下册附录 部分曲面和空间立体的图形

为了增强读者的空间想象力，便于计算多元函数的积分，本附录列出了部分曲面和空间立体的图形，供查阅和选用。

1. 双曲抛物面（马鞍面） $z = xy$

几何特征

图形呈马鞍形，原点 $(0,0,0)$ 为其鞍点。在原点处，曲面沿不同方向向上或向下弯曲。

图 1：$z=xy$ 的两种不同视角曲面图形（含马鞍点特性）

2. 双曲抛物面 $z = x^2 - y^2$

几何特征

平行于 $xz$ 平面的截线为抛物线（开口向上），平行于 $yz$ 平面的截线为抛物线（开口向下）。

图 2：双曲抛物面 $z=x^2-y^2$

3. 三次曲面 $z = x^2 + y^3$

图 3：三次曲面 $z=x^2+y^3$

4. 对数曲面 $z = \ln(x^2 + y^2 - 1)$

定义域说明

要求 $x^2+y^2>1$，即在单位圆外部才有定义。当趋近于边界 $x^2+y^2=1$ 时，$z\to -\infty$。

图 4：对数曲面 $z=\ln (x^2+y^2-1)$

5. 复合三角曲面 $z = e^{-y} \cos x$

图 5：$z=e^{-y}\cos x$

6. 有理分式曲面 $z = \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$

图 6：$z=\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$

7. 余弦曲面 $z = \cos(x - y)$

图 7：$z=\cos (x-y)$

8. 帽状曲面 $f(x,y) = \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}$

边界条件

$-4⩽x⩽4$, $-4⩽y⩽4$

图 8：帽状曲面 $f(x,y)=\frac{\sin (x^2+y^2)}{x^2+y^2}$

9. 由 $x^2 + y^2 = R^2, x^2 + z^2 = R^2$ 所围成立体在第一卦限的图形

几何意义

该立体由两个直交圆柱面在第一卦限内相交而成。

图 9：两圆柱面相交在第一卦限的立体及投影

10. 由 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2, z = \sqrt{x^2 + y^2}, y = x, y = 2x, z = 0$ 在第一卦限部分所围成立体图形

图 10：球面、圆锥面与平面相交的复合立体图形

11. 由 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2, z = \sqrt{x^2 + y^2}, y = x, x = 0, z = 0$ 在第一卦限部分所围成立体图形

图 11：扇形空间立体及坐标面投影

12. 由曲面 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ 与 $x^2 + y^2 = 2ax$ 所围成立体在第一卦限的图形（其中 $R = 2a$）

图 12：当 $R=2a$ 时球面与圆柱面相贯体

13. 由曲面 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ 与 $x^2 + y^2 = 2ax$ 所围成立体在第一卦限的图形（其中 $R > 2a$）

图 13：当 $R>2a$ 时球面与圆柱面相贯体

14. 由曲面 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ 与 $x^2 + y^2 = 2ax$ 所围成立体在第一卦限的图形（其中 $\sqrt{2}a < R < 2a$）

图 14：当 $\sqrt{2}a<R<2a$ 时相贯立体图形

15. 由曲面 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ 与 $x^2 + y^2 = 2ax$ 所围成立体在第一卦限的图形（其中 $R \leqslant \sqrt{2}a$）

图 15：当 $R⩽\sqrt{2}a$ 时相贯立体图形

16. 由 $z = \sqrt{x^2 + y^2}, z = 1, z = 2$ 所围成的立体图形

几何特征

这是一个截顶圆锥体（圆台形空腔或实体），由上下两个平行平面与圆锥面截得。

图 16：圆锥台立体图形及其俯视投影

17. 由 $z = \sqrt{x^2 + y^2}, x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0$ 围成的立体图形

图 17：圆锥面与边界平面所围成的三维立体及其底平面投影