1.4 相对运动

在 1.1 节中曾指出,选取不同的参考系,对同一物体运动的描述就会不同,这反映了运动描述的相对性.下面研究同一质点在有相对运动的两个参考系中的位移、速度和加速度之间的关系.

数字资源·相对运动

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当研究大轮船上物体的运动时,既要知道该物体相对于河岸的运动,又要知道该物体相对于轮船的运动.设观察者在河岸,为此把河岸(地球)定义为静止参考系,而把轮船定义为运动参考系.但是,当研究宇宙飞船的发射时,则只能把太阳作为静止参考系,而把地球作为运动参考系.这就是说,“静止参考系”“运动参考系”的称谓都是相对的.一般情况下,研究地面上物体的运动时,把地球作为静止参考系比较方便. 当定义了静止参考系后,对于一个处于运动参考系中的物体,把它相对于静止参考系的运动称为绝对运动,把运动参考系相对于静止参考系的运动称为牵连运动,把物体相对于运动参考系的运动称为相对运动.显然,这些称谓也是相对的. 如图 1.16所示，设 $S$ 为静止参考系， $S^{\prime }$ 为运动参考系。为简单计，假定相应坐标轴保持相互平行， $S^{\prime }$ 系相对于 $S$ 系沿 $x$ 轴正方向做直线运动。这时两参考系间的相对运动情况，可用 $S^{\prime }$ 系的坐标原点 $O^{\prime }$ 相对于 $S$ 系的坐标原点 $O$ 的运动来代表。设有一质点位于 $S^{\prime }$ 系中的 $P$ 点，它对 $S$ 系的位矢为 $r$ （绝对位矢），对 $S^{\prime }$ 系的位矢为 $r^{\prime }$ （相对位矢），而 $O^{\prime }$ 点对 $O$ 点的位矢为 $r_0$ （牵连位矢）。由矢量加法的三角形定则可知， $r,r^{\prime },r_0$ 之间有如下关系：

图 1.16 运动描述的相对性

$$\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0+{\mathbf{r}}^{\prime }\text{\hspace{1em}(1.28)}$$

即绝对位矢等于牵连位矢与相对位矢的矢量和. 将式 $(1.28)$ 两边对时间求导,可得

$$\mathbf{v}={\mathbf{v}}_0+{\mathbf{v}}^{\prime }\text{\hspace{1em}(1.29)}$$

式中， $v$ 为绝对速度， $v_0$ 为牵连速度， $v^{\prime }$ 为相对速度. 将式 $(1.29)$ 两边对时间求导,可得

$$\mathbf{a}={\mathbf{a}}_0+{\mathbf{a}}^{\prime }\text{\hspace{1em}(1.30)}$$

式中，$a$ 为绝对加速度， $a_0$ 为牵连加速度， $a^{\prime }$ 为相对加速度. 需要说明的是,式(1.28)、式(1.29)、式(1.30)所表示的位矢、速度、加速度的合成定则,只在物体的运动速度远小于光速时才成立.当物体的运动速度与光速接近时,上述三式不再成立,此时遵循的是相对论时空坐标、速度、加速度的变换法则.另外,当两个参考系之间还有相对转动时,它们的速度、加速度之间的关系要复杂得多,此处就不作讨论了.

数字资源·雨中走还是跑淋雨会少？

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当讨论处于同一参考系内质点系中各质点间的相对运动时,可以利用以上结论表示质点间的相对位矢和相对速度. 在雨中走还是跑淋雨少？ 设某质点系由 $A$、$B$ 两质点组成。它们对某一参考系的位矢分别为 $r_A$ 和 $r_B$ ，如图 1.17 所示。质点系内质点 $B$ 对质点 $A$ 的位矢显然是由质点 $A$ 引向质点 $B$ 。由图 1.17 可知，应用矢量减法的三角形定则，则有$r_{BA}$ 。由图 1.17 可知，应用矢量减法的三角形定则，则有

图1.17 相对位矢

$${\mathbf{r}}_{BA}={\mathbf{r}}_B-{\mathbf{r}}_A$$

(1.31) $r_{BA}$ 称为质点 $B$ 对质点 $A$ 的相对位矢. 将式 $(1.31)$ 对时间求一阶导数,可得质点$B$对质点$A$的相对速度为

$$v_{BA}=v_B-v_A\text{\hspace{1em}(1.32)}$$

例 1.9

如图 1.18($a$) 所示, 河宽为 $L$, 河水以恒定速度 $u$ 流动, 岸边有 $A$、$B$ 两码头, $A$、$B$ 的连线与岸边垂直, 码头 $A$ 处有船相对于河水以恒定速率 $v_0$ 开动, 证明: 船在 $A$、$B$ 两码头间往返一次所需时间为

$$t=\frac{\frac{2L}{v_0}}{\sqrt{1-{\left(\frac{u}{v_0}\right)}^2}}$$

(船换向时间忽略不计).
($a$)

图1.18 例1.9图

证明

设船相对于岸边的速度（绝对速度）为 $v$ ，由题意知， $v$ 的方向必须指向 $A$、$B$ 的连线，此时河水流速 $u$ 为牵连速度，船对水的速度 $v_0$ 为相对速度，于是有

$$\mathbf{v}=\mathbf{u}+{\mathbf{v}}_0$$

据此作出矢量图,如图 1.18($b$) 所示,由图知

$$v=\sqrt{v_0^2-u^2}$$

读者自己可证当船由 $B$ 返回 $A$ 时, 船对岸的速度的模亦由上式给出. 因为在 $A$、$B$ 两码头往返一次的路程为 2L, 故所需时间为

$$t=\frac{2L}{v}=\frac{2L}{\sqrt{v_0^2-u^2}}=\frac{\frac{2L}{v_0}}{\sqrt{1-{\left(\frac{u}{v_0}\right)}^2}}$$

讨论： (1) 若 u = 0，即河水静止，则 $t=\frac{2L}{v_0}$ ，这是显然的. (2) 若 $u=v_0$ ，即河水流速 $u$ 等于船对水的速率 $v_0$ ，则 $t\to \infty$ ，即船由码头 A（或 $B$）出发后就永远不能再回到原出发点了. （3）若 $u>v_0$ ，则 $t$ 为一虚数，这是没有物理意义的，即船不能在 $A$、$B$ 间往返. 综合上述讨论可知,船在 $A$、$B$ 间往返的必要条件是

$$v_0>u$$

例 1.10

如图 1.19($a$)所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速率为 $v_1$ ，下落雨滴的速度方向与铅直方向成 $\theta$ ，车后有一物体M[尺寸如图 1.19($v_2$ ，车后有一物体M[尺寸如图1.19($a$)所示]，车速 $v_1$ 为多大时，物体$M$刚好不会被雨水淋湿？
($a$)

图1.19 例1.10图

($b$)

解

根据式(1.32)可得 由图 1.19($b$)可算得

$$v_{\mathrm{雨车}}=v_{\mathrm{雨}}-v_{\mathrm{车}}=v_2-v_1=v_2+(-v_1)$$

据此可作出矢量图,如图 1.19($b$)所示.即此时 $v_{雨车}$ ,而由图 1.19($\alpha$ ,而由图1.19($a$)有

$$H=v_2\cos \theta$$$$\tan \alpha =\frac{L}{h}$$$$v_1=v_2\sin \theta +H\tan \alpha =v_2\sin \theta +v_2\frac{L}{h}\cos \theta$$