6.6 第一型线积分与面积分

6.1 第一型线积分

在本章第一节中我们已通过和式的极限式(1.4)给出了点函数 $f(M)$ 在形体 $(\Omega )$ 上积分的定义.当 $(\Omega )$ 是平面或空间的可求长曲线段($C$)时,相应的积分就分别是平面或空间曲线积分,即

$${\int }_{(C)}f(x,y)\mathrm{d}s=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta s_k,$$

或

$${\int }_{(C)}f(x,y,z)\mathrm{d}s=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta s_k.\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

这里弧段长 $\Delta s_k$ 始终是正的, 换句话说, 曲线积分的值与积分路径 ($C$) 的方向无关, 我们把这种曲线积分称为对弧长的线积分, 也称为第一型线积分.

第一型线积分的计算公式 设有一有界的简单光滑空间曲线($C$)，其参数方程为

$$x=x(t),y=y(t),z=z(t)(\alpha ⩽t⩽\beta ).\text{\hspace{1em}(6.2)}$$

若函数 $f(x,y,z)$ 在($C$)上连续，则

$${\int }_{(C)}f(x,y,z)\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{{\dot{x}}^2(t)+{\dot{y}}^2(t)+{\dot{z}}^2(t)}\mathrm{d}t.\text{\hspace{1em}(6.3)}$$

证明

把区间 $[\alpha ,\beta ]$ 任意划分

$$\alpha =t_0<t_1<t_2<\cdots <t_n=\beta ,$$

曲线($C$)相应地被分割成 $n$ 个小弧段, 设 $\left[t_{k-1},t_k\right]$ 对应的小弧段为 $(\Delta s_k)$ , 其弧长为 $\Delta s_k$ . 由弧长的计算公式可知

$$\Delta s_k={\int }_{t_{k-1}}^{t_k}\sqrt{{\dot{x}}^2(t)+{\dot{y}}^2(t)+{\dot{z}}^2(t)}\mathrm{d}t.$$

由于曲线 $(C)$ 光滑, 故被积函数 $\sqrt{{\dot{x}}^2(t)+{\dot{y}}^2(t)+{\dot{z}}^2(t)}$ 连续, 应用积分中值定理, 得

$$\Delta s_k=\sqrt{{\dot{x}}^2({\tau }_k)+{\dot{y}}^2({\tau }_k)+{\dot{z}}^2({\tau }_k)}\Delta t_k,t_{k-1}⩽{\tau }_k⩽t_k.\text{\hspace{1em}(6.4)}$$

令

$$x({\tau }_k)={\xi }_k,y({\tau }_k)={\eta }_k,z({\tau }_k)={\zeta }_k,\text{\hspace{1em}(6.5)}$$

显然，点 $M_k({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)$ 应位于小弧段 $(\Delta s_k)$ 上，作和式

$$\begin{array}{l}{\sum }_{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta s_k\\ ={\sum }_{k=1}^{n}f[x({\tau }_k),y({\tau }_k),z({\tau }_k)]\sqrt{{\dot{x}}^2({\tau }_k)+{\dot{y}}^2({\tau }_k)+{\dot{z}}^2({\tau }_k)}\Delta t_k,\end{array}\text{\hspace{1em}(6.6)}$$

由于被积函数$f$在积分路径($C$)上连续,故第一型线积分 ${\int }_{(C)}f(x,y,z)\mathrm{d}s$ 存在,即无论对($C$)如何划分,无论点 $M_k$ 在 $(\Delta s_k)$ 上如何选取,当 $(\Delta s_k)(k=1,2,\cdots )$ 的直径的最大者 $d\to 0$ 时,(6.6)式左端和式都趋于同一值.因而对用(6.5)式特别选取的点 $M_k$ ,也必有

$${\int }_{(C)}f(x,y,z)\mathrm{d}s=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta s_k.$$

另一方面，由于 $f[x(t),y(t),z(t)]\cdot \sqrt{{\dot{x}}^2(t)+{\dot{y}}^2(t)+{\dot{z}}^2(t)}$ 在区间 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续，由定积分的定义和存在定理可知

${\lim }_{d\to 0}{\sum }_{k=1}^{n}f[x({\tau }_k),y({\tau }_k),z({\tau }_k)]\cdot$ $\sqrt{{\dot{x}}^2({\tau }_k)+{\dot{y}}^2({\tau }_k)+{\dot{z}}^2({\tau }_k)}\Delta t_k$ $={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{{\dot{x}}^2(t)+{\dot{y}}^2(t)+{\dot{z}}^2(t)}\mathrm{d}t.$ 所以公式(6.3)成立.

