绪论

同学们来到大学,要学习许多新的数学课程,微积分就是其中第一门重要的数学基础课.在开始学习这门课的时候,自然要问,它与中学已经学过的初等数学有什么不同?微积分的研究对象与基本思想方法是什么?下面就来简要地讲一讲这些问题.

大家知道,现实世界中的万事万物,都在一定的空间中运动变化而在运动变化过程中都存在一定的数量关系.按照恩格斯的说法,数学就是研究现实世界中数量关系与空间形式的科学.简略地说,就是研究数和形的科学.时至今日,虽然数学的内容更加丰富、方法更加综合、应用更加广泛,但是,关于数学的上述说法大体上还是正确的.只是随着人们对事物认识的逐渐深化,作为数学研究对象的“数”和“形”,在数学发展的不同阶段,它们的内涵和表现形式也不尽相同!

数学的发展可以划分为三个阶段.

从古希腊时代(公元前5世纪—公元前3世纪)到17世纪中叶,是数学发展的第一阶段.在这长达两千多年的时期内,由于生产力的落后,人们把客观世界中各种事物看成是孤立的、静止不变的,因而数学中研究的“数”基本上是常数或常量(即在某一运动变化过程中保持不变或相对保持不变、可以看作取固定数值的量),研究的“形”也主要是简单的、不变的、规则的几何形体(例如直线段、直边形与直面形等).通过研究常量间的代数运算和规则几何形体内部及相互间的关系,分别形成了初等代数和初等几何,统称为初等数学.因此,这个阶段常被称为初等数学阶段或常量数学阶段.

从 1637 年著名法国哲学家、数学家 $R$ . Descartes (1596—1650) 建立解析几何到 19 世纪末是数学发展的第二阶段. 在这个阶段中, 由于工业革命的兴起, 推动了机械、造船、采矿、航海和修建铁路等新兴工业的建立和发展, 大大拓宽了人们的视野, 加深了人类对自然界的认识. 现实世界中的各种事物都处于不停的运动变化之中, 物理、力学和天文学等学科的迅速发展, 要求建立新的数学工具研究物体的运动变化规律, 研究曲线和曲面的性质. 在这种形势下, 天才的英国物理学家、力学家、天文学家和数学家 $I$ . Newton (1642—1727) 和德国数学家和哲学家 $G$ . W. Leibniz (1646—1716)

各自独立地创立了微积分.此后,数学的发展呈现出一日千里之势,形成了内容丰富的高等代数、高等几何与数学分析三大分支,并出现了一些其他的相关分支,它们被统称为高等数学.在这个阶段,数学中研究的“数”是变数或变量(即在某一运动变化过程中不断变化、可以取不同数值的量),研究的“形”是复杂的不规则的几何形体(例如曲线、曲面、曲线形与曲面形等).而且,由于Descartes引入直角坐标系,使“数”与“形”紧密地联系起来.平面上的点可以用有序数偶表示,平面曲线(动点的轨迹)可以用代数方程来表示,因此,“运动和辩证法便进入了数学”(恩格斯著《自然辩证法》).这个阶段被称为高等数学阶段或变量数学阶段.同学们在大学本科阶段学习的数学课程大多属于这个阶段的内容.

从 19 世纪末开始, 数学的发展进入了第三个阶段, 即现代数学阶段. 至今, 这个阶段还在发展之中. 由于集合论的创立, 不但为数学的发展奠定了坚实的基础, 而且使得数学的研究对象——“数”与“形”——具有了更丰富的内涵和更广泛的外延, 表现形式也更加抽象. 关于这方面内容本书不做过多介绍, 但在前几章中也将适当地采用一些现代数学的观点、方法、术语和符号.

从研究常量到研究变量,从研究规则的几何形体到研究不规则的几何形体,是人类对自然界认识的一大飞跃,是数学发展中的一个转折点.由于研究的对象不同,研究的方法也不同.初等数学主要采用形式逻辑的方法,静止地、一个一个问题孤立地进行研究,而高等数学却不然.下面,我们以“已知位移求速度”和“已知速度求位移”这两个经典问题为例,介绍微积分的基本思想方法,说明它与初等数学的研究方法有什么区别.

