5.5 多元向量值函数的导数与微分

本节将数量值函数的导数与微分概念以及它们的运算法则推广到向量值函数.我们将以一元和二元向量值函数为主进行讨论,然后推广到 $n$ 元向量值函数,并讨论由方程组所确定的隐函数的微分法.为了讨论方便,本节中的向量值函数 $f$ 一般都写成列向量.

对于一般的 $n$ 元向量值函数 $f:A\subseteq R^n\to R^m$ ，设 $f$ 的第 $i$ 个分量（数量值函数）为 $f_i(i=1,2,\cdots ,m)$ ，以下我们把 $f$ 记为列向量

$$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c}{f}_1(\mathbf{x})\\ f_2(\mathbf{x})\\ ⋮\\ f_m(\mathbf{x})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x_1,x_2,\dots ,x_n)\\ f_2(x_1,x_2,\dots ,x_n)\\ ⋮\\ f_m(x_1,x_2,\dots ,x_n)\end{array}\right],\mathbf{x}=(x_1,\dots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}\in A.\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

在本章第二节,已给出了向量值函数的极限的定义,并且指出:当 $x\to x_0$ 时, $f(x)$ 的极限等于 $a=(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbf{R}}^m$ 的充要条件是:当 $x\to x_0$ 时,$f$的每个分量 $f_i$ 的极限等于向量$a$的对应分量(常数) $a_i(i=1,2,\cdots ,m)$ ,即

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=a\iff \underset{x\to x_0}{\lim }{f}_i(x)=a_i(i=1,2,\dots ,m),\text{\hspace{1em}(5.2)}$$

因此,研究向量值函数的极限与研究它的各个分量(数量值函数)的极限可以相互转化.以下在研究向量值函数的导数与微分中,我们将多次运用这一思想.

5.1 一元向量值函数的导数与微分

设有一元向量值函数 $f:U(x_0)\subseteq \mathbf{R}\to {\mathbf{R}}^m$ ，其中

$$\mathbf{f}(x)=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x)\\ f_2(x)\\ ⋮\\ f_m(x)\end{array}\right],\text{\hspace{1em}(5.3)}$$

而 $f_i(x)$ 均为一元数量值函数.下面,将一元数量值函数的导数和微分概念推广到一元向量值函数.

定义 5.1

设 $f:U(x_0)\subseteq \mathbf{R}\to {\mathbf{R}}^m,x_0+\Delta x\in U(x_0)$ ，若

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

存在,则称$f$在 $x_0$ 处可导,并称此极限值为$f$在 $x_0$ 处的导数,记为 $f^{\prime }(x_0)$ ,或 ${\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}$ ,或 $\mathrm{D}f(x_0)$ ,即

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.\text{\hspace{1em}(5.5)}$$

下面,我们来看 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的可导性与其分量 $f_i(x)(i=1,2,\cdots ,m)$ 在 $x_0$ 处可导性的关系,以及在$f$可导时如何求$f$的导数.由于向量

$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\left[\begin{array}{c}\frac{f_1(x_0+\Delta x)-f_1(x_0)}{\Delta x}\\ ⋮\\ \frac{f_m(x_0+\Delta x)-f_m(x_0)}{\Delta x}\end{array}\right]$$

的第 $i$ 个分量为

$$\frac{f_i(x_0+\Delta x)-f_i(x_0)}{\Delta x},i=1,2,\dots ,m,$$

于是由(5.2)式可知，(5.4)式中的极限存在的充要条件是下列极限

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f_i(x_0+\Delta x)-f_i(x_0)}{\Delta x},i=1,2,\dots ,m\text{\hspace{1em}(5.6)}$$

都存在. 显然, (5.6) 式就是一元数量值函数 $f_i(x)$ 在 $x_0$ 处的导数定义式. 因此, 向量值函数 $f=(f_1,f_2,\cdots ,f_m{)}^{\mathrm{T}}$ 在 $x_0$ 处可导的充要条件是 $f$ 的每个分量 $f_i$ ( $i=1,2,\cdots ,m$ ) 都在 $x_0$ 处可导, 并且当 $f$ 在 $x_0$ 处可导时, 仍由 (5.2) 式知, $f$ 在 $x_0$ 的导数等于它的每个分量在 $x_0$ 的导数所构成的向量, 即

$${\mathbf{f}}^{\prime }\left(x_0\right)={\left(f_1^{\prime }\left(x_0\right),f_2^{\prime }\left(x_0\right),\dots ,f_m^{\prime }\left(x_0\right)\right)}^{\mathrm{T}}.\text{\hspace{1em}(5.7)}$$

如果 $f$ 在区间 $I$ 中的每一点都可导，则称 $f$ 在 $I$ 上可导，此时， $f$ 在 $I$ 中每一点 $x$ 处都有导数 $f^{\prime }(x)$ ，称 $f^{\prime }(x)$ 为 $f$ 的导函数。同一元数量值函数一样，我们定义 $f$ 在 $x_0$ 处的二阶导数 ${\left(\text{记为}\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(x)}{\mathrm{d}{x}^2}\right|}_{x=x_0}$ ，或 $f^{\prime \prime }(x_0)$ ，或 ${\mathrm{D}}^{2}f(x_0)$ 为

$${\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(x)}{\mathrm{d}{x}^2}|}_{x=x_0}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\right]{|}_{x=x_0}.\text{\hspace{1em}(5.8)}$$

由此定义,并将前面关于$f$的导数的讨论结果用于 $f^{\prime }$ ,可知$f$在 $x_0$ 处二阶可导的充要条件是$f$的每个分量 $f_i(i=1,2,\cdots ,m)$ 都在 $x_0$ 处二阶可导,且当$f$在 $x_0$ 处二阶可导时,有

$${\mathbf{f}}^{\prime \prime }(x_0)={\left(f_1^{\prime \prime }(x_0),f_2^{\prime \prime }(x_0),\dots ,f_m^{\prime \prime }(x_0)\right)}^{\mathrm{T}}.\text{\hspace{1em}(5.9)}$$

类似可定义 $f$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶导数为

$${\mathrm{D}}^{n}f(x_0)=\mathrm{D}({\mathrm{D}}^{n-1}f(x)){|}_{x=x_0}.\text{\hspace{1em}(5.10)}$$

当 m=3 时,一元向量值函数的导数有明显的物理意义.事实上,若用 $r(t)$ 表示质点在时刻 $t$ 空间位置的向径,则质点在空间 $R^3$ 中的运动方程可以用向量值函数 $r=r(t)$ 来表示,其中 $r(t)=(x(t),y(t),z(t){)}^{\mathrm{T}}$ .由物理学知道,质点的速度向量为

$$v(t)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{r(t+\Delta t)-r(t)}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\stackrel{\text{由(5.7)式}}{=}{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^{\mathrm{T}}.$$

质点的加速度向量为

$$\mathbf{a}(t)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{v}(t+\Delta t)-\mathbf{v}(t)}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}{t}^2}={\left(\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2},\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2},\frac{{\mathrm{d}}^{2}z}{\mathrm{d}{t}^2}\right)}^{\mathrm{T}}.$$

这就是说，一元向量值函数 $r=r(t)$ 的一阶导数 $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}$ 在物理中表示运动质点的速度向量 $v(t)$ ，而其二阶导数 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}r}{\mathrm{d}{t}^2}$ 则表示运动质点的加速度向量.

