6.2 二重积分的计算

从这一节开始,我们分别讲解各类积分的计算法.为了得出二重积分的计算公式,先介绍二重积分的几何意义.

2.1 二重积分的几何意义

设 $(\sigma )\subseteq {\mathbf{R}}^2$ 是有界闭区域, $f\in C((\sigma ))$ . 由定义, $f$ 在 $(\sigma )$ 上的二重积分就是下列和式的极限:

$${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k.$$

下面,我们根据这个和式极限的结构来说明二重积分的几何意义.为方便起见,设 $f(x,y)⩾0$ .于是二元函数 $z=f(x,y)$ 在几何上就表示位于域( $\sigma$ )上方的曲面($S$)(图 6.3($a$)),它在xOy坐标平面上的投影就是闭域( $\sigma$ ).以( $\sigma$ )的边界为准线作母线平行于$z$轴的柱面,便得一以( $\sigma$ )为底、曲面($S$)为顶的曲顶柱体.现在我们来说明:若$f$在( $\sigma$ )上非负,则二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 的值等于以( $\sigma$ )为底,($S$)为顶的曲顶柱体的体积.想一想:

此曲顶柱体的体积在域( $\sigma$ )上是非均匀分布的量,其原因在于此柱体的高在变化.若高不变,这个平顶柱体的体积在( $\sigma$ )上是均匀分布的(图 6.3($b$)),它可以简单地利用乘法:底面积×高得到.为了利用已知的这个均匀分布的体积公式来求此非均匀分布的体积,我们可以像本章第一节1.1段中那样,采用“分”“匀”“合”“精”四个步骤来完成.

(1) 若在域 $(\sigma )$ 上 $f(x,y)⩽0$ , ${\iint }_{\sigma }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 的几何意义是什么？ (2) 若在域 $(\sigma )$ 上 $f(x,y)$ 变号，怎样用二重积分表示曲面 $z=f(x,y)$ 在 $(\sigma )$ 上与 xOy 平面以及由 $(\sigma )$ 边界为准线的柱面所围成的立体体积？

($a$)

图6.3

($b$)

分 把区域( $\sigma$ )任意划分成$n$个子域( $\Delta {\sigma }_k$ )( $k=1,2,\cdots ,n$ ),( $\Delta {\sigma }_k$ )的面积记为 $\Delta {\sigma }_k$ .以每一子域( $\Delta {\sigma }_k$ )的边界为准线,作母线平行于$z$轴的柱面,这样,就把整个曲顶柱体划分成$n$个小曲顶柱体.

匀 由于子域 $(\Delta {\sigma }_k)$ 很小，以它为底的小曲顶柱体的高变化不大，可以近似地看作不变，即看作是 $(\Delta {\sigma }_k)$ 内任一点 $M_k({\xi }_k,{\eta }_k)$ 处的函数值 $f({\xi }_k,{\eta }_k)$ （图 6.3($a$)).从而这一小曲顶柱体的体积 $\Delta V_k$ 可以近似地表示为

$$\Delta V_k\approx f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k.$$

合 把各小曲顶柱体体积的近似值加起来, 就得到整个曲顶柱体体积 $V$ 的近似值

$$V\approx \sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k.$$

精 令各子域 $(\Delta {\sigma }_k)$ 直径的最大值 $d\to 0$ ，取极限便得到体积$V$的精确值

$$V=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k={\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma .$$

这就说明了二重积分的几何意义.

2.2 直角坐标系下二重积分的计算法

下面,我们利用二重积分的几何意义来讨论它的计算方法.设 $f\in C((\sigma ))$ ，为简单起见,我们仍假设在 $(\sigma )$ 上 $f(x,y)⩾0$ .以下就积分域 $(\sigma )$ 可能出现的三种类型来分别讨论二重积分的计算方法.

（1）设 $(\sigma )=\{(x,y)\mid a⩽x⩽b,y_1(x)⩽y⩽y_2(x)\}$ ，其中 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 均在 $[a,b]$ 上连续。这一区域 $(\sigma )$ 的特点是：过 $[a,b]$ 上任一点 $x_1$ ，作与 $y$ 轴平行同向的直线，与 $(\sigma )$ 的边界至多相交于两点 $(x_1,y_1(x_1))$ 与 $(x_1,y_2(x_1))$ （在区间端点 $a,b$ 处所分别对应的两点可能重合）（图 6.4）。为方便起见，称这种类型的区域 $(\sigma )$ 为 $x$ 型区域。由几何意义可知，二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 的值等于以 $(\sigma )$ 为底、 $z=f(x,y)$ （图 6.5）。在定积分应用中，我们知道这一体积 $V$ （图6.5）。在定积分应用中，我们知道这一体积 $V$ 也可用已知平行截面面积求体积的方法来计算。为此，将此曲顶柱体用平行于坐标平面 $yOz$ 的平面来切割。为了求其平行截面的面积，在 $[a,b]$ 上任意固定一点 $x_1$ 。由图 6.5易见，这一截面是由曲线 $x=x_1$ 的截面面积 $S(x_1)$ 。由图6.5易见，这一截面是由曲线 $\{\begin{array}{l}z=f(x,y),\\ x=x_1\end{array}$ 在区间 $[y_1(x_1),y_2(x_1)]$ 上所形成的曲边梯形，它的面积 $S(x_1)$ 可用定积分表示为

$$S(x_1)={\int }_{y_1(x_1)}^{y_2(x_1)}f(x_1,y)\mathrm{d}y.$$

图6.4

图6.5

改记 $x_1$ 为 $x$ ，并让它在 $a$ 与 $b$ 之间变动，这时截面积 $S(x)$ 也将随之而变动，即

$$S(x)={\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y.$$

值得注意的是,在求上述积分时,$x$应看作是常量,积分变量是$y$.求得 $S(x)$ 之后,再利用定积分的微元法,便可得所求曲顶柱体的体积

$$V={\int }_a^{b}S(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b\left[{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x.$$

另一方面，根据二重积分的几何意义，又有

$$V={\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ,$$

所以

$$V={\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_a^b\left[{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

这样一来,二重积分的计算,化成了接连两次计算一元函数的定积分:先固定$x$,把函数 $f(x,y)$ 看作是关于$y$的一元函数,对$y$从区域( $\sigma$ )的边界 $y_1(x)$ 至 $y_2(x)$ 作定积分;再将积分后所得的一元函数 $S(x)$ ,在区间 $[a,b]$ 上关于$x$作定积分.这样,就把二重积分化成了由接连两次定积分所构成的累次积分,或称为二次积分,也可把其中

