1.2 位置矢量 位移 速度 加速度

1.2.1 位置矢量

为了表示运动质点的位置,首先应该选定参考系,然后在参考系上选定坐标系的原点和坐标轴.如图 1.1所示,质点$P$在直角坐标系中的位置可由$P$点的三个坐标$x$、$y$、$z$来确定,或者用从原点$O$到$P$点的有向线段 $\overrightarrow{OP}=r$ 来表示,矢量$r$称为位置矢量(简称位矢,又称矢径).坐标$x$、$y$、$z$也就是位矢$r$在坐标轴上的三个分量.

图 1.1 直角坐标系下的位矢

在直角坐标系中,位矢 $r$ 可以表示成

$$\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

式中，$\mathbf{i}、\mathbf{j}、\mathbf{k}$ 分别表示沿 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向的单位矢量。位矢 $r$ 的大小为

$$|\mathbf{r}|=r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

位矢的方向余弦为

$$\cos \alpha =\frac{x}{r},\cos \beta =\frac{y}{r},\cos \gamma =\frac{z}{r}$$

质点的运动是质点的空间位置随时间变化的过程. 这时质点的坐标 $x$、$y$、$z$ 和位矢 $r$ 都是时间 $t$ 的函数. 表示运动过程的函数式称为运动方程, 可以写作

$$x=x(t),y=y(t),z=z(t)\text{\hspace{1em}(1.3a)}$$

或

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)\text{\hspace{1em}(1.3b)}$$

知道了运动方程,就能确定任意时刻质点的位置,从而确定质点的运动.力学的主要任务之一,正是根据各种问题的具体条件,求解质点的运动方程. 质点在空间的运动路径称为轨迹. 质点的运动轨迹为直线时, 称为直线运动. 质点的运动轨迹为曲线时, 称为曲线运动. 从式(1.3a) 中消去 $t$ 即可得到轨迹方程. 式(1.3a) 就是轨迹的参数方程. 轨迹方程和运动方程最明显的区别就在于,轨迹方程不是时间 $t$ 的显函数.例如,已知某质点的运动方程为

$$x=3\sin \frac{\pi }{6}t,y=3\cos \frac{\pi }{6}t,z=0$$

式中，$t$ 以 $s$ 为单位，$x$、$y$、$z$ 均以 $m$ 为单位。从 $x$、$y$ 的表达式中消去 $t$ 后，得轨迹方程为
质点运动的描述

$$x^2+y^2=9,z=0$$

其表明质点在平面 z = 0 内做以坐标原点为圆心、半径为 3 m 的圆周运动.

1.2.2 位移

如图 1.2 所示, 设质点沿曲线轨迹运动, 在 $t$ 时刻, 质点在 $A$ 点处, 在 $t+\Delta t$ 时刻, 质点运动到 $B$ 点处, $A$、$B$ 两点的位矢分别用 $r_1$ 和 $r_2$ 表示. 在 $\Delta t$ 时间间隔内质点位矢的增量

$$\Delta \mathbf{r}={\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_1$$

数字资源·位移和路程的计算和理解

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位移和路程的计算及理解 (1.4) 称为位移,它是描述物体位置变化大小和方向的物理量,在图 1.2中就是由起始位置$A$指向终止位置$B$的一个矢量.位移是矢量,它的运算遵循矢量加法的平行四边形定则(或三角形定则). 位移的大小只能记作 $|\Delta r|$ ，不能记作 $\Delta r$ . $\Delta r$ 通常表示位矢大小的增量，即 $\Delta r=|r_2|-|r_1|$ 则是位矢增量的模（位移的大小），如图 1.3所示.在通常情况下， $|\Delta r|$ 则是位矢增量的模（位移的大小），如图1.3所示.在通常情况下， 图 1.2 位移 图 1.3 位移的大小 必须注意,位移表示物体位置的改变,并非质点所经历的路程.例如,在图 1.2中,位移是有向线段
图1.2 位移
图1.3 位移的大小 必须注意,位移表示物体位置的改变,并非质点所经历的路程.例如,在图1.2中,位移是有向线段 $\overrightarrow{AB}$ ,它的量值 $|\Delta r|$ 为割线段AB的长度.路程是标量,即曲线段 $\widehat{AB}$ 的长度,通常记作 $\Delta s$ .一般来说, $|\Delta r|\ne \Delta s$ .显然,只有在 $\Delta t$ 趋近于零时,才有 $|dr|=ds$ .应当指出,即使 $\Delta t\to 0,\left|dr\right|=dr$ 这个等式也不成立. 在直角坐标系中，位移的表达式为

$$\begin{array}{rl}\Delta r& =(x_2-x_1)i+(y_2-y_1)j+(z_2-z_1)k\\ & =\Delta xi+\Delta yj+\Delta zk\end{array}\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

