6.1 多元数量值函数积分的概念与性质

1.1 物体质量的计算

设有一质量非均匀分布的物体,其密度是点 $M$ 的连续函数 $\mu =f(M)$ . 如果函数 $f$ 已知,怎样来求物体的质量呢?

在定积分中,我们已经讲解了求线密度为 $\mu =f(M)=f(x)$ 的细棒 AB（图 6.1）质量的思想和步骤.当线密度 $\mu$ 为常量时,物质是均匀分布在区间 $[a,b]$ 上的.这时棒

AB 的质量 $m$ 可简单地利用乘法得到: $m=\mu \cdot (b-a)$ . 当 $\mu =f(x)$ 是连续变量时, 物质在 $[a,b]$ 上是非均匀分布的.

图6.1

为了运用物质为均匀分布的已知结果去解决非均匀分布的问题,我们采用了“分”“匀”“合”“精”四个步骤,将线密度为 $\mu =f(x)$ 的细棒 AB 的质量 $m$ 化为下述定积分来求:

$$m=\underset{\max \Delta x_i\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)\Delta x_k={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

对于平面或空间内的物体,当其密度函数 $\mu =f(M)$ 已知时,其质量的计算也可通过“分”“匀”“合”“精”的步骤来解决.例如,对平面薄板来说,假设它所占的平面区域为 $(\sigma )$ (图 6.2),其面密度 $\mu =f(M)$ 在 $(\sigma )$ 上连续,我们可按下述步骤来计算它的质量.

分 把薄板所在的区域( $\sigma$ )任意地划分为 $n$ 个子域( $\Delta {\sigma }_k$ )( $k=1,2,\cdots ,n$ )它们的面积记作 $\Delta {\sigma }_k$ （图 6.2）.

图6.2

匀 当子域 $(\Delta {\sigma }_k)$ 很小时，其上的物质可以近似地看成是均匀分布的，也就是说，密度函数 $f(M)$ 在 $(\Delta {\sigma }_k)$ 上可以近似地看作是常数，即等于 $(\Delta {\sigma }_k)$ 内的任一点 $M_k$ 的值 $f(M_k)$ ，从而 $(\Delta {\sigma }_k)$ 上质量 $\Delta m_k$ 的近似值为

$$\Delta m_k\approx f(M_k)\Delta {\sigma }_k.$$

合 把所有 $\Delta m_k$ 的近似值加起来, 就得到薄板质量 $m$ 的近似值为

$$m=\sum _{k=1}^n\Delta m_k\approx \sum _{k=1}^{n}f(M_k)\Delta {\sigma }_k.$$

精 $(\sigma )$ 的所有子域 $(\Delta {\sigma }_k)(k=1,2,\cdots ,n)$ 被划分得越小，上述近似值的近似程度就越高。设 $d$ 为这 $n$ 个子域 $(\Delta {\sigma }_k)$ 的直径 ^① 中的最大者，当子域的数目 $n$ 无限增大，而且 $d$ 趋于零时，每一子域都无限缩小，我们把上述近似值的极限规定为此薄板的质量 $m$，即

$$m=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(M_k)\Delta {\sigma }_k.\text{I}\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

可见,薄板的质量也可由一个和式的极限来确定.和式极限(1.2)与(1.1)式中的和式极限形式上完全一样,唯一的差别是(1.1)式中的每一项是函数在子区间上任一点 $M_k$ 的函数值乘该子区间的长度,而(1.2)式中的每一项是函数在平面子域上任一点 $M_k$ 的函数值乘该子域的面积.这种差别是由于质量分布的范围不同所引起的.

一般说来,设有一物质非均匀分布在某一几何形体( $\Omega$ )上的物体(这里的几何形体( $\Omega$ )可以是直线段、平面或空间区域,一片曲面或一段曲线),其密度函数 $\mu =f(M)$ 在( $\Omega$ )上连续,可以完全依照上面的四个步骤来计算其质量.