例 5.1

设有向量值函数

$$\mathbf{f}(x)=\left[\begin{array}{c}\sin 2x\\ \ln (x+\sqrt{1+x^2})\\ \arctan x^2\end{array}\right],$$

试求 $f^{\prime }(x)$ , $f^{\prime \prime }(x)$ 及 $f^{\prime \prime }(0)$ .

解

由(5.7)、(5.9)式,分别得

$${\mathbf{f}}^{\prime }(x)=\left[\begin{array}{c}2\cos 2x\\ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\ \frac{2x}{1+x^4}\end{array}\right],{\mathbf{f}}^{\prime \prime }(x)=\left[\begin{array}{c}-4\sin 2x\\ -\frac{x}{(1+x^2{)}^{3/2}}\\ \frac{2(1-3x^4)}{(1+x^4{)}^2}\end{array}\right],$$

故

$${\mathbf{f}}^{\prime \prime }(0)={\mathbf{f}}^{\prime \prime }(x){\mid }_{x=0}=\left[\begin{array}{l}0\\ 0\\ 2\end{array}\right].$$

下面仿照一元数量值函数微分的定义给出一元向量值函数 $f(x)$ 可微的定义,需要注意的是现在的函数改变量 $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 是一个列向量,因此$f$的微分也是一个列向量.

定义 5.2

设 $f:U(x_0)\subseteq \mathbf{R}\to {\mathbf{R}}^m$ 是一个一元向量值函数, $x_0+\Delta x\in U(x_0)$ . 若存在一个与 $\Delta x$ 无关的 $m$ 维列向量 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_m{)}^{\mathrm{T}}$ , 使

$$f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)=a\Delta x+o(\rho ),\text{\hspace{1em}(5.11)}$$

其中 $\rho =|\Delta x|$ , $o(\rho )$ 是关于 $\rho$ 的高阶无穷小向量, 则称 $f$ 在 $x_0$ 处可微, 并称 $a\Delta x$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的微分, 记作 $\mathrm{d}f(x_0)$ , 即 $\mathrm{d}f(x_0)=a\Delta x$ .

下面的定理说明,判断向量值函数$f$的可微性可以转化为判断它的各个分量(数量值函数)的可微性.

定理 5.1

向量值函数 $f:U(x_0)\subseteq \mathbf{R}\to {\mathbf{R}}^m$ 在 $x_0$ 处可微的充要条件为 $f$ 的每个分

量 $f_i(i=1,2,\cdots ,m)$ 都在 $x_0$ 处可微，且当$f$在 $x_0$ 处可微时，有

$$\mathrm{d}f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\Delta x.\text{\hspace{1em}(5.12)}$$

证明

设向量值函数 $f$ 在 $x_0$ 处可微，记高阶无穷小 ($m$ 维) 向量 $\mathbf{o}(\rho )=(o_1(\rho ),o_2(\rho ),\cdots ,o_m(\rho ){)}^{\mathrm{T}}$ ，比较 (5.11) 式两端的第 $i$ 个分量，可得

$$f_i\left(x_0+\Delta x\right)-f_i\left(x_0\right)=a_i\Delta x+o_i(\rho ),i=1,2,\dots ,m,\rho =|\Delta x|,$$

于是根据一元数量值函数可微的定义, 即知 $f$ 的每个分量 $f_i$ ( $i=1,2,\cdots ,m$ ) 都在 $x_0$ 处可微, 且有

$$a_i=f_i^{\prime }\left(x_0\right),i=1,2,\dots ,m,$$

从而得可微定义中的向量 $a$ 为

$$\mathbf{a}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_1^{\prime }(x_0)\\ ⋮\\ f_m^{\prime }(x_0)\end{array}\right],$$

所以

$$\mathrm{d}f(x_0)=a\Delta x=\left[\begin{array}{c}{f}_1^{\prime }(x_0)\\ ⋮\\ f_m^{\prime }(x_0)\end{array}\right]\Delta x=f^{\prime }(x_0)\Delta x,$$

或

$$\mathrm{d}f(x_0)=\left[\begin{array}{c}{f}_1^{\prime }(x_0)\Delta x\\ ⋮\\ f_m^{\prime }(x_0)\Delta x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{d}{f}_1(x_0)\\ ⋮\\ \mathrm{d}{f}_m(x_0)\end{array}\right].\text{\hspace{1em}(5.13)}$$

反之, 若 $f$ 的每个分量 $f_i(i=1,2,\cdots ,m)$ 都在 $x_0$ 处可微, 易见上述推理过程反过来也成立. 故 $f$ 在 $x_0$ 处可微.

若记 $dx=\Delta x$ ，则向量值函数 $f$ 在 $x_0$ 处的微分可以表示为

$$\mathrm{d}f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(5.14)}$$

这样,一元向量值函数的微分与一元数量值函数的微分在形式上就统一起来了.不仅如此,综合以上讨论,还可知道一元向量值函数$f$在 $x_0$ 处的可微性与$f$在 $x_0$ 处的可导性也是等价的.

5.2 二元向量值函数的导数与微分

由以上讨论可见, 讨论一元向量值函数 $f:A\subseteq R\to R^m$ 的导数与微分, 实际上就是讨论其所有分量 $f_i:A\subseteq R\to R(i=1,2,\cdots ,m)$ 的导数与微分, 而分量 $f_i$ 是数量值函数,它的上述概念我们是熟知的.因此,一元向量值函数$f$的这些概念,也可以利用其分量 $f_i(i=1,2,\cdots ,m)$ 的相应概念来定义.

对于二元向量值函数来说,情况是类似的.我们可以通过作为其分量的那些二元数量值函数的导数与微分来分别定义二元向量值函数的相关概念.