的方括号去掉写成

$${\int }_a^b{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x\text{或}{\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y.$$

(2) 设 $(\sigma )=\{(x,y)\mid x_1(y)⩽x⩽x_2(y),c⩽y⩽d\}$ , 其中 $x_1(y)$ 与 $x_2(y)$ 均在 $[c,d]$ 上连续（图 6.6). 这一区域 $(\sigma )$ 的特点是: 过 $[c,d]$ 上任一点 $y_1$ 作与 $x$ 轴平行同向的直线, 与域 $(\sigma )$ 的边界至多相交于两点 $(x_1(y_1),y_1)$ 与 $(x_2(y_1),y_1)$ .这类区域称为 $y$ 型区域.对于这种 $y$ 型区域 $(\sigma )$ ，我们用平行于坐标平面 $xOz$ 的平面去切割此曲顶柱体.先计算由曲线 $\{\begin{array}{l}z=f(x,y)\\ y=y_1\end{array}$ ，在区间 $[x_1(y_1),x_2(y_1)](c⩽y_1⩽d)$ 上所形成的曲边梯形的面积，再在区间 $[c,d]$ 上利用定积分的微元法可得

图6.6

$${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_c^d{\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

在这里的累次积分是先固定 $y$ 对 $x$ 计算由 $x_1(y)$ 到 $x_2(y)$ 的定积分, 其中 $x_1(y)$ 与 $x_2(y)$ 分别表示 $(\sigma )$ 的左段边界与右段边界上的点对应于 $y$ 的横坐标, 然后再将积分后所得的函数对 $y$ 在区间 $[c,d]$ 上求定积分.

如果积分域 $(\sigma )$ 既是 $x$ 型区域又是 $y$ 型区域，那么，由等式(2.1)与(2.2)可知

$${\int }_a^b{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x={\int }_c^d{\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

(2.3)式表明:当 $f(x,y)$ 在积分域( $\sigma$ )上连续时,累次积分可以交换积分顺序.

（3）设积分域( $\sigma$ )既非$x$型又非$y$型区域(图 6.7).这时我们可以把( $\sigma$ )先分成若干子域,使每一注意:一般来说,在交换累次积分的积分顺序时,积分上、下限将随之改变.

子域成为 $x$ 型区域或 $y$ 型区域, 从而每一子域上的二重积分都可通过累次积分算出, 再根据本章第一节 1.3 段中的性质2, 在域 $(\sigma )$ 上的二重积分值就等于这些子域上二重积分值之和.

例 2.1

求二重积分

$$I={\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ,$$

其中 $f(x,y)=1-\frac{x}{3}-\frac{y}{4},(\sigma )=\{(x,y)\mid -1⩽x⩽1,-2⩽y⩽2\}$ 是一矩形域（图 6.8）.

图6.7

图6.8

解法一

由于 $(\sigma )$ 是一 $x$ 型区域，它在 $x$ 轴上的投影为区间[-1,1]，这就是累次积分中对 $x$ 的积分区间.在区间[-1,1]上任取一点 $x$ ，作与 $y$ 轴平行同向的直线穿过积分域 $(\sigma )$ ，过 $(\sigma )$ 边界穿入、穿出点的纵坐标分别为 $y=-2$ 与 $y=2$ .[-2,2]便是对 $y$ 的积分区间.固定 $x$ 先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分得

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_{-1}^1{\int }_{-2}^2\left(1-\frac{x}{3}-\frac{y}{4}\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}x={\int }_{-1}^1\left(y-\frac{xy}{3}-\frac{y^2}{8}\right){|}_{-2}^2\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-1}^1\left(4-\frac{4}{3}x\right)\mathrm{d}x=8.\end{array}$$

解法二

由于 $(\sigma )$ 也是一 $y$ 型区域，它在 $y$ 轴上的投影为区间[-2,2]，在区间[-2,2]上任取一点 $y$ ，作与 $x$ 轴平行同向的直线，穿入、穿出 $(\sigma )$ 点的横坐标分别为 $x=-1$ 与 $x=1.$ 固定 $y$ 先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分得

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_{-2}^2{\int }_{-1}^1\left(1-\frac{x}{3}-\frac{y}{4}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{-2}^2\left(x-\frac{x^2}{6}-\frac{xy}{4}\right){|}_{-1}^1\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{-2}^2\left(2-\frac{y}{2}\right)\mathrm{d}y=8.\end{array}$$

解法一与解法二中的累次积分交换了积分顺序, 但是它们对 $x$ 与对 $y$ 的积分上、下限均未发生变化. 这种情况仅对矩形域才会出现.

例 2.2

计算 ${\iint }_{(\sigma )}(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma$ ，其中 $(\sigma )$ 为直线 x=1, y=0 及抛物线 $y=x^2$ 所围成的区域.

解法一

画出积分域 $(\sigma )$ 如图 6.9所示.将 $(\sigma )$ 视为 $x$ 型区域.它在 $x$ 轴上的投影为[0,1]. $\forall x\in [0,1]$ 作与 $y$ 轴平行同向的直线，与 $(\sigma )$ 的下边界和上边界交点的纵坐标分别为 $y=0$ 与 $y=x^2$ .先对 $y$ 后对 $x$ 积分得

图6.9

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{(\sigma )}(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma & ={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{x^2}(x^2+y^2)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_0^1\left(x^{2}y+\frac{y^3}{3}\right){|}_0^{x^2}\mathrm{d}x={\int }_0^1\left(x^4+\frac{x^6}{3}\right)\mathrm{d}x=\frac{26}{105}.\end{array}$$

解法二

将 $(\sigma )$ 视为 $y$ 型区域. 它在 $y$ 轴上的投影为 $[0,1]$ . $\forall y\in [0,1]$ , 作与 $x$ 轴平行同向的直线, 它与 $(\sigma )$ 的左边界和右边界交点的横坐标分别为 $x=\sqrt{y}$ 与 $x=1$ . 先对 $x$ 后对 $y$ 积分得

$${\iint }_{(\sigma )}(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_{\sqrt{y}}^1(x^2+y^2)\mathrm{d}x$$$$={\int }_0^1\left(\frac{1}{3}+y^2-\frac{1}{3}{y}^{\frac{3}{2}}-y^{\frac{5}{2}}\right)\mathrm{d}y=\frac{26}{105}.$$

例 2.3

计算 ${\iint }_{(\sigma )}xy\mathrm{d}\sigma$ ，其中 $(\sigma )$ 为抛物线 $y^2=x$ 与直线 y = x - 2 所围成的区域.