公式(6.3)表明,在计算第一型线积分 ${\int }_{(C)}f(x,y,z)ds$ 时,可以把弧长微元ds看作是弧微分,把弧微分公式与积分路径($C$)的参数方程代入被积表达式,然后去计算所得的定积分即可.由于弧长 $\Delta s_k$ 总是正的,所以定积分的上限必须大于下限.

例 6.1

计算线积分 $I={\int }_{(C)}\left(x^2+y^2+z^2\right)\mathrm{d}s$ ，其中 $(C)$ 为螺旋线 $x=a\cos t,y=a\sin t,z=kt$ 上相应于 $0⩽t⩽2\pi$ 的一段弧.

解

由公式(6.3)得注意:为了把(6.1)式右端化成定积分,我们利用积分中值定理,将(6.1)中的 $\Delta s_k$ 化为(6.4)式.点 $({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)$ 在曲线($C$)上,应由($C$)的参数方程(6.2)中的参数 $t_k$ 来确定.将它们代入(6.1)式右端后,为了使所得的关于$t$的定积分和式中的 $t_k$ 与积分中值定理所确定的 ${\tau }_k$ 一致,我们由(6.5)式将 $({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)$ 选取为由 ${\tau }_k$ 在($C$)上所确定的特殊点.然而这样一来就破坏了线积分定义中所要求 $({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)$ 的任意性,以及定积分定义中要求 ${\tau }_k$ 的任意性.但是由于函数$f$的连续性和曲线($C$)的光滑性,得证了线积分与定积分均存在.因此,这种特殊选取是合理的.

在第一型线积分的定义(6.1)中,ds最初仅是一个记号,并无明确的含义.在证明了计算公式(6.3)后才看到,可以把ds作为积分路径($C$)的弧微分.

$$I={\int }_0^{2\pi }(a^2+k^2{t}^2)\sqrt{a^2+k^2}\mathrm{d}t=\frac{2}{3}\pi \sqrt{a^2+k^2}(3a^2+4{\pi }^2{k}^2).$$

例 6.2

求 $I={\int }_{(C)}y\mathrm{d}s$ ，其中 $(C)$ 为抛物线 $y^2=2x$ 上介于 $(2,-2)$ 与 $(2,2)$ 两点间的线段.

解

$I$ 是平面上的第一型线积分,选择 $y$ 为积分变量,把积分路径的方程 $y^2=2x$ 看作是以 $y$ 为参数的参数方程: $x=\frac{1}{2}{y}^2,y=y$ . 由公式(6.3)得

实际上,注意到积分路径($C$)是关于$x$轴对称的,而被积函数又是$y$的奇函数,立即可知题中线积分之值为零.

$$I={\int }_{-2}^{2}y\sqrt{1+{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)}^2}\mathrm{d}y={\int }_{-2}^{2}y\sqrt{1+y^2}\mathrm{d}y=0.$$

例 6.3

计算线积分 $I={\oint }_{(C)}(x^2+y^2+2z)\mathrm{d}s$ ，其中 $(C)$ 为

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=a^2,\\ x+y+z=0.\end{array}$$

解

由于曲线($C$)的方程具有轮换对称性,故

$${\oint }_{(C)}{x}^2\mathrm{d}s={\oint }_{(C)}{y}^2\mathrm{d}s={\oint }_{(C)}{z}^2\mathrm{d}s,$$

对于第一型线积分,与重积分类似,同样可利用对称性简化其计算.