设有二元向量值函数 $f:U((x_{01},x_{02}))\subseteq {\mathbf{R}}^2\to {\mathbf{R}}^m$ ，其中

$$\mathbf{f}\left(x_1,x_2\right)=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x_1,x_2)\\ f_2(x_1,x_2)\\ ⋮\\ f_m(x_1,x_2)\end{array}\right],\text{\hspace{1em}(5.15)}$$

而 $f_i(x_1,x_2)$ （ $i=1,2,\cdots ,m$ ）均为二元数量值函数。现在我们来介绍$f$的导数与微分的概念。能否用形如(5.4)式的极限来定义二元向量值函数$f$在点 $x_0=(x_{01},x_{02}{)}^{\mathrm{T}}\subseteq {\mathbf{R}}^2$ 处的导数呢？回答是否定的。因为此时

$$\Delta \mathbf{x}=\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{l}{x}_{01}\\ x_{02}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{x}_1-x_{01}\\ x_2-x_{02}\end{array}\right]$$

是一个二维向量, $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 是一个$m$维向量,两个向量相除是没有意义的.

但是,由上一段的讨论知道,一元向量值函数$f$在 $x_0$ 处可导(可微)的充要条件是$f$的每个分量都在 $x_0$ 处可导(可微),并且当$f$在 $x_0$ 处可微时,有

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}f(x_0)& =(\mathrm{d}{f}_1(x_0),\mathrm{d}{f}_2(x_0),\dots ,\mathrm{d}{f}_m(x_0){)}^{\mathrm{T}}=(f_1^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x,f_2^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x,\dots ,f_m^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x{)}^{\mathrm{T}}\\ & =(f_1^{\prime }(x_0),f_2^{\prime }(x_0),\dots ,f_m^{\prime }(x_0){)}^{\mathrm{T}}\mathrm{d}x=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x.\end{array}$$

仿此,我们给出二元向量值函数的导数与微分的定义.

定义 5.3

对于由(5.15)式定义的二元向量值函数 $f$，如果 $f$ 的每个分量 $f_i$ （数量值函数）都在 $x_0=(x_{01},x_{02}{)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^2$ 处可微，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可微，也称 $f$ 在 $x_0$ 处可导，并将

这里“可导”与“可微”等价.“可导”不等价于“可偏导”.当(5.15)式中的m=1时,退化为二元函数 $f(x_1,x_2)$ ,可偏导是指 $\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2}$ 均存在,而可导还要求$f$可微.

$$\mathrm{d}\mathbf{f}({\mathbf{x}}_0)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{d}{f}_1({\mathbf{x}}_0)\\ \mathrm{d}{f}_2({\mathbf{x}}_0)\\ ⋮\\ \mathrm{d}{f}_m({\mathbf{x}}_0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial f_1({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}\mathrm{d}{x}_1+\frac{\partial f_1({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}\mathrm{d}{x}_2\\ \frac{\partial f_2({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}\mathrm{d}{x}_1+\frac{\partial f_2({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}\mathrm{d}{x}_2\\ ⋮\\ \frac{\partial f_m({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}\mathrm{d}{x}_1+\frac{\partial f_m({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}\mathrm{d}{x}_2\end{array}\right]$$ $$=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}\\ \frac{\partial f_2({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}\\ ⋮& ⋮\\ \frac{\partial f_m({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\mathrm{d}{x}_1\\ \mathrm{d}{x}_2\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5.16)}$$

称为$f$在 $x_0$ 处的微分,而将 $m\times 2$ 矩阵

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}\\ \frac{\partial f_2({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}\\ ⋮& ⋮\\ \frac{\partial f_m({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}\end{array}\right]$$

若对任给的 $f:U(x_0)\subseteq {\mathbf{R}}^2\to {\mathbf{R}}^m$

$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ 均存在, $i=1,\cdots ,m,j=1,2$ .能否

(5.17) 用(5.17)式作为$f$在 $x_0$ 的导数?

称为 $f$ 在 $x_0$ 处的导数，记为 $\mathrm{D}f(x_0)$ ，即 $f$ 在 $x_0$ 处的导数为

$$\mathrm{D}f\left({\mathbf{x}}_0\right)={\left(a_{ij}\right)}_{m\times 2},\text{\hspace{1em}(5.18)}$$

其中 $a_{ij}=\frac{\partial f_i(x_0)}{\partial x_j}(i=1,\cdots ,m;j=1,2)$ . 于是 $f$ 在 $x_0$ 处的微分可表示为

$$\mathrm{d}\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_0\right)=\mathrm{D}\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_0\right)\mathrm{d}\mathbf{x}\left(\mathrm{d}\mathbf{x}={\left(\mathrm{d}{x}_1,\mathrm{d}{x}_2\right)}^{\mathrm{T}}\right).\text{\hspace{1em}(5.19)}$$

(5.17)式中的矩阵通常称为$f$在 $x_0$ 处的Jacobi矩阵.因此,若向量值函数$f$在 $x_0$ 可导,则它在 $x_0$ 处的导数就是它在该点处的Jacobi矩阵.

例 5.2

设有二元向量值函数

$$\mathbf{f}(x,y)=\left[\begin{array}{c}{x}^2-y^2\\ 2xy\end{array}\right],$$

试求 $f$ 在点 $(1,1{)}^{\mathrm{T}}$ 处的导数与微分.

解

设 $f_1(x,y)=x^2-y^2,f_2(x,y)=2xy$ ，则

$$\mathrm{D}f(x,y)=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial x}& \frac{\partial f_1(x,y)}{\partial y}\\ \frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x}& \frac{\partial f_2(x,y)}{\partial y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2x& -2y\\ 2y& 2x\end{array}\right].$$

所以

$$\mathrm{D}\mathbf{f}(1,1)=\left[\begin{array}{cc}2& -2\\ 2& 2\end{array}\right]=\mathbf{A},\mathrm{d}\mathbf{f}(1,1)=\mathbf{A}\left[\begin{array}{l}\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}y\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{ll}\mathrm{d}x& -\mathrm{d}y\\ \mathrm{d}x& +\mathrm{d}y\end{array}\right].$$

一般地,对于 $n$ 元向量值函数 $f:U(x_0)\subseteq {\mathbf{R}}^n\to {\mathbf{R}}^m$ , 若 $f$ 的每个分量 $f_i(i=1,2,\cdots ,m)$ 都在 $x_0$ 处可微, 则定义 $f$ 在 $x_0$ 处的导数 (Jacobi 矩阵) 为

$$\mathrm{D}\mathbf{f}({\mathbf{x}}_0)=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_1({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_2({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial f_m({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_m({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\nabla f_1({\mathbf{x}}_0)\\ \nabla f_2({\mathbf{x}}_0)\\ ⋮\\ \nabla f_m({\mathbf{x}}_0)\end{array}\right].\text{\hspace{1em}(5.20)}$$

