3.5 反常积分

根据定积分的定义,要使函数$f$在区间 $[a,b]$ 上的定积分有意义,至少要满足两个条件:(1)积分区间 $[a,b]$ 是有限的;(2)f是 $[a,b]$ 上的有界函数.但在许多理论和实际问题的研究中,往往要求把定积分的概念加以推广,研究无穷区间上或者无界函数的积分问题,这种积分称为反常积分.反常积分有两种,它们都可以通过对定积分再取一次极限来定义.本节讨论两种反常积分的概念及其审敛准则.

5.1 无穷区间上的积分

例 5.1

在一个由带电量为 $Q$ 的点电荷形成的电场中, 求与该点电荷相距为 $a$ 处的电位.

解

根据物理学知识,该点处的电位 $V_a$ 等于位于该点处的单位正电荷移至无穷远处电场力所做的功.不妨设点电荷 $Q$ 位于坐标原点,单位正电荷在 $x$ 轴上,它与坐标原点相距为 a(图 3.20).则当单位正电荷由 $x$ 移至 $x+dx$ 处,电场力 $F(x)$ 所做功的近似值(即功微元)为

$$\mathrm{d}W=F(x)\mathrm{d}x=k\frac{Q}{x^2}\mathrm{d}x,$$

其中 $k$ 为常数.该电荷从 x=a 移到 x=b 处电场力所做的功为

$$W={\int }_a^{b}k\frac{Q}{x^2}\mathrm{d}x=kQ\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).$$

令 $b\to +\infty$ ，则电场在 $x=a$ 处的电位为

$$V_a=\underset{b\to +\infty }{\lim }W=\underset{b\to +\infty }{\lim }kQ\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=\frac{kQ}{a},$$

也就是

$$V_a=\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}F(x)\mathrm{d}x=\frac{kQ}{a}.\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

(5.1)式所包含的定积分的极限,可以看作是 $F(x)$ 在区间 $[a,+\infty )$ 上的积分,称为 $F(x)$ 在无穷区间 $[a,+\infty )$ 上的积分.

定义 5.1 无穷积分

设函数 $f$ 定义在 $[a,+\infty )$ 上。若对任何 b > a, $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，则称 ${\lim }_{b\to +\infty }{\int }_a^{b}f(x)dx$ 为 $f$ 在无穷区间 $[a,+\infty )$ 上的积分，简称无穷积分，记作

$${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(5.2)}$$

若极限

$$\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

存在,则称$f$在 $[a,+\infty )$ 上的积分收敛,此时,称该极限为$f$在 $[a,+\infty )$ 上积分的值.若极限不存在,则称$f$在 $[a,+\infty )$ 上的积分发散.收敛与发散统称为敛散性.

类似地,可以定义$f$在无穷区间 $(-\infty ,b]$ 上的积分 ${\int }_{-\infty }^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 及其敛散性.f在无穷区间 $(-\infty ,+\infty )$ 上的积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 定义如下:

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=\underset{a\to -\infty }{\lim }{\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x,\text{\hspace{1em}(5.3)}$$

其中 $c$ 为任一实数， $a$ 与 $b$ 各自独立地分别趋于 $-\infty$ 与 $+\infty$ 。若极限

$$\underset{a\to -\infty }{\lim }{\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x\text{与}\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

同时存在,则称 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上的积分收敛; 若其中有一个不存在, 则称积分发散.

例 5.2

证明积分 ${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x(p>0)$ 当 p>1 时收敛, $p⩽1$ 时发散.