位移的模为

$$\begin{array}{rl}\mid \Delta r\mid & =\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}\\ & =\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}\end{array}\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

位移和路程的单位均是长度的单位，在国际单位制(SI)中为 $m$.

1.2.3 速度

研究质点的运动,不仅要知道质点的位移,还必须知道在多长时间内通过这段位移,亦即要知道质点运动的快慢程度. 如图 1.2 所示，在时刻 $t$ 到 $t+\Delta t$ 这段时间内，质点的位移为 $\Delta r$ ，那么 $\Delta r$ 与 $\Delta t$ 的比值，称为质点在时刻 $t$ 附近 $\Delta t$ 时间内的平均速度，即

$$\overline{\mathbf{v}}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\Delta t}=\frac{\Delta r}{\Delta t}\text{\hspace{1em}(1.7)}$$

这就是说,平均速度的方向与位移 $\Delta r$ 的方向相同,平均速度的大小与在相应的时间 $\Delta t$ 内单位时间的位移大小相同. 显然，用平均速度描述物体的运动是比较粗糙的。因为在 $\Delta t$ 时间内，质点在各个时刻的运动情况不一定相同，质点的运动可以时快时慢，方向也可以不断地改变，平均速度不能反映质点运动的真实状态。如果要精确地知道质点在某一时刻或某一位置的实际运动状态，应使 $\Delta t$ 尽可能小，即 $\Delta t\to 0$ ，用平均速度的极限值——瞬时速度（简称速度）来描述。 质点在某一时刻或某一位置的瞬时速度,等于该时刻附近 $\Delta t$ 趋近于零时平均速度的极限值,数学表达式为

$$v=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta r}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\text{\hspace{1em}(1.8)}$$

可见,速度等于位矢对时间的一阶导数. 速度的方向就是 $\Delta t$ 趋近于零时，平均速度 $\frac{\Delta r}{\Delta t}$ 或位移 $\Delta r$ 的极限方向，即沿质点所在处轨迹的切线方向，并指向质点前进的一方. 速度是矢量, 具有大小和方向. 描述质点运动时, 也常采用一个叫作速率的物理量. 速率是标量, 等于质点在单位时间内所行经的路程, 而不考虑质点运动的方向. 如图 1.2 所示, 在 $\Delta t$ 时间内质点所行经的路程为曲线段 $\widehat{AB}$ . 设曲线段 $\widehat{AB}$ 的长度为 $\Delta s$ , 那么 $\Delta s$ 与 $\Delta t$ 的比值就称为 $t$ 时刻附近 $\Delta t$ 时间内的平均速率, 即

$$\overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}\text{\hspace{1em}(1.9)}$$

平均速率与平均速度不能等同看待.例如,在某一段时间内,质点环行了一个闭合路径,显然质点的位移等于零,平均速度也为零,而质点的平均速率则不等于零. 尽管如此，在 $\Delta t\to 0$ 的极限条件下，曲线段 $AB$ 的长度 $\Delta s$ 与线段 $AB$ 的长度 $|\Delta r|$ 相等，即在 $\Delta t\to 0$ 时， $\mathrm{ds}=|\mathrm{dr}|$ ，所以瞬时速率

$$v=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{|\mathrm{d}r|}{\mathrm{d}t}=|\mathbf{v}|\text{\hspace{1em}(1.10)}$$

即瞬时速率等于瞬时速度的大小. 瞬时速率也称速率. 由式 $(1.1)$ 可知，在直角坐标系中，速度可表示成

$$\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mathbf{i}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\mathbf{j}+\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\mathbf{k}=v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}+v_z\mathbf{k}\text{\hspace{1em}(1.11)}$$

式中， $v_x=\frac{dx}{dt},v_y=\frac{dy}{dt},v_z=\frac{dz}{dt}$ ，分别称为速度$v$在$x$轴、$y$轴、$z$轴方向上的分量。这时速度$v$的模可以表示成

$$v=|\mathbf{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\text{\hspace{1em}(1.12)}$$

速度和速率在量值上都是长度与时间的比值,其单位为 m/s.