其中 $\nabla f_i(x_0)$ 为$n$元数量值函数 $f_i$ 在点 $x_0$ 处的梯度向量，并定义$f$在 $x_0$ 处的微分为

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}f({\mathbf{x}}_0)& =\left[\begin{array}{c}\mathrm{d}{f}_1({\mathbf{x}}_0)\\ \mathrm{d}{f}_2({\mathbf{x}}_0)\\ ⋮\\ \mathrm{d}{f}_m({\mathbf{x}}_0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_1({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_2({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial f_m({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_m({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{d}{x}_1\\ \mathrm{d}{x}_2\\ ⋮\\ \mathrm{d}{x}_n\end{array}\right]\\ & =\mathrm{D}f({\mathbf{x}}_0)\mathrm{d}\mathbf{x}(\mathrm{d}\mathbf{x}=(\mathrm{d}{x}_1,\mathrm{d}{x}_2,\dots ,\mathrm{d}{x}_n{)}^{\mathrm{T}}).\end{array}\text{\hspace{1em}(5.21)}$$

显然，当 $m=1$ 时，(5.21)式就是 $n$ 元数量值函数 $f$ 在点 $x_0$ 处的全微分，此时，

$$\mathrm{D}f\left({\mathbf{x}}_0\right)=\left(\frac{\partial f\left({\mathbf{x}}_0\right)}{\partial x_1},\frac{\partial f\left({\mathbf{x}}_0\right)}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial f\left({\mathbf{x}}_0\right)}{\partial x_n}\right)$$

就是$f$在点 $x_0$ 处的梯度向量,也就是$f$在点 $x_0$ 处的导数,即$n$元数量值函数的导数就是它的梯度向量.当n=1时,(5.21)式就是一元向量值函数 $f(x)$ 的微分;当n=2时,(5.21)式就是(5.16)式.

当 m=n 时，(5.20) 式中的矩阵成为方阵，该方阵的行列式称为 $f$ 在 $x_0$ 处的 Jacobi 行列式，习惯上将这个行列式记成

$${\mathbf{J}}_f\left({\mathbf{x}}_0\right)=\frac{\partial \left(f_1,f_2,\cdots ,f_n\right)}{\partial \left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}{|}_{x_0}.$$

例如，

$${\frac{\partial (f_1,f_2)}{\partial (x_1,x_2)}|}_{x_0}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial f_1({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}\\ \frac{\partial f_2({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_2}\end{array}\right|.$$

例 5.3

设矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$ 的每个元素都是常数， $f(\mathbf{x})=Ax\left(\mathbf{x}={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbf{R}}^n\right)$ ，试求 $Df(\mathbf{x})$ .

解

显然 $f$ 的第 $i$ 个分量 $f_i(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n$ 是可微的，且有

$$\mathrm{D}{f}_i=\left(a_{i1},a_{i2},\dots ,a_{in}\right),i=1,2,\dots ,m.$$

于是知$f$可微,且由(5.20)式得

$$\mathrm{D}\mathbf{f}(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c}\nabla f_1\\ \nabla f_2\\ ⋮\\ \nabla f_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right]=\mathbf{A}.\text{I}$$

向量值函数的偏导数 由于研究问题的需要,我们来简要介绍多元向量值函数的偏导数的概念.多元数量值函数偏导数的定义几乎可以逐字逐句移到向量值函数中来.设 $f:U(x_0)\subseteq {\mathbf{R}}^n\to {\mathbf{R}}^m$ 是一个 $n(n⩾2)$ 元向量值函数,若极限

$$\underset{\Delta x_i\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_0+\Delta x_i{\mathbf{e}}_i\right)-\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_0\right)}{\Delta x_i}\text{\hspace{1em}(5.22)}$$

存在,则称此极限为 $f$ 在 $x_0$ 处关于 $x_i$ ($x$ 的第 $i$ 个分量) 的偏导数,记作 $\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i}$ ,或

$f_{x_i}(x_0)$ ，其中

$${\mathbf{e}}_i=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0{)}^{\mathrm{T}},i=1,2,\dots ,n$$

是第 $i$ 个分量为 1、其余分量全为零的 $n$ 维向量.

由此定义可知,向量值函数的偏导数本质上是一元向量值函数的导数,结合(5.2)式可知,$n$元向量值函数$f$在 $x_0$ 处关于 $x_i$ 的偏导数存在的充要条件是:$f$的每个分量 $f_j(j=1,2,\cdots ,m)$ 在 $x_0$ 处关于 $x_i$ 的偏导数存在,且当 $\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i}$ 存在时,有

例如设 $f:U(x_0)\subseteq {\mathbf{R}}^3\to {\mathbf{R}}^2$ ，则

$$\begin{array}{rl}& \frac{\partial f(x_0)}{\partial x_2}\\ & ={\left(\frac{\partial f_1(x_1,x_2,x_3)}{\partial x_2}{|}_{x_0},\frac{\partial f_2(x_1,x_2,x_3)}{\partial x_2}{|}_{x_0}\right)}^{\mathrm{T}},\\ & \text{其中}\\ & \frac{\partial f_1(x_1,x_2,x_3)}{\partial x_1}{|}_{x_0}\\ & ={\lim }_{\Delta x_1\to 0}\frac{f_1(x_{01}+\Delta x_1,x_{02},x_{03})-f_1(x_{01},x_{02},x_{03})}{\Delta x_1},\\ & \frac{\partial f_2(x_1,x_2,x_3)}{\partial x_2}{|}_{x_0}\\ & ={\lim }_{\Delta x_1\to 0}\frac{f_2(x_{01},x_{02}+\Delta x_2,x_{03})-f_2(x_{01},x_{02},x_{03})}{\Delta x_2}.\end{array}$$ $$\frac{\partial \mathbf{f}({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_i}={\left(\frac{\partial f_1({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_i},\frac{\partial f_2({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_i},\dots ,\frac{\partial f_m({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_i}\right)}^{\mathrm{T}},$$

即 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数等于其各分量分别对 $x_i$ 求偏导数所得向量.