证明

当 $p\ne 1$ 时，

$${\int }_1^b\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x=\frac{1}{1-p}{x}^{-p+1}{|}_1^b=\frac{1}{1-p}(b^{-p+1}-1),$$

所以

在(5.3)式中, 积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 的敛散性及其收敛时的值与 $c$ 的选择无关. 事实上, 若另取实数 d > c, 则显然有

$$\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_1^b\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x=\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1-p}(b^{-p+1}-1).$$

当 p<1 时,该极限为正无穷大,故积分发散;当 p>1 时,该极限为 $\frac{1}{p-1}$ , 故积分收敛,并且

$${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x=\frac{1}{p-1}(p>1).$$ $$\begin{array}{rl}& {\lim }_{a\to -\infty }{\int }_a^{d}f(x)\mathrm{d}x+{\lim }_{b\to +\infty }{\int }_d^{b}f(x)\mathrm{d}x\\ & ={\lim }_{a\to -\infty }\left({\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{d}f(x)\mathrm{d}x\right)+\\ & {\lim }_{b\to +\infty }\left({\int }_d^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x\right).\end{array}$$ $${\int }_1^b\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln b,$$

当 $p=1$ 时，由于由于 ${\int }_c^{d}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_d^{c}f(x)\mathrm{d}x$ 是一个确定的积分，不影响无穷积分的敛散性，且若无穷积分收敛，因 ${\int }_c^{d}f(x)\mathrm{d}x$ 与 ${\int }_d^{c}f(x)\mathrm{d}x$ 抵消，故 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛的值不变.

所以, 当 $b\to +\infty$ 时, 它的极限为 $+\infty$ , 故积分 ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x}$ 发散.

综上所述,该积分在p>1时收敛, $p⩽1$ 时发散.习惯上,常称此积分为$p$积分.

例 5.3

求 ${\int }_{-\infty }^{0}x{e}^{x}dx$ 的值.

解

由于

$${\int }_{-b}^{0}x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=\left[x{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^x\right]{|}_{-b}^0=\frac{b+1}{{\mathrm{e}}^b}-1,$$

所以

$${\int }_{-\infty }^{0}x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_{-b}^{0}x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=\underset{b\to +\infty }{\lim }\left(\frac{b+1}{{\mathrm{e}}^b}-1\right)=-1.$$

例 5.4

求 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$ 的值.

解

由于该积分的值与 $c$ 的选取无关, 故可在(5.3)式中, 取 c=0, 则

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}& ={\lim }_{a\to -\infty }{\int }_a^0\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}+{\lim }_{b\to +\infty }{\int }_0^b\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}\\ & ={\lim }_{a\to -\infty }\arctan x{|}_a^0+{\lim }_{b\to +\infty }\arctan x{|}_0^b=-\left(-\frac{\pi }{2}\right)+\frac{\pi }{2}=\pi .\end{array}$$

为了书写简便,经常省略极限符号,直接把 $+\infty$ （或 $-\infty$ ）作上(下)限代入.按照这样做法,例5.3的运算过程可改写为

$${\int }_{-\infty }^{0}x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=\left[x{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^x\right]{|}_{-\infty }^0=-1,$$

其中将下限 $-\infty$ 代入的含义就是:求 $x\to -\infty$ 时函数 $x{e}^x-e^x$ 的极限.

无穷区间上的积分有简单的几何意义. 设在区间 $[a,+\infty )$ 上, $f(x)⩾0$ . 若

${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛, 它的值就是曲边梯形 (图 3.21中的阴影部分) 的面积 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 时的极限, 也就是图 3.21中阴影部分沿 $b\to +\infty$ 时的极限, 也就是图3.21中阴影部分沿 $x$ 轴正向向右无限伸展的平面图形的面积, 是个有限值; 若 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 发散, 则上述无限伸展的平面图形没有有限的面积.

图3.21

收敛的无穷积分有与定积分相类似的性质.例

如,线性性质、对区间的可加性等.定积分中的换元法与分部积分法也可推广到这种反常积分,此处均不一一罗列,读者可直接应用.

