5.5 阻尼振动 受迫振动 共振

5.5.1 阻尼振动

前面所讨论的简谐振动是一种理想状况, 即谐振子系统做无阻尼(无摩擦和辐射损失) 的自由振动. 它是等幅振动. 而在实际中, 阻尼是不可消除的, 如没有能量补充, 由于机械能有损耗, 其振幅将不断地衰减. 这种振幅随时间不断衰减的振动叫作阻尼振动. 下面讨论的是谐振子系统受到弱介质阻力而衰减的情况. 弱介质阻力是指当振子运动速度较低时, 介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比, 即这时阻力为

$$f_{\mathrm{r}}=-\gamma v=-\gamma \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\text{\hspace{1em}(5.39)}$$

式中， $\gamma$ 称为阻力系数，与物体的形状、大小、物体的表面性质及介质性质有关. 仍以弹簧振子为例,这时振子的动力学方程为

$$m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-kx-\gamma \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$$

令 ${\omega }_0^2=\frac{k}{m},2\beta =\frac{\gamma }{m}$ ，上式可化成

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+2\beta \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+{\omega }_0^{2}x=0\text{\hspace{1em}(5.40)}$$

式中， ${\omega }_0$ 是系统的固有角频率， $\beta$ 称为阻尼系数. 式(5.40)的解,与阻尼的大小有关.当 $\beta <{\omega }_0$ 时,称为弱阻尼,其方程的解为

$$x=A_0{\mathrm{e}}^{-\beta t}\cos (\omega t+{\phi }_0)\text{\hspace{1em}(5.41)}$$

式中， $\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$ ， $A_0$ 和 ${\phi }_0$ 依然是由初始条件确定的两个积分常数。阻尼振动的位移随时间变化的曲线如图 5.21 所示，图中虚线表示阻尼振动的振幅 $A_0{e}^{-\beta t}$ 随时间 $t$ 按指数衰减，阻尼越大（仍满足 $\beta <{\omega }_0$ ），振幅衰减越快。阻尼振动的准周期为

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}}>\frac{2\pi }{{\omega }_0}\text{\hspace{1em}(5.42)}$$

图 5.21 阻尼振动的位移曲线

可见,阻尼振动的周期比系统的固有周期大. 若 $\beta >{\omega }_0$ ，称为过阻尼，此时方程的解为

$$x=c_1{\mathrm{e}}^{-(\beta -\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2})t}+c_2{\mathrm{e}}^{-(\beta +\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2})t}\text{\hspace{1em}(5.43)}$$

这时系统不做往复运动,而是非常缓慢地回到平衡位置,如图 5.22($b$) 所示. 若 $\beta ={\omega }_0$ ，称为临界阻尼，这时式(5.40)的解为

$$x=(c_1+c_{2}t){\mathrm{e}}^{-\beta t}\text{\hspace{1em}(5.44)}$$

此时系统也不做往复运动,而是较快地回到平衡位置并停下来,如图 5.22($c$) 所示.
($a$) 弱阻尼
($b$) 过阻尼
($c$ 图 5.22 阻尼振动三种情况的比较 在实际应用中,常利用改变阻尼的方法来控制系统的振动情况.例如,各类机器的防震器大多采用一系列的阻尼装置;有些精密仪器,如物理天平、灵敏电流计中装有阻尼装置并调至临界阻尼状态,使测量快捷、准确.
图 5.22 阻尼振动三种情况的比较 在实际应用中,常利用改变阻尼的方法来控制系统的振动情况.例如,各类机器的防震器大多采用一系列的阻尼装置;有些精密仪器,如物理天平、灵敏电流计中装有阻尼装置并调至临界阻尼状态,使测量快捷、准确.

5.5.2 受迫振动

阻尼振动又称减幅振动. 要使有阻尼的振动系统维持等幅振动, 必须不断地给振动系统补充能量, 即施加持续的周期性外力. 振动系统在周期性外力的作用下发生的振动叫作受迫振动. 这个周期性外力叫作驱动力. 为简单起见,假设驱动力取如下形式:

$$F=F_0\cos pt\text{\hspace{1em}(5.45)}$$

式中， $F_0$ 为驱动力的幅值，$p$ 为驱动力的频率。这种驱动力又称谐和驱动力。 仍以弹簧振子为例,讨论弱阻尼谐振子系统在谐和驱动力作用下的受迫振动,其动力学方程为

$$m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-kx-\gamma \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+F_0\cos pt\text{\hspace{1em}(5.46)}$$

令 ${\omega }_0^2=\frac{k}{m},2\beta =\frac{\gamma }{m},f_0=\frac{F_0}{m}$ , 可得

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+2\beta \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+{\omega }_0^{2}x=f_0\cos pt\text{\hspace{1em}(5.47)}$$

该方程的解为

$$x=A_0{\mathrm{e}}^{-\beta t}\cos (\omega t+{\phi }_0)+A\cos (pt+\phi )\text{\hspace{1em}(5.48)}$$

