第3章 习题（解答题）

解答题

习题 3.3.1

刚体平动的特点是什么？平动时刚体上的质元是否可以做曲线运动？

习题 3.3.2

刚体定轴转动的特点是什么？刚体定轴转动时各质元的角速度、线速度、法向加速度、切向加速度是否相同？

习题 3.3.3

刚体的转动惯量与哪些因素有关？请举例说明.

习题 3.3.4

若刚体受到的合外力为零,其合力矩是否一定为零?若刚体受到的合力矩为零,其合外力是否一定为零?

习题 3.3.5

一质量为 $m$ 的质点位于 $(x_1,y_1)$ 处，速度为 $v=v_{x}i+v_{y}j$ ，质点受到一个沿 $x$ 轴负方向的力 $f$ 的作用，求相对于坐标原点的角动量及作用于质点上的力的力矩.

习题 3.3.6

哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆. 它到太阳的最近距离为 $r_1=8.75\times 10^{10}$ m, 在此位置时的速率 $v_1=5.46\times 10^4$ m/s, 它离太阳最远时的速率 $v_2=9.08\times 10^2$ m/s, 这时它到太阳的距离 $r_2$ 是多少? (太阳位于椭圆的一个焦点处)

习题 3.3.7

一物体的质量为 $3\mathrm{kg},t=0$ 时位于 $r=4i(\mathrm{m})$ 处， $v=i+6j(m/s)$ ，如一恒力 $f=5j(\mathrm{N})$ 作用在该物体上，求 $3\mathrm{s}$ 后：(1) 物体动量的变化量；(2) 相对 $z$ 轴角动量的变化量.

习题 3.3.8

一平板中央开一小孔,质量为 $m$ 的小球用细线系住,细线穿过小孔后挂一质量为 $M_1$ 的重物.小球做匀速圆周运动,当圆周半径为 $r_0$ 时,重物达到平衡.今在 $M_1$ 的下方再挂一质量为 $M_2$ 的物体,如题 3.3.8 图所示.试问:这时小球做匀速圆周运动的角速度 ${\omega }^{\prime }$ 和半径 $r^{\prime }$ 各为多少?

习题 3.3.9

一飞轮的质量 $m=60\mathrm{kg}$ ，半径 $R=0.25\mathrm{m}$ ，绕其水平中心轴 $O$ 转动，转速为 $900r/min$ 。现有一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力 $F$ ，可使飞轮减速。已知闸杆的尺寸如题3.3.9图所示，闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数 $\mu =0.4$ ，计算飞轮的转动惯量时可将其看作匀质圆盘。 (2) 如果在 2 s 内飞轮转速减少一半, 需加多大的力?
题3.3.8图
题3.3.9图

习题 3.3.10

固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴 $O{O}^{\prime }$ 转动. 设两个圆柱体的半径分别为 $R$ 和 $r$，质量分别为 $M$ 和 $m$. 绕在两圆柱体上的细绳分别与物体 $m_1$ 和 $m_2$ 相连， $m_1$ 和 $m_2$ 挂在圆柱体的两侧，如题 3.3.10 图所示. 设 $R=0.20m,r=0.10m,m=4kg,M=10kg,m_1=m_2=2kg$ ，且开始时 $m_1,m_2$ 离地的高度均为 h = 2 m. 求： (1) 圆柱体转动时的角加速度； (2) 两侧细绳的张力.

习题 3.3.11

计算题3.3.11图所示的系统中物体的加速度.设滑轮为质量均匀分布的圆柱体,其质量为$M$,半径为$r$,在绳与轮缘的摩擦力的作用下旋转,忽略桌面与物体间的摩擦,设 $m_1=50kg,m_2=200kg,M=15kg,r=0.1m$ .
题3.3.10图
题3.3.11图

习题 3.3.12

如题 3.3.12 图所示,一匀质细杆的质量为 $m$, 长为 $l$, 可绕过一端 $O$ 的水平轴自由转动, 杆于水平位置由静止开始摆下. 求: (1) 初始时刻杆的角加速度; (2) 杆转过角度 $\theta$ 时的角速度.

习题 3.3.13

如题 3.3.13 图所示, 质量为 $M$、长为 $l$ 的均匀直棒, 可绕垂直于棒一端的水平轴 $O$ 无摩擦地转动, 它原来静止在平衡位置上. 现有一质量为 $m$ 的弹性小球飞来, 正好在棒的下端与棒垂直相撞. 碰撞后, 棒从平衡位置处摆动到最大角度 $\theta =30^{\circ }$ 处. (1) 设该碰撞为弹性碰撞, 试计算小球的初速度 $v_0$ 的大小; (2) 相撞时小球受到多大的冲量？
题3.3.12图
题3.3.13图

习题 3.3.14

一个质量为 $M$、半径为 $R$ 并以角速度 $\omega$ 旋转的飞轮（可看作匀质圆盘），在某一瞬时突然有一片质量为 $m$ 的碎片从飞轮的边缘上飞出，如题 3.3.14 图所示。假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上。 (1) 碎片能升高多少? (2) 求飞轮余下部分的角速度、角动量和转动动能.

习题 3.3.15

一质量为 $m$、半径为 $R$ 的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动。另一质量为 $m_0$ 的子弹以速度 $v_0$ 射入轮缘（如题 3.3.15 图所示方向）。 (1) 开始时车轮是静止的, 子弹射入后的角速度为多少? (2) 用 $m,m_0$ 和 $\theta$ 表示系统（包括车轮和子弹）的末动能和初动能之比.
题3.3.14图
题3.3.15图

习题 3.3.16

弹簧、定滑轮和物体的连接如题3.3.16图所示，弹簧的刚度系数为 $2.0N/m$ ；定滑轮可以绕轴自由转动，其转动惯量为 $0.5\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ ，半径为 $0.30\mathrm{m}$ ，当质量为 $6.0\mathrm{kg}$ 的物体落下 $0.40\mathrm{m}$ 时，它的速率为多大？假设开始时物体静止且弹簧无伸长.
题3.3.16图

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