附录1-2_参数表示、极坐标与常见曲线

附录1 函数的参数表示与极坐标表示

一般情况下,我们建立的函数都是在平面直角坐标系下,将因变量 $y$ 直接表示为自变量 $x$ 的函数 $y=f(x)$ 或利用二元方程 $F(x,y)=0$ 来建立(隐函数). 然而在许多实际问题的研究中,有时直接建立 $x$ 与 $y$ 的关系比较困难,而需通过另一变量(称为参变量)来建立变量 $x$ 与 $y$ 间的关系,或者在所谓极坐标系下来建立函数关系更为方便.

一、函数的参数表示

设质点在平面上做某种运动,根据运动规律,我们可以引入另一变量$t$,分别建立$x$与$t$以及$y$与$t$的函数关系 $x=x(t)$ , $y=y(t)$ ,而把$y$与$x$间的函数关系通过变量$t$间接地表示为

$$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\end{array}t\in D.$$

称此式为 $y$ 与 $x$ 函数关系的参数表示式, 它也是这个函数所表示曲线的方程, 称为此曲线的参数方程. t 称为参变量, 也称为参数, $t$ 的取值范围 $D$ 称为参数区间.

例 1.1

旋轮线(摆线)方程 一火车在直线轨道上行驶, 若车轮在直线轨道上无滑动地滚动, 则称车轮边缘上任一确定点 $P$ 的运动轨迹为旋轮线或摆线. 试建立它的方程.

解

选取平面直角坐标系使直线轨道为 $x$ 轴, 调整车轮的位置, 使运动开始时点 $P$ 正好是车轮与轨道的切点, 并取此切点为坐标原点 $O$ (图 1.1). 此时, 点 $P$ 与点 $O$ 重合, 轮心 $C$ 与切点 $P$ 的连线 $\overline{CP}$ 与轨道垂直. 车轮滚动时, 点 $P$ 在摆线上运动. 当车轮转动了圆心角 $t$ , 即 $\overline{CP}$ 与 $\overline{CN}$ 的夹角为 $t$ 时, 点 $P$ 的坐标设为 $(x,y)$ . 要求摆线的方程, 就是要求点 $P$ 的坐标 $x$ 与 $y$ 所满足的关系式. 这里要把 $x$ 与 $y$ 直接建立联系是比较困难的, 我们把它们通过转角 $t$ , 在图 1.1中注意到车轮滚动中,ON 的长度等于弧长 $a$ , 在图1.1中注意到车轮滚动中,ON 的长度等于弧长 $\widehat{NP}$ ,易见

$$\begin{array}{rl}& x=OM=ON-MN=\widehat{PN}-PQ=at-a\sin t,\\ & y=MP=NC-QC=a-a\cos t.\end{array}$$

图1.1

这样一来,我们通过变量 $t$ 把 $x$ 与 $y$ 联系了起来. 从而知方程

$$\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t),\\ y=a(1-\cos t),\end{array}t\in (-\infty ,+\infty )$$

就是摆线的参数方程,也就是 $y$ 与 $x$ 函数关系的参数表达式. $t\in [0,2\pi ]$ 对应于摆线的一拱.

例 1.2

椭圆的参数方程 设椭圆的两半轴长分别为 $a$ 与 $b$, 求它的参数方程.

解

在平面解析几何中,我们知道,两半轴长分别为 $a$ 与 $b$ 的椭圆标准方程为

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

令

$$\frac{x^2}{a^2}={\cos }^{2}t,$$

从而

$$\frac{y^2}{b^2}=1-{\cos }^{2}t={\sin }^{2}t.$$

于是可得此椭圆的参数方程为

$$\{\begin{array}{l}x=a\cos t,\\ y=b\sin t,\end{array}0⩽t⩽2\pi .$$

它也就是椭圆上动点坐标 $y$ 与 $x$ 函数关系的参数表示式.

