第7章 习题（解答题）

解答题

习题 7.3.1

气体在平衡态时有何特征？气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同？

习题 7.3.2

气体动理论的研究对象是什么？理想气体的宏观模型和微观模型各如何？

习题 7.3.3

何谓微观量？何谓宏观量？它们之间有什么联系？

习题 7.3.4

一组粒子的速率如题 7.3.4 表所示, 计算其平均速率和方均根速率. 题7.3.4表

$N_i$	21	4	6	8	2
$v_i/(m\cdot s^{-1})$	10.0	20.0	30.0	40.0	50.0

习题 7.3.5

速率分布函数 $f(v)$ 的物理意义是什么？试说明下列各量的物理意义（ $n$ 为分子数密度， $N$ 为系统总分子数）. (1) $f(v)\mathrm{d}v$ ; (2) $nf(v)\mathrm{d}v$ ; (3) $Nf(v)\mathrm{d}v$ ; (4) ${\int }_0^{v}f(v)\mathrm{d}v$ ; (5) ${\int }_0^{\infty }f(v)\mathrm{d}v$ ; (6) ${\int }_{v_1}^{v_2}Nf(v)\mathrm{d}v$ .

习题 7.3.6

最概然速率的物理意义是什么？方均根速率、最概然速率和平均速率，它们各有何用处？

习题 7.3.7

容器中盛有温度为 $T$ 的理想气体,该气体分子的平均速度是多少?为什么?

习题 7.3.8

在同一温度下,不同气体分子的平均平动动能相等,就氢分子和氧分子比较,氧分子的质量比氢分子大,所以氢分子的速率一定比氧分子大,对吗?

习题 7.3.9

如果盛有气体的容器相对某坐标系运动,容器内的分子速度相对这坐标系也增大了,温度也因此而升高吗?

习题 7.3.10

题 7.3.10 图($a$) 所示是氢气和氧气在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线, 哪一条代表氢气? 题 7.3.10 图($b$) 所示是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线, 哪一条的温度较高?
题7.3.10图

习题 7.3.11

习题 7.3.12

温度概念的适用条件是什么？温度的微观本质是什么？下列系统各有多少个自由度？（1）在一平面上滑动的粒子；（2）可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币；（3）一弯成三角形的金属棒在空间自由运动。试说明下列各量的物理意义。（1） $\frac{1}{2}kT$ ；（2） $\frac{3}{2}kT$ ；（3） $\frac{i}{2}kT$ ；（4） $\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}}$ $\frac{i}{2}RT$ ；（5） $\frac{i}{2}RT$ ；（6） $\frac{3}{2}RT.$

习题 7.3.14

有两种不同的理想气体, 同压、同温而体积不等, 则下述各量是否相同? (1) 分子数密度; (2) 气体质量密度; (3) 单位体积内气体分子总平动动能; (4) 单位体积内气体分子的总动能.

习题 7.3.15

何谓理想气体的内能? 为什么理想气体的内能是温度的单值函数?

习题 7.3.16

如果氢和氦的物质的量和温度相同, 则下列各量是否相等? 为什么? (1) 分子的平均平动动能; (2) 分子的平均动能; (3) 内能.

习题 7.3.17

有一水银气压计, 当水银柱高为 0.76 m 时, 管顶离水银柱液面 0.12 m, 管的横截面积为 $2.0\times 10^{-4}{m}^2$ , 当有少量氦(He)混入水银管内顶部时, 水银柱高度下降为 0.6 m, 此时温度为 $27^{\circ }C$ , 试计算在管顶的氦气的质量(He 的摩尔质量为 0.004 kg/mol).

习题 7.3.18

设有 $N$ 个粒子的系统, 其速率分布如题 7.3.18 图所示. 求: (1) 分布函数 $f(v)$ 的表达式; (2)a 与 $v_0$ 之间的关系; (3) 速度在 $1.5v_0\sim 2.0v_0$ 之间的粒子数; (4) 粒子的平均速率; (5) $0.5v_0\sim v_0$ 范围内粒子的平均速率.

习题 7.3.19

试计算理想气体分子热运动速率的大小介于 $v_P-v_P/100$ 与 $v_P+v_P/100$ 之间的分子数占总分子数的百分比.
题7.3.18图

习题 7.3.20

容器中储有氧气,其压强为 $p=0.1\mathrm{MPa}$ , 温度为 $27^{\circ }\mathrm{C}$ . 求: (1) 单位体积中的分子数 $n$ ; (2) 氧分子的质量 $m$ ; (3) 气体密度 $\rho$ ; (4) 分子间的平均距离 $\bar{e}$ ; (5) 平均速率 $\bar{v}$ ; (6) 方均根速率 $\sqrt{v^2}$ ; (7) 分子的平均动能 $\bar{\epsilon }$ .

习题 7.3.21

· 1 mol 氢气，在温度为 $27^{\circ }$ C 时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少？

习题 7.3.22

有一瓶氧气、一瓶氢气，它们等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求：(1) 氧气和氢气分子数密度之比；(2) 氧分子和氢分子的平均速率之比.

习题 7.3.23

一真空管的真空度约为 $1.38\times 10^{-3}\mathrm{Pa}$ (1.0×10 ${}^{-5}$ mmHg)，试求在 27 ℃ 时单位体积中的分子数及分子的平均自由程（设分子的有效直径 $d=3\times 10^{-10}\mathrm{m}$ ）。

习题 7.3.24

(1) 求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；(2) 若温度不变，气压降到 $1.33\times 10^{-4}\mathrm{Pa}$ ，平均碰撞频率又为多少（设分子的有效直径为 $10^{-10}\mathrm{m}$ ）？

习题 7.3.25

1 mol 氧气从初态出发,经过等容升压过程,压强增大为原来的 2 倍,然后又经过等温膨胀过程,体积增大为原来的 2 倍,求末态与初态之间:(1)气体分子方均根速率之比;(2)分子平均自由程之比.

习题 7.3.26

飞机起飞前机舱中的压力计指示为1.0 atm( $1.013\times 10^5$ Pa)，温度为27℃；起飞后压力计指示为0.8 atm( $0.8104\times 10^5$ Pa)，温度仍为27℃，试计算飞机距地面的高度。

习题 7.3.27

什么高度处的大气压强为地面的 $75\%$ (设空气的温度为 $0^{\circ }\mathrm{C}$ )?

习题 7.3.28

在标准状态下，氦气的黏度 $\eta =1.89\times 10^{-5}Pa\cdot s$ ，摩尔质量 $M_{mol}=0.004kg/mol$ ，分子平均速率 $\bar{v}=1.20\times 10^{3}m/s$ 。试求在标准状态下氦分子的平均自由程。

习题 7.3.29

在标准状态下,氦气的热导率 $\kappa =5.79\times 10^{-2}W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ , 分子平均自由程 $\bar{\lambda }=2.60\times 10^{-7}\mathrm{m}$ , 试求氦分子的平均速率.

习题 7.3.30

实验测得在标准状态下,氧气的扩散系数 $D=1.9\times 10^{-5}{m}^2/s$ , 试根据此数据计算分子的平均自由程和分子的有效直径.

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