解

画出积分域 $(\sigma )$ 如图 6.10所示.将 $(\sigma )$ 视为 $y$ 型区域，为向 $y$ 轴投影，先求出直线与抛物线的交点，它们是 $A(4,2)$ 与 $B(1,-1)$ ，于是 $(\sigma )$ 在 $y$ 轴上的投影为区间[-1,2]. $\forall y\in [-1,2]$ ，作与 $x$ 轴平行同向的直线，穿入、穿出 $(\sigma )$ 边界点的横坐标分别为 $x=y^2$ 与 $x=y+$ 2.于是先对 $x$ 后对 $y$ 积分得

数字资源 6.2.1·在直角坐标系下计算二重积分的一般步骤

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$$\begin{array}{rl}{\iint }_{(\sigma )}xy\mathrm{d}\sigma & ={\int }_{-1}^2\mathrm{d}y{\int }_{y^2}^{y+2}xy\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{-1}^{2}y[(y+2{)}^2-y^4]\mathrm{d}y=5\frac{5}{8}.\end{array}$$

如果将 $(\sigma )$ 看成是 $x$ 型区域，它在 $x$ 轴的投影为区间[0,4].由于当 $x\in [0,1]$ 与 $x\in [1,4]$ 时，与 $y$ 轴平行同向的直线穿入 $(\sigma )$ 的边界曲线有不同的方程，故必须用直线 $x=1$ 将 $(\sigma )$ 分成两部分（图 6.10），把 $(\sigma )$ 看作是 $({\sigma }_1)$ 与 $({\sigma }_2)$ 两个 $x$ 型区域的并.分别先对 $y$ 后对 $x$ 积分，得

$${\iint }_{(\sigma )}xy\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}xy\mathrm{d}y+{\int }_1^4\mathrm{d}x{\int }_{x-2}^{\sqrt{x}}xy\mathrm{d}y.$$

图6.10

由上式可以算得同样结果,但用这种方法计算显然要麻烦一些.

如果利用对称性就会方便一些.由于 $({\sigma }_1)$ 关于 $x$ 轴对称，而被积函数是关于 $y$ 的奇函数，所以 ${\iint }_{({\sigma }_1)}xy\mathrm{d}\sigma =0$ ，于是

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数字资源 6.2.3·关于积分域轮换对称性结论的证明及其应用

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$$\begin{array}{rl}{\iint }_{(\sigma )}xy\mathrm{d}\sigma & ={\iint }_{({\sigma }_2)}xy\mathrm{d}\sigma ={\int }_1^4\mathrm{d}x{\int }_{x-2}^{\sqrt{x}}xy\mathrm{d}y\\ & =5\frac{5}{8}.\end{array}$$

例 2.4

计算 ${\iint }_{(\sigma )}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}\sigma$ ，其中 $(\sigma )$ 为直线 y = x 与抛物线 $y=x^2$ 所围成的区域.

解

画出积分域( $\sigma$ )如图 6.11所示.先对$y$后对$x$积分,得

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{(\sigma )}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}\sigma & ={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_{x^2}^x\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}y\\ & ={\int }_0^1\frac{\sin x}{x}(x-x^2)\mathrm{d}x=1-\sin 1.\end{array}$$

这里被积函数在点 $(0,0)$ 无定义,但由于当 $x\to 0$ 时其极限存在,而改变被积函数在个别点的值不影响其积分值,故此时可理解为对此被积函数在点 $(0,0)$ 用极限值补充定义后再讨论.

图6.11

如果先对 $x$ 后对 $y$ 积分, 则有注意:由例2.3 和例2.4 可以看到,计算二重积分时,选取适当的积分顺序是一个值得注意的问题.如果积分顺序选取不当,不仅可能引起计算上的麻烦,而且可能导致积分无法算出.

$${\iint }_{(\sigma )}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_y^{\sqrt{y}}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x.$$

由于 $\frac{\sin x}{x}$ 的原函数不能用初等函数表示,因而无法继续进行计算.

例 2.5

计算 ${\iint }_{(\sigma )}(x^2{y}^2+x{y}^3{\mathrm{e}}^{x^2+y^2})\mathrm{d}\sigma$ ，其中 $(\sigma )$ 为直线 y=x, y=-1 与 x=1 所围成的区域.

解

画出积分域( $\sigma$ )如图 6.12所示的三角形ABC.由于被积函数比较复杂,直接计算是比较费时的,为了利用对称性,作辅助线y=-x,将( $\sigma$ )划分为由OAB所构成的三角形域( ${\sigma }_1$ )与由OBC所构成的( ${\sigma }_2$ ),它们分别关于$y$轴和$x$轴对称.将所给积分拆开,有

图6.12

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{(\sigma )}(x^2{y}^2+x{y}^3{\mathrm{e}}^{x^2+y^2})\mathrm{d}\sigma & ={\iint }_{(\sigma )}{x}^2{y}^2\mathrm{d}\sigma +{\iint }_{(\sigma )}x{y}^3{\mathrm{e}}^{x^2+y^2}\mathrm{d}\sigma \\ & ={\iint }_{(\sigma )}{x}^2{y}^2\mathrm{d}\sigma +{\iint }_{({\sigma }_1)}x{y}^3{\mathrm{e}}^{x^2+y^2}\mathrm{d}\sigma +{\iint }_{({\sigma }_2)}x{y}^3{\mathrm{e}}^{x^2+y^2}\mathrm{d}\sigma ,\end{array}$$

由于 $({\sigma }_1)$ 关于$y$轴对称，而被积函数 $x{y}^3{e}^{x^2+y^2}$ 是$x$的奇函数，由对称性可知

$${\iint }_{({\sigma }_1)}x{y}^3{\mathrm{e}}^{x^2+y^2}\mathrm{d}\sigma =0;$$

由于 $({\sigma }_2)$ 关于$x$轴对称,而被积函数也是$y$的奇函数,所以

$${\iint }_{({\sigma }_2)}x{y}^3{\mathrm{e}}^{x^2+y^2}\mathrm{d}\sigma =0.$$

再注意到 $x^2{y}^2$ 关于 $x$ 与 $y$ 都是偶函数，将由 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $x=1,y=-1$ 所围成的正方形域记作 $({\sigma }_0)$ ，于是分别利用关于 $y$ 轴和 $x$ 轴的对称性可知

$${\iint }_{(\sigma )}{x}^2{y}^2\mathrm{d}\sigma =2{\iint }_{({\sigma }_0)}{x}^2{y}^2\mathrm{d}\sigma =2{\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x{\int }_{-1}^0{y}^2\mathrm{d}y=\frac{2}{9}.$$

综上可知,所求二重积分的值等于 $\frac{2}{9}$ .