分 把 $(\Omega )$ 任意地划分为 $n$ 个部分, 记作 $(\Delta {\Omega }_k),k=1,2,\cdots ,n.$ 并把 $(\Delta {\Omega }_k)$ 的度量(例如面积、体积、曲面面积、曲线的弧长等)记为 $\Delta {\Omega }_k$ .

匀 把 $(\Delta {\Omega }_k)$ 上物质的分布近似看成是均匀的, 即在 $(\Delta {\Omega }_k)$ 上把密度函数 $\mu =f(M)$ 近似看作是等于其中任一点 $M_k$ 处的函数值 $f(M_k)$ , 从而 $(\Delta {\Omega }_k)$ 上质量 $\Delta m_k$ 的近似值为

$$\Delta m_k\approx f(M_k)\Delta {\Omega }_k.$$

合 把所有上述近似值加起来得此物体质量的近似值为

$$m=\sum _{k=1}^n\Delta m_k\approx \sum _{k=1}^{n}f(M_k)\Delta {\Omega }_k.$$

精 设 $d$ 为 $n$ 个 $(\Delta {\Omega }_k)$ 直径 ^① 中的最大者, 当 $d\to 0$ 时上述和式的极限值就是此物体的质量 $m$, 即

$$m=\sum _{k=1}^n\Delta m_k=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(M_k)\Delta {\Omega }_k.\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

1.2 多元数量值函数积分的概念

从上面求质量的问题中我们看到,尽管物质分布的几何形体可以不同,甚至涉及不同维数的空间,但是通过点函数从数量关系来看,求质量的问题都归结为求同一形式和式的极限(1.3).在科学技术中还有大量类似的问题,例如各种物体的质心和转动惯量、平面或空间几何形体的面积或体积等,都可以看成是分布在某一几何形体上的可加量的求和问题,从而最终都可归结为形如(1.3)的和式的极限问题而得到解决.为了从数量关系上给出解决这类问题的一般方法,我们抛开它们的具体意义,仅保留其数学结构的特征,给出以下多元函数积分的概念.

定义 1.1 多元数量值函数积分

设 $(\Omega )$ 表示一个有界的几何形体, 它是可度量的(即可求长或可求面积或可求体积), 函数 $f$ 是定义在 $(\Omega )$ 上的有界数量值函数.

定义中之所以要求$f$在 $(\Omega )$ 上有界,是因为仿照第三章定积分定义边注(第175页)中的证明可知:当$f$在 $(\Omega )$ 上无界时,积分(1.4)一定不存在.

将 $(\Omega )$ 任意地划分为$n$个小部分 $(\Delta {\Omega }_k),k=1,2,\cdots ,n.$ 用 $\Delta {\Omega }_k$ 表示 $(\Delta {\Omega }_k)$ 的度量.

任取点 $M_k\in (\Delta {\Omega }_k)$ ，作乘积

$$f(M_k)\Delta {\Omega }_k,k=1,2,\dots ,n.$$

作和式

$$\sum _{k=1}^{n}f(M_k)\Delta {\Omega }_k.$$

如果不论 $(\Omega )$ 怎样划分，点 $M_k$ 在 $(\Delta {\Omega }_k)$ 中怎样选取，当所有 $(\Delta {\Omega }_k)$ 的直径的最大值 $d\to 0$ 时上述和式都趋于同一常数，那么，称函数 $f$ 在 $(\Omega )$ 上可积，且称此常数为多元数量值函数 $f$ 在 $(\Omega )$ 上的积分，在不致混淆的情况下，也简称为函数 $f$ 在 $(\Omega )$ 上的积分，记作

$${\int }_{(\Omega )}f(M)\mathrm{d}\Omega =\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(M_k)\Delta {\Omega }_k,\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

其中 $(\Omega )$ 称为积分域 ^① ，$f$称为被积函数， $f(M)\mathrm{d}\Omega$ 称为被积式或积分微元.

下面,我们根据积分域 $(\Omega )$ 的不同类型,分别给出积分(1.4)的具体表达式和名称.