由于多元向量值函数 $f(x):U(x_0)\subseteq {\mathbf{R}}^n\to {\mathbf{R}}^m$ 的偏导数存在与可微等价于它的各分量 ($n$ 元数值函数) $f_i(x_1,x_2,\cdots ,x_n)(i=1,2,\cdots ,m)$ 的偏导数存在与可微，从而由多元数量值函数偏导数与可微的关系立即得到

定理 5.2

设 $f(x):U(x_0)\subseteq {\mathbf{R}}^n\to {\mathbf{R}}^m$ ，$f$ 在 $x_0$ 处可微的充分条件是它的所有分量对各变量的偏导数都在 $x_0$ 连续。即

$$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\text{在点}{x}_0\text{连续},i=1,2,\dots ,m,j=1,2,\dots ,n.$$

5.3 微分运算法则

定理 5.3

设向量值函数 $f$ 与 $g$ 都在点 $x$ 处可微, $u$ 是在 $x$ 处可微的数量值函数, 则有

(1) $f+g$ 在$x$处可微,并且其导数为

$$\mathrm{D}(f+g)(x)=\mathrm{D}f(x)+\mathrm{D}g(x);$$

(2) $⟨f,g⟩$ 在$x$处可微,并且其导数为

$$\mathrm{D}⟨f,g⟩(x)=(f(x){)}^{\mathrm{T}}\mathrm{D}g(x)+(g(x){)}^{\mathrm{T}}\mathrm{D}f(x);$$

(3) uf 在 $x$ 处可微, 并且其导数为

$$\mathrm{D}(uf)(\mathbf{x})=u\mathrm{D}f(\mathbf{x})+f(\mathbf{x})\mathrm{D}u(\mathbf{x});$$

(4) 若 $f:R\to R^3,g:R\to R^3$ ，则向量积 $f\times g$ 在 $x$ 处可微，并且其导数为

$$\mathrm{D}(\mathbf{f}\times \mathbf{g})(x)=\mathrm{D}\mathbf{f}(x)\times \mathbf{g}(x)+\mathbf{f}(x)\times \mathrm{D}\mathbf{g}(x).$$

证明

我们仅证明结论(2)，其余的留给读者去证明.

设 $f=(f_1,\cdots ,f_m{)}^{\mathrm{T}},g=(g_1,\cdots ,g_m{)}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $f_i$ 和 $g_i$ 都是$n$元数量值函数。已知$f$,$g$在$x$处可微，根据前面的讨论知数量值函数 $f_i,g_i(i=1,\cdots ,m)$ 都在$x$处可微。由数量值函数可微的性质知，数量值函数

$$F=⟨f,g⟩=\sum _{i=1}^m{f}_i{g}_i$$

在 $x$ 处可微,并且有

$$\mathrm{D}F(\mathbf{x})=\mathrm{D}\left(\sum _{i=1}^m{f}_i{g}_i\right)(\mathbf{x})=\sum _{i=1}^m\mathrm{D}(f_i{g}_i)(\mathbf{x})=\sum _{i=1}^m\nabla (f_i{g}_i)(\mathbf{x}).$$

根据梯度的运算性质得知

$$\begin{array}{rl}\mathrm{D}F(\mathbf{x})& ={\sum }_{i=1}^m\left[f_i(\mathbf{x})\nabla g_i(\mathbf{x})+g_i(\mathbf{x})\nabla f_i(\mathbf{x})\right]\\ & =\left[f_1(\mathbf{x}),f_2(\mathbf{x}),\dots ,f_m(\mathbf{x})\right]\left[\begin{array}{c}\nabla g_1(\mathbf{x})\\ \nabla g_2(\mathbf{x})\\ ⋮\\ \nabla g_m(\mathbf{x})\end{array}\right]+\left[g_1(\mathbf{x}),g_2(\mathbf{x}),\dots ,g_m(\mathbf{x})\right]\left[\begin{array}{c}\nabla f_1(\mathbf{x})\\ \nabla f_2(\mathbf{x})\\ ⋮\\ \nabla f_m(\mathbf{x})\end{array}\right]\\ & =(\mathbf{f}(\mathbf{x}){)}^{\mathrm{T}}\mathrm{D}\mathbf{g}(\mathbf{x})+(\mathbf{g}(\mathbf{x}){)}^{\mathrm{T}}\mathrm{D}\mathbf{f}(\mathbf{x}).\end{array}$$

若 $f,g:\mathbf{R}\to {\mathbf{R}}^3$ ，则定理5.3(2)中的等式变为

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}⟨f,g⟩(x)=⟨f,g^{\prime }⟩(x)+⟨f^{\prime },g⟩(x).$$

由此,读者不难证明:若 $r=r(t)$ 表示空间 $R^3$ 中动点 $(x(t),y(t),z(t){)}^{\mathrm{T}}$ 的向径,则有

$$\Vert r(t)\Vert =c(c\text{为常数})\iff ⟨r^{\prime }(t),r(t)⟩=0$$

(习题5.5($A$) 第 4 题).

向量值复合函数求导的链式法则 为了介绍向量值函数的链式法则,先来看一个例子.

例 5.4

设有向量值函数

$$\mathbf{w}=\mathbf{f}(\mathbf{u})=\left[\begin{array}{c}{u}_1^2\\ u_1{u}_2\end{array}\right],\text{\hspace{1em}(5.23)}$$

其中 $w=\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right],u=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]$ ，又

$$\mathbf{u}=\mathbf{g}(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c}{x}_1+{\mathrm{e}}^{x_2}\\ \sin x_1\end{array}\right],\text{\hspace{1em}(5.24)}$$

其中 $x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$ ，试验证

$$\mathrm{D}f[\mathbf{g}(\mathbf{x})]=\mathrm{D}f(\mathbf{u}){\mid }_{\mathbf{u}=\mathbf{g}(\mathbf{x})}\cdot \mathrm{D}\mathbf{g}(\mathbf{x}),\text{\hspace{1em}(5.25)}$$

即复合函数 $w=f[g(x)]$ 对自变量 $x$ 的导数, 等于 $w$ 对中间变量 $u$ 的导数与 $u$ 对自变量 $x$ 的导数之积.

证明

由(5.24)式知 $u_1=x_1+{\mathrm{e}}^{x_2},u_2=\sin x_1$ , 代入(5.23)式, 得复合函数

$$\mathbf{w}=\mathbf{f}[\mathbf{g}(\mathbf{x})]=\left[\begin{array}{l}{x}_1^2+{\mathrm{e}}^{2x_2}+2x_1{\mathrm{e}}^{x_2}\\ x_1\sin x_1+{\mathrm{e}}^{x_2}\sin x_1\end{array}\right],$$

由于 $w$ 的分量可导, 故 $w$ 可导, 且由(5.17)式得

$$\mathrm{D}f[\mathbf{g}(\mathbf{x})]=\left[\begin{array}{cc}2x_1+2{\mathrm{e}}^{x_2}& 2{\mathrm{e}}^{2x_2}+2x_1{\mathrm{e}}^{x_2}\\ \sin x_1+x_1\cos x_1+{\mathrm{e}}^{x_2}\cos x_1& {\mathrm{e}}^{x_2}\sin x_1\end{array}\right],\text{\hspace{1em}(5.26)}$$

