7.3 温度的微观本质

7.3.1 温度的统计解释

温度是一个热学中特有的物理量,它在宏观上表征了物质冷热状态的程度.那么温度的微观本质是什么呢? 可对理想气体状态方程进行改写.由

数字资源·理想气体的温度和统计解释

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解释

$$pV=\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}}RT$$

得

$$p=\frac{N}{V}\cdot \frac{R}{N_{\mathrm{A}}}T$$

式中， $N_A=6.022\times 10^{23}mo{l}^{-1}$ ，为阿伏伽德罗常量。令 $k=\frac{R}{N_A}=1.38\times 10^{-23}J/K$ ，$k$为玻尔兹曼常量，于是理想气体状态方程可改写为

$$p=nkT\text{\hspace{1em}(7.3)}$$

现将压强公式(7.2)与式(7.3)比较,可得

$$\overline{w}=\frac{3}{2}kT\text{\hspace{1em}(7.4)}$$

式(7.4)给出了宏观量温度 $T$ 与微观量的统计平均值 $\overline{w}=\frac{1}{2}m\overline{v^2}$ 之间的关系, 揭示了温度的微观本质,即温度是气体分子平均平动动能的量度.分子的平均平动动能越大,也就是分子热运动的强度越剧烈,则温度就越高.分子的平均平动动能是大量分子的统计结果,是集体表现,对于个别或少量分子,说它们的温度是无意义的. 由式(7.4)可知,如果各种气体有相同的温度,则它们的分子平均平动动能均相等;如果一种气体的温度高些,则这一种气体分子的平均平动动能要大些.按照这个观点,热力学零度将是理想气体分子热运动停止时的温度,然而实际上分子运动是永远不会停息的,热力学零度也是永远不可能达到的.而且近代量子理论证实,即使达到热力学零度,组成固体点阵的粒子也还保持着某种振动的能量,称为零点能量.至于(实际)气体,则在温度未达到热力学零度以前,就已变成液体或固体了,式(7.4)也早就不适用了.

7.3.2 气体分子的方均根速率

根据气体分子平均平动动能与温度的关系式(7.4)，可求出给定气体在一定温度下，分子运动速率平方的平均值。如果把该平方的平均值开方，就可得出气体速率的一种平均值，称为气体分子的方均根速率。 由

$$\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT$$

有

$$\sqrt{v^2}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M_{\mathrm{mol}}}}\text{\hspace{1em}(7.5)}$$

式中， $M_{mol}$ 是给定气体的摩尔质量。由式(7.5)可知，方均根速率和气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。对于同一种气体，温度越高，方均根速率越大。在同一温度下，气体分子质量或摩尔质量越大，方均根速率越小。在0℃时，氢气分子的方均根速率为1830 m/s，氧气分子的方均根速率为461 m/s，氮气分子的方均根速率为491 m/s，空气分子的方均根速率为485 m/s。