例 1

求变速直线运动的瞬时速度问题.

设一物体做变速直线运动,已知位移随时间的变化规律为 $s=s(t)$ ( $a\leqslant t\leqslant b$ ).由于物体的运动速度是随时间不断变化的,要精确地研究物体的运动规律,必须计算它在运动过程中每一时刻的速度,就是所谓瞬时速度.怎样认识和度量它呢?

如果物体做匀速直线运动,那么位移 $s$ 随时间 $t$ 的变化是均匀的.即从任意时刻 $t_{1}$ 开始,只要时间的变化 $t_{2}-t_{1}$ 相同,位移的变化 $s(t_{2})-s(t_{1})$ 也相同.这时,物体的运动速度只需通过除法用

v = \frac {s (t _ {2}) - s (t _ {1})}{t _ {2} - t _ {1}}

来度量, 显然它是一个常量. 对于非匀速运动, 位移 $s$ 随时间 $t$ 的变化是非均匀的, 即在相同的时间内位移的变化不尽相同. 为了度量在时刻 $t_{0}$ 的速度 $v(t_{0})$ , 考察物体从时刻 $t_{0}$ 到与它邻近的时刻 $t$ 所通过的位移 $s(t)-s(t_{0})$ . 记 $\Delta t=t-t_{0}, \Delta s=s(t)-s(t_{0})$ , 则用除法得到的

\bar {v} = \frac {s (t) - s (t _ {0})}{t - t _ {0}} = \frac {\Delta s}{\Delta t}

仅表示物体在 $|\Delta t|$ 这段时间内的平均速度，还不是物体在时刻 $t_0$ 的速度.假定位移随时间的变化是连续不断的，则当 $|\Delta t|$ 很小（常用 $|\Delta t| \ll 1$ 表示）时，速度的变化也很小，可以近似地看成是不变的.就是说，在很小的时间区间内，位移随时间的变化可以近似看成是均匀的，这样， $\bar{v}$ 可以作为时刻 $t_0$ 速度的近似值，即

v (t _ {0}) \approx \bar {v} = \frac {\Delta s}{\Delta t}.\tag{0.1}

$\left|\Delta t\right|$ 越小,上面的近似值越精确.如果令 $\Delta t\rightarrow0$ （即 $t\rightarrow t_{0}$ ）， $\bar{v}$ 能任意接近某确定的常数，即 $\bar{v}$ 的极限存在，那么这个极限值就规定为时刻 $t_{0}$ 的瞬时速度，即

v (t _ {0}) = \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac {\Delta s}{\Delta t} = \lim _ {t \rightarrow t _ {0}} \frac {s (t) - s (t _ {0})}{t - t _ {0}} = \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac {s (t _ {0} + \Delta t) - s (t _ {0})}{\Delta t}.\tag{0.2}

例 2

求变速直线运动的位移问题.

设物体做变速直线运动,速度随时间的变化规律为 $v=v(t)$ ( $a \leqslant t \leqslant b$ ), 求在时间区间 $[a, b]$ 内物体所通过的位移 $s$ .

对于匀速直线运动,由于速度 $v$ 是常量,位移随时间的变化是均匀的,所以物体在时间区间 $[a,b]$ 内通过的位移只要用乘法就能求得,即

s = v \times (b - a).

对于非匀速运动,由于速度 $v$ 是变量,位移随时间的变化是非均匀的,所以在时间区间 $[a,b]$ 内,物体所通过的位移不能简单地用上述乘法公式求得.但若假定速度随时间的变化是连续不断的,那么当 $\left|\Delta t\right|<<1$ 时,速度的变化也很小,运动可以近似看成是匀速的,即位移随时间的变化可近似看成均匀的.因此,若将时间区间 $[a,b]$ 任意分割为若干小区间,物体在每个小区间内部近似看成是匀速运动,就可以利用上面的公式求出位移的近似值.再将各小区间内通过的位移近似值相加,就可得到在 $[a,b]$ 内物体通过的总位移的近似值. $\left|\Delta t\right|$ 越小,近似值就越精确.如同例1那样,当每个时间小区间的长度无限趋近于零时,总位移近似值的极限存在,那么这个极限值就是物体在 $[a,b]$ 内通过的总位移的精确值.

