5.2 简谐振动的运动学

5.2.1 简谐振动的运动方程

如前所述,微分方程

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$$

的解可写作

$$x=A\cos (\omega t+{\phi }_0)\text{\hspace{1em}(5.11)}$$

式中， $A$ 和 ${\phi }_0$ 是由初始条件确定的两个积分常数.式（5.11）称为简谐振动的运动方程. 由于

$$\cos (\omega t+{\phi }_0)=\sin \left(\omega t+{\phi }_0+\frac{\pi }{2}\right)$$

令

$${\phi }^{\prime }={\phi }_0+\frac{\pi }{2}$$

则式 $(5.11)$ 亦可写成

$$x=A\sin (\omega t+{\phi }^{\prime })$$

可见,简谐振动的运动规律也可用正弦函数表示.本书对机械振动统一用余弦函数表示.

5.2.2 描述简谐振动的重要参量

1. 振幅 $A$

根据简谐振动的运动学方程,物体的最大位移不能超过 $A$, 物体偏离平衡位置的最大位移(或角位移)的绝对值叫作振幅. 显然, 振幅 $A$ 是由初始条件决定的. 简谐振动的运动学方程和它对时间的一阶导数(简谐振动的速度方程)分别如下:

$$\{\begin{array}{l}x=A\cos (\omega t+{\phi }_0)\\ v=-\omega A\sin (\omega t+{\phi }_0)\end{array}\text{\hspace{1em}(5.12)}$$

将初始条件 $t=0,x=x_0,v=v_0$ 代入式(5.12)，得

$$\{\begin{array}{l}{x}_0=A\cos {\phi }_0\\ -\frac{v_0}{\omega }=A\sin {\phi }_0\end{array}\text{\hspace{1em}(5.13)}$$

取二式平方和,即求出振幅为

$$A=\sqrt{x_0^2+{\left(\frac{v_0}{\omega }\right)}^2}\text{\hspace{1em}(5.14)}$$

例如，当 $t=0$ 时，物体位移为 $x_0$ ，而振速为零，此时的 $\mid x_0\mid$ 即为振幅；当 $t=0$ 时，物体在平衡位置，而初速为 $v_0$ ，则 $A=\left|\frac{v_0}{\omega }\right|$ ，可见此时初速越大，振幅越大.

2. 周期、频率和角频率

物体做简谐振动时,完成一次全振动所需的时间叫作简谐振动的周期,用 $T$ 表示.由周期函数的性质,有 由此可知

$$\begin{array}{rl}A\cos (\omega t+{\phi }_0)& =A\cos [\omega (t+T)+{\phi }_0]\\ & =A\cos (\omega t+{\phi }_0+2\pi )\\ & T=\frac{2\pi }{\omega }\end{array}\text{\hspace{1em}(5.15)}$$

和周期密切相关的另一物理量是频率,即单位时间内系统所完成的全振动的次数,用 $\nu$ 表示:

$$\nu =\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }\text{\hspace{1em}(5.16)}$$

在国际单位制中， $\nu$ 的单位名称是赫兹，符号是 Hz. 由式(5.16)，有

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi \nu \text{\hspace{1em}(5.17)}$$

表示系统在 $2\pi s$ 内完成的全振动的次数，称为角频率（又称圆频率）。它的单位名称为弧度每秒，符号为 $rad\cdot s^{-1}$ 。由 5.1 节的讨论可知，简谐振动的角频率 $\omega$ 是由系统的力学性质决定的，故又称为固有（本征）角频率。例如： 弹簧振子

$$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$$

单摆

$$\omega =\sqrt{\frac{g}{l}}$$

复摆

$$\omega =\sqrt{\frac{mgh}{J}}$$

由此确定的振动周期称为固有(本征)周期.例如： 弹簧振子

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\text{\hspace{1em}(5.18)}$$

单摆

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\text{\hspace{1em}(5.19)}$$

复摆

$$T=2\pi \sqrt{\frac{J}{mgh}}\text{\hspace{1em}(5.20)}$$

3. 相位和初相位

简谐振动的振幅确定了振动的范围,频率或周期则描绘了振动的快慢.不过仅由参量 $A$ 和 $\omega$ 还不能确定振动系统在任意瞬时的运动状态.式(5.12)表明,只有在 $A$、 $\omega$ 、 ${\phi }_0$ 为已知量时,系统的振动状态才是完全确定的.能确定系统任意时刻振动状态的物理量

