6.7 色散 波包 群速度

6.7.1 色散

前面的讨论指出，在一般情况下，简谐波在弹性介质中传播时，波速只由介质的力学性质决定。即不同频率的波在同一介质中传播时具有相同的速度。这种介质叫作无色散介质。但在有些介质中，波的传播速度与频率有关，即不同频率的波在同一介质中传播时波速不同，这种介质叫作色散介质。例如，深水区域里的水面波，其波速 $u=\sqrt{\frac{g\lambda }{2\pi }}$ ，即波速与波长或频率有关，这时的水介质即为色散介质，相应的水面波称为色散波。

6.7.2 波包

与振动的叠加类似，在无色散介质中，几个频率相同、振动方向相同的简谐波叠加后，合成波仍然是简谐波（请注意与干涉相区别）。但是，即使在无色散介质中，不同频率的简谐波叠加，合成波就不再是简谐波，而是比较复杂的复合波。在复合波中波列的振幅随质元位置 $x$ 时大时小地变化，显现为一团一团地振动，故称为波群或波包，如图 6.35所示。

图6.35 波包

与几列简谐波可以合成波包相反，一列任意的波，可以是周期性的或者非周期性的，如一个孤立的波包（脉冲波），可以分解为许多个简谐波.

6.7.3 群速度

如果有两列频率相近的简谐波在介质中叠加, 就会形成如图 6.36 所示的波包. 在图中可以看出, 合成波显现为一个波包一个波包地向前传播. 图 6.36 中的包络线(虚线)是波包的形状. 这时在介质中有两种传播速度, 一种是简谐波的传播速度, 即相速度; 另一种是波包(包络线)的传播速度, 即群速度. 下面的讨论将表明, 在无色散介质中, 群速度与相速度相等, 而在色散介质中, 这两种速度不相等. 设有两列频率相近的简谐波均沿 $x$ 轴正方向传播, 它们的波函数分别为(简单起见, 设两列波的振幅相等)

$$y_1=A\cos ({\omega }_{1}t-K_{1}x)$$ $$y_2=A\cos ({\omega }_{2}t-K_{2}x)$$

图6.36 波包的传播

式中， ${\omega }_1$ 、 ${\omega }_2$ 分别为两列波的角频率； $K_1$ 、 $K_2$ 分别为两列波的波矢，其中 $K_1=\frac{{\omega }_1}{u_1}=\frac{2\pi }{{\lambda }_1}$ ， $K_2=\frac{{\omega }_2}{u_2}=\frac{2\pi }{{\lambda }_2}$ ， $u_1$ 、 $u_2$ 分别为两列波的相速度， ${\lambda }_1$ 、 ${\lambda }_2$ 分别为两列波的波长。它们的合成波的波函数为

$$y=y_1+y_2=2A\cos \left(\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{2}t-\frac{K_1-K_2}{2}x\right)\cos \left(\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}t-\frac{K_1+K_2}{2}x\right)$$

令 ${\omega }^{\prime }=\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{2},K^{\prime }\overline{\frac{K_1-K_2}{2}},\bar{\omega }=\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2},\bar{K}=\frac{K_1+K_2}{2}$ ，则

$$y=2A\cos ({\omega }^{\prime }t-K^{\prime }x)\cos (\bar{\omega }t-\overline{K}x)$$

再令

$$A^{\prime }=2A\cos ({\omega }^{\prime }t-K^{\prime }x)\text{\hspace{1em}(6.77)}$$

则有

$$y=A^{\prime }\cos (\bar{\omega }t-\bar{K}x)\text{\hspace{1em}(6.78)}$$

由于 ${\omega }_1$ 和 ${\omega }_2$ 很接近，即 $\left|{\omega }_1-{\omega }_2\right|\ll {\omega }_1+{\omega }_2$ ，故 $A^{\prime }$ 变化缓慢，因此式(6.78)可看成一列振幅 $A^{\prime }$ 发生缓慢变化的余弦波。若坐标 $x$ 取定值，就是第 5 章讨论的拍振动。若时间 $t$ 取定值，就是图 6.36 所示的空间拍，而式(6.77)就是波包的包络线方程，如图 6.36 中虚线所示。 如果我们追踪观察包络线上的某一确定值点,如最大值点,则由图 6.36可以看出,它在沿$x$轴正方向传播.有

$${\omega }^{\prime }t-K^{\prime }x=\text{常数}$$

将上式微分得

$${\omega }^{\prime }\mathrm{d}t-K^{\prime }\mathrm{d}x=0$$

于是得包络线移动的速度,即群速度为

$$v_{\mathrm{群}}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{{\omega }^{\prime }}{K^{\prime }}=\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{K_1-K_2}=\frac{\Delta \omega }{\Delta K}$$

因频差 ${\omega }_1-{\omega }_2$ 很小，故可用 $\frac{d\omega }{dK}$ 代替 $\frac{\Delta \omega }{\Delta K}$ ，即

$$v_{\mathrm{群}}=\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}K}=\frac{\mathrm{d}(uK)}{\mathrm{d}K}=u+K\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}K}\text{\hspace{1em}(6.79)}$$

由式(6.79)可知,对于无色散波,相速度$u$与频率无关,即 $\frac{du}{dK}=0$ ,于是群速度等于相速度.这是因为在无色散介质中,每个分波的相速度都相同,其复合波速度当然也与该介质中的相速度相同;对于色散波,相速度与频率有关,则 $\frac{du}{dK}\ne 0$ ,因而群速度不等于相速度. 我们知道,波是传播信息的重要手段.但只有复合波才能传递信息.理想的简谐波在无限长的时间内始终以同一振幅和不变的频率传播,所以不能携带任何信息.而在复合波中信息传递的速度就是波包移动的速度,即信息是以群速度传播的. 最后还应该指出，式(6.79)只在无色散或色散不大的介质中成立。在这种情况下，波包包络线的形状在较长距离中大体保持不变。若介质色散较厉害 $(\mathrm{du}/\mathrm{d}K$ 较大），则由于各列分波相速度差异显著，波包在传播过程中会逐渐摊平，终至弥散消失，在这种情况下再讨论群速度也就没有意义了。