上面的分析过程可以分解为四个具体步骤：

第一步分 将区间 $[a,b]$ 任意分割为 $n$ 个小区间 $[t_{k-1},t_{k}]$ （ $k=1,2,\cdots,n$ ），

a = t _ {0} < t _ {1} < t _ {2} < \dots < t _ {n - 1} < t _ {n} = b,

每个小区间的长度记为 $\Delta t_{k}=t_{k}-t_{k-1}$

第二步匀 当 $\left|\Delta t_{k}\right|<<1$ 时，在每个小区间 $\left[t_{k-1},t_{k}\right]$ 上位移随时间的变化可以近似看成是均匀的，因此可以用任一时刻 $\xi_{k}\quad\left(t_{k-1}\leqslant\xi_{k}\leqslant t_{k}\right)$ 时的速度 $v(\xi_{k})$ 近似替代物体在各小区间 $[t_{k - 1}, t_k]$ 上的速度, 从而求得物体在各小区间内通过的位移近似值

\Delta s _ {k} \approx v (\xi_ {k}) \Delta t _ {k}.\tag{0.3}

第三步合 将物体在各小区间内通过的位移近似值相加,就得到总位移的近似值

s \approx \sum_ {k = 1} ^ {n} v (\xi_ {k}) \Delta t _ {k}.

第四步精 令 $n$ 无限趋大(记作 $n \to \infty$ ), 且最大小区间的长度无限趋于零(记作 $d = \max_{1 \leqslant k \leqslant n} |\Delta t_k| \to 0$ ), 通过取极限(如果存在的话), 总位移的近似值就转化为所求总位移的精确值, 即

s = \lim _ {d \rightarrow 0} \sum_ {k = 1} ^ {n} v (\xi_ {k}) \Delta t _ {k}.\tag{0.4}

上面两个例子中,不仅研究的问题具有普遍的典型意义,而且采用的方法也蕴含了微积分的基本思想方法.

从研究的问题来看,例1是研究在时刻 $t_{0}$ 位移函数 $s=s(t)$ 变化的快慢程度,例2是研究位移函数 $t$ 变化的快慢程度,例2是研究位移函数 $s=s(t)$ 在区间 $[a,b]$ 上变化的大小.事实上,在科学技术中存在着大量的实际问题都可以归结为这两类问题.例如,设有位于 $x$ 轴区间 $[a,b]$ 上的质量非均匀分布的细棒.若已知细棒质量 $m$ 随 $x$ 变化的规律 $m=m(x)$ (即质量函数),求棒上某点 $x_{0}(a\leqslant x_{0}\leqslant b)$ 处的线密度,实际上就是求 $x_{0}$ 处质量函数 $m=m(x)$ 随 $x$ 变化的快慢程度.反之,若已知棒的线密度 $\rho=\rho(x)$ ,求区间 $[a,b]$ 上那段细棒的质量,则是求质量函数 $m=m(x)$ 在 $[a,b]$ 上变化的大小.一般地说,研究函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处随自变量 $x$ 变化的快慢程度(称之为函数 $y=f(x)$ 在 $x_{0}$ 处的变化率)和该函数在区间 $[a,b]$ 上变化的大小正是微积分的两个基本问题.若函数 $y=f(x)$ 随 $x$ 均匀变化,该函数在 $x_{0}$ 处的变化率只要用除法就能求得,它在 $[a,b]$ 非均匀变化,前者像例1中那样,需要用极限(假定存在) $y=f(x)$ 随 $x$ 非均匀变化,前者像例1中那样,需要用极限(假定存在)

\lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {f (x _ {0} + \Delta x) - f (x _ {0})}{\Delta x}

才能求得;后者像例2中那样,需要通过“分”“匀”“合”“精”四个步骤,用一个“和式极限”(0.4)式才能求得.前者就是将在第二章中研究的导数问题,后者则是第三章中讨论的积分问题.