例 2.6

交换累次积分

$$I={\int }_{-2}^0\mathrm{d}x{\int }_0^{\frac{2+x}{2}}f(x,y)\mathrm{d}y+{\int }_0^2\mathrm{d}x{\int }_0^{\frac{2-x}{2}}f(x,y)\mathrm{d}y$$

的积分顺序.

交换累次积分的顺序时,先要根据累次积分的积分限画出相应二重积分的积分域,再根据积分域的特性化为另一顺序的累次积分.

解

首先,由此累次积分来确定(相应二重积分的)积分域( $\sigma$ ).由所给的上、下限可知,$x$,$y$的变化范围是

$$0⩽y⩽\frac{2+x}{2},-2⩽x⩽0;$$$$0⩽y⩽\frac{2-x}{2},0⩽x⩽2.$$

由这些不等式可画出积分域( $\sigma$ )如图 6.13所示.然后将原积分化为先对$x$后对$y$的累次积分,得

图6.13

$$I={\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_{2y-2}^{2-2y}f(x,y)\mathrm{d}x.\text{II}$$

下面,我们对二重积分化为累次积分的公式(2.2)给出一种粗略的但却更为形象的解释.在被积函数 $f\in C((\sigma ))$ 的条件下,我们用平行于$x$轴和$y$轴的直线,分别对积分域( $\sigma$ )进行等距离分割(图 6.14),所得的子域中除了边缘上一些不规则的以外,均为矩形,其面积为 $\Delta \sigma =\Delta x\Delta y$ .在每一小矩形中均取其左下角点 $(x,y)$ 为积分和式中的点.可以证明(从略),当$d\to 0$ 时, 全部子域上的和式 ${\sum }_{(\sigma )}f(x,y)\Delta \sigma$ 与仅计算矩形子域上的和式 ${\sum }_{(\sigma )}f(x,y)\Delta x\Delta y$ 的极限值是相等的, 即

图6.14

$${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{(\sigma )}f(x,y)\Delta \sigma =\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{(\sigma )}f(x,y)\Delta x\Delta y.$$

我们把最后的和式极限记作 ${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ，其中 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 称为直角坐标的面积微元.

在上述求和式极限的过程中,随着 $d\to 0$ , 和式的项数将无限地增加.为形象化起见,我们把求和式极限的过程通俗地称为“无限累加”.设想 $f(x,y)$ 是分布在区域 $(\sigma )$ 上物质的面密度,在把每一个子域上的乘积 $f(x,y)\Delta y\Delta x$ 累加时,先关于 y“无限累加”就相当于先把分布在这些小矩形上的质量分别累加成一些平行于 $y$ 轴的竖长条的质量;再关于 x“无限累加”相当于把这些竖长条的质量再累加成 $(\sigma )$ 上的质量.把 $f(x,y)\Delta y\Delta x$ 关于 y“无限累加”得 ${\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy\Delta x$ ,关于 $x$ 再“无限累加”即得

$$V={\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_a^b{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x.$$

类似地,如果先关于 x“无限累加”,再关于 y“无限累加”,便得

$${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_c^d{\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

2.3 极坐标系下二重积分的计算法

在定积分的计算中,换元法发挥了重要的作用,我们常可通过变量变换把一个难算的定积分化为容易计算的.二重积分的计算中也有类似的换元法,不过二重积分计算中的困难不仅出现在被积函数上,更多地表现在积分域的形状上.

对于二重积分

$${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{(\sigma )}f(x,y)\Delta \sigma ,$$

数字资源 6.2.4·关于二重积分极坐标变换的补充说明

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设被积函数在积分域上连续.若积分域( $\sigma$ )与被积函数 $f(x,y)$ 用极坐标表示更为简便,则应考虑将其化为极坐标系下的二重积分来计算.为此,建立极坐标系,令极点与xOy直角坐标系的原点重合,$x$轴取为极轴.利用直角坐标与极坐标的转换公式

$$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta (0⩽\rho <+\infty ,0⩽\theta ⩽2\pi )$$

(2.4)

把 $(\sigma )$ 的边界曲线方程化成极坐标,并将被积函数变换为

$$f(x,y)=f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ).$$

为了把面积微元 $d\sigma$ 用极坐标表出, 我们用极坐标曲线网

$$\rho =\text{ 常数 },\theta =\text{ 常数 }$$

来划分积分域( $\sigma$ )(图 6.15).容易看出,规则子域( $\Delta \sigma$ )的面积为

$$\begin{array}{rl}\Delta \sigma & =\frac{1}{2}[(\rho +\Delta \rho {)}^2\Delta \theta -{\rho }^2\Delta \theta ]\\ & =\rho \Delta \rho \Delta \theta +\frac{1}{2}(\Delta \rho {)}^2\Delta \theta .\end{array}$$

图6.15

当 $\Delta \rho$ 与 $\Delta \theta$ 均充分小时, 略去高阶项 $\frac{1}{2}(\Delta \rho {)}^2\Delta \theta$ , 得

$$\Delta \sigma \approx \rho \Delta \rho \Delta \theta .$$

从而

$$\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{(\sigma )}f(x,y)\Delta \sigma =\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{(\sigma )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \Delta \rho \Delta \theta ,$$

即

$${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{(\sigma )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta .\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

可见在极坐标系下的面积微元为

$$\mathrm{d}\sigma =\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta ,$$

将直角坐标系下的二重积分化为极坐标计算时要注意三点:

而(2.5)式右端的积分就是极坐标系下的二重积分，其中 $(\sigma )$ 的边界曲线由极坐标方程给出.