从而

$${\oint }_{(C)}\left(x^2+y^2\right)\mathrm{d}s=\frac{2}{3}{\oint }_{(C)}\left(x^2+y^2+z^2\right)\mathrm{d}s=\frac{2}{3}{\oint }_{(C)}{a}^2\mathrm{d}s=\frac{2}{3}{a}^2\cdot 2\pi a=\frac{4}{3}\pi a^3.$$

又由于 $(C)$ 关于坐标原点对称，而 ${\oint }_{(C)}2z\mathrm{d}s$ 中的被积函数关于 $x,y$ 和 $z$ 为奇函数，故

$${\oint }_{(C)}2z\mathrm{d}s=0,$$

于是

$$I=\frac{4}{3}\pi a^3.\text{ II }$$

例 6.4 柱面的侧面积

设椭圆柱面 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1$ 被平面 z = y 与 z = 0 所截, 求位于第一、二卦限内所截下部分的侧面积 A (图 6.44).

解

此椭圆柱面的准线是 xOy 平面上的半个椭圆($C$):

$$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1(y⩾0).$$

对($C$)进行划分,运用积分的微元法,在弧微元 ds 上的一小片柱面面积可近似地看作是以 ds 为底,以截线 $L$ 上点 $M$ 的竖坐标 z=y 为高的长方形面积,从而得侧面积微元

图6.44

$$\mathrm{d}A=y\mathrm{d}s,$$

于是所求侧面积为

$$A={\int }_{(C)}y\mathrm{d}s.$$

把 $(C)$ 的方程化成参数方程

$$x=\sqrt{5}\cos t,y=3\sin t(0⩽t⩽\pi ),$$

所以

$$\begin{array}{rl}A& ={\int }_{(C)}y\mathrm{d}s={\int }_0^{\pi }3\sin t\sqrt{5{\sin }^{2}t+9{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t\\ & =-3{\int }_0^{\pi }\sqrt{5+4{\cos }^{2}t}\mathrm{d}(\cos t)=9+\frac{15}{4}\ln 5.\end{array}$$

例 6.5

设有一半圆形的金属丝,物质均匀分布,求它的质心和对直径的转动惯量.

图6.45

解

选取坐标系如图 6.45 所示. 设圆半径为 $R$, 金属丝线密度为 $\mu$ , 由对称性可知质心的横坐标 $\bar{x}=0$ . 任意划分半圆弧 ($C$), 易见, 弧微元 ds 所对应的金属丝对 $x$ 轴的静矩微元为

$$\mathrm{d}{M}_x=y\mathrm{d}m=\mu y\mathrm{d}s,$$

从而

$$M_x={\int }_{(C)}\mu y\mathrm{d}s.$$

($C$)以极角 $\theta$ 为参数的参数方程为

$$x=R\cos \theta ,y=R\sin \theta (0⩽\theta ⩽\pi ),$$

于是

$$M_x=\mu {\int }_0^{\pi }{R}^2\sin \theta \mathrm{d}\theta =2\mu R^2.$$

半圆的质量显然为 $m=\pi R\mu$ ，所以质心的纵坐标为

$$\overline{y}=\frac{M_x}{m}=\frac{2\mu R^2}{\pi R\mu }=\frac{2R}{\pi }.$$

这里 ds 可通过($C$)的参数方程计算弧微分得到

$$\mathrm{d}s=\sqrt{R^2(-\sin \theta {)}^2+R^2{\cos }^2\theta }\mathrm{d}\theta =R\mathrm{d}\theta ,$$

ds 段金属丝对直径(即 $x$ 轴)的转动惯量, 即转动惯量微元为

也可以更简单地利用求圆弧的公式直接从图 6.45 得到.

$$\mathrm{d}{I}_x=y^2\mathrm{d}m=\mu y^2\mathrm{d}s,$$

从而金属丝对其直径的转动惯量为

$$I_x=\mu {\int }_{(C)}{y}^2\mathrm{d}s=\mu {\int }_0^{\pi }{R}^3{\sin }^2\theta \mathrm{d}\theta =\frac{\mu \pi R^3}{2}=\frac{m}{2}{R}^2,$$

其中 $m=\mu \pi R$ 是金属丝的质量.

6.2 第一型面积分

正像线积分要以弧长为基础一样,面积分需要以曲面面积为基础.

1. 曲面的面积

设在 $R^3$ 空间有一曲面($S$)，其参数方程为

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)\in (\sigma )\subseteq {\mathbf{R}}^2.\text{\hspace{1em}(6.7)}$$

从几何上看,曲面($S$)是uOv参数平面上的区域( $\sigma$ )在映射$r$下的像.