由微分方程理论可知,解的第一项实际是式(5.40)在弱阻尼下的通解,随着时间的推移,很快就会衰减为零,故第一项称为衰减项.第二项才是稳定项,即式(5.47)的稳定解为

$$x=A\cos (pt+\phi )\text{\hspace{1em}(5.49)}$$

可见,稳定受迫振动的频率等于驱动力的频率. 将式(5.49)代入式(5.47)，并采用待定系数法可确定稳定受迫振动的振幅为

$$A=\frac{f_0}{\sqrt{({\omega }_0^2-p^2{)}^2+4{\beta }^2{p}^2}}\text{\hspace{1em}(5.50)}$$

数字资源·共振的条件和特征

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这说明,稳定受迫振动的振幅与系统的初始条件无关,而是与系统的固有频率、阻尼系数及驱动力频率和幅值均有关的函数.

5.5.3 共振

共振是受迫振动中一个重要而具有实际意义的现象,下面分别从位移共振和速度共振两方面加以讨论.

1. 位移共振

数字资源·共振的应用和危害

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共振的应用与危害 由式(5.50)可知,对于一个给定的振动系统,当阻尼和驱动力幅值不变时,受迫振动的位移振幅是驱动力角频率 $p$ 的函数,它存在一个极值.受迫振动的位移达极大值的现象称为位移共振.将式(5.50)对 $p$ 求导并令 $\frac{dA}{dp}=0$ ,可求出位移共振的角频率满足

$$p_{\mathrm{r}}=\sqrt{{\omega }_0^2-2{\beta }^2}$$

(5.51) 显然,共振位移的大小与阻尼有关,其关系如图 5.23 所示. 图 5.23 位移共振曲线

2. 速度共振

系统做受迫振动时,其速度也是与驱动力角频率相关的函数,即 式中

$$\begin{array}{rl}v=-pA\sin (pt+\phi )& =-v_{\mathrm{m}}\sin (pt+\phi )\\ v_{\mathrm{m}}=pA& =\frac{p{f}_0}{\sqrt{({\omega }_0^2-p^2{)}^2+4{\beta }^2{p}^2}}\end{array}\text{\hspace{1em}(5.52)}$$

称为速度振幅,同样可求出当

$$p_v={\omega }_0\text{\hspace{1em}(5.53)}$$

时，速度振幅有极大值，这种现象称为速度共振，如图 5.24所示.进一步的研究表明，当系统发生速度共振时,外界能量的输入处于最佳状态,即驱动力在整个周期内对系统做正功,用以补偿阻尼引起的能耗.因此,速度共振又称能量共振.在弱阻尼情况下,位移共振与速度共振的条件趋于一致,所以一般不必区分两种共振. 共振现象在光学、电学、无线电技术中应用极广. 如收音机的调谐就是利用了电共振. 此外, 如何避免共振对桥梁、烟囱、水坝、高楼等建筑物的破坏, 也是设计制造者必须考虑的问题.

图 5.24 速度共振曲线

例 5.6

一定滑轮的转动惯量为 $J$，半径为 $R$。如图 5.25 所示，一轻绳绕过该定滑轮，一端系一质量为 $m$ 的物体，另一端与一刚度系数为 $k$，且另一端固定的轻弹簧相连。现将物体从平衡位置沿竖直方向移动一微小距离后释放。试分析该物体的运动，并求其运动的周期。（不考虑轮轴处的摩擦及物体、绳子、滑轮与空气间的摩擦）

解

如图 5.25 所示,选取物体悬挂于弹簧上处于平衡状态时的位置为坐标原点 $O$, 竖直向下为 $x$ 轴正方向. 物体在坐标原点 $O$ 时, 物体的重力势能为零, 弹簧的伸长量为 $x_0$ , 弹簧的弹性势能即系统的初始机械能为 $E_0=k{x}_0^2/2$ , 且有 $k{x}_0=mg$ . 任意位置 $x$ 处, 弹簧的伸长量为 $x_0+x$ , 物体的速率为 $v$. 系统的机械能为

$$E=m{v}^2/2+J{\omega }^2/2-mgx+k(x+x_0{)}^2/2$$

将 $v=R\omega ,k{x}_0=mg$ 代入上式，整理得

$$\begin{array}{rl}E-k{x}_0^2/2& =v^2(m+J/R^2)/2+k{x}^2/2\\ & =\text{ 常量 }\end{array}$$

令 $m^{\prime }=m+J/R^2$ ，则上式简化为

$$\frac{1}{2}{m}^{\prime }{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=\mathrm{常量}$$

将上式两边对时间 $t$ 求导, 可得

$$m^{\prime }v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+kx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=0$$

图5.25 例5.6图

因为任意时刻速度 $v=dx/dt\ne 0$ ，再将上式两边同时除以 $v$，有

$$m^{\prime }\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+kx=0$$

又假设 ${\omega }^2=k/m^{\prime }$ ，则有 $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$ 成立。表明由物体、弹簧等构成的系统的运动为简谐振动。其周期

$$T=2\pi /\omega =2\pi \sqrt{m+J/R^2}/\sqrt{k}$$