7.2 理想气体的压强

热力学系统是由大量分子、原子等做无规则运动的微观粒子组成的,若要从微观上来讨论理想气体,了解其宏观状态参量(如温度、压强等)与微观粒子的运动之间的关系,首先应明确平衡态下理想气体分子的微观模型和性质.

7.2.1 理想气体分子模型和统计假设

从分子运动和分子相互作用来看,理想气体的分子模型可从下面几点来理解. (1) 分子可以看作质点. 在标准状态下,气体分子间的平均距离约为分子有效直径的50倍.气体越稀薄,分子间距比其有效直径越大.所以,一般情况下,气体分子可视为质点. (2) 除碰撞外, 分子力可以略去不计. 由于气体分子间距很大,除碰撞瞬间有力的作用外,分子间的相互作用力可以忽略.因此,在两次碰撞之间,分子做匀速直线运动,即自由运动. (3) 分子间的碰撞是完全弹性的. 由于处于平衡态下,气体的宏观性质不变,这表明系统的能量不因碰撞而损失.因此,分子间及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性碰撞. 综上所述,理想气体的分子模型是弹性的、自由运动的质点. 在含有大量分子的理想气体中,由于频繁的碰撞,一个分子的运动状态是极为复杂和难以预测的,而大量分子的整体却呈现确定的规律性,这是统计平均的效果.平衡态时,理想气体分子的统计假设如下. (1) 在无外场作用时, 气体分子在各处出现的概率相同. 平均而言, 分子的数密度 $n$ 处处相同, 沿各个方向运动的分子数相同. (2) 分子可以有各种不同的速度, 速度取向在各方向上是等概率的. 在平衡态下,气体的性质与方向无关,每个分子速度按方向的分布是完全相同的,各个方向上速率的各种平均值相等,如

$$\overline{v_x}=\overline{v_y}=\overline{v_z},\overline{v_x^2}=\overline{v_y^2}=\overline{v_z^2}=\frac{1}{3}\overline{v^2}$$

7.2.2 理想气体的压强公式

从微观上看,单个分子对器壁的碰撞是间断的、随机的;而大量分子对器壁的碰撞是连续的、恒定的,也就是说,气体对器壁的压强应该是大量分子对容器不断碰撞的统计平均结果.因此,推导压强公式的基本思路是:先按力学规律计算任一个分子$i$碰撞一次施于器壁的冲量 $\left(\Delta p_i\right)$ ,再计算在单位时间内该分子对器壁的作用 $\left(\overline{F_i}=\frac{\Delta p_i}{\Delta t_i}\right)$ ,然后将所有分子在单位时间内对器壁的作用进行统计平均 $\left(\overline{F}={\sum }_i^N\overline{F_i}\right)$ ,得出理想 气体压强公式 $\left(p=\frac{\bar{F}}{S}\right)$ 的统计表述. 假设有一边长分别为 $l_1,l_2$ 和 $l_3$ 的长方形容器，储有 $N$ 个质量为 $m$ 的同类气体分子。如图 7.2所示，在平衡态下器壁各处压强相同，任选器壁的一个面，如选择与 $x$ 轴垂直的 $A_1$ 面，计算其所受压强。

图 7.2 气体压强公式的推导图

在大量分子中,任选一个分子 $i$,设其速度为

$${\mathbf{v}}_i=v_{ix}\mathbf{i}+v_{iy}\mathbf{j}+v_{iz}\mathbf{k}$$

当分子 $i$ 与 $A_1$ 面碰撞时，由于碰撞是完全弹性的，故该分子在 $x$ 方向上的速度分量由 $v_{ix}$ 变为 $-v_{ix}$ ，所以在碰撞过程中该分子的 $x$ 方向的动量增量为

$$\Delta p_{ix}=(-m{v}_{ix})-(m{v}_{ix})=-2m{v}_{ix}$$

由动量定理知,它等于器壁施于该分子的冲量,又由牛顿第三定律知,分子 $i$ 在每次碰撞时对器壁的冲量为 $2m{v}_{ix}$ . 分子 $i$ 与 $A_1$ 面碰撞后弹回做匀速直线运动，并与其他分子相碰。由于两个质量相等的弹性质点完全弹性碰撞时交换速度，故可等价于分子 $i$ 直接飞向 $A_2$ 面，与 $A_2$ 面碰撞后又回到 $A_1$ 面再做碰撞。分子 $i$ 在相继两次与 $A_1$ 面碰撞的过程中，在 $x$ 轴上移动的距离为 $2l_1$ ，因此，分子 $i$ 相继两次与 $A_1$ 面碰撞的时间间隔为 $\Delta t=2l_1/v_{ix}$ 。那么，单位时间内分子 $i$ 对 $A_1$ 面的碰撞次数 $Z=1/\Delta t=v_{ix}/2l_1$ 。所以，在单位时间内分子 $i$ 对 $A_1$ 面的冲量等于 $2m{v}_{ix}\frac{v_{ix}}{2l_1}$ 。根据冲量的定义，该冲量就是分子 $i$ 对 $A_1$ 面的平均冲力 $({\overline{F}}_{ix})$ ，即

$${\overline{F}}_{ix}=2m{v}_{ix}\frac{v_{ix}}{2l_1}$$

所有分子对 $A_1$ 面的平均作用力为上式对所有分子求和，即

$${\overline{F}}_x=\sum _{i=1}^N{\overline{F}}_{ix}=\frac{m}{l_1}\sum _{i=1}^N{v}_{ix}^2$$

由压强定义有

$$p=\frac{{\overline{F}}_x}{l_2{l}_3}=\frac{m}{l_1{l}_2{l}_3}\sum _{i=1}^N{v}_{ix}^2=\frac{mN}{l_1{l}_2{l}_{3}N}\sum _{i=1}^N{v}_{ix}^2$$

分子数密度(单位体积的分子数) $n=\frac{N}{l_1{l}_2{l}_3}$ ,$x$轴方向上速度平方的平均值 $\overline{v_x^2}=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{v}_{ix}^2$ ，故

$$p=nm\overline{v_x^2}$$

又平衡态下有

$$\overline{v_x^2}=\overline{v_y^2}=\overline{v_z^2}$$

及

$$\overline{v^2}=\overline{v_x^2}+\overline{v_y^2}+\overline{v_z^2}$$

所以有

$$\overline{v_x^2}=\frac{1}{3}\overline{v^2}$$ $$p=\frac{1}{3}nm\overline{v^2}=\frac{2}{3}n\left(\frac{1}{2}m\overline{v^2}\right)$$

令 $\overline{w}=\frac{1}{2}m\overline{v^2}$ ， $\overline{w}$ 表示分子的平动动能的平均值，简称分子的平均平动动能，则

$$p=\frac{2}{3}n\overline{w}\text{\hspace{1em}(7.2)}$$

式(7.2)称为理想气体的压强公式,它表明气体作用于器壁的压强正比于分子数密度 $n$ 和分子的平均平动动能 $\overline{w}$ . 分子数密度越大,压强越大; 分子的平均平动动能越大,压强也越大. 压强公式建立了宏观量 $p$ 与微观量的统计平均值 $\overline{w}$ 和 $n$ 之间的相互关系，表明了压强是个统计量。由于单个分子对器壁的碰撞是不连续的，产生的压力起伏不定，故只有在气体分子数足够大时，器壁所受到的压力才有确定的统计平均值。因此，论及个别或少量分子的压强是无意义的。