我们用微元法来讨论曲面的面积.设向量值函数 $r(u,v)$ 在 $(\sigma )$ 上连续可微，且

$${\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\ne 0.$$

在 uOv 参数平面上, 用坐标线 $u=c_1$ 和 $v=c_2$ 把域 ( $\sigma$ ) 划分成若干小矩形, 考察其中一个以点 $M(u,v)$ , $M_1(u+\Delta u,v)$ , $M_2(u+\Delta u,v+\Delta v)$ , $M_3(u,v+\Delta v)$ 为顶点的小矩形 ( $\Delta \sigma$ ) ( $\Delta u>0,\Delta v>0$ ) (图 6.46($a$)). 设在映射注：所设条件保证了在 $(\sigma )$ 上曲面 $S$ 的光滑性，即有连续转动的切平面；同时，也保证了 $r_{ij}$ 与 $r_i$ 均在 $(\sigma )$ 上是处处非零的向量.

$r$ 下, $M,M_1,M_2,M_3$ 的像点分别为曲面 $S$ 上的点 $P,P_1,P_2,P_3$ ，于是映射 $r$ 把 $(\Delta \sigma )$ 映射成由曲面上的曲边四边形 $P{P}_1{P}_2{P}_3$ 所围成的 $(\Delta S)$ （图 6.46($b$)）。容易看出，向量

$$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{P{P}_1}=r(u+\Delta u,v)-r(u,v)=r_u\Delta u+o(\rho )\approx r_u\Delta u,\\ & \overrightarrow{P{P}_3}=r(u,v+\Delta v)-r(u,v)=r_v\Delta v+o(\rho )\approx r_v\Delta v,\end{array}$$

($a$)

图6.46

($b$)

其中 $\rho =\sqrt{\Delta u^2+\Delta v^2}.r_u\Delta u$ 与 $r_v\Delta v$ 分别为曲面 $S$ 上过点 $P(u,v)$ 的弧段 ${\widehat{PP}}_1$ 和弧段 ${\widehat{PP}}_3$ 相应的切向量，它们都位于曲面 $S$ 在点 $P$ 的切平面上。当 $\Delta u$ 与 $\Delta v$ 都很小时，以此两切向量为邻边所构成的平行四边形面积显然可作为 $(\Delta S)$ 面积 $\Delta S$ 的近似值，即

容易看出, $\Vert r_u\Delta u\Vert$ 就是 $\Vert \overrightarrow{P{P}_1}\Vert$ 关于 $\Delta u$ 的线性主部,而且通过求弧长 $\widehat{P{P}_1}$ 的公式,利用积分中值定理和被积函数的连续性,不难证明它也是弧长 $\widehat{P{P}_1}$ 的线性主部.

$$\Delta S\approx \Vert {\mathbf{r}}_u\Delta u\times {\mathbf{r}}_u\Delta v\Vert =\Vert {\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\Vert \Delta u\Delta v.$$

由此可知曲面面积微元

$$\mathrm{d}S=\Vert {\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\Vert \mathrm{d}u\mathrm{d}v,\text{\hspace{1em}(6.8)}$$

从而曲面($S$)的面积为

$$S={\iint }_{(\sigma )}\Vert {\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\Vert \mathrm{d}u\mathrm{d}v.\text{\hspace{1em}(6.9)}$$

例 6.6

求半径为 $a$ 的球面面积.

解

由第五章例6.6 可知, 此球面的参数方程为

$$\begin{array}{rl}\mathbf{r}(\phi ,\theta )& =(a\sin \phi \cos \theta ,a\sin \phi \sin \theta ,a\cos \phi ),\\ (\phi ,\theta )& \in D=[0,\pi ]\times [0,2\pi ].\end{array}$$

数字资源 6.6.1·曲面面积微元与微分的关系

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由于

$$\begin{array}{l}{r}_{\phi }=(a\cos \phi \cos \theta ,a\cos \phi \sin \theta ,-a\sin \phi ),\\ r_{\theta }=(-a\sin \phi \sin \theta ,a\sin \phi \cos \theta ,0).\end{array}$$