1. 将积分域的边界曲线用极坐标表示；

为了把极坐标系下的二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$ 化成累次积分，我们应用“无限累加”的思想。由图 6.15可见，当我们用射线 $\theta =C$ 切割区域（ $\sigma$ ）时，开始于 $\theta =\alpha$ ，终止于 $\theta =\beta$ ，而当 $\theta \in [\alpha ,\beta ]$

2. 将被积函数变换为极坐标形式；

3. 将积分微元转换成极坐标形式, 即

$$\mathrm{d}\sigma =\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta .$$

时， $(\sigma )$ 的边界曲线被分成了关于 $\rho$ 的两个单值支 $\widehat{P_1{M}_1{P}_2}$ 与 $\widehat{P_1{M}_2{P}_2}$ ，其方程分别记为 $\rho ={\rho }_1(\theta )$ 与 $\rho ={\rho }_2(\theta )(\alpha ⩽\theta ⩽\beta )$ . [α,β] 就是 $\theta$ 的变化区间， $\forall \theta \in (\alpha ,\beta )$ ，作从坐标原点出发的射线，穿入、穿出 $(\sigma )$ 边界点的 $\rho$ 坐标分别为 ${\rho }_1(\theta ),{\rho }_2(\theta )$ . 于是 $[{\rho }_1(\theta ),{\rho }_2(\theta )]$ 便是 $\rho$ 的变化区间. 我们对子域 $(\Delta \sigma )$ 上的乘积 $f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \Delta \rho \Delta \theta$ “无限累加”时，先关于 $\rho$ 无限累加成一些扇形状长条得 ${\int }_{{\rho }_1(\theta )}^{{\rho }_2(\theta )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho d\rho \Delta \theta$ ，然后

再关于 $\theta$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上无限累加，便得

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma & ={\iint }_{(\sigma )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}\theta {\int }_{{\rho }_1(\theta )}^{{\rho }_2(\theta )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\rho .\end{array}\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

数字资源 6.2.5·极坐标下二重积分化为累次积分公式的导出

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当用同心圆 $\rho =C$ 切割 $(\sigma )$ 时，开始于 $\rho =a$ ，终止于 $\rho =b$ （图 6.15).[ $a,b]$ 就是对 $\rho$ 的变化区间.这时， $(\sigma )$ 的边界曲线被分成关于 $\theta$ 的两个单值支 $\widehat{M_1{P}_1{M}_2}$ 与 $\widehat{M_1{P}_2{M}_2}$ ，分别记为 $\theta ={\theta }_1(\rho )$ 与 $\theta ={\theta }_2(\rho )$ $\forall \rho \in (a,b)$ ，用以原点为圆心， $\rho$ 为半径的圆周逆时针方向穿过（ $\sigma$ )，穿入、穿出( $\sigma$ )边界点的 $\theta$ 坐标分别为 ${\theta }_1(\rho )$ 与 ${\theta }_2(\rho )$ .于是[ ${\theta }_1(\rho )$ ， ${\theta }_2(\rho )]$ 便是 $\theta$ 的变化区间.对子域( $\Delta \sigma$ )上的乘积先关于 $\theta$ “无限累加”，再关于 $\rho$ “无限累加”，得

数字资源 6.2.6·在极坐标系下

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$$\begin{array}{rl}{\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma & ={\iint }_{(\sigma )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \\ & ={\int }_a^b\mathrm{d}\rho {\int }_{{\theta }_1(\rho )}^{{\theta }_2(\rho )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\theta .\end{array}\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

例 2.7

计算 $I={\iint }_{(\sigma )}(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma$ ，其中 $(\sigma )$ 为不等式 $a^2⩽x^2+y^2⩽b^2$ 所确定的区域（图 6.16）.

如何将二重积分化为累次积分.

解

把 $(\sigma )$ 用极坐标表示为 $a⩽\rho ⩽b,0⩽\theta ⩽2\pi$ ，将被积式化为极坐标形式，根据上述定限方法容易得到

$$I={\iint }_{(\sigma )}{\rho }^2\cdot \rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_a^b{\rho }^3\mathrm{d}\rho =\frac{\pi }{2}(b^4-a^4).$$

读者不难看出,如果用直角坐标来计算上例中的积分 $I$, 将要麻烦得多.

例 2.8

计算由不等式

$$x^2+y^2+z^2⩽4a^2\text{与}{x}^2+y^2⩽2ay$$

所确定的立体的体积.

解

这两个不等式表示位于球面及柱面内公共部分的立体,其图形在 xOy 平面上方的部分如图 6.17 所示.由对称性可知,所求立体的体积是它在第一卦限中那部分体积的四倍.第一卦限内的这个立体是以球面 $z=\sqrt{4a^2-x^2-y^2}$ 为顶，以 $xOy$ 平面上的半圆域 $(\sigma )=\{(x,y)|x^2+y^2⩽2ay,x⩾0\}$ 为底的曲顶柱体，把域 $(\sigma )$ 用极坐标表示为

图6.16

图6.17

$$\left\{(\rho ,\theta )\mid 0⩽\rho ⩽2a\sin \theta ,0⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2}\right\}$$

(图 6.18). 应用公式(2.5)得所求立体的体积为

$$\begin{array}{rl}V& =4{\iint }_{(\sigma )}\sqrt{4a^2-x^2-y^2}\mathrm{d}\sigma \\ & =4{\iint }_{(\sigma )}\sqrt{4a^2-{\rho }^2}\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta .\end{array}$$

为将它化为先对 $\rho$ 后对 $\theta$ 积分的累次积分, 用射线 $\theta =c$ (常数) 切割域 $(\sigma )$ (图 6.18), 由 $\theta =0$ 到 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 切割完毕. 对 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 的每一确定的 $\theta$ 值, $\rho$ 的变化由 $\rho =0$ 到 $\rho =2a\sin \theta$ , 所以有

图6.18

$$\begin{array}{rl}V& =4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{2a\sin \theta }\sqrt{4a^2-{\rho }^2}\rho \mathrm{d}\rho \\ & =4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left[-\frac{1}{3}(4a^2-{\rho }^2{)}^{\frac{1}{2}}{|}_0^{2a\sin \theta }\right]\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{32a^3}{3}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-{\cos }^3\theta )\mathrm{d}\theta =\frac{16}{9}{a}^3(3\pi -4).\end{array}$$

例 2.9

将累次积分

$$I={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}f(x^2+y^2)\mathrm{d}y$$

化成极坐标系中的累次积分.

解

在直角坐标系中 $I$ 的积分域为

$$(\sigma )=\{(x,y)\mid 1-x⩽y⩽\sqrt{1-x^2},0⩽x⩽1\},$$

它是由圆弧 $y=\sqrt{1-x^2}$ 与直线 y=1-x 所围成, 如图 6.19 所示. 它们的极坐标方程分别为

$$\rho =1\text{与}\rho =\frac{1}{\sin \theta +\cos \theta },$$

应用与例2.8类似的方法可得

$$\begin{array}{rl}I& ={\iint }_{(\sigma )}f(x^2+y^2)\mathrm{d}y\mathrm{d}x={\iint }_{(\sigma )}f({\rho }^2)\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_{\frac{1}{\sin \theta +\cos \theta }}^{1}f({\rho }^2)\rho \mathrm{d}\rho .\end{array}$$

图6.19

例 2.10

计算 ${\iint }_{(\sigma )}{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}\sigma$ ，其中 $(\sigma )$ 为圆域 $x^2+y^2⩽R^2$ .