5.2 无界函数的积分

定义 5.2 无界函数的积分

设函数 $f$ 定义在区间 $(a,b]$ 上，$f$ 在 $a$ 附近无界（此时称 $a$ 为 $f$ 的奇点），并且对任意的 $\epsilon >0,f$ 在 $[a+\epsilon ,b]$ 上 Riemann 可积，则称 ${\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)dx$ 为无界函数 $f$ 在 $(a,b]$ 上的积分，记作

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

若极限

$$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

存在,则称无界函数$f$在 $(a,b]$ 上的积分收敛,此时,称该极限为无界函数$f$在 $(a,b]$ 上积分的值;若极限不存在,则称该积分发散.收敛与发散统称为敛散性.

若 $f$ 定义在 $[a,b)$ 上， $b$ 为 $f$ 的奇点，可类似地定义无界函数 $f$ 在 $[a,b)$ 上的积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 及其敛注意:两种反常积分(无穷区间上的积分和无界函数的积分)都是定义在定积分的基础上的,体现了人类通过已知(定积分)来认识未知(反常积分)的科学思想方法!而且还应注意,两类不同的反常积分及其敛散性用定积分定义的具体方法稍有不同!

散性.

设$f$定义在 $[a,c)\cup (c,b]$ 上,$c$为$f$的奇点,定义$f$在 $[a,b]$ 上的积分为

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_a^{c-\epsilon }f(x)\mathrm{d}x+\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{c+\delta }^{b}f(x)\mathrm{d}x,\text{\hspace{1em}(5.5)}$$

其中 $\epsilon$ 与 $\delta$ 为任意的不同正数，并且各自独立地趋于零。若极限

$$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_a^{c-\epsilon }f(x)\mathrm{d}x\text{与}\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{c+\delta }^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

同时存在,则称无界函数$f$在 $[a,b]$ 上的积分收敛;若其中有一个不存在,则称积分发散.

无穷区间上的积分与无界函数的积分统称为反常积分.

例 5.5

求积分 ${\int }_0^a\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}(a>0)$ 的值.

解

由于 $a$ 是 $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$ 的奇点, 所以题中的积分是无界函数的积分. 由定义,

$${\int }_0^a\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_0^{a-\epsilon }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\left(\arcsin {\frac{x}{a}|}_0^{a-\epsilon }\right)=\frac{\pi }{2}.$$

例 5.6

讨论积分 ${\int }_a^b\frac{\mathrm{d}x}{(x-a{)}^p}$ （ $a<b,p>0$ ）的敛散性.

解

由于 $a$ 是 $\frac{1}{(x-a{)}^p}$ 的奇点, 所以题中的积分是无界函数的积分. 当 p=1 时, 对于任意的 $\epsilon >0$ ,

$${\int }_{a+\epsilon }^b\frac{\mathrm{d}x}{x-a}=\ln (x-a){|}_{a+\epsilon }^b=\ln (b-a)-\ln \epsilon .$$

由于当 $\epsilon \to 0$ 时，此定积分的极限不存在，故积分 ${\int }_a^b\frac{\mathrm{d}x}{x-a}$ 发散.当 $p\ne 1$ 时，由于

$$\begin{array}{rl}{\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}{\int }_{a+\epsilon }^b\frac{\mathrm{d}x}{(x-a{)}^p}& ={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}\left[\frac{(x-a{)}^{1-p}}{1-p}{|}_{a+\epsilon }^b\right]={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}\left[\frac{(b-a{)}^{1-p}}{1-p}-\frac{{\epsilon }^{1-p}}{1-p}\right]\\ & =\{\begin{array}{ll}\frac{(b-a{)}^{1-p}}{1-p},& p<1,\\ +\infty ,& p>1.\end{array}\end{array}$$

所以当 $p<1$ 时，积分 ${\int }_a^b\frac{\mathrm{d}x}{(x-a{)}^p}$ 收敛，并且其值为 $\frac{(b-a{)}^{1-p}}{1-p}$ ；当 $p>1$ 时，该积分

发散.

综合上面的讨论得知: 当 p<1 时, 该积分收敛; 当 $p⩾1$ 时, 该积分发散.