（1）如果 $(\Omega )$ 是 $x$ 轴上的闭区间 $[a,b]$ ，那么 $f$ 就是定义在区间 $[a,b]$ 上的一元函数， $\Delta {\Omega }_k$ 就是子区间的长度 $\Delta x_k$ ，从而(1.4)式可以具体地写成

$${\int }_{(\Omega )}f(M)\mathrm{d}\Omega =\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)\Delta x_k,$$

数字资源 6.1.1·数量值函数积分概念的实质

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而积分 ${\int }_{(\Omega )}f(M)\mathrm{d}\Omega$ 就是定积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ .

(2) 如果 $(\Omega )$ 是 xOy 平面上的区域 $(\sigma )$^② ，那么 $f$ 就是定义在 $(\sigma )$ 上的二元函数， $\Delta {\Omega }_k$ 就是子区域的面积 $\Delta {\sigma }_k$ ，从而 (1.4) 式也可更具体地写成

$${\int }_{(\Omega )}f(M)\mathrm{d}\Omega =\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k,$$

称为 $f$ 在区域 $(\sigma )$ 上的二重积分，其中 $({\xi }_k,{\eta }_k)$ 就是点 $M_k$ 的直角坐标。为了明确显示二重积分有两个独立的积分变量，我们常用两个积分符号把二重积分表示为

$${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k,$$

其中 $(\sigma )$ 就是二重积分的积分域, $d\sigma$ 称为面积微元.

（3）如果 $(\Omega )$ 为三维空间的区域 $(V)$ ，那么 $f$ 就是定义在 $(V)$ 上的三元函数， $\Delta {\Omega }_k$ 就是子区域的体积 $\Delta V_k$ . 为了明确显示这时的积分有三个独立的积分变量，我们常采用三个积分符号，而把(1.4)式具体写成

$${\iiint }_{(V)}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta V_k,$$

称为$f$在区域($V$)上的三重积分,其中 $({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)$ 为点 $M_k$ 的直角坐标,($V$)是三重积分的积分域,dV称为体积微元.

(4) 如果 $(\Omega )$ 为一条平面(或空间)的曲线弧段($C$)，那么$f$就是定义在弧段($C$)上的二元(或三元)函数， $\Delta {\Omega }_k$ 就是子弧段的弧长 $\Delta s_k$ ，于是(1.4)式可以具体写成

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{(C)}f(x,y)\mathrm{d}s={\lim }_{d\to 0}{\sum }_{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta s_k\\ & \left(\text{或}{\int }_{(C)}f(x,y,z)\mathrm{d}s={\lim }_{d\to 0}{\sum }_{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta s_k\right),\end{array}$$

称为 $f$ 在曲线段 $(C)$ 上对弧长的曲线积分, 也称为第一型线积分, 其中 $(C)$ 称为积分路径. 被积函数形式上是二元 (或三元) 函数, 但是由于点 $M$ 在曲线 $(C)$ 上变动, 它的坐标将受到 $(C)$ 的方程的约束, 所以实质上独立的变量只有一个. 这也是为什么只用一个积分符号去表示曲线积分的原因.

（5）如果 $(\Omega )$ 为一片曲面 $(S)$ ，那么 $f$ 就是定义在 $(S)$ 上的三元函数， $\Delta {\Omega }_k$ 就是子曲面的面积 $\Delta S_k$ . 由于点 $M$ 在曲面 $(S)$ 上变化，它的坐标 $x,y,z$ 中只有两个是独立的，因此我们用两个积分符号来表示这类积分，而将(1.4)式具体写为

$${\iint }_{(S)}f(x,y,z)\mathrm{d}S=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta S_k,$$

称为$f$在曲面($S$)上对面积的曲面积分,也称为第一型面积分.

