第1章 习题（解答题）

解答题

习题 1.3.1

一个物体能否被看作质点,主要由以下三个因素中的哪个因素决定? (1) 物体的大小和形状；(2) 物体的内部结构；(3) 所研究问题的性质.

习题 1.3.2

下面几个质点运动学方程,哪个表示匀变速直线运动?

$$(1)x=4t-3;(2)x=-4t^3+3t^2+6;(3)x=-2t^2+8t+4;(4)x=2t^{-2}-4t^{-1}.$$

给出这个匀变速直线运动在 t = 3 s 时的速度和加速度，并说明该时刻的运动是加速的还是减速的。($x$ 的单位为 $m$, $t$ 的单位为 $s$)

习题 1.3.3

在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度及加速度，哪些为零？哪些不为零？ (1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动.

习题 1.3.4

| $\Delta r$ | 与 $\Delta r$ 有无不同？ $\left|\frac{dr}{dt}\right|$ 和 $\frac{dr}{dt}$ 有无不同？ $\left|\frac{dv}{dt}\right|$ 和 $\frac{dv}{dt}$ 有无不同？若有不同，其不同之处分别是什么？试举例说明.

习题 1.3.5

设质点的运动方程为 $x=x(t)$ , $y=y(t)$ ，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ ，然后根据 $v=\frac{dr}{dt}$ 及 $a=\frac{d^{2}r}{d{t}^2}$ 求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

$$v=\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2},a=\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}\right)}^2+{\left(\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}\right)}^2}$$

请问两种方法中哪一种正确？为什么？两者差别何在？

习题 1.3.6

一质点在 $xOy$ 平面上运动，运动方程为

$$x=3t+5,y=\frac{1}{2}{t}^2+3t-4$$

式中 $t$ 的单位为 $s$, $x$, $y$ 的单位为 $m$. (1) 以时间 $t$ 为变量, 写出质点位置矢量的表达式; (2) 求出 t = 1 s 时刻和 t = 2 s 时刻的位置矢量, 计算这 1 s 内质点的位移; (3) 计算 t=0 到 t=4 s 时间内质点的平均速度； (4) 求出质点速度矢量表达式, 计算 t = 4 s 时质点的速度; (5) 计算 t = 0 到 t = 4 s 时间内质点的平均加速度； (6) 求出质点加速度矢量的表达式, 计算 $t=4s$ 时质点的加速度 (请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式).

习题 1.3.7

一质点沿 $x$ 轴运动, 其加速度和位置的关系为 $a=2+6x^2$ , 式中 $a$ 的单位为 $m/s^2$ , $x$ 的单位为 $m$. 质点在 x = 0 处的速度为 10 m/s, 试求质点在任意坐标处的速度值.

习题 1.3.8

已知一质点做直线运动, 其加速度为 $a=4+3t({\text{m/s}}^2)$ , 开始运动时, x = 5 m, v = 0. 求该质点在 t = 10 s 时的速度和位置.

习题 1.3.9

一质点沿半径为 $1\mathrm{m}$ 的圆周运动，运动方程为 $\theta =2+3t^3$ ，式中 $\theta$ 的单位为rad， $t$ 的单位为$s$. (1) 求 $t=2s$ 时，质点的切向加速度和法向加速度； (2) 当加速度的方向和半径成 $45^{\circ }$ 角时, 其角位移是多少?

习题 1.3.10

一质点沿半径为 $R$ 的圆周按 $s=v_{0}t-\frac{1}{2}b{t}^2$ 的规律运动，式中 $s$ 为质点所在位置与圆周上某点之间的弧长， $v_0$ 、$b$ 都是常量. (1) 求 $t$ 时刻质点的加速度； (2)t为何值时,加速度在数值上等于b?

习题 1.3.11

一质点在半径为 $0.4\mathrm{m}$ 的圆形轨道上自静止开始做匀角加速运动，其角加速度为 $\alpha =0.2\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2$ ，求 $t=2\mathrm{s}$ 时质点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.

习题 1.3.12

一船以速率 $v_1=30km/h$ 沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率 $v_2=40km/h$ 沿直线向北行驶，在船上看小艇的速度为多少？在小艇上看船的速度又为多少？