解

采用极坐标,则积分域

$$(\sigma )=\left\{\left(\rho ,\theta \right)\mid 0⩽\rho ⩽R,0⩽\theta ⩽2\pi \right\},$$

于是

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{(\sigma )}{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}\sigma & ={\iint }_{(\sigma )}{\mathrm{e}}^{-{\rho }^2}\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^R{\mathrm{e}}^{-{\rho }^2}\rho \mathrm{d}\rho \\ & ={\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2}(1-{\mathrm{e}}^{-R^2})\mathrm{d}\theta =(1-{\mathrm{e}}^{-R^2})\pi .\end{array}$$

读者容易看出，由于 $\int {\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$ 不能用初等函数表示，故在 $xOy$ 直角坐标系下，这个二重积分是无法求出的.

例 2.11

计算 ${\iint }_{(\sigma )}{x}^{2}d\sigma$ ，其中 $(\sigma )$ 是由圆周 $x^2+y^2=R^2$ 与直线 y = -x 所围成的右上半圆域 $(\sigma )$ （图 6.20）.

解

本题可以直接化为极坐标计算,但运算稍显复杂.注意到积分域( $\sigma$ )关于$x$与$y$具有轮换对称性,即关于直线y=x对称,于是

图6.20

$${\iint }_{(\sigma )}{x}^2\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{(\sigma )}{y}^2\mathrm{d}\sigma =\frac{1}{2}{\iint }_{(\sigma )}(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma .$$

又由于被积函数 $x^2+y^2$ 关于 $x$ 和 $y$ 都是偶函数,由积分域的部分对称性可知

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$${\iint }_{(\sigma )}(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma =2{\iint }_{({\sigma }_0)}(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma ,$$

其中 $({\sigma }_0)$ 是圆 $x^2+y^2⩽R^2$ 在第一象限部分，于是

$${\iint }_{(\sigma )}{x}^2\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{({\sigma }_0)}(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_0^R{\rho }^2\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta =\frac{1}{8}\pi R^4.$$

二维码6.2.7积分域边界曲线由参数方程给出时二重积分的计算法.

2.4 曲线坐标下二重积分的计算法

在 2.3 段中我们看到,运用极坐标变换有时可使二重积分的计算简化.但是,极坐标只是一种特殊的坐标变换,有时为简化二重积分的计算,需要使用其他形式的坐标变换.

例 2.12

在如图 6.21 所示的区域( $\sigma$ )上计算重积分

$${\iint }_{(\sigma )}(y-x)\mathrm{d}\sigma .$$

数字资源 6.2.8·利用二重积分证明不等式举例

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由图可见,无论将(σ)作为$x$或$y$型区域都需要把(σ)分成三个子域来计算.颇为麻烦,而且此积分域(σ)也不宜于化为极坐标.

下面,我们来介绍在一般形式的坐标变换下计算二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ （其中 $f$ 在 $(\sigma )$ 上连续）的方法,也就是二重积分的一般换元法.

图6.21

作变换

$$T:\{\begin{array}{ll}u=u(x,y),& (x,y)\in (\sigma ),\\ v=v(x,y),& (u,v)\in ({\sigma }^{\prime }),\end{array}$$

其中 $(\sigma )$ 与 $({\sigma }^{\prime })$ 均为平面有界区域. 若以下三个条件满足

(1) 函数 $u,v\in C^{(1)}((\sigma ))$ ;

(2) Jacobi 行列式 $\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right|\ne 0,\forall (x,y)\in (\sigma );$

（3）此变换将 $xOy$ 直角坐标平面中的域 $(\sigma )$ 一一对应地映射为 $uOv$ 直角坐标平面中的 $({\sigma }^{\prime })$ （图 6.22），

则称变换 $T$ 为一正则变换. 可以证明（从略），在正则变换 $T$ 下，存在唯一的逆变换

图6.22

$$T^{-1}:\{\begin{array}{l}x=x(u,v),\\ y=y(u,v),\end{array}(u,v)\in ({\sigma }^{\prime }),$$

它将 $({\sigma }^{\prime })$ 变为 $(\sigma )$ ，也是正则的，而且保持将 $({\sigma }^{\prime })$ 的内部变为 $(\sigma )$ 的内部，外部变为外部，边界变为边界.

现在,对于二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ ,我们用变换 $T$ 将 xOy 直角坐标平面中的积分域 $(\sigma )$ 映射为 uOv 直角坐标平面中的域 $({\sigma }^{\prime })$ .为了计算变换到 uOv 平面中 $({\sigma }^{\prime })$ 上的二重积分,我们用坐标线 $u=c_1,v=c_2$ 来划分区域 $({\sigma }^{\prime })$ ,其中 $c_1$ 与 $c_2$ 均为常数.显然,在 uOv 直角坐标平面上,子域 $(\Delta {\sigma }^{\prime })$ 的面积 $\Delta {\sigma }^{\prime }=\Delta u\cdot \Delta v$ .(图 6.23($a$))为了建立二重积分在这两个直角坐标系下的关系,我们利用 $T$ 的逆变换 $T^{-1}$ 变回 xOy 平面(图 6.23($(\Delta {\sigma }^{\prime })$ 变回 xOy 平面(图 6.23($b$)).

图6.23

由逆变换 $T^{-1}$ 的表达式可见， $T^{-1}$ 将直线 $v=v_0$ 映射为 xOy 平面上的曲线 $c_1\{\begin{array}{rl}& x=x(u,v_0),\\ & y=y(u,v_0)\end{array}$ 写成向量形式为 $\mathbf{r}=(x(u,v_0),y(u,v_0))=\mathbf{r}(u,v_0)$ ；将 uOv 平面上的直线 $v=v_0+\Delta v$ 映射为曲线

$$c_3:\{\begin{array}{l}x=x(u,v_0+\Delta v),\\ y=y(u,v_0+\Delta v),\end{array}\text{或}r=r(u,v_0+\Delta v).$$

之所以 $(\Delta \sigma )$ 可以近似地看成是所述的平行四边形,是因为容易证明舍去高阶无穷小后, $\overrightarrow{Q_0{Q}_1}=\overrightarrow{Q_2{Q}_3}$ .事实上,

同理，直线 $u=u_0$ 与 $u=u_0+\Delta u$ ，将分别被映射为 $c_2$ ： $r=r(u_0,v)$ 与 $c_4:r=r(u_0+\Delta u,v)$