又由(5.23)式及(5.24)式分别可得

$$\mathrm{D}\mathbf{f}(\mathbf{u})=\left[\begin{array}{ll}2u_1& 0\\ u_2& u_1\end{array}\right],\text{\hspace{1em}(5.27)}$$$$\mathrm{D}\mathbf{g}(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{cc}1& {\mathrm{e}}^{x_2}\\ \cos x_1& 0\end{array}\right],\text{\hspace{1em}(5.28)}$$

由(5.27)式及(5.28)式可得

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{D}f(\mathbf{u}){\mid }_{\mathbf{u}=g(\mathbf{x})}\cdot \mathrm{D}g(\mathbf{x})\\ & =\left[\begin{array}{cc}2x_1+2{\mathrm{e}}^{x_2}& 0\\ \sin x_1& x_1+{\mathrm{e}}^{x_2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& {\mathrm{e}}^{x_2}\\ \cos x_1& 0\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}2x_1+2{\mathrm{e}}^{x_2}& 2x_1{\mathrm{e}}^{x_2}+2{\mathrm{e}}^{2x_2}\\ \sin x_1+x_1\cos x_1+{\mathrm{e}}^{x_2}\cos x_1& {\mathrm{e}}^{x_2}\sin x_1\end{array}\right],\end{array}\text{\hspace{1em}(5.29)}$$

比较(5.26)与(5.29)式的两端,即得(5.25)式.

定理 5.4 向量值函数的链式法则

设向量值函数 $\mathbf{u}=\mathbf{g}=(g_1,g_2,\cdots ,g_p{)}^{\mathrm{T}}$ 在点 $x_0\in R^n$ 处可微，向量值函数 $\mathbf{w}=\mathbf{f}=(f_1,f_2,\cdots ,f_m{)}^{\mathrm{T}}$ 在对应的点 ${\mathbf{u}}_0=\mathbf{g}({\mathbf{x}}_0)\in {\mathbf{R}}^p$ 处可微，则复合函数 $w=f\circ g$ 在点 $x_0$ 处可微，并且

$$\mathrm{D}\mathbf{w}({\mathbf{x}}_0)=\mathrm{D}\mathbf{f}({\mathbf{u}}_0){\mid }_{{\mathbf{u}}_0=\mathbf{g}({\mathbf{x}}_0)}\mathrm{D}\mathbf{g}({\mathbf{x}}_0)=\mathrm{D}\mathbf{f}(\mathbf{g}({\mathbf{x}}_0))\mathrm{D}\mathbf{g}({\mathbf{x}}_0).\text{\hspace{1em}(5.30)}$$

证明

已知向量值函数 $f$ 与 $g$ 分别在点 $u_0$ 与 $x_0$ 处可微，由向量值函数可微的定义，知它们的各个分量（数量值函数）分别在 $u_0$ 与 $x_0$ 处必可微。根据多元数量值函数复合函数的可微性定理及其链式法则，复合向量值函数 $w=f\circ g$ 的各个分量 $w_i$ 在 $x_0$ 处可微，并且

$${\frac{\partial w_i}{\partial x_j}|}_{x=x_0}=\sum _{k=1}^p{\left(\frac{\partial f_i}{\partial u_k}\right|}_{u=u_0}{\frac{\partial g_k}{\partial x_j}|}_{x=x_0},i=1,2,\dots ,n,j=1,2,\dots ,m.\text{\hspace{1em}(5.31)}$$

因此,再由向量值函数可微的定义,知向量值函数 $w=f\circ g$ 在点 $x_0$ 处可微,并且(5.31)式可以写成矩阵形式

$${\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial w_1}{\partial x_1}& \frac{\partial w_1}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial w_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial w_2}{\partial x_1}& \frac{\partial w_2}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial w_2}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial w_m}{\partial x_1}& \frac{\partial w_m}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial w_m}{\partial x_n}\end{array}\right]}_{x=x_0}$$$$={\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial u_1}& \frac{\partial f_1}{\partial u_2}& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial u_p}\\ \frac{\partial f_2}{\partial u_1}& \frac{\partial f_2}{\partial u_2}& \dots & \frac{\partial f_2}{\partial u_p}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial u_1}& \frac{\partial f_m}{\partial u_2}& \dots & \frac{\partial f_m}{\partial u_p}\end{array}\right]}_{u=u_0}{\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial g_1}{\partial x_1}& \frac{\partial g_1}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial g_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial g_2}{\partial x_1}& \frac{\partial g_2}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial g_2}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial g_p}{\partial x_1}& \frac{\partial g_p}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial g_p}{\partial x_n}\end{array}\right]}_{x=x_0},\text{\hspace{1em}(5.32)}$$

从而得到公式(5.30)

公式(5.30)表明,向量值函数的链式法则在形式上与一元函数的链式法则是一样的.下面给出它的两种特殊情形:

（1） $m=1$ .此时 $f$ 是从 ${\mathbf{R}}^p$ 到 $\mathbf{R}$ 的数量值函数，因此复合映射 $w=f\circ g$ 是从 ${\mathbf{R}}^n$ 到 $\mathbf{R}$ 的数量值函数，故

$$\mathrm{D}f(u_0)=\left(\frac{\partial f(u_0)}{\partial u_1},\frac{\partial f(u_0)}{\partial u_2},\dots ,\frac{\partial f(u_0)}{\partial u_p}\right).$$

利用公式(5.30)或(5.32)并按分量形式写出,即得

$$\frac{\partial w}{\partial x_j}=\sum _{i=1}^p\frac{\partial f({\mathbf{u}}_0)}{\partial u_i}\frac{\partial g_i({\mathbf{x}}_0)}{\partial x_j}(j=1,2,\dots ,n),$$

它就是第三节中讲过的 $n$ 元数量值复合函数的求导公式(3.32).

(2) n = m = p. 此时 $\mathrm{D}w(x_0)$ , $\mathrm{D}f(u_0)$ 与 $\mathrm{D}g(x_0)$ 都是 $n$ 阶方阵, 对求导公式 (5.32) 两端取对应的 Jacobi 行列式即得 (下面的等式中略去了 $x_0$ 与 $u_0$ ):

$$\frac{\partial (w_1,w_2,\cdots ,w_n)}{\partial (x_1,x_2,\cdots ,x_n)}=\frac{\partial (f_1,f_2,\cdots ,f_n)}{\partial (u_1,u_2,\cdots ,u_n)}\frac{\partial (g_1,g_2,\cdots ,g_n)}{\partial (x_1,x_2,\cdots ,x_n)},\text{\hspace{1em}(5.33)}$$

这个公式与一元复合函数的求导公式 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$ 的形式类似,便于记忆.