应当指出,同一条曲线,由于参数选取的不同,可以有不同的参数方程.例如,对于圆周 $x^2+y^2=a^2$ ,若取参数$t$为圆心角,则它的参数方程为

$$\{\begin{array}{l}x=a\cos t,\\ y=a\sin t,\end{array}0⩽t⩽2\pi .$$

若取 t=x，则上半圆周与下半圆周的参数方程分别为

$$\{\begin{array}{l}x=t,\\ y=\sqrt{a^2-t^2}\end{array}(-a⩽t⩽a),\{\begin{array}{l}x=t,\\ y=-\sqrt{a^2-t^2}\end{array}(-a<t<a).$$

二、函数的极坐标表示

在平面直角坐标系中,我们建立了平面上的点 $P$ 与二元有序数组 $(x,y)$ 之间的一一对应关系. 建立这种对应关系的坐标系除了 Descartes 直角坐标系外,还有其他的坐标系,其中常见的是下面讲到的极坐标系.

在平面上取一个定点 $O$，称为极点，从该点引一条具有长度单位的半直线 Ox，称为极轴，通常极轴水平向右，与平面直角坐标系中的 $x$ 轴一致，这样就在此平面上建立了极坐标系.

对平面上任意一点 $P$ ，将线段 $OP$ 的长度记为 $\rho$ ，称为极径，从极轴 $Ox$ 开始按逆时针方向旋转到射线 $OP$ 的转角记作 $\phi$ ，称为极角。如果点 $P$ 就是极点 $O$ ，则其极径 $\rho =0$ ，极角 $\phi$ 可以取任意值。如果限制 $\phi \in [0,2\pi )$ ， $\rho ⩾0$ ，那么除极点外，平面上任一点 $P$ 便有唯一的有序数组 $(\rho ,\phi )$ 与之对应；反之，任给一数组 $(\rho ,\phi )$ ，以 $\phi$ 为极角， $\rho$ 为极径，必有唯一的点与之对应。因此，我们把 $(\rho ,\phi )$ 称为点 $P$ 的极坐标。规定从极轴 $Ox$ 出发按逆时针方向旋转到射线 $OP$ 的角 $\phi$ 取正值，而按顺时针旋转时 $\phi$ 取负值。有时为了方便，也可将 $\phi$ 限制在 $[-\pi ,\pi )$ 。例如，点 $P\left(1,\frac{5}{4}\pi \right)$ 有时也可表示为 $\left(1,-\frac{3}{4}\pi \right)$ （如图 1.2）。

在极坐标系中, $\rho =a$ （常数）是一个方程,满足该方程的所有点到极点$O$的距离都等于常数$a$,而极角 $\phi$ 可以取 $[0,2\pi )$ 上的任一值,因此 $\rho =a$ 表示圆心在极点$O$,半径为$a$的圆周;类似分析, $\phi =b$ 表示从极点出发、转角为$b$的射线(如图 1.3).

图1.2

图1.3

以极点 $O$ 为原点, 极轴 Ox 为 $x$ 轴正向, 建立平面直角坐标系 xOy, 则平面上的点 $P$ 同时具有直角坐标 $(x,y)$ 和极坐标 $(\rho ,\phi )$ , 且它们具有如下关系(图 1.4):

$$\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \phi ,\\ y=\rho \sin \phi ,\end{array}\text{或}\{\begin{array}{l}\rho =\sqrt{x^2+y^2},\\ \tan \phi =\frac{y}{x}.\end{array}$$

图1.4

该式称为直角坐标与极坐标的转换公式. 在以后应用中, 我们可以根据需要, 把在直角坐标系下给出的函数关系或方程转换为极坐标形式, 也可把极坐标系下给出的函数关系或方程转化为直角坐标形式.

例 1.3

将方程 $(x^2+y^2{)}^2=2a^2(x^2-y^2)$ 转换为极坐标方程,并作出它的草图.

解

将直角坐标与极坐标的转换公式代入方程, 得

$${\rho }^4=2a^2{\rho }^2({\cos }^2\phi -{\sin }^2\phi ),$$

即

$${\rho }^2=2a^2\cos 2\phi .$$

在上面的方程中,由于 $\cos 2\phi$ 关于 $\phi$ 是偶函数,故此方程的图像关于极轴对称;又由于将 $\phi$ 换成 $\phi +\pi$ 后方程不改变,所以图像也关于极点对称.因此,我们只需要使用类似于直角坐标系中的描点法画出该方程在 xOy 平面第一象限 $\left\{(\rho ,\phi )\mid \rho ⩾0,0⩽\phi ⩽\frac{\pi }{2}\right\}$ 中的图像,由对称性便可得到整个图像.由该方程容易算得下列数据:

φ	0	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$
ρ	$\sqrt{2}a$	a	0	无实根

对于表中 $(\rho ,\phi )$ 的每组数据,在平面上确定对应的点,用曲线连接,不难画出第一象限中的图像,再由对称性便得到方程的图像如图 1.5所示.此曲线称为双纽线.