经计算可知

$$\Vert {\mathbf{r}}_{\phi }\times {\mathbf{r}}_{\theta }\Vert =a^2\sin \phi .$$

于是由公式(6.9)可知

$$S={\iint }_{(\sigma )}{a}^2\sin \phi \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\pi }{a}^2\sin \phi \mathrm{d}\phi =4\pi a^2.I$$

若曲面 $S$ 的方程由直角坐标给出: $z=z(x,y)$ , $(x,y)\in (\sigma )$ ，将 $x$ 与 $y$ 视为参数，此曲面的向量方程可写成

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y)),$$

从而

$${\mathbf{r}}_x=(1,0,f_x),{\mathbf{r}}_y=(0,1,f_y),$$

而

$$\mathrm{d}S=\Vert {\mathbf{r}}_x\times {\mathbf{r}}_y\Vert \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\Vert \left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 0& f_x\\ 0& 1& f_y\end{array}\right|\Vert \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\text{\hspace{1em}(6.10)}$$

代入公式(6.9)，得

$$S={\iint }_{(\sigma )}\Vert {\mathbf{r}}_x\times {\mathbf{r}}_y\Vert \mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{(\sigma )}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\text{\hspace{1em}(6.11)}$$

意到 $n=r_x\times r_y=-f_{x}i-f_{y}j+k$ 是曲面($S$)在点 $P_0$ 处的一个法向量,它的第三方向余弦为

$$\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}},$$

其中 $\gamma$ 是 $n$ 与 $z$ 轴的夹角, 于是由 (6.10) 式可知

$$\mathrm{d}S\cdot \frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}=\mathrm{d}S\cdot \cos \gamma =\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\mathrm{d}{\sigma }_{xy}.\text{\hspace{1em}(6.12)}$$

所以,我们说面积微元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y(=\mathrm{d}{\sigma }_{xy})$ 就是曲面面积微元 dS 在 xOy 坐标面上的投影.或者说,曲面面积微元 dS 是位于曲面 $S$ 的切平面上,且它在 xOy 平面上的投影为 $\mathrm{d}{\sigma }_{xy}$ 的那一块面积.

公式(6.11)仅适用于由函数 $z=f(x,y)$ 所表示的曲面, 即这时曲面在 $({\sigma }_{xy})$ 上关于 $z$ 是单值的. 而公式(6.9)所适用的曲面具有一般性.

当曲面 $S$ 可用方程

$$y=f(z,x),(z,x)\in ({\sigma }_{zx})\text{或}x=f(y,z),(y,z)\in ({\sigma }_{yz})$$

表示时,相应的曲面面积公式分别为

$$S={\iint }_{({\sigma }_z)}\sqrt{1+f_z^2+f_x^2}\mathrm{d}z\mathrm{d}x\text{或}S={\iint }_{({\sigma }_z)}\sqrt{1+f_y^2+f_z^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}z.\text{\hspace{1em}(6.13)}$$

例 6.7

求圆柱面 $x^2+y^2=a^2$ 在第一卦限中被平面 z=0, z=mx (m>0), x=b (b<a) 所截下部分的面积(图 6.47).

图6.47

解

将所求部分曲面向 xOz 平面投影, 曲面的方程可写成

$$y=\sqrt{a^2-x^2},(x,z)\in (\sigma ),$$

其中 $(\sigma )=\{(x,z)|0⩽x⩽b,0⩽z⩽mx\}$ . 于是

$$\sqrt{1+y_x^2+y_z^2}=\sqrt{1+{\left(\frac{-x}{y}\right)}^2}=a(a^2-x^2{)}^{-1/2},$$

从而由公式(6.13)，得

$$\begin{array}{rl}S& ={\iint }_{(\sigma )}a(a^2-x^2{)}^{-1/2}\mathrm{d}z\mathrm{d}x={\int }_0^b\mathrm{d}x{\int }_0^{mx}a(a^2-x^2{)}^{-1/2}\mathrm{d}z\\ & ={\int }_0^{b}amx(a^2-x^2{)}^{-1/2}\mathrm{d}x=a^{2}m-am\sqrt{a^2-b^2}.\end{array}$$

2. 第一型面积分的计算

现在,在曲面面积的基础上来解决第一型面积分的计算问题.在本章第一节中我们已经知道,当几何形体( $\Omega$ )为一曲面($S$)时,相应的积分就是第一型面积分,即

$${\iint }_{(S)}f(x,y,z)\mathrm{d}S=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta S_k.$$

用类似于第一型线积分计算公式的证明方法，可以证明：如果 $f(x,y,z)$ 在有界光滑曲面($S$)上连续，($S$)的方程为注：容易看出当曲面($S$)是坐标平面上一块平面时，第一型的积分就退化为二重积分.