例 5.5

设有向量值函数

$$\mathbf{w}=\mathbf{f}(\mathbf{u})=\left[\begin{array}{l}{u}_1^2-u_2{u}_3\\ u_1{u}_3-u_2^2\end{array}\right],\mathbf{u}=\mathbf{g}(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{l}{x}_1\cos x_2\\ x_2\sin x_1\\ x_1^2{\mathrm{e}}^{x_2}\end{array}\right],$$

其中 $\mathbf{x}=(x_1,x_2{)}^{\mathrm{T}},\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3{)}^{\mathrm{T}},\mathbf{w}=(w_1,w_2{)}^{\mathrm{T}}$ ，试求

$$\mathrm{D}(f\circ g){|}_{(1,0{)}^{\top }},\frac{\partial w_1}{\partial x_1}{|}_{(1,0{)}^{\top }}\text{及}\frac{\partial (w_1,w_2)}{\partial (x_1,x_2)}{|}_{(1,0{)}^{\top }}.$$

解

由公式(5.32)得

$$\mathrm{D}(\mathbf{f}\circ \mathbf{g})(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{ccc}2u_1& -u_3& -u_2\\ u_3& -2u_2& u_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos x_2& -x_1\sin x_2\\ x_2\cos x_1& \sin x_1\\ 2x_1{\mathrm{e}}^{x_2}& x_1^2{\mathrm{e}}^{x_2}\end{array}\right].$$

因为当 $(x_1,x_2{)}^{\mathrm{T}}=(1,0{)}^{\mathrm{T}}$ 时， $(u_1,u_2,{\hat{u}}_3{)}^{\mathrm{T}}=(1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$ ，故

$$\mathrm{D}(\mathbf{f}\circ \mathbf{g}){\mid }_{(1,0{)}^{⊺}}=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \sin 1\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& -\sin 1\\ 3& 1\end{array}\right],$$$${\frac{\partial w_1}{\partial x_1}|}_{(1,0{)}^r}=2,{\frac{\partial (w_1,w_2)}{\partial (x_1,x_2)}|}_{(1,0{)}^r}=\left|\begin{array}{cc}2& -\sin 1\\ 3& 1\end{array}\right|=2+3\sin 1.$$

5.4 由方程组所确定的隐函数的微分法

第三节中已经讨论了由一个方程所确定的隐函数(数量值函数)及其微分法,本段将研究在许多问题中经常遇到的由方程组所确定的隐函数(向量值函数)及其微分法.

考虑由 $m$ 个 $m+n$ 元方程组成的方程组

$$\{\begin{array}{l}{F}_1(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m)=0,\\ F_2(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m)=0,\\ \dots \dots \\ F_m(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m)=0.\end{array}\text{\hspace{1em}(5.34)}$$

对于给定的 $x_1,\cdots ,x_n$ ，(5.34) 式就是包含 $m$ 个方程、 $m+n$ 个变量的方程组。如果存在定义在点集 $A\subseteq R^n$ 上的 $m$ 个函数

$$y_i=f_i\left(x_1,\dots ,x_n\right),i=1,2,\dots ,m,\text{\hspace{1em}(5.35)}$$

使得将其代入方程组(5.34)后它变成 $m$ 个恒等式,那么就称这 $m$ 个函数是它的解,或称为由该方程组所确定的隐函数.

下面,我们就一种简单情形来给出由方程组所确定的隐函数的存在定理(一般情形时的隐函数存在定理读者不难类似地写出来).

定理 5.5 隐函数存在定理

设有函数方程组

$$\{\begin{array}{l}{F}_1(x,y,u,v)=0,\\ F_2(x,y,u,v)=0.\end{array}\text{\hspace{1em}(5.36)}$$

如果函数 $F_1,F_2$ 满足

(1) $F_i\in C^{(1)}(U(x_0,y_0,u_0,v_0))$ ， $i=1,2;$

(2) $F_i(x_0,y_0,u_0,v_0)=0,i=1,2;$

(3) Jacobi 行列式

$$J=\frac{\partial (F_1,F_2)}{\partial (u,v)}{|}_{(x_0,y_0,u_0,v_0)}={\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial F_1}{\partial u}& \frac{\partial F_1}{\partial v}\\ \frac{\partial F_2}{\partial u}& \frac{\partial F_2}{\partial v}\end{array}\right|}_{(x_0,y_0,u_0,v_0)}\ne 0,\text{\hspace{1em}(5.37)}$$

则在点 $(x_0,y_0,u_0,v_0)\in {\mathbf{R}}^4$ 的某邻域 $U((x_0,y_0,u_0,v_0))$ 内由方程组(5.36)唯一确定了两个单值且有连续偏导数的二元函数

$$u=u(x,y),v=v(x,y),\text{\hspace{1em}(5.38)}$$

它满足

$$u_0=u(x_0,y_0),v_0=v(x_0,y_0)$$

及

$$F_i(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv 0,i=1,2,(x,y)\in U((x_0,y_0)).\text{\hspace{1em}(5.39)}$$

此定理的证明从略.下面只在定理条件成立的情况下,来推导隐函数的导数公式.应用链式法则,由(5.39)中各等式两端对$x$求导,得

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_1}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial F_1}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=0,\\ \frac{\partial F_2}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=0,\end{array}\text{\hspace{1em}(5.40)}$$

这是一个以 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x}$ 为未知量的线性代数方程组，因其系数行列式

$$J=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial F_1}{\partial u}& \frac{\partial F_1}{\partial v}\\ \frac{\partial F_2}{\partial u}& \frac{\partial F_2}{\partial v}\end{array}\right|=\frac{\partial (F_1,F_2)}{\partial (u,v)}$$

在点 $(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 处不等于0，于是利用Cramer法则就可解得

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0,u_0,v_0)}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F_1,F_2)}{\partial (x,v)}{|}_{(x_0,y_0,u_0,v_0)},\\ \frac{\partial v}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0,u_0,v_0)}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F_1,F_2)}{\partial (u,x)}{|}_{(x_0,y_0,u_0,v_0)}.\end{array}\text{\hspace{1em}(5.41)}$$

用类似的方法可解得

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial y}{|}_{(x_0,y_0,u_0,v_0)}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F_1,F_2)}{\partial (y,v)}{|}_{(x_0,y_0,u_0,v_0)},\\ \frac{\partial v}{\partial y}{|}_{(x_0,y_0,u_0,v_0)}=-\frac{1}{J}\frac{\partial (F_1,F_2)}{\partial (u,y)}{|}_{(x_0,y_0,u_0,v_0)}.\end{array}\text{\hspace{1em}(5.42)}$$

例 5.6

设二元函数 $u=u(x,y)$ 由方程组

$$\{\begin{array}{l}u=f(x,y,z,t),\\ g(y,z,t)=0,\\ h(z,t)=0\end{array}\text{\hspace{1em}(5.43)}$$

(5.44)

(5.45)

所确定,其中$f$,$g$,$h$都是 $C^{(1)}$ 类函数,且 $J=\frac{\partial (g,h)}{\partial (z,t)}\ne 0$ ,求 $\frac{\partial u}{\partial y}$ .