由类似的讨论可知,积分 ${\int }_a^b\frac{\mathrm{d}x}{(b-x{)}^p}(a<b,p>0)$ 当p<1时收敛,当 $p⩾1$ 时发散.

通常也把这两个积分叫做无界函数的 $p$ 积分.

无界函数的积分也有简单的几何意义,读者可参照无穷区间上积分的几何意义去讨论,此处不再赘述.另外,定积分的性质以及定积分的换元法和分部积分法,也能推广到收敛的无界函数的积分中来.

为了书写简单起见,对于无界函数的积分,也可以用类似于定积分的 Newton-Leibniz 公式的表达形式来讨论它的敛散性,计算收敛积分的值,现说明如下:设 $f\in C[a,b)$ , x = b 为它的奇点, $F$ 为 $f$ 的一个原函数.由于

$$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_a^{b-\epsilon }f(x)\mathrm{d}x=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\left(F(x){|}_a^{b-\epsilon }\right)=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }F(b-\epsilon )-F(a),$$

所以,积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛的充要条件是 ${\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}F(b-\epsilon )=F(b-0)$ 存在.故若原函数$F$ 在x=b处的左极限存在,则有

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b-0)-F(a).\text{\hspace{1em}(5.6)}$$

特别地,若原函数 $F$ 在 x=b 处左连续,则有

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a).\text{\hspace{1em}(5.7)}$$

例如,在例5.5 是被积函数的一个原函数,并且它在 x=a 处左连续,故例5.5 的运算过程可直接写成$\arcsin \frac{x}{a}$ 是被积函数的一个原函数,并且它在 x=a 处左连续,故例 5.5 的运算过程可直接写成

$${\int }_0^a\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin {\frac{x}{a}|}_0^a=\frac{\pi }{2}.$$

例 5.7

计算 ${\int }_0^1\ln xdx$ .

解

由分部积分法容易求得 $\ln x$ 的一个原函数 $x\ln x-x$ ，它在 $x=0$ 处没有定义。但是利用 $L$’Hospital 法则可知

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x\ln x-x)=0,$$

故

$${\int }_0^1\ln x\mathrm{d}x=x(\ln x-1){|}_{0+0}^1=-1.$$

如果函数 $f$ 的奇点在 $[a,b]$ 之内，或者在 $[a,b]$ 上有几个奇点，除这些奇点外均连续，只要 $f$ 的原函数 $F$ 在这些点上都连续，那么公式(5.7)仍然成立.

例 5.8

计算 ${\int }_{-1}^8\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{x}}.$

解

$x=0$ 是被积函数的奇点，但由于原函数 $F(x)=\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}$ 在该点连续，故

$${\int }_{-1}^8\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{x}}=\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}{|}_{-1}^8=\frac{9}{2}.\text{I}$$

5.3 无穷区间上积分的审敛准则

上面已经看到,利用定义来判断反常积分的敛散性是比较困难的.因为用这种方法不但要求出被积函数的原函数,而且还要求极限.当原函数不能用初等函数来表示时,这种方法就更加无能为力了.因此,需要另外寻求判定反常积分敛散性的简便方法.下面的方法都是直接利用被积函数的性态来进行判定的.为了简便,我们只讨论无穷区间 $[a,+\infty )$ 上的积分,所得结论不难推广到其他情况.

定理 5.1 比较准则 I

设 $f$, $g$ 在 $[a,+\infty )$ 上连续，并且

$$0⩽f(x)⩽g(x),\forall x\in [a,+\infty ),\text{\hspace{1em}(5.8)}$$

则

(1) 当 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 收敛时, ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛;

(2) 当 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 发散时, ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 发散.

证明

（1）对大于 $a$ 的任意实数 $b$，由 $0⩽f(x)⩽g(x)$ 知

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x⩽{\int }_a^{+\infty }g(x)\mathrm{d}x.$$

由于不等式右边的积分 ${\int }_a^{+\infty }g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，因而函数 $F(b)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 在 $[a,+\infty )$ 上有界. 又因为 $f(x)⩾0$ ，所以 $F(b)$ 是 $b$ 的单调增函数，故极限

$$\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

存在, 即 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛.

