1.4 相对运动

在 1.1 节中曾指出，选取不同的参考系，对同一物体运动的描述就会不同，这反映了运动描述的相对性．下面研究同一质点在有相对运动的两个参考系中的位移、速度和加速度之间的关系．

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当研究大轮船上物体的运动时，既要知道该物体相对于河岸的运动，又要知道该物体相对于轮船的运动．设观察者在河岸，为此把河岸(地球)定义为静止参考系，而把轮船定义为运动参考系．但是，当研究宇宙飞船的发射时，则只能把太阳作为静止参考系，而把地球作为运动参考系．这就是说，“静止参考系”“运动参考系”的称谓都是相对的．一般情况下，研究地面上物体的运动时，把地球作为静止参考系比较方便． 当定义了静止参考系后，对于一个处于运动参考系中的物体，把它相对于静止参考系的运动称为绝对运动，把运动参考系相对于静止参考系的运动称为牵连运动，把物体相对于运动参考系的运动称为相对运动．显然，这些称谓也是相对的． 如图 1.16所示，设 $S$ 为静止参考系， $S^{\prime }$ 为运动参考系。为简单计，假定相应坐标轴保持相互平行， $S^{\prime }$ 系相对于 $S$ 系沿 $x$ 轴正方向做直线运动。这时两参考系间的相对运动情况，可用 $S^{\prime }$ 系的坐标原点 $O^{\prime }$ 相对于 $S$ 系的坐标原点 $O$ 的运动来代表。设有一质点位于 $S^{\prime }$ 系中的 $P$ 点，它对 $S$ 系的位矢为 $r$ （绝对位矢），对 $S^{\prime }$ 系的位矢为 $r^{\prime }$ （相对位矢），而 $O^{\prime }$ 点对 $O$ 点的位矢为 $r_0$ （牵连位矢）。由矢量加法的三角形定则可知， $r,r^{\prime },r_0$ 之间有如下关系：

图 1.16 运动描述的相对性

boldsymbol r = boldsymbol r _ 0 + boldsymbol r ^ prime (1.28)$$\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0+{\mathbf{r}}^{\prime }\text{\hspace{1em}(1.28)}$$

即绝对位矢等于牵连位矢与相对位矢的矢量和． 将式 $(1.28)$ 两边对时间求导，可得

boldsymbol v = boldsymbol v _ 0 + boldsymbol v ^ prime (1.29)$$\mathbf{v}={\mathbf{v}}_0+{\mathbf{v}}^{\prime }\text{\hspace{1em}(1.29)}$$

式中， $v$ 为绝对速度， $v_0$ 为牵连速度， $v^{\prime }$ 为相对速度． 将式 $(1.29)$ 两边对时间求导，可得

boldsymbol a = boldsymbol a _ 0 + boldsymbol a ^ prime (1.30)$$\mathbf{a}={\mathbf{a}}_0+{\mathbf{a}}^{\prime }\text{\hspace{1em}(1.30)}$$

式中，$a$ 为绝对加速度， $a_0$ 为牵连加速度， $a^{\prime }$ 为相对加速度． 需要说明的是，式(1.28)、式(1.29)、式(1.30)所表示的位矢、速度、加速度的合成定则，只在物体的运动速度远小于光速时才成立．当物体的运动速度与光速接近时，上述三式不再成立，此时遵循的是相对论时空坐标、速度、加速度的变换法则．另外，当两个参考系之间还有相对转动时，它们的速度、加速度之间的关系要复杂得多，此处就不作讨论了．

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当讨论处于同一参考系内质点系中各质点间的相对运动时，可以利用以上结论表示质点间的相对位矢和相对速度． 在雨中走还是跑淋雨少？ 设某质点系由 $A$、$B$ 两质点组成。它们对某一参考系的位矢分别为 $r_A$ 和 $r_B$ ，如图 1.17 所示。质点系内质点 $B$ 对质点 $A$ 的位矢显然是由质点 $A$ 引向质点 $B$ 。由图 1.17 可知，应用矢量减法的三角形定则，则有$r_{BA}$ 。由图 1.17 可知，应用矢量减法的三角形定则，则有

图1.17 相对位矢

boldsymbol r _ B A = boldsymbol r _ B - boldsymbol r _ A$${\mathbf{r}}_{BA}={\mathbf{r}}_B-{\mathbf{r}}_A$$