$$\phi =\omega t+{\phi }_0\text{\hspace{1em}(5.21)}$$

叫作简谐振动的相位.例如，由式(5.12)可知，当相位 $(\omega t_1+{\phi }_0)=\frac{\pi }{2}$ 时，有 $x=0$ $v=-\omega A$ ，其表明系统此时的振动状态是：振子处于平衡位置并以速率 $\omega A$ 向 $x$ 轴负方向运动.当相位 $(\omega t_2+{\phi }_0)=3\pi /2$ 时，有 $x=0,v=\omega A$ ，此时系统的振动状态是：振子处于平衡位置并以速率 $\omega A$ 向 $x$ 轴正方向运动.可见，在 $t_1$ 和 $t_2$ 时刻，振动相位不同，系统的振动状态就不同.反之，系统的一个确定的振动状态必与一个确定的振动相位对应.例如，若某时刻系统的位移为 $x=A/2$ ，而速度 $v>0$ （即向正最大位移方向移动），则由式(5.12）可推知，与此运动状态对应的振动相位为 $\phi =-\pi /3$ （或 $5\pi /3)$ 两振动相位之差 $\Delta \phi ={\phi }_2-{\phi }_1$ ，称作相位差.若相位差等于零或 $2\pi$ 的整数倍，则称两振动相位相同（或同相），如果两振动的振幅和频率也相同，则表明此时它们的振动状态相同；若 $\Delta \phi =(2k+1)\pi$ ，则称两振动的相位相反（或反相），表明它们的运动状态相反；若 $0<\Delta \phi <\pi$ ，则称 ${\phi }_2$ 超前于 ${\phi }_1$ ，或说 ${\phi }_1$ 滞后于 ${\phi }_2$ .总之，相位差的不同，反映了两个振动不同程度的参差错落. 用相位表征简谐振动的运动状态还能充分地反映简谐振动的周期性. 简谐振动在一个周期内所经历的运动状态每时每刻都不相同，从相位来理解，这相当于相位经历了从0到 $2\pi$ 的变化过程.因此，对于一个以某个振幅和频率振动的系统，若它们的运动状态相同，则它们所对应的相位差必定为 $2\pi$ 或 $2\pi$ 的整数倍. $t=0$ 时的相位叫作初相位.由式(5.13)可得

$$\tan {\phi }_0=-\frac{v_0}{\omega x_0}\text{\hspace{1em}(5.22)}$$

可见，初相位也是由初始条件确定的。 由式(5.22)求出的,且代入式(5.12),使其成立的 ${\phi }_0$ 值,即为该振动的初相位. 若已知振子的初始振动状态，则可直接由式(5.12)得出其初相位。例如，若 $t=0$ ， $x_0=-A/2$ ，而 $v<0$ ，由式(5.12)可推知，与此振动状态对应的初相位为 ${\phi }_0=2\pi /3$

5.2.3 简谐振动的旋转矢量表示法

在研究简谐振动问题时,常采用一种较为直观的几何方法,即旋转矢量法. 如图 5.5 所示, 从坐标原点 O(平衡位置) 画一矢量$A$，使它的模等于简谐振动的振幅$A$，并令t=0时$A$与$x$轴的夹角等于简谐振动的初相位 ${\phi }_0$ ，然后使$A$以等于角频率 $\omega$ 的角速度在平面上绕$O$点做逆时针转动，这样作出的矢量称为旋转矢量。显然，旋转矢量$A$任一时刻在$x$轴上的投影 $x=A\cos (\omega t+{\phi }_0)$ 就描述了一个简谐振动，矢端沿圆周运动的速度大小等于 $\omega A$ ，其方向与$x$轴的夹角等于 $(\omega t+{\phi }_0+\pi /2)$ ，在$x$轴上的投影为 $\omega A\cos (\omega t+{\phi }_0+\pi /2)=-\omega A\sin (\omega t+{\phi }_0)$ ，这就是简谐振动的

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图 5.5 旋转矢量法
旋转矢量法 速度方程;矢端做圆周运动的加速度为 $a_n={\omega }^{2}A$ ，它与$x$轴的夹角为 $(\omega t+{\phi }_0+\pi )$ ，所以加速度在$x$轴上的投影为

$${\omega }^{2}A\cos (\omega t+{\phi }_0+\pi )=-{\omega }^{2}A\cos (\omega t+{\phi }_0)=-{\omega }^{2}x$$

以上讨论表明,简谐振动速度的相位比位移超前 $\frac{\pi }{2}$ ,加速度的相位比速度超前 $\frac{\pi }{2}$ ,比位移超前 $\pi$ .