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{Q_0{Q}_1}& =r(u_0+\Delta u,v_0)-r(u_0,v_0)\\ & =r_u(u_0,v_0)\Delta u+o(\Delta u),\\ \overrightarrow{Q_2{Q}_3}& =r(u_0+\Delta u,v_0+\Delta v)-\\ & r(u_0,v_0+\Delta v)\\ & =r_u(u_0,v_0+\Delta v)\Delta u+o(\Delta u),\end{array}$$

于是 uOv 平面上的子域 $(\Delta {\sigma }^{\prime })$ 将被 $T^{-1}$ 映射为 xOy 平面上以 $Q_0$ 、 $Q_1$ 、 $Q_3$ 、 $Q_2$ 为顶点的曲边四边形域 $(\Delta \sigma )$ （图 6.23($b$)）。由于 $\Delta u$ 与 $\Delta v$ 很小，所以 $(\Delta \sigma )$ 的面积 $\Delta \sigma$ 可近似地看作是由直线段 $\overline{Q_0{Q}_1}$ 、 $\overline{Q_1{Q}_3}$ 、 $\overline{Q_3{Q}_2}$ 、 $\overline{Q_2{Q}_0}$ 所围成的平行四边形面积，即

由于变换 $T^{-1}$ 的表达式中函数 $x$， $y\in C^{(1)}(({\sigma }^{\prime }))$ ，故 $r_u(u_0,v_0+\Delta v)$ 在 $(u_0,v_0)$ 连续.于是

$$\Delta \sigma \approx \Vert \overrightarrow{Q_0{Q}_1}\times \overrightarrow{Q_0{Q}_2}\Vert .$$ $$\begin{array}{rl}\overrightarrow{Q_2{Q}_3}& =({\mathbf{r}}_u(u_0,v_0)+\mathbf{o}(\Delta v))\Delta u+\\ & \mathbf{o}(\Delta u)\\ & ={\mathbf{r}}_u(u_0,v_0)\Delta u+\mathbf{o}(\rho ),\end{array}$$

取其线性主部,于是

意到向量

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{Q_0{Q}_1}& =\mathbf{r}(u_0+\Delta u,v_0)-\mathbf{r}(u_0,v_0)\\ & ={\mathbf{r}}_u(u_0,v_0)\Delta u+\mathbf{o}(\Delta u),\\ \overrightarrow{Q_0{Q}_2}& =\mathbf{r}(u_0,v_0+\Delta v)-\mathbf{r}(u_0,v_0)\\ & ={\mathbf{r}}_v(u_0,v_0)\Delta v+\mathbf{o}(\Delta v),\end{array}$$ $$\Delta \sigma \approx {\Vert {\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\Vert }_{(u_0,v_0)}\cdot \Delta u\Delta v$$

其中 $\rho =\sqrt{{\left(\Delta u\right)}^2+{\left(\Delta v\right)}^2}$ ，可见舍去 $\rho$ 的高阶无穷小后有

$$\overrightarrow{Q_0{Q}_1}=\overrightarrow{Q_2{Q}_3}.$$ $$\begin{array}{l}=\Vert {\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ x_u& y_u& 0\\ x_v& y_v& 0\end{array}\right|}_{(u_0,v_0)}\Vert \Delta u\Delta v\\ =\left|{\left|\begin{array}{cc}{x}_u& y_u\\ x_v& y_v\end{array}\right|}_{(u_0,v_0)}\right|\Delta u\Delta v\\ ={\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|}_{(u_0,v_0)}\Delta u\Delta v.\end{array}$$

由于 $(u_0,v_0)$ 是 $(\sigma )$ 中的任一点,故可将下标省去.所以

$$\mathrm{d}\sigma =\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\mathrm{d}{\sigma }^{\prime },\text{\hspace{1em}(2.8)}$$

其中 $\mathrm{d}{\sigma }^{\prime }=\mathrm{d}u\mathrm{d}v$ 是 $uOv$ 直角坐标平面上的面积微元. (2.8)式表明, 映射 $T$ 将 $xOy$ 平面上的面积微元 $\mathrm{d}\sigma$ 映射成 $uOv$ 平面上的面积微元 $\mathrm{d}{\sigma }^{\prime }$ , 使面积产生了伸缩, 伸缩系数为 $\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|$ . 于是, 在映射 $T$ 的作用下, $xOy$ 坐标系下的二重积分与 $uOv$ 坐标系下二重积分之间的关系为

这里实际上是用一元向量值函数 $r(u,v_0)$ 在 $u=u_0$ 处的向量微分 $r_u(u_0,v_0)\Delta u$ 近似替代了向量 $\overrightarrow{Q_0{Q}_1}$ .由向量值函数导数的几何意义可知,向量微分 $r_u(u_0,v_0)\Delta u$ 位于曲线 $(c_1)$ 在 $(u_0,v_0)$ 的切线上与 $\Delta u$ 同向,其模是弧段 $\widehat{Q_0{Q}_1}$ 在点 $Q_0$ 处的弧微分,也就是 $\widehat{Q_0{Q}_1}$ 弧长的线性主部(不难证明它也是弦长 $Q_0{Q}_1$ 的线性主部),于是微分向量 $r_u(u_0,v_0)\Delta u$ 就是切向量 $\overrightarrow{Q_0{Q}_1^{\prime }}$ .可见,从几何上看,我们是用切线上的向量 $\overrightarrow{Q_0{Q}_1^{\prime }}$ 与 $\overrightarrow{Q_0{Q}_2^{\prime }}$ 所构成的平行四边形的面积作为( $\Delta \sigma$ )面积的近似值.即

$$\Delta \sigma \approx \Vert \overrightarrow{Q_0{Q}_1^{\prime }}\times \overrightarrow{Q_0{Q}_2^{\prime }}\Vert .$$ $${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{({\sigma }^{\prime })}f[x(u,v),y(u,v)]\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\mathrm{d}{\sigma }^{\prime }.\text{\hspace{1em}(2.9)}$$

对于 uOv 直角坐标系下由(2.9)右端所表示的二重积分应用公式(2.2)或(2.3)，便可将其化为对变量 $u$ 与 $v$ 的累次积分.

应当指出,如果 Jacobi 行列式 $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ 在域 $({\sigma }^{\prime })$ 上的个别点或一条曲线上为零,而在其他点上不为零,那么公式(2.9)仍然成立.

现在,我们利用公式(2.9)来计算例2.12中的二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}(y-x)\mathrm{d}\sigma$ 如图 6.21所示.$(\sigma )$ 如图6.21所示.

