9.4 电场强度与电势的关系

9.4.1 等势面

电势是标量,静电场中各点的电势一般是逐点变化的.但是,总存在某些电势相等的点.由电势相等的各点所构成的曲面叫作等势面.如点电荷电场中,电势 $U=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$ ,说明其等势面是球面.而点电荷电场的电场线沿半径方向,所以电场线与等势面处处正交. 实际上,不仅是点电荷的电场,在任意静电场中,等势面与电场线总是处处正交.证明如下. 设在任意静电场中,电荷 $q_0$ 沿着等势面上一位移元 dl 从 $a$ 点移到 $b$ 点,则电场力做的功为

$$\mathrm{d}W=q_0\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}l=q_{0}E\cos \theta \mathrm{d}l=q_0(U_a-U_b)=0$$

因为上式中 $q_0,E,\mathrm{d}l$ 均不等于零，所以

$$\cos \theta =0,\theta =\frac{\pi }{2}$$

说明 $E$ 与 dl 垂直, 即电场线与等势面正交. 如果让正电荷 $q_0$ 沿任意静电场的电场线上的位移元 $\mathrm{d}l$ 从 $a$ 点移到 $b^{\prime }$ 点，则电场力做的功为

$$\mathrm{d}{W}^{\prime }=q_{0}E\cdot \mathrm{d}l=q_{0}E\mathrm{d}l\cos 0=q_{0}E\mathrm{d}l>0$$

又有

$$\mathrm{d}{W}^{\prime }=q_0(U_a-U_{b^{\prime }})$$

因此 $U_a-U_{b^{\prime }}>0$ ，即 $U_a>U_{b^{\prime }}$ ，电场线总是指向电势降落的方向。 为了使等势面能反映电场的强弱,画等势面时,规定电场中任意两相邻等势面间的电势差都相等,则电场强度较大的区域等势面较密集,电场强度较小的区域等势面较稀疏. 测绘等势面是研究电场的一种有效方法. 在实际应用中, 经常先通过测量绘出带电体周围电场的等势面, 再由此推知电场的分布. 图 9.17 所示为几种常见电场的等势面和电场线, 图中的虚线表示等势面, 实线表示电场线.
($a$) 正点电荷

(b) 电偶极子

(c) 正、负带电板

图 9.17 几种常见电场的等势面和电场线

($d$) 不规则形状的带电导体

*9.4.2 电场强度与电势梯度的关系

电势定义式 $U={\int }_r^{\infty }E\cdot \mathrm{d}l$ 反映了静电场中电势与电场强度的积分关系，在求出电场强度分布后，可由该式求得电势分布.然而，在许多实际问题中，静电场的电势分布往往更容易求得，要由电势分布求得电场强度分布，就必须了解电场强度与电势的微分关系. 在任意静电场中，取两个十分靠近的等势面，电势分别为 $U$ 和 $U+\mathrm{d}U$ ，且设 $\mathrm{d}U>0,a$ 点在电势为 $U$ 的等势面上， $b$ 点在电势为 $U+\mathrm{d}U$ 的等势面上，从 $a$ 点到 $b$ 点的位移元为dl，如图 9.18所示.当正电荷 $q_0$ 从 $a$ 点沿dl移到 $b$ 点时，电场强度 $E$ 近似不变，则电场力做的功为

$$W=q_0(U_a-U_b)=q_0[U-(U+\mathrm{d}U)]=-q_0\mathrm{d}U$$

图9.18 $E$ 与 $U$ 的关系

另外

$$W=q_0\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=q_{0}E\cos \theta \mathrm{d}l=q_0{E}_l\mathrm{d}l$$

式中， $E_l=E\cos \theta$ ，是电场强度$E$在dl方向上的分量。由上面两式可得

$$-\mathrm{d}U=E_l\mathrm{d}l$$

即

$$E_l=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}l}$$

此式表明:电场中某一点的电场强度 $E$ 沿某一方向的分量 $E_l$ 等于电势沿该方向变化率的负值. 显然, 在直角坐标系中, $U$ 是 $x$、$y$、$z$ 的函数, 电场强度 $E$ 在 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴三个方向上的分量分别为

$$E_x=-\frac{\partial U}{\partial x},E_y=-\frac{\partial U}{\partial y},E_z=-\frac{\partial U}{\partial z}$$

即电场强度 $E$ 的矢量表达式可写成

$$\mathbf{E}=-\left(\frac{\partial U}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial U}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial U}{\partial z}\mathbf{k}\right)\text{\hspace{1em}(9.21a)}$$

在数学上，矢量 $\frac{\partial U}{\partial x}i+\frac{\partial U}{\partial y}j+\frac{\partial U}{\partial z}k$ 称为电势的梯度，用 $\mathrm{grad}U$ 或 $\nabla U$ 表示. 因此，式(9.21a)又可写成

$$\mathbf{E}=-\mathrm{grad}U=-\nabla U\text{\hspace{1em}(9.21b)}$$

式中

$$\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial z}\mathbf{k}$$

式(9.21b)表明:电场中任意一点的电场强度等于该点电势梯度的负值.在国际单位制(SI)中,电势梯度的单位名称为伏特每米,符号为V/m,电场强度也用这个单位.

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由图 9.18可知，在两等势面之间，从 $a$ 点沿不同方向的电势变化率不同。其中沿等势面法线 $n$ 方向的电势变化率最大。若以 $\mathrm{dn}$ 表示 $a$ 点处两等势面的法向距离， $n_0$ 表示法线 $n$ 方向上的单位矢量，同时考虑到电场线与等势面正交且指向电势降落的方向， $n$ 指向电势升高的方向，即电场强度 $E$ 沿法线 $n$ 的相反方向，则有 压电体

$$E=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}n}{n}_0$$

因为电势梯度与电场强度的关系为

$$\mathrm{grad}U=\nabla U=-E$$

所以电势梯度为

$$\mathbf{grad}U=\nabla U=\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}n}{\mathbf{n}}_0$$

即电势梯度是一个矢量,它的大小为电势沿等势面法线方向的变化率,它的方向沿等势面法线方向且指向电势增大的方向.

例 9.14

利用电场强度与电势梯度的关系,求半径为 $R$、面电荷密度为 $\sigma$ 的均匀带电圆盘轴线上的电场强度.

解

如图 9.19 所示, 取圆环 $dS=2\pi rdr$ , 圆环的带电量 $dq=\sigma 2\pi rdr=\sigma \pi d{r}^2$ , 电荷 dq 在轴线上距离圆盘中心 $O$ 点 $x$ 的 $P$ 点产生的电势为

$$\mathrm{d}U=\frac{\sigma \pi \mathrm{d}{r}^2}{4\pi {\epsilon }_0(r^2+x^2{)}^{1/2}}$$

则圆盘在 $P$ 点产生的电势为

$$\begin{array}{rl}U& =\int \mathrm{d}U=\frac{\sigma }{4{\epsilon }_0}{\int }_0^R\frac{\mathrm{d}{r}^2}{(r^2+x^2{)}^{1/2}}\\ & =\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}(\sqrt{R^2+x^2}-x)\end{array}$$

因此 $P$ 点处的电场强度分量为

$$E_x=-\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\left(1-\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}\right)$$$$E_y=-\frac{\partial U}{\partial y}=0$$

图9.19 例9.14图

$$E_z=-\frac{\partial U}{\partial z}=0$$

即轴线上一点的电场强度为

$$\mathbf{E}=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\left(1-\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}\right)\mathbf{i}$$