解法一

函数 $u=u(x,y)$ 可看成是按下述步骤得到的.因 $\frac{\partial (g,h)}{\partial (z,t)}\ne 0$ ，故由隐函数存在定理，方程(5.44)与(5.45)确定了 $z,t$ 为 $y$ 的函数： $z=z(y),t=t(y)$ ，将它们代入方程(5.43)，得 $u=u(x,y)$

对方程(5.44)与(5.45)关于$y$求导数,得

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}+\frac{\partial g}{\partial t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}y}=0,\\ \frac{\partial h}{\partial z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}+\frac{\partial h}{\partial t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}y}=0.\end{array}$$

应用 Cramer 法则, 解这个关于未知量 $\frac{dz}{dy},\frac{dt}{dy}$ 的线性方程组, 得

$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial h}{\partial t},\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{J}\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial h}{\partial z}.$$

再由方程(5.43)即得

$$\frac{\partial u}{\partial y}=f_2+f_3\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}+f_4\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}y}=f_2+\frac{1}{J}\frac{\partial g}{\partial y}\left(-f_3\frac{\partial h}{\partial t}+f_4\frac{\partial h}{\partial z}\right).$$

解法二

将方程组写成下面的形式：

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z,t,u)\equiv f(x,y,z,t)-u=0,\\ g(y,z,t)=0,\\ h(z,t)=0.\end{array}$$

由于Jacobi行列式

$$\frac{\partial (F,g,h)}{\partial (z,t,u)}=\left|\begin{array}{lll}\frac{\partial F}{\partial z}& \frac{\partial F}{\partial t}& \frac{\partial F}{\partial u}\\ \frac{\partial g}{\partial z}& \frac{\partial g}{\partial t}& \frac{\partial g}{\partial u}\\ \frac{\partial h}{\partial z}& \frac{\partial h}{\partial t}& \frac{\partial h}{\partial u}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}\frac{\partial f}{\partial z}& \frac{\partial f}{\partial t}& -1\\ \frac{\partial g}{\partial z}& \frac{\partial g}{\partial t}& 0\\ \frac{\partial h}{\partial z}& \frac{\partial h}{\partial t}& 0\end{array}\right|=-\frac{\partial (g,h)}{\partial (z,t)}=-J\ne 0,$$

根据定理5.5 及相应的导数公式,该方程组确定了 $z$, $t$, $u$ 都是 $x$, $y$ 的隐函数,并且

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial (F,g,h)}{\partial (z,t,y)}}{\frac{\partial (F,g,h)}{\partial (z,t,u)}}& =\frac{1}{J}\left|\begin{array}{ccc}{f}_3& f_4& f_2\\ \frac{\partial g}{\partial z}& \frac{\partial g}{\partial t}& \frac{\partial g}{\partial y}\\ \frac{\partial h}{\partial z}& \frac{\partial h}{\partial t}& 0\end{array}\right|\\ & =\frac{1}{J}\left(-f_3\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial h}{\partial t}+f_4\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial h}{\partial z}+J{f}_2\right).\end{array}$$

例 5.7

设函数 $x=x(u,v)$ , $y=y(u,v)$ 在点 $(u,v)$ 的某一邻域内有连续的偏导数，且 $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\ne 0$ .

(1) 证明: 方程组

$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v),\\ y=y(u,v)\end{array}\text{\hspace{1em}(5.46)}$$

在点 $(x,y,u,v)$ 的某一邻域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数 $u=u(x,y),v=v(x,y)$ ;

(2) 求反函数 $u=u(x,y)$ , $v=v(x,y)$ 对 $x$, $y$ 的偏导数；

(3) 证明：

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\cdot \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=1.\text{\hspace{1em}(5.47)}$$

解

（1）将方程组改写成下面的形式：

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)\equiv x-x(u,v)=0,\\ G(x,y,u,v)\equiv y-y(u,v)=0.\end{array}$$

按假设

$$J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial F}{\partial u}& \frac{\partial F}{\partial v}\\ \frac{\partial G}{\partial u}& \frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}-\frac{\partial x}{\partial u}& -\frac{\partial x}{\partial v}\\ -\frac{\partial y}{\partial u}& -\frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\ne 0,$$

由定理5.5, 即得所要证的结论.

(2) 由方程组(5.46)各式两端求全微分, 得

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{d}x=\frac{\partial x}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial x}{\partial v}\mathrm{d}v,\\ \mathrm{d}y=\frac{\partial y}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial y}{\partial v}\mathrm{d}v,\end{array}$$

将此方程组看成是以 $\mathrm{du},\mathrm{dv}$ 为未知量的线性代数方程组，由于其系数行列式 $J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\ne 0$ ，于是由Cramer法则解得

$$\mathrm{d}u=\frac{1}{J}\frac{\partial y}{\partial v}\mathrm{d}x-\frac{1}{J}\frac{\partial x}{\partial v}\mathrm{d}y,\mathrm{d}v=-\frac{1}{J}\frac{\partial y}{\partial u}\mathrm{d}x+\frac{1}{J}\frac{\partial x}{\partial u}\mathrm{d}y,$$

所以有

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{J}\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{1}{J}\frac{\partial x}{\partial u}.\text{\hspace{1em}(5.48)}$$

(3) 由(5.48)式即得

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}& =\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{J}\frac{\partial y}{\partial v}& -\frac{1}{J}\frac{\partial x}{\partial v}\\ -\frac{1}{J}\frac{\partial y}{\partial u}& \frac{1}{J}\frac{\partial x}{\partial u}\end{array}\right|=\frac{1}{J^2}\left(\frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial u}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}\right)\\ & =\frac{1}{J^2}\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\frac{1}{J^2}J=\frac{1}{J}=\frac{1}{\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}},\end{array}$$

所以(5.47)式成立.亦可利用(5.33)式来证明(5.47)式,读者不妨一试.

(5.47)式可看作一元函数反函数求导公式 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ 的推广,它在下一章重积分的换元法中将要用到.

5.5 多元向量值函数的导数与微分 课后真题与自测练习

习题与真题

收录本小节对应期中、期末与精选习题· 提供推导解析、试卷溯源与 LaTeX 导出

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