解

注意到 $(\sigma )$ 的边界是由直线族 $y-x=c_1$ 中的两条平行直线（对应于 $c_1=1$ 与 $c_1=-3$ ）以及直线族 $y+\frac{1}{3}x=c_2$ 中的两条平行直线（对应于 $c_2=\frac{7}{9}$ 与 $c_2=5$ ）所围成，这就启发我们去作变换

$$u=y-x,v=y+\frac{1}{3}x,\text{\hspace{1em}(2.10)}$$

变换(2.10)将 xOy 平面上的区域( $\sigma$ )映射成 uOv 直角坐标平面上的( ${\sigma }^{\prime }$ )(图 6.24). 由于(见第五章公式(5.47))

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\frac{1}{\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}}=\frac{1}{\left|\begin{array}{ll}-1& 1\\ \frac{1}{3}& 1\end{array}\right|}=-\frac{3}{4},$$

由(2.10)式注意到 y-x=u，于是由公式(2.9)可得

$$\begin{array}{rl}I& ={\iint }_{(\sigma )}(y-x)\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{({\sigma }^{\prime })}u\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\mathrm{d}{\sigma }^{\prime }\\ & =\frac{3}{4}{\iint }_{({\sigma }^{\prime })}u\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\frac{3}{4}{\int }_{\frac{7}{9}}^5\mathrm{d}v{\int }_{-3}^{1}u\mathrm{d}u=-\frac{38}{3}.\end{array}$$

图6.24

值得指出,由于变换(2.10)在xOy平面上的几何意义比较明显,我们也可以直接在xOy平面上利用“无限累加”的思想通过变换把二重积分化为累次积分,而不必把域( $\sigma$ )映射到uOv直角坐标平面上去计算.这时,利用 $u=y-x=c_1,v=y+\frac{1}{3}x=c_2$ 分割域( $\sigma$ ),就是用与( $\sigma$ )边界直线相平行的直线族分割( $\sigma$ ).由公式(2.8)可知,面积微元

$$\mathrm{d}\sigma =\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\frac{3}{4}\mathrm{d}u\mathrm{d}v,$$

从而，在 $xOy$ 平面上有

$${\iint }_{(\sigma )}(y-x)\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{(\sigma )}u\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\frac{3}{4}{\iint }_{(\sigma )}u\mathrm{d}u\mathrm{d}v.$$

在 $(\sigma )$ 上“无限累加”乘积项 u d u dv 时, 先沿 $u$ 增加方向累加, 再沿 $v$ 增加方向累加, 由图 6.24 直接可得

$$I=\frac{3}{4}{\iint }_{(\sigma )}u\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\frac{3}{4}{\int }_{\frac{7}{9}}^5\mathrm{d}v{\int }_{-3}^{1}u\mathrm{d}u=-\frac{38}{3}.$$

事实上,在2.3段中对于极坐标换元法,我们所采用的主要方法就是把二重积分在xOy平面上通过变换化成极坐标的累次积分去计算的.

例 2.13

计算 ${\iint }_{(\sigma )}\sqrt{xy}\mathrm{d}\sigma$ ，其中 $(\sigma )$ 为由曲线 xy=1, xy=2, y=x, y=4x (x>0, y>0) 所围成的区域.

解

由图 6.25 可见, 如果我们用直角坐标直接计算此积分, 必须将积分域 ( $\sigma$ ) 分成三个子域来进行, 比较麻烦. 为了使所给积分容易计算, 我们采用曲线坐标变换:

$$u=xy,v=\frac{y}{x}.\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

在此变换下 $(\sigma )$ 的边界曲线映射成uOv直角坐标平面上的矩形域

$$\left({\sigma }^{\prime }\right)=\{(u,v)\mid 1⩽u⩽2,1⩽v⩽4\},$$

为了求得积分微元的变换式,我们求出

$$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}y& x\\ -\frac{y}{x^2}& \frac{1}{x}\end{array}\right|=2\frac{y}{x},$$

从而

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\frac{1}{\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}}=\frac{1}{2v},$$

图6.25

于是，由(2.9)式得

$${\iint }_{(\sigma )}\sqrt{xy}\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{({\sigma }^{\prime })}\sqrt{u}\frac{1}{2v}\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\frac{1}{2}{\int }_1^4\frac{1}{v}\mathrm{d}v{\int }_1^2\sqrt{u}\mathrm{d}u=\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)\ln 2.$$

例 2.14

计算 $I={\iint }_{(\sigma )}{x}^2\mathrm{d}\sigma$ ，其中 $(\sigma )$ 为椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 的内部.

解

由于积分域是椭圆,如果采用极坐标变换,积分域的边界曲线方程变得比较复杂,使积分难以计算.为简化积分域的边界曲线方程,我们运用曲线坐标变换

$$\frac{x^2}{4}={\rho }^2{\cos }^2\theta ,\frac{y^2}{9}={\rho }^2{\sin }^2\theta ,$$

即

$$x=2\rho \cos \theta ,y=3\rho \sin \theta (0⩽\rho <+\infty ,0⩽\theta ⩽2\pi ).\text{\hspace{1em}(2.12)}$$

此变换的逆变换将 $xOy$ 平面上所给的椭圆映射成 $\theta O\rho$ 直角坐标平面上的矩形域 $({\sigma }^{\prime })=\{(\theta ,\rho )\mid 0⩽\theta$ $⩽2\pi ,0⩽\rho ⩽1\}$ .由于

$$\mathrm{d}\sigma =\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (\theta ,\rho )}\right|\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta =6\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta ,$$

变换(2.12)在 $\rho =0$ 与射线 $\theta =2\pi$ 上不满足正则变换的条件.这时参照二维码6.2.4中对极坐标的处理方法可知公式(2.9)仍然成立.

从而

$$I={\iint }_{({\sigma }^{\prime })}4{\rho }^2{\cos }^2\theta \cdot 6\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta =24{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta \mathrm{d}\theta {\int }_0^1{\rho }^3\mathrm{d}\rho =6{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta \mathrm{d}\theta =6\pi .$$

形如例2.12中所用的变换

$$x=a\rho \cos \theta ,y=b\rho \sin \theta (0⩽\rho <+\infty ,0⩽\theta ⩽2\pi )$$

称为广义极坐标变换.容易看出,在此变换下,面积微元 $d\sigma =ab\rho d\rho d\theta$ .

当 a=b=1 时, 广义极坐标变换就是极坐标变换. 这时通过 Jacobi 行列式算得的

面积微元就是 $d\sigma =\rho d\rho d\theta$ ，与 2.3 段中所得一致。

6.2 二重积分的计算 课后真题与自测练习

习题与真题

收录本小节对应期中、期末与精选习题· 提供推导解析、试卷溯源与 LaTeX 导出

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