 36 . 6 3 × 1 0 ^ - 3 4 × 0 . 7 1 & = 2. 1 × 1 0 ^ 3 0$$\begin{array}{rl}n& =\frac{E}{\epsilon }=\frac{E}{h\nu }=\frac{1.0\times 10^{-3}}{6.63\times 10^{-34}\times 0.71}\\ & =2.1\times 10^{30}\end{array}$$r l E & = frac 12 k A ^ 2 = frac 12 × 2 0 × 0. 0 1 ^ 2 J & = 1. 0 × 1 0 ^ - 3 J$$\begin{array}{rl}E& =\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}\times 20\times 0.01^2\mathrm{J}\\ & =1.0\times 10^{-3}\mathrm{J}\end{array}$$

(2) 如果改变一个单位，系统能量的变化量与原系统能量的比值为

frac Δ EE = frac h νn h ν = frac 1n = frac 12 . 1 × 1 0 ^ 3 0 = 5 × 1 0 ^ - 3 1$$\frac{\Delta E}{E}=\frac{h\nu }{nh\nu }=\frac{1}{n}=\frac{1}{2.1\times 10^{30}}=5\times 10^{-31}$$

可见，对宏观谐振子，量子数 $n$ 非常大， $n$ 每改变一个单位，能量的变化非常小，实际上是无法观察到的，所以可认为能量是连续变化的。对于宏观物体（系统），因为普朗克常量 $h$ 非常小，可认为趋近于零，量子化的特性显示不出来；对于微观振子（分子、原子等）， $\Delta E=h\nu$ 和 $E$ 的数量级可以比拟，普朗克常量 $h$ 不可忽略，量子化的特性便突出显现出来了。