13.5 X 射线的衍射

$X$射线又称为伦琴射线，是伦琴于1895年发现的。它是一种人眼看不见的、具有很强的穿透能力的电磁波，波长在 $0.01\sim 10\mathrm{nm}$ 之间。图 13.18为$X$射线管的结构示意图。K是发射电子的热阴极，$A$是阳极。两极间加数万伏高压，阴极发射的电子在强电场的作用下加速，高速电子撞击阳极（靶）而产生$X$射线。

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图 13.18 X 射线管的结构示意图

$X$射线既然是一种电磁波，就应该与可见光一样有干涉和衍射现象。但由于它的波长太短，故用普通光栅观察不到$X$射线的衍射现象，而且也无法用机械方法制造出光栅常量与$X$射线的波长相近的光栅。1912年，德国物理学家劳厄(Laue)想到晶体内的原子是规则排列的，天然晶体实际上就是光栅常量很小的天然三维空间光栅。将晶体作为光栅，劳厄成功地进行了$X$射线衍射实验。他让一束$X$射线穿过铅挡板上的小孔照射到晶体上，如图 13.19所示，结果晶体后面的感光胶片上形成按一定规律分布的斑点，称为劳厄斑点。实验的成功既证明了$X$射线具有波动性质，也证明了晶体内的原子是按一定的间隔、规则排列的。从此，人们开始广泛利用$X$射线作晶体结构分析。 1913年，英国布拉格（Bragg）父子提出了另一种研究$X$射线照射晶体时，晶体点阵中的原子（或离子）便成为发射子波的波源，向各个方向发出衍射波（也称为散射波），这些衍射波都是相干波，它们的叠加可分两种情况来研究：一是从同一原子层中各原子发出衍射波的相干叠加（称为点间干涉）；二是从不同原子层中各原子发出衍射波的相干叠加（称为面间干涉）。布拉格父子证明了：只有在以晶面为镜面并满足反射定律的方向上，点间干涉和面间干涉才能同时满足衍射主极大的条件． 如图 13.20 所示，设两原子层之间的距离为 $X$射线照射晶体时，晶体点阵中的原子（或离子）便成为发射子波的波源，向各个方向发出衍射波（也称为散射波），这些衍射波都是相干波，它们的叠加可分两种情况来研究：一是从同一原子层中各原子发出衍射波的相干叠加（称为点间干涉）；二是从不同原子层中各原子发出衍射波的相干叠加（称为面间干涉）。布拉格父子证明了：只有在以晶面为镜面并满足反射定律的方向上，点间干涉和面间干涉才能同时满足衍射主极大的条件． 如图 13.20 所示，设两原子层之间的距离为 $d$，称为晶格常数(或晶面间距), 当一束平行相干的 $X$ 射线以掠射角 $\phi$ 入射时，相邻两原子层的反射线的光程差为

A C + B C = 2 d sin φ$$AC+BC=2d\sin \phi$$

显然，符合下述条件

2 d sin φ = k λ (k = 1, 2, 3, …) (13.13)$$2d\sin \phi =k\lambda (k=1,2,3,\dots )\text{\hspace{1em}(13.13)}$$

时，各层晶面的反射线都将相互加强，形成亮点．式（13.13）就是著名的布拉格公式．

图13.19 劳厄实验

图13.20 布拉格方法

从式(13.13)可知，如果已知$d$和 $\phi$，则可算出$X$射线的波长 $\lambda$ ;同理，若已知$X$射线的波长 $\lambda$ 和 $\phi$，则可推算出晶体的晶格常数$d$．沿这两方面分别发展起来的$X$射线光谱分析法和$X$射线晶体结构分析法，无论是在物质结构的研究中，还是在工程技术上都有极大的应用价值．

例 13.8

用方解石分析 $X$ 射线谱，已知方解石的晶格常数为 $3.029\times 10^{-10}$ m, 今在 $43^{\circ }20^{\prime }$ 和 $40^{\circ }42^{\prime }$ 的掠射方向上观察到两条最大谱线，求这两条谱线的波长．

解

根据布拉格公式

2 d sin φ = k λ$$2d\sin \phi =k\lambda$$r l λ_ 1 & = 2 × 3. 0 2 9 × 1 0 ^ - 1 0 × sin 4 3 ^ circ 2 0 ^ prime m & = 4. 1 5 × 1 0 ^ - 1 0 m = 0. 4 1 5 nm$$\begin{array}{rl}{\lambda }_1& =2\times 3.029\times 10^{-10}\times \sin 43^{\circ }20^{\prime }\mathrm{m}\\ & =4.15\times 10^{-10}\mathrm{m}=0.415\mathrm{nm}\end{array}$$

对于主极大 $(k=1)$ 谱线，其波长为 对于 ${\phi }_2=40^{\circ }42^{\prime }$ ，相应的波长为

λ = 2 d sin φ$$\lambda =2d\sin \phi$$

对于 ${\phi }_1=43^{\circ }20^{\prime }$ ，相应的波长为

r l λ_ 2 & = 2 × 3. 0 2 9 × 1 0 ^ - 1 0 × sin 4 0 ^ circ 4 2 ^ prime m & = 3. 9 5 × 1 0 ^ - 1 0 m = 0. 3 9 5 nm$$\begin{array}{rl}{\lambda }_2& =2\times 3.029\times 10^{-10}\times \sin 40^{\circ }42^{\prime }\mathrm{m}\\ & =3.95\times 10^{-10}\mathrm{m}=0.395\mathrm{nm}\end{array}$$

例 13.9

比较两条单色的 $X$ 射线的谱线时注意到，谱线 $A$ 在与一个晶体的光滑面成 $30^{\circ }$ 的掠射角处给出第 1 级反射极大．已知谱线 $B$ 的波长为 0.097 nm, 谱线 $B$ 在与同一晶体的同一光滑面成 $60^{\circ }$ 的掠射角处，给出第 3 级反射极大．试求谱线 $A$ 的波长．

解

根据布拉格公式

2 d sin φ = k λ$$2d\sin \phi =k\lambda$$2 d sin 6 0 ^ circ = 3 λ_ B$$2d\sin 60^{\circ }=3{\lambda }_{\mathrm{B}}$$

对波长为 ${\lambda }_{\mathrm{A}}$ 的$X$射线有

2 d sin 3 0 ^ circ = λ_ A$$2d\sin 30^{\circ }={\lambda }_{\mathrm{A}}$$

因此

frac λ_ A3 λ_ B = frac sin 3 0 ^ circsin 6 0 ^ circ$$\frac{{\lambda }_{\mathrm{A}}}{3{\lambda }_{\mathrm{B}}}=\frac{\sin 30^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}$$

对波长为 ${\lambda }_{\mathrm{B}}$ 的$X$射线有

r l λ_ A & = frac 3 λ_ B sin 3 0 ^ circsin 6 0 ^ circ = frac 3 × 0 . 0 9 7 × sin 3 0 ^ circsin 6 0 ^ circ nm & = 0. 1 6 8 nm$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{\mathrm{A}}& =\frac{3{\lambda }_{\mathrm{B}}\sin 30^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\frac{3\times 0.097\times \sin 30^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\mathrm{nm}\\ & =0.168\mathrm{nm}\end{array}$$