例 1.4

将由极坐标给出的函数关系

$$\rho =2a\cos \phi ,-\frac{\pi }{2}⩽\phi ⩽\frac{\pi }{2}$$

图1.5

转换成直角坐标,并作图.

解

由转换公式可见

$$\rho =\sqrt{x^2+y^2},\cos \phi =\frac{x}{\rho }=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},$$

代入所给的函数,得

$$\sqrt{x^2+y^2}=2a\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},$$

即

$$x^2+y^2-2ax=0.$$

或

$$(x-a{)}^2+y^2=a^2.$$

这是以 $(a,0)$ 为圆心，半径为$a$的圆周(图 1.6).此图像也可直接从它的极坐标方程用描点法直接画出.读者不妨一试.

图1.6

附录 2 常见曲线及其方程

(1) 幂函数 $y=x^{\alpha }$ ( $\alpha$ 是常数, $\alpha ⩾0,-\infty <x<+\infty$ ; $\alpha <0,-\infty <x<+\infty$ 且 $x\ne 0$ )

(2) 指数函数 $y=a^x$ ( $a>0,a\ne 1$ ) ( $-\infty <x<+\infty$ )

(3) 对数函数 $y={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1)(x>0)$

(4) 正弦函数 $y=\sin x$ ( $-\infty <x<+\infty$ )

(5) 余弦函数 $y=\cos x$ ( $-\infty <x<+\infty$ )

(6) 正切函数 $y=\tan x\left(x\ne k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbf{Z}\right)$

(7) 余切函数 $y=\cot x$ ( $x\ne k\pi ,k\in Z$ )

(8) 正割函数 $y=\sec x=\frac{1}{\cos x}\left(x\ne k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbf{Z}\right)$

(9) 余割函数 $y=\csc x=\frac{1}{\sin x}(x\ne k\pi ,k\in \mathbf{Z})$

(10) 半立方抛物线 $y^2=a{x}^3$

(11) 箕舌线 $y=\frac{8a^3}{x^2+4a^2}$

(12) 概率曲线 $y=e^{-x^2}$

(13) 悬链线 $y=\frac{a}{2}\left({\mathrm{e}}^{\frac{x}{a}}+{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{a}}\right)=a\mathrm{ch}\frac{x}{a}$

(14) 摆线 $x=a\arccos \frac{a-y}{a}\pm \sqrt{2ay-y^2}$ , $\{\begin{array}{rl}x& =a(\theta -\sin \theta ),\\ y& =a(1-\cos \theta )\end{array}$

(15) 蔓叶线 $y^2(2a-x)=x^3$

(16) 星形线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}},\{\begin{array}{rl}x& =a{\cos }^3\theta ,\\ y& =a{\sin }^3\theta \end{array}$

(17) 心形线 $x^2+y^2+ax=a\sqrt{x^2+y^2},\rho =a(1-\cos \theta )$

(18) 笛卡儿叶形线 $x^3+y^3-3axy=0$

(19) 抛物线 $x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}$

(20) 阿基米德螺线 $\rho =a\theta$

(21) 对数螺线 $\rho =e^{a\theta }$

(22) 双曲螺线 $\rho \theta =a$

(23) 双纽线 $(x^2+y^2{)}^2=a^2(x^2-y^2),{\rho }^2=a^2\cos 2\theta$

(24) 双纽线 $(x^2+y^2{)}^2=2a^{2}xy,{\rho }^2=a^2\sin 2\theta$

(25) 三叶玫瑰线 $\rho =a\cos 3\theta$

(26) 三叶玫瑰线 $\rho =a\sin 3\theta$

(27) 四叶玫瑰线 $\rho =a\cos 2\theta$

(28) 四叶玫瑰线 $\rho =a\sin 2\theta$