附录3-4_三角函数公式与反三角函数

附录 3 常用的三角函数公式

一、三角函数的和差与积的关系式

1. $2\sin \alpha \cos \beta =\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )$ .

2. $2\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )$ .

3. $2\cos \alpha \cos \beta =\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )$ .

4. $-2\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )$ .

5. $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}.$

6. $\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}.$

7. $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}.$

8. $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}.$

二、倍角公式与半角公式

1. ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha )$ .

2. ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{2}(1+\cos 2\alpha )$ .

3. $\sin \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}.$

4. $\cos \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}.$

附录 4 反三角函数定义及其图形

反三角函数是一类基本初等函数,是三角函数中的反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数、反余割函数的统称.

一、反三角函数的概念

1. 反正弦函数

正弦函数 $y=\sin x$ 在整个定义域区间 $(-\infty ,+\infty )$ 上不是单调函数，但是在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上是严格单调增函数，因此它在此区间上存在反函数，它的反函数称为反正弦函数，记作 $x=\arcsin y$ . 习惯上，用 $x$ 表示自变量， $y$ 表示因变量，所以反正弦函数写为 $y=\arcsin x$ ，其定义域为 $x\in [-1,1]$ ，值域为 $y\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ . 反正弦函数的图像和正弦函数在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上的图像关于直线 $y=x$ 对称，如图 4.1.

反正弦函数只对正弦函数 $y=\sin x$ 的 $x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 区间成立, 这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间, 称该区间为正弦函数的主值区间.

2. 反余弦函数

余弦函数 $y=\cos x$ 限制在 $x\in [0,\pi ]$ 上是严格单调减函数, 因此在此区间上存在反函数,称为反余弦函数,记为 $y=\arccos x$ , 其中定义域为 $x\in [-1,1]$ , 值域为 $y\in [0,\pi ]$ . 反余弦函数及余弦函数的图像如图 4.2.

图4.1

图4.2

3. 反正切函数

正切函数 $y=\tan x$ 限制在 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 上是严格单调增函数, 因此在此区间上存在反函数, 称为反正切函数, 记为 $y=\arctan x$ , 其中定义域为 $x\in (-\infty ,+\infty )$ , 值域为 $y\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ . 反正切函数的图像如图 4.3. 显然, 反正切函数有两条渐近线 $y=-\frac{\pi }{2}$ 和 $y=\frac{\pi }{2}$ .

4. 反余切函数

余切函数 $y=\cot x$ 限制在 $x\in (0,\pi )$ 上是严格单调减函数，因此在此区间上存在反函数，称为反余切函数，记为 $y=\mathrm{arccot}x$ ，其定义域为 $x\in (-\infty ,+\infty )$ ，值域为 $y\in (0,\pi )$ 。反余切函数的图像如图 4.4。反余切函数有两条渐近线 y=0 和 $y=\pi$ 。

图 4.3

图4.4

5. 反正割函数

正割函数 $y=\sec x$ 限制在 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 上的反函数称为反正割函数，记为 $y=\mathrm{arcsec}x$ ，其定义域为 $x\in (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$ ，值域为 $y\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2},\pi \right]$ . 反正割函数的图像如图 4.5中的黑色曲线.

6. 反余割函数

余割函数 $y=\csc x$ 限制在 $x\in \left[-\frac{\pi }{2},0\right)\cup \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的反函数称为反余割函数，记为 $y=\mathrm{arccsc}x$ ，其定义域为 $x\in (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$ ，值域为 $y\in \left[-\frac{\pi }{2},0\right)\cup \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$ . 反余割函数的图像如图 4.5中的蓝色曲线.

图4.5

二、反三角函数间的运算关系

1. 余角关系

(1) $\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x$ ;

(2) $\mathrm{arccot}x=\frac{\pi }{2}-\arctan x$ ;

(3) $\mathrm{arccsc}x=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arcsec}x$ .

2. 负数关系

(1) $\arcsin (-x)=-\arcsin x;$

(2) $\arccos (-x)=\pi -\arccos x;$

(3) $\arctan (-x)=-\arctan x;$

(4) $\mathrm{arccot}(-x)=\pi -\mathrm{arccot}x;$

(5) $\mathrm{arcsec}(-x)=\pi -\mathrm{arcsec}x$ ;

(6) $\mathrm{arccsc}(-x)=-\mathrm{arccsc}x$ .

3. 倒数关系

(1) $\arccos \frac{1}{x}=\mathrm{arcsec}x$ ;

(2) $\arcsin \frac{1}{x}=\mathrm{arccsc}x$ ;

(3) $\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}-\arctan x=\mathrm{arccot}x,x>0;$

(4) $\arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}-\arctan x=-\pi +\mathrm{arccot}x,x<0;$

(5) $\mathrm{arccot}\frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arccot}x=\arctan x,x>0$ ;

(6) $\mathrm{arccot}\frac{1}{x}=\frac{3\pi }{2}-\mathrm{arccot}x=\pi +\arctan x,x<0;$

(7) arcsec $\frac{1}{x}$ =arccos x;

(8) $\mathrm{arccsc}\frac{1}{x}=\arcsin x$ .

4. 转化关系

(1) $\arccos x=\arcsin \sqrt{1-x^2},0⩽x⩽1$ ;

(2) $\arctan x=\arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}};$

(3) $\arcsin x=2\arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}};$

(4) $\arccos x=2\arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},-1<x⩽1;$

(5) $\arctan x=2\arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}.$