13.1 光的衍射 惠更斯-菲涅耳原理

第13章 光的衍射

本章提要 上一章讨论了光的干涉,本章将讨论光的衍射.光在传播过程中遇到障碍物时,能绕过障碍物的边缘继续前进,这种偏离直线传播的现象称为光的衍射现象.和干涉一样,衍射也是波动的一个重要基本特征,它为光的波动说提供了有力的证据.在激光问世以后,人们利用其衍射现象开辟了许多新的研究领域.

13.1.1 光的衍射现象及分类

数字资源·单缝衍射的原理

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单缝衍射原理 在讨论机械波时已经知道,衍射现象的显著程度取决于孔隙(或障碍物)的线度与波长的比值,当孔隙(或障碍物)的线度与波长的数量级差不多时,才能观察到明显的衍射现象.然而,对于光波,由于其波长远小于一般障碍物或孔隙的线度,因此光的衍射现象通常不易被观察到,而光的直线传播现象却给人们留下了深刻的印象. 在实验室中,采用高亮度的激光或普通的强点光源,并使屏幕的面积足够大,可以将光的衍射现象演示出来.图 13.1($a$)所示是一个光通过单缝的实验,$S$是一个单色点光源,$K$是一个可调节的狭缝,$E$为屏幕.实验发现,在$S$、$K$、$E$三者的位置固定的情况下,屏幕$E$上的光斑宽度取决于狭缝$K$的宽度.当狭缝$K$的宽度逐渐缩小时,屏幕$E$上的光斑也随之缩小,这体现了光的直线传播特征.但当狭缝$K$的宽度继续减小(小于 $10^{-4}$上的光斑不但不缩小,反而开始增大,这说明光波已“绕”到狭缝的几何阴影区,光斑的亮度也由原来的均匀分布变成一系列的明暗条纹(单色光源)或彩色条纹(白光光源),条纹的边缘也失去了明显的界限,变得模糊不清,如图 13.1($E$上的光斑不但不缩小,反而开始增大,这说明光波已“绕”到狭缝的几何阴影区,光斑的亮度也由原来的均匀分布变成一系列的明暗条纹(单色光源)或彩色条纹(白光光源),条纹的边缘也失去了明显的界限,变得模糊不清,如图13.1($b$)所示.

图 13.1 光的衍射现象实验原理

衍射系统由光源、衍射屏和接收屏组成. 通常根据三者相对位置的大小, 把衍射现象分为两类: 一类是光源和接收屏 (或其中之一) 与衍射屏的距离为有限远的衍射, 称为菲涅耳衍射, 如图 13.2) 所示; 另一类是光源和接收屏与衍射屏的距离都是无限远的衍射, 即入射到衍射屏和离开衍射屏的光都是平行光的衍射, 称为夫琅禾费衍射, 如图 13.2($a$) 所示; 另一类是光源和接收屏与衍射屏的距离都是无限远的衍射, 即入射到衍射屏和离开衍射屏的光都是平行光的衍射, 称为夫琅禾费衍射, 如图 13.2($b$) 所示. 本章着重讨论单缝和光栅的夫琅禾费衍射及其应用.
($a$) 菲涅耳衍射
图 13.2 衍射分类$b$)夫琅禾费衍射
图13.2 衍射分类

13.1.2 惠更斯-菲涅耳原理

惠更斯原理指出:波阵面上的每一点都可看成发射子波的新波源,任意时刻子波的包迹即为新的波阵面.惠更斯原理可以解释光通过衍射屏时为什么其传播方向会发生改变,但不能解释为什么会出现衍射条纹,更不能计算条纹的位置和光强的分布.在这方面,菲涅耳用子波相干叠加的设想发展了惠更斯原理.菲涅耳认为:从同一波阵面上各点发出的子波,在传播过程中相遇时,也能相互叠加而产生干涉现象,空间各点波的强度,由各子波在该点的相干叠加所确定.这个发展了的惠更斯原理称为惠更斯-菲涅耳原理.

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根据菲涅耳的子波相干叠加的设想,如果已知光波在某时刻的波阵面 $S$, 如图 13.3 所示,则空间任意一点 $P$ 的光振动可由波阵面 $S$ 上各面元 dS 发出的子波在该点叠加后的合振动来表示. 菲涅耳指出,每一面元 dS 发出的子波在 $P$ 点引起的振动的振幅与 dS 成正比,与 $P$ 点到 dS 的距离 $r$ 成反比,还与 $r$ 和 dS 的法线 $n$ 之间的夹角 $\theta$ 有关. 若取 t = 0 时波阵面 $S$ 上各点的初相位为零,则 dS 在 $P$ 点引起的光振动可表示为

图 13.3 惠更斯-菲涅耳原理

$$\mathrm{d}E=C\frac{K(\theta )}{r}\cos 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{r}{\lambda }\right)\mathrm{d}S\text{\hspace{1em}(13.1)}$$

式中， $C$ 为比例系数； $K(\theta )$ 为随 $\theta$ 角的增大而缓慢减小的函数，称为倾斜因子.当 $\theta =0$ 时， $K(\theta )$ 取最大值；当 $\theta ⩾\frac{\pi }{2}$ 时， $K(\theta )=0$ ，因而子波叠加后的振幅为零.借此可以说明为什么子波不能向后传播. 波阵面上所有面元发出的子波在 $P$ 点引起的合振动为

$$E=\int \mathrm{d}E=\int C\frac{K(\theta )}{r}\cos 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{r}{\lambda }\right)\mathrm{d}S\text{\hspace{1em}(13.2)}$$

这便是惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式. 它是研究衍射问题的理论基础, 可以解释并定量计算各种衍射场的分布, 但计算相当复杂. 下面采用菲涅耳提出的半波带法来讨论单缝夫琅禾费衍射现象, 以避免繁杂的计算.