(2) 结论(2)可用反证法直接从结论(1)得到.

容易看出,若将不等式(5.8)成立的区间换成 $[c,+\infty )$ ,其中$c$为大于$a$的任一实数,结论仍然成立.

例 5.9

证明无穷积分 ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$ 收敛.

证明

由于 $x>1$ 时, $0<{\mathrm{e}}^{-x^2}<{\mathrm{e}}^{-x}$ , 而积分

$${\int }_1^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=-{{\mathrm{e}}^{-x}|}_1^{+\infty }={\mathrm{e}}^{-1}$$

收敛,所以 ${\int }_1^{+\infty }{e}^{-x^2}dx$ 收敛,从而无穷积分

$${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x={\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x+{\int }_1^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$$

也收敛.

定理 5.2 比较准则Ⅱ

如果 $f$, $g$ 为 $[a,+\infty )$ 上的非负连续函数，而且 $g(x)>0$ ，设 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$ （有限或 $+\infty$ ），那么

(1) 当 $\lambda >0$ 时, ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 与 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 同时收敛或同时发散;

(2) 当 $\lambda =0$ 时, 若 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 收敛, 则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 也收敛;

(3) 当 $\lambda =+\infty$ 时, 若 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 发散, 则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 也发散.

证明

（1）由于 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda >0$ ，所以存在正数 $c⩾a$ ，使当 $x⩾c$ 时，恒有

$$-\frac{\lambda }{2}<\frac{f(x)}{g(x)}-\lambda <\frac{\lambda }{2}.$$

意到 $g(x)>0$ ，从而有

$$0<\frac{\lambda }{2}g(x)<f(x)<\frac{3}{2}\lambda g(x).$$

由比较准则$I$及其后面的说明易知， ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 与 ${\int }_a^{+\infty }g(x)\mathrm{d}x$ 同敛散.

(2) 由于 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=0$ ，故 $\forall \epsilon >0$ ， $\exists$ 正数 $c⩾a$ ，使当 $x⩾c$ 时，恒有

$$-\epsilon <\frac{f(x)}{g(x)}<\epsilon ,$$

从而有

$$-\epsilon g(x)<f(x)<\epsilon g(x).$$

为了利用比较准则Ⅰ,在上式中同加 $\epsilon g(x)$ , 得

$$0<f(x)+\epsilon g(x)<2\epsilon g(x).$$

由于 ${\int }_a^{+\infty }g(x)\mathrm{d}x$ 收敛, 故由比较准则 $I$ 知积分 ${\int }_a^{+\infty }[f(x)+\epsilon g(x)]\mathrm{d}x$ 也收敛. 又因为

$${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{+\infty }[f(x)+\epsilon g(x)]\mathrm{d}x-{\int }_a^{+\infty }\epsilon g(x)\mathrm{d}x,$$

所以 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛.

(3) 证明留给读者.

由于 $p$ 积分的敛散性已经知道, 因而在利用比较准则 $\mathbb{I}$ 时, 经常取 $\frac{1}{x^p}$ 作为 $g(x)$ 来判定积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 的敛散性.

例 5.10

判定下列积分的敛散性:

(1) ${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^2+x+1};$ (2) ${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{3x+\sqrt{x}+2}.$

解

（1）设 $f(x)=\frac{1}{x^2+x+1},g(x)=\frac{1}{x^2}$ . 因为

数字资源 3.5.1·函数奇偶性在反常积分中的应用

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$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2+x+1}=1,$$

而 ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^2}$ 收敛，所以 ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^2+x+1}$ 也收敛，从而知

$${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^2+x+1}={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^2+x+1}+{\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^2+x+1}$$

收敛.