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)=x(u,v)\mathbf{i}+y(u,v)\mathbf{j}+z(u,v)\mathbf{k},(u,v)\in (\sigma ),$$

那么 $f$ 在 $(S)$ 上的第一型面积分的计算公式为

$${\iint }_{(S)}f(x,y,z)\mathrm{d}S={\iint }_{(\sigma )}f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\Vert {\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\Vert \mathrm{d}u\mathrm{d}v.\text{\hspace{1em}(6.14)}$$

公式(6.14)可以这样来理解：由于被积函数$f$沿曲面($S$)变化，因而积分变量$x$,$y$,$z$应受曲面($S$)方程的约束。把dS视为曲面面积微元，将曲面参数方程(6.7)与微元表达式(6.8)代入(6.14)式的左端，注意到当点 $(x,y,z)$ 在($S$)上变化时，参数 $(u,v)$ 相应的变化区域为 $(\sigma )$ ，便可得到公式(6.14)的右端。

与第一型线积分类似,第一型面积分定义中的dS最初只是一个记号,并无明确的含义.仅当导出了计算公式(6.14)之后,才看到可以把dS看作是曲面面积微元,即 $dS=\Vert {\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\Vert \mathrm{d}u\mathrm{d}v$ .

若($S$)的方程为 $z=z(x,y),(x,y)\in (\sigma )$ ，则(6.14)式可写成

$${\iint }_{(S)}f(x,y,z)\mathrm{d}S={\iint }_{(\sigma )}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\text{\hspace{1em}(6.15)}$$

例 6.8

计算 ${\iint }_{(S)}z\mathrm{d}S$ ，其中曲面 ($S$) 是圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 上介于平面 z = 1 与 z = 2 间的部分.

解

容易看出曲面($S$)在 xOy 平面上的投影区域为

$$(\sigma )=\{(x,y)|1⩽x^2+y^2⩽4\},$$

于是由公式(6.15)可知

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{(S)}z\mathrm{d}S& ={\iint }_{(\sigma )}\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =\sqrt{2}{\iint }_{(\sigma )}\rho \cdot \rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta =\sqrt{2}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_1^2{\rho }^2\mathrm{d}\rho =\frac{14}{3}\sqrt{2}\pi .\end{array}$$

例 6.9

计算面积分 $I={\iint }_{(S)}(ax+by+cz+d{)}^2\mathrm{d}S$ ，其中($S$)为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ .

解

为了利用对称性,将被积函数展开,得

$$\begin{array}{rl}I& =a^2{\iint }_{(S)}{x}^2\mathrm{d}S+b^2{\iint }_{(S)}{y}^2\mathrm{d}S+c^2{\iint }_{(S)}{z}^2\mathrm{d}S+2ab{\iint }_{(S)}xy\mathrm{d}S+2bc{\iint }_{(S)}yz\mathrm{d}S+\\ & 2ac{\iint }_{(S)}zx\mathrm{d}S+2ad{\iint }_{(S)}x\mathrm{d}S+2bd{\iint }_{(S)}y\mathrm{d}S+2cd{\iint }_{(S)}z\mathrm{d}S+{\iint }_{(S)}{d}^2\mathrm{d}S.\end{array}$$

由于球面关于 $xOy$ 平面对称，而上式右端第五、六、九三个积分中的被积函数关于 $z$ 为奇函数，从而这三个积分的值均为零；又由于球面也关于 $zOx$ 平面对称，而上式右端第四、八两个积分的被积函数关于 $y$ 为奇函数，从而这两个积分的值也为零。再利用球面关于 $yOz$ 平面对称可知第七个积分的值也为零。于是

$$I=a^2{\iint }_{(S)}{x}^2\mathrm{d}S+b^2{\iint }_{(S)}{y}^2\mathrm{d}S+c^2{\iint }_{(S)}{z}^2\mathrm{d}S+d^2{\iint }_{(S)}\mathrm{d}S.$$