例 5.2

弹簧振子沿 $x$ 轴做简谐振动，振幅为 0.4 m，周期为 2 s，当 t = 0 时，位移为 0.2 m，且向 $x$ 轴负方向运动。求简谐振动的振动方程，并画出 t = 0 时的旋转矢量图。

解

设此简谐振动的振动方程为

$$x=A\cos (\omega t+{\phi }_0)$$

将 $A=0.4\mathrm{m},\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ 和 $t=0$ 时， 则其速度为

$$v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-\omega A\sin (\omega t+{\phi }_0)$$

$x_0=0.2m$ , 代入 $x=A\cos (\omega t+{\phi }_0)$ 得

$${\phi }_0=\pm \frac{\pi }{3}$$

再由 t=0 时， $v_0<0$ 的条件，得 $v_0=-0.4\pi \sin {\phi }_0<0$ ，所以

$${\phi }_0=\frac{\pi }{3}$$

于是此简谐振动的振动方程为

$$x=0.4\cos \left(\pi t+\frac{\pi }{3}\right)(\mathrm{m})$$

t = 0 时的旋转矢量图如图 5.6 所示.

图5.6 旋转矢量图

例 5.3

已知简谐振动曲线如图 5.7 所示, 试写出其振动方程.

图 5.7 简谐振动曲线

解

设简谐振动方程为

$$x=A\cos (\omega t+{\phi }_0)$$

从图 5.7中易知 $A=4\mathrm{cm}$ ，下面只需求出 ${\phi }_0$ 即可.从图 5.7中分析可知， $\omega$ 即可.从图5.7中分析可知， $t=0$ 时， $x_0=-2\mathrm{cm}$ ，且 $v_0=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}<0$ （由曲线的斜率决定），代入振动方程，有 $-2=4\cos {\phi }_0$ 故 ${\phi }_0=\pm \frac{2}{3}\pi$ ，又由 $v_0=-\omega A\sin {\phi }_0<0$ 再从图 5.7 中分析, t = 1 s 时, x = 2 cm, v > 0, 代入振动方程有 即$\sin {\phi }_0>0$ 因此只能取 ${\phi }_0=\frac{2}{3}\pi .$ 再从图 5.7 中分析, t = 1 s 时, x = 2 cm, v > 0, 代入振动方程有 即

$$\begin{array}{rl}2& =4\cos (\omega +{\phi }_0)=4\cos \left(\omega +\frac{2}{3}\pi \right)\\ & \cos \left(\omega +\frac{2}{3}\pi \right)=\frac{1}{2}.\end{array}$$

所以 $\omega +\frac{2}{3}\pi =\frac{5}{3}\pi$ 或 $\frac{7}{3}\pi$ （应注意这里不能取 $\pm \frac{\pi }{3}$ ）. 因同时要满足 $v=-\omega A\sin \left(\omega +\frac{2}{3}\pi \right)>0$ ，即 $\sin \left(\omega +\frac{2}{3}\pi \right)<0$ ，故应取 $\omega +\frac{2}{3}\pi =\frac{5}{3}\pi$ ，即 $\omega =\pi \mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ ，所以振动方程为

$$x=4\cos \left(\pi t+\frac{2}{3}\pi \right)\mathrm{cm}$$

用旋转矢量法也可以简单地求出简谐振动的 ${\phi }_0$ 和 $\omega$ . 如图 5.8 所示，在 x-t 曲线的左侧作 Ox 轴与位移坐标轴平行，由振动曲线可知，$a$、$b$ 两点对应于 t=0、1 s 时刻的振动状态，可确定这两个时刻旋转矢量的位置分别为 $\overrightarrow{Oa}$ 和 $\overrightarrow{Ob}$ . 下面作详细说明：由 $a$ 点向 Ox 轴作垂线，其交点就是 t=0 时刻旋转矢量端点的投影点. 已知该处 $x_0=-2cm$ ，且此时刻 $v_0<0$ ，故旋转矢量应在 Ox 轴的左侧，它与 Ox 轴正方向的夹角 ${\phi }_0=\frac{2}{3}\pi$ 就是 t=0 时刻的振动相位，即初相位；又由 x-t 曲线上的 $b$ 点向 Ox 轴作垂线，其交点就是 t=1 s 时刻旋转矢量端点的投影点，该处 x=2 cm 且 v>0，故此时刻旋转矢量应在 Ox 轴的右侧，它与 Ox 轴的夹角 $\phi =\frac{5}{3}\pi$ 就是 t=1 s 时刻的振动相位，即 $\omega +\frac{2}{3}\pi =\frac{5}{3}\pi$ ，解得 $\omega =\pi rad\cdot s^{-1}$ .

图5.8 用旋转矢量法求解