第2章 习题（解答题）

解答题

习题 2.3.1

在下列情况下,说明质点所受合力的特点. (1) 质点做匀速直线运动; (2) 质点做匀减速直线运动; (3) 质点做匀速圆周运动; (4) 质点做匀加速圆周运动.

习题 2.3.2

举例说明以下两种说法是不正确的. (1) 物体受到的摩擦力的方向总是与物体的运动方向相反； (2) 摩擦力总是阻碍物体的运动.

习题 2.3.3

质点系动量守恒的条件是什么？在什么情况下，即使外力不为零，也可用动量守恒定律近似求解？

习题 2.3.4

在经典力学中，下列哪些物理量与参考系的选取有关：质量、动量、冲量、动能、势能、功？

习题 2.3.5

一细绳跨过一定滑轮，绳的一端悬有一质量为 $m_1$ 的物体，另一端穿过质量为 $m_2$ 的圆柱体的竖直细孔，圆柱体可沿绳子滑动，如题2.3.5图所示。今看到绳子从圆柱体的细孔中加速上升，圆柱体相对于绳子以匀加速度 $a^{\prime }$ 下滑，求物体与圆柱体相对于地面的加速度、绳的张力及圆柱体与绳子间的摩擦力（绳轻且不可伸长，定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦忽略不计）。

习题 2.3.6

一个质量为 $m$ 的质点 $P$，在光滑的固定斜面（倾角为 $\alpha$ ）上以初速度 $v_0$ 运动， $v_0$ 的方向与斜面底边的水平线 AB 平行，如题 2.3.6 图所示，求该质点的轨迹方程.
题2.3.5图
题2.3.6图

习题 2.3.7

质量为 16 kg 的质点在 xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 $f_x=6N,f_y=-7N$ . 当 t = 0 时，x = y = 0, $v_x=-2m/s,v_y=0$ . 求当 t = 2 s 时质点的位矢和速度.

习题 2.3.8

质点在流体中做直线运动，受与速率成正比的阻力 $kv(k$ 为常数)作用， $t=0$ 时质点的速率为 $v_0$ ，证明：(1) $t$ 时刻质点的速率为 $v=v_0{\mathrm{e}}^{-\frac{k}{m}t}$ ；(2) 由0到 $t$ 的时间间隔内质点通过的距离为 $x=(m{v}_0/k)[1-{\mathrm{e}}^{-\frac{k}{m}t}]$ ；(3) 停止运动前质点通过的距离为 $\frac{m}{k}{v}_0$ ；(4) 当 $t=m/k$ 时，质点的速率减至 $\frac{v_0}{\mathrm{e}}$ 。（ $m$ 为质点的质量）

习题 2.3.9

一质量为 $m$ 的质点以与地面的仰角 $\theta =30^{\circ }$ 的初速度 $v_0$ 从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量增量.

习题 2.3.10

一质量为 $m$ 的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞，并在抛出 1 s 后，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等。求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向，并指出在碰撞过程中小球的动量是否守恒。

习题 2.3.11

作用在质量为 $10\mathrm{kg}$ 的物体上的力为 $F=(10+2t)i(\mathrm{N})$ ，式中 $t$ 的单位是$s$.(1)求4s后，该物体的动量和速度的改变量，以及力给予物体的冲量；(2）为了使该力的冲量为 $200\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$ ，该力应在物体上作用多久？试就一原来静止的物体和一个具有初速度 $-6jm/s$ 的物体，回答这两个问题.

习题 2.3.12

一质量为 $m$ 的质点在 $xOy$ 平面上运动，其位矢为 $r=a\cos \omega ti+b\sin \omega tj$ 求质点的动量及 $t=0$ 到 $t=\frac{\pi }{2\omega }$ 时间间隔内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量.

习题 2.3.13

一颗子弹由枪口射出时速率为 $v_0$ (SI)，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力大小为 $F=a-bt$ ($N$) ( $a,b$ 均为常数)，式中 $t$ 以 $s$ 为单位。（1）假设子弹飞行到枪口处时合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需的时间；（2）求子弹所受的冲量；（3）求子弹的质量。

习题 2.3.14

一炮弹质量为 $m$，以速率 $v$ 飞行，其内部炸药爆炸使其分裂为两块，爆炸后弹片增加的动能为 $T$，且其中一块弹片的质量为另一块弹片质量的 $k$ 倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为

$$v+\sqrt{\frac{2kT}{m}},v-\sqrt{\frac{2T}{km}}$$

习题 2.3.15

设一质点所受合外力 $F_{合}=7i-6j(N)$ . (1) 当质点从坐标原点运动到位矢为 $r=-3i+4j+16k(m)$ 处时，求 $F_{合}$ 所做的功；(2) 如果质点运动到位矢为 $r$ 处时需 0.6 s，试求平均功率；(3) 如果质点的质量为 1 kg，试求动能的改变量.

习题 2.3.16

用铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比,在第一次击打时,能将铁钉击入木板内1 cm,则第二次击打时能击入多深?假定铁锤两次击打铁钉时的速度相同.

习题 2.3.17

已知一质点(质量为 $m$)在其保守力场中位矢为 $r$ 处的势能为 $E_{\mathrm{p}}(r)=-k/r^n$ ，试求质点所受保守力的大小和方向.

习题 2.3.18

一根刚度系数为 $k_1$ 的轻弹簧$A$的下端，挂一根刚度系数为 $k_2$ 的轻弹簧$B$，$B$的下端又挂一重物$C$，$C$的质量为 $M$ ，如题2.3.18图所示.求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比.

习题 2.3.19

(1) 月球和地球对质量为 $m$ 的物体的引力相抵消的一点 $P$ , 到月球表面的距离是多少? 地球质量为 $5.98\times 10^{24}\mathrm{kg}$ , 地球中心到月球中心的距离为 $3.84\times 10^8\mathrm{m}$ , 月球质量为 $7.35\times 10^{22}\mathrm{kg}$ , 月球半径为 $1.74\times 10^6\mathrm{m}$ . (2) 如果一个 $1\mathrm{kg}$ 的物体在与月球和地球的距离均为无限远处的势能为零, 那么它在 $P$ 点的势能为多少?
题2.3.18图

习题 2.3.20

如题 2.3.20 图所示, 一物体质量为 2 kg, 以初速率 $v_0=3m/s$ 从斜面上 $A$ 点处下滑, 它与斜面的摩擦力为 8 N, 到达 $B$ 点后压缩弹簧 0.2 m 后停止, 然后又被弹回, 求弹簧的刚度系数和物体第一次被弹回的最大高度.
题2.3.20图

习题 2.3.21

一质量为 $M$ 的大木块具有半径为 $R$ 的四分之一弧形槽, 如题 2.3.21 图所示. 将大木块放在光滑水平面上, 质量为 $m$ 的小木块从弧形槽的顶端滑下, 二者都做无摩擦的运动, 而且都从静止开始运动, 求小木块脱离大木块时的速度.

习题 2.3.22

一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞,如题 2.3.22 图所示,试证明碰撞后两小球的运动方向互相垂直.
题2.3.21图
题2.3.22图