我们看到,多元函数的积分虽然类型多样,但都是形同(1.4)式的和式极限,只不过被积函数的定义域是不同的几何形体罢了.这反映了在不同几何形体( $\Omega$ )上对非均匀分布可加量求和问题的需要.例如,如果物质连续分布在空间区域($V$)上,那注:这里我们将二重、三重积分,第一型线、面积分用几何形体上的积分统一定义,不仅避免了烦琐的重复,而且突出了它们的共性与解决问题的思想和步骤,也便于理解它们的差异仅在于积分域的不同.

么在密度函数 $\mu (x,y,z)$ 已知的情况下，($V$)的质量就是 $\mu$ 在($V$)上的三重积分 ${\iiint }_{(V)}\mu (x,y,z)\mathrm{d}V;$ 如果物质连续分布在一片曲面($S$)上，那么在密度函数 $\mu (x,y,z)$ 已知的情况下，($S$) 的质量就是 $\mu$ 在 ($S$) 上对面积的曲面积分 ${\iint }_{(S)}\mu (x,y,z)\mathrm{d}S.$

1.3 积分存在的条件和性质

在多元数量值函数积分的定义中,要求不论 $(\Omega )$ 怎样划分,不论点 $M_k$ 在 $(\Delta {\Omega }_k)$ 中怎样选取,当所有 $(\Delta {\Omega }_k)$ 的直径的最大值 $d\to 0$ 时和式均趋于同一个数.这时,我们才说积分存在,或$f$在 $(\Omega )$ 上可积.

类似于定积分,可以证明(从略),若 $(\Omega )$ 是有界闭集且可度量, $f\in C((\Omega ))$ ,则$f$在 $(\Omega )$ 上一定可积.

下面我们在 $(\Omega )$ 是有界闭集、可度量且被积函数可积的前提下来讨论积分的主要性质，它们的证明与定积分中相应性质类似.

1. 线性性质

(1) ${\int }_{(\Omega )}kf(M)\mathrm{d}\Omega =k{\int }_{(\Omega )}f(M)\mathrm{d}\Omega ,k$ 为一常数；

(2) ${\int }_{(\Omega )}[f(M)\pm g(M)]\mathrm{d}\Omega ={\int }_{(\Omega )}f(M)\mathrm{d}\Omega \pm {\int }_{(\Omega )}g(M)\mathrm{d}\Omega$ .

2. 对积分域的可加性 设 $(\Omega )=({\Omega }_1)\cup ({\Omega }_2)$ ，且 $({\Omega }_1)$ 与 $({\Omega }_2)$ 除边界点外无公共部分，则

$${\int }_{(\Omega )}f(M)\mathrm{d}\Omega ={\int }_{({\Omega }_1)}f(M)\mathrm{d}\Omega +{\int }_{({\Omega }_2)}f(M)\mathrm{d}\Omega .$$

3. 积分不等式

(1) 若 $f(M)⩽g(M)$ , $\forall M\in (\Omega )$ , 则

$${\int }_{(\Omega )}f(M)\mathrm{d}\Omega ⩽{\int }_{(\Omega )}g(M)\mathrm{d}\Omega ;$$

数字资源 6.1.2·多元数量值函数积分中值定理的证明

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(2) $\left|{\int }_{(\Omega )}f(M)\mathrm{d}\Omega \right|⩽{\int }_{(\Omega )}|f(M)|\mathrm{d}\Omega ;$

(3) 若 $l⩽f(M)⩽L,\forall M\in (\Omega )$ , 则

$$l\Omega ⩽{\int }_{(\Omega )}f(M)\mathrm{d}\Omega ⩽L\Omega .$$

4. 中值定理 设 $f\in C((\Omega ))$ , (Ω)为一有界连通闭集, 则在(Ω)上至少存在一点$P$, 使

$${\int }_{(\Omega )}f(M)\mathrm{d}\Omega =f(P)\Omega .$$

6.1 多元数量值函数积分的概念与性质 课后真题与自测练习

习题与真题

收录本小节对应期中、期末与精选习题· 提供推导解析、试卷溯源与 LaTeX 导出

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