从上面的分析可以看到,在均匀变化情况下用除法解决的问题,在非均匀变化情况下要用导数来解决;在均匀变化情况下用乘法解决的问题,在非均匀变化情况下要用积分来解决.在上述意义下,我们说,导数可以看作商(除法)的推广,积分可以看作积(乘法)的推广.这些推广都是建立在极限概念的基础上的.

从研究方法上来看,虽然两个例子属于两类不同的问题,但它们的基本思想方法是一致的.概括地说,主要包含下面两个步骤:

第一步在微小局部“以匀代非匀”,求得近似值.

为了研究非匀速运动,两例中均采用在很小的时间区间内,将位移随时间的非均匀变化近似看成是均匀的,也就是用均匀近似代替非均匀,求得近似值(见(0.1)式与(0.3)式).

第二步通过极限,将近似值转化为精确值.

上述方法是从运动变化过程中变量之间相互依赖、相互联系出发,通过分析问题和困难所在,克服困难,促使问题的转化使问题得以解决的,充满了辩证法的思想.例如,欲求时刻 $t_{0}$ 的瞬时速度 $v(t_{0})$ ,如果静止地、孤立地看问题,仅仅停留在时刻 $t_{0}$ 来考虑,永远也求不出 $v(t_{0})$ .只有看到物体在时刻 $t_{0}$ 的运动状态是从时刻 $t_{0}$ 之前的状态变化而来的,并且还要向时刻 $t_{0}$ 之后运动变化,它们与 $t_{0}$ 邻近时刻的状态是相互联系、相互依存的,才能想到在一个包含 $t_{0}$ 的时间区间内去研究.由于区间很小,在其中采用“以匀代非匀”求得时刻 $t_{0}$ 的近似值后,问题又转化为“近似”与“精确”的矛盾.于是,通过取极限来解决矛盾就成为关键.否则,问题的解答永远停留在近似值,得不到精确值.这种方法与初等数学中采用的形式逻辑推演是有本质区别的.当然,形式逻辑推演对于微积分,对于变量数学是不可缺少的,但仅仅用形式逻辑对于变量数学的研究是很不够的.因而在微积分中,在变量数学的研究中,需要将形式逻辑与辩证法相互结合.希望读者在今后的学习中认真体会这种思想方法.

通过上面的分析,读者不难看到,函数是微积分的研究对象,极限是研究微积分的基础.因此,不仅微积分的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同,而且与初等数学相比,微积分中的概念更加复杂,表达更加抽象,推理更加严谨,理论性更强.同学们在学习本课程的时候,应当认真阅读和深入钻研教材的内容.一方面,要透过抽象的表达形式,深刻理解基本概念和理论的本质以及它们之间的内在联系,正确领会一些重要的数学思想方法;另一方面,还要培养一定的抽象思维和逻辑推理能力.学习数学,必须做一定数量的习题,做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法,而且可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方法.但是,读者不应该仅仅满足于做题,更不能认为,只要做了题,就算学好了数学.作为工科院校的大学生,学习数学的主要目的是为了用数学.当代科学技术的飞速发展,不但要求我们掌握更多的数学

知识,而且还要会运用这些知识去解决实际问题.因此,应当逐步培养综合运用所学的数学知识解决实际问题的意识和兴趣,培养建立实际问题的数学模型、运用数学方法分析解决实际问题的能力.在学习中还要提倡独立钻研、勤于思考,敢于大胆地提出问题,善于研究问题,培养学习能力和创新意识与能力.

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第一步 在微小局部“以匀代非匀”,求得近似值.

第二步 通过极限,将近似值转化为精确值.

第一步在微小局部“以匀代非匀”,求得近似值.

第二步通过极限,将近似值转化为精确值.