由于球面($S$)具有轮换对称性,可知

$${\iint }_{(S)}{x}^2\mathrm{d}S={\iint }_{(S)}{y}^2\mathrm{d}S={\iint }_{(S)}{z}^2\mathrm{d}S=\frac{1}{3}{\iint }_{(S)}(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}S,$$

于是

$$\begin{array}{rl}{a}^2{\iint }_{(S)}{x}^2\mathrm{d}S+b^2{\iint }_{(S)}{y}^2\mathrm{d}S+c^2{\iint }_{(S)}{z}^2\mathrm{d}S& =\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2){\iint }_{(S)}(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}S\\ & =\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)a^2{\iint }_{(S)}\mathrm{d}S=\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)4\pi a^4,\end{array}$$

易见

$$d^2{\iint }_{(S)}\mathrm{d}S=4\pi a^2{d}^2,$$

因此

$$I=\frac{4}{3}\pi a^4(a^2+b^2+c^2)+4\pi a^2{d}^2.$$

例 6.10

物质均匀分布且半径为 $R$ 的球缺面如图 6.48 所示, 求其质心坐标.

解

为了将球面用参数方程表示,选取 $\phi$ 与 $\theta$ 为参数,则所给球缺面的参数方程

$$\begin{array}{l}x=R\sin \phi \cos \theta ,y=R\sin \phi \sin \theta ,\\ z=R\cos \phi ,0⩽\phi ⩽\frac{3\pi }{4},0⩽\theta ⩽2\pi ,\end{array}$$

或

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(\phi ,\theta )=(R\sin \phi \cos \theta ,R\sin \phi \sin \theta ,R\cos \phi ),$$

图6.48

$$0⩽\phi ⩽\frac{3\pi }{4},0⩽\theta ⩽2\pi .$$

由对称性可知,质心应位于$z$轴上.在所给球缺面上任取一点 $P(x,y,z)$ ，含点$P$的曲面面积微元dS上的质量关于xOy平面的静矩微分

$$\mathrm{d}{M}_{xy}=z\mu \mathrm{d}S,$$

其中常数 $\mu$ 是面密度.于是所给球缺面对 xOy 平面的静矩为

$$M_{xy}=\mu {\iint }_{(S)}z\mathrm{d}S=\mu {\iint }_{(\sigma )}R\cos \phi \Vert {\mathbf{r}}_{\phi }\times {\mathbf{r}}_{\theta }\Vert \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta ,$$

其中参数 $(\phi ,\theta )$ 的变化区域为

$$(\sigma )=\left\{(\phi ,\theta )\mid 0⩽\phi ⩽\frac{3\pi }{4},0⩽\theta ⩽2\pi \right\}.$$

容易算得

$$\Vert {\mathbf{r}}_{\phi }\times {\mathbf{r}}_{\theta }\Vert =R^2\sin \phi ,$$

于是

$$M_{xy}=\mu {\iint }_{(\sigma )}{R}^3\sin \phi \cos \phi \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta =\mu R^3{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\frac{3\pi }{4}}\sin \phi \cos \phi \mathrm{d}\phi =\frac{\pi }{2}\mu R^3.$$

由公式(6.9)可得此球缺面的质量为

$$M=\mu {\iint }_{(\sigma )}{R}^2\sin \phi \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta =\mu R^2{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\frac{3\pi }{4}}\sin \phi \mathrm{d}\phi =(2+\sqrt{2})\pi \mu R^2.$$

所以球缺面质心的 $z$ 坐标为

$$\bar{z}=\frac{M_{xy}}{M}=\frac{R}{2(2+\sqrt{2})},$$

从而得知质心的坐标为 $\left(0,0,\frac{R}{2(2+\sqrt{2})}\right)$

6.6 第一型线积分与面积分 课后真题与自测练习

习题与真题

收录本小节对应期中、期末与精选习题· 提供推导解析、试卷溯源与 LaTeX 导出

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