(1.31) $r_{BA}$ 称为质点 $B$ 对质点 $A$ 的相对位矢． 将式 $(1.31)$ 对时间求一阶导数，可得质点$B$对质点$A$的相对速度为

±b v _ B A = ±b v _ B - ±b v _ A (1.32)$$v_{BA}=v_B-v_A\text{\hspace{1em}(1.32)}$$

例 1.9

如图 1.18($a$) 所示，河宽为 $L$，河水以恒定速度 $u$ 流动，岸边有 $A$、$B$ 两码头，$A$、$B$ 的连线与岸边垂直，码头 $A$ 处有船相对于河水以恒定速率 $v_0$ 开动，证明: 船在 $A$、$B$ 两码头间往返一次所需时间为

t = frac frac 2 Lv _ 0sqrt 1 - (frac uv _ 0) ^ 2$$t=\frac{\frac{2L}{v_0}}{\sqrt{1-{\left(\frac{u}{v_0}\right)}^2}}$$

(船换向时间忽略不计).
($a$)

图1.18 例1.9图

证明

设船相对于岸边的速度（绝对速度）为 $v$ ，由题意知， $v$ 的方向必须指向 $A$、$B$ 的连线，此时河水流速 $u$ 为牵连速度，船对水的速度 $v_0$ 为相对速度，于是有

boldsymbol v = boldsymbol u + boldsymbol v _ 0$$\mathbf{v}=\mathbf{u}+{\mathbf{v}}_0$$

据此作出矢量图，如图 1.18($b$) 所示，由图知

v = sqrt v _ 0 ^ 2 - u ^ 2$$v=\sqrt{v_0^2-u^2}$$

读者自己可证当船由 $B$ 返回 $A$ 时，船对岸的速度的模亦由上式给出．因为在 $A$、$B$ 两码头往返一次的路程为 2L, 故所需时间为

t = frac 2 Lv = frac 2 Lsqrt v _ 0 ^ 2 - u ^ 2 = frac frac 2 Lv _ 0sqrt 1 - (frac uv _ 0) ^ 2$$t=\frac{2L}{v}=\frac{2L}{\sqrt{v_0^2-u^2}}=\frac{\frac{2L}{v_0}}{\sqrt{1-{\left(\frac{u}{v_0}\right)}^2}}$$

讨论： (1) 若 u = 0，即河水静止，则 $t=\frac{2L}{v_0}$ ，这是显然的． (2) 若 $u=v_0$ ，即河水流速 $u$ 等于船对水的速率 $v_0$ ，则 $t\to \infty$ ，即船由码头 A（或 $B$）出发后就永远不能再回到原出发点了． （3）若 $u>v_0$ ，则 $t$ 为一虚数，这是没有物理意义的，即船不能在 $A$、$B$ 间往返． 综合上述讨论可知，船在 $A$、$B$ 间往返的必要条件是

v _ 0 > u$$v_0>u$$

例 1.10

如图 1.19($a$)所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速率为 $v_1$ ，下落雨滴的速度方向与铅直方向成 $\theta$ ，车后有一物体M[尺寸如图 1.19($v_2$ ，车后有一物体M[尺寸如图1.19($a$)所示]，车速 $v_1$ 为多大时，物体$M$刚好不会被雨水淋湿？
($a$)

图1.19 例1.10图

($b$)

解

根据式(1.32)可得 由图 1.19($b$)可算得

±b v _ 雨车 = ±b v _ 雨 - ±b v _ 车 = ±b v _ 2 - ±b v _ 1 = ±b v _ 2 + (- ±b v _ 1)$$v_{\mathrm{雨车}}=v_{\mathrm{雨}}-v_{\mathrm{车}}=v_2-v_1=v_2+(-v_1)$$

据此可作出矢量图，如图 1.19($b$)所示．即此时 $v_{雨车}$，而由图 1.19($\alpha$，而由图1.19($a$)有

H = v _ 2 cos θ$$H=v_2\cos \theta$$tan α = frac Lh$$\tan \alpha =\frac{L}{h}$$v _ 1 = v _ 2 sin θ + H tan α = v _ 2 sin θ + v _ 2 frac Lh cos θ$$v_1=v_2\sin \theta +H\tan \alpha =v_2\sin \theta +v_2\frac{L}{h}\cos \theta$$