1.2.4 加速度

在力学中,位矢 $r$ 和速度 $v$ 都是描述物体机械运动的状态参量,即若 $r$ 和 $v$ 已知,质点的力学运动状态就确定了.下面即将引入的加速度则是用来描述速度随时间的变化率的物理量. 在变速运动中,物体的速度是随时间变化的.这个变化可以是运动快慢的变化,也可以是运动方向的变化,一般情况下速度的方向和大小都在变化.加速度就是描述质点的速度(大小和方向)随时间变化快慢的物理量.如图 1.4所示, $v_A$ 表示质点在时刻$t$、位置$A$处的速度, $v_B$ 表示质点在时刻 $t+\Delta t$ 、位置$B$处的速度.从速度矢量图可以看出,在 $\Delta t$ 时间内质点速度的增量为 图 1.4 速度的增量
图1.4 速度的增量

$$\Delta v=v_B-v_A$$

与平均速度的定义类似,比值 $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 称为时刻$t$附近 $\Delta t$ 时间内的平均加速度,记为 $\overline{a}$ ,即

$$\overline{a}=\frac{v_B-v_A}{\Delta t}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\text{\hspace{1em}(1.13)}$$

平均加速度只反映在 $\Delta t$ 时间内速度的平均变化率.为了准确地描述质点在某一时刻 t（或某一位置处）的速度变化率,须引入瞬时加速度. 质点在某一时刻或某一位置处的瞬时加速度(简称加速度)等于该时刻附近 $\Delta t$ 趋近于零时平均加速度的极限值,其数学表达式为

$$\mathbf{a}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}{t}^2}\text{\hspace{1em}(1.14)}$$

可见,加速度是速度对时间的一阶导数,或位矢对时间的二阶导数. 在直角坐标系中,加速度的表达式为

$$\mathbf{a}=\frac{{\mathrm{d}}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}\mathbf{i}+\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}\mathbf{j}+\frac{{\mathrm{d}}^{2}z}{\mathrm{d}{t}^2}\mathbf{k}=a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k}\text{\hspace{1em}(1.15)}$$

式中， $a_x=\frac{\mathrm{d}{v}_x}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2},a_y=\frac{\mathrm{d}{v}_y}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2},a_z=\frac{\mathrm{d}{v}_z}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}z}{\mathrm{d}{t}^2}$ ，分别称为加速度 $a$ 在 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴方向上的分量.加速度的模为

$$a=|\mathbf{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\text{\hspace{1em}(1.16)}$$

加速度的方向是当 $\Delta t\to 0$ 时平均加速度 $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 或速度增量的极限方向.

例 1.1

如图 1.5 所示,一人用绳子拉着小车前进,小车位于高出绳端 $h$ 的平台上,人的速率 $v_0$ 不变,求小车的速度和加速度的大小.

解

小车沿直线运动,以小车前进方向为 $x$ 轴正方向,以定滑轮为坐标原点 $O$, 小车的坐标为 $x$, 人的坐标为 $\xi$ , 由速度的定义知, 小车和人的速度大小应分别为

$$v_{\mathrm{车}}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},v_{\mathrm{人}}=\frac{\mathrm{d}\xi }{\mathrm{d}t}=v_0$$

由于定滑轮不改变绳长,所以小车坐标的变化率等于定滑轮与人之间的绳长的变化率,即

$$v_{\mathrm{车}}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}$$

又由图 1.5可得 $l^2={\xi }^2+h^2$ ，两边对 $t$ 求导得

$$2l\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}=2\xi \frac{\mathrm{d}\xi }{\mathrm{d}t}$$

联立以上各式，得

$$v_{\mathrm{车}}=\frac{v_{\mathrm{人}}\xi }{l}=v_{\mathrm{人}}\frac{\xi }{\sqrt{{\xi }^2+h^2}}=\frac{v_0\xi }{\sqrt{{\xi }^2+h^2}}$$

小车的加速度大小为

$$a=\frac{\mathrm{d}{v}_{\mathrm{车}}}{\mathrm{d}t}=\frac{v_0^2{h}^2}{({\xi }^2+h^2{)}^{\frac{3}{2}}}$$

图1.5 例1.1图