(2) 设 $f(x)=\frac{1}{3x+\sqrt{x}+2},g(x)=\frac{1}{x}$ . 因为 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{3},{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x}\mathrm{d}x$ 发散，所以 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{3x+\sqrt{x}+2}={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{3x+\sqrt{x}+2}+{\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{3x+\sqrt{x}+2}$ 也发散.

上面两个准则仅适用于$f$在 $[a,+\infty )$ 上是定号函数(非负或非正)的情形,下面我们再考虑$f$变号的情形.

定理 5.3 绝对收敛准则

设 $f\in C[a,+\infty )$ ，如果 ${\int }_a^{+\infty }|f(x)|\mathrm{d}x$ 收敛，那么

${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 也收敛(此时称积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 绝对收敛).

证明

由于 $0⩽|f(x)|-f(x)⩽2|f(x)|$ ，又已知

数字资源 3.5.2·绝对收敛与收敛的关系

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$${\int }_a^{+\infty }2|f(x)|\mathrm{d}x=2{\int }_a^{+\infty }|f(x)|\mathrm{d}x$$

收敛,由比较准则Ⅰ知 ${\int }_a^{+\infty }\left[\left|f(x)\right|-f(x)\right]\mathrm{d}x$ 收敛,所以

$${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{+\infty }|f(x)|\mathrm{d}x-{\int }_a^{+\infty }[|f(x)|-f(x)]\mathrm{d}x$$

也收敛.

例 5.11

判断 ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}\sin xdx$ 的敛散性.

解

由于 $|{\mathrm{e}}^{-x}\sin x|⩽{\mathrm{e}}^{-x}$ , 而 ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x$ 收敛, 所以 ${\int }_0^{+\infty }|{\mathrm{e}}^{-x}\sin x|\mathrm{d}x$ 收敛, 即原积分绝对收敛.

5.4 无界函数积分的审敛准则

无界函数积分也有与无穷积分类似的审敛准则,这些准则的证明读者可仿照无穷积分的相应准则完成.下面仅列出$f$,$g$在 $(a,b]$ 连续,$a$为奇点的无界函数积分的审敛准则.

定理 5.4 比较准则I

设 $f,g$ 在 $(a,b]$ 连续， $a$ 是它们的奇点，且在 $(a,b]$ 上有

$$0⩽f(x)⩽g(x),$$

则

(1) 当 ${\int }_a^{b}g(x)dx$ 收敛时, ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 收敛;

(2) 当 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 发散时, ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 发散.

定理 5.5 比较准则Ⅱ

设 $f$, $g$ 在 $(a,b]$ 上非负连续，$a$ 是它们的奇点，且 $g(x)>0$ . 又 ${\lim }_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$ （有限或 $+\infty$ ），则

(1) 当 $\lambda >0$ 时, ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 与 ${\int }_a^{b}g(x)dx$ 同时收敛或同时发散;

(2) 当 $\lambda =0$ 时, 若 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 收敛, 则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 也收敛;

(3) 当 $\lambda =+\infty$ 时, 若 ${\int }_a^{b}g(x)dx$ 发散, 则 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 也发散.

定理 5.6 绝对收敛准则

设 $f$ 在 $(a,b]$ 上连续，$a$ 是奇点。若 ${\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$ 收敛，则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 也收敛（此时称 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 绝对收敛）。

例 5.12

判定下列积分的敛散性：

(1) ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2{x}^2)}}$ $(k^2<1)$ ; (2) ${\int }_0^1\frac{\sin x}{x^{3/2}}\mathrm{d}x;$ (3) ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{(\sqrt{x}{)}^3+3x^2};$ (4) ${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\sin \frac{1}{x}\mathrm{d}x.$

解

（1）当 $x\in [0,1)$ 时，

$$\begin{array}{l}0<\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2{x}^2)}}=\frac{1}{\sqrt{1-x}\sqrt{(1+x)(1-k^2{x}^2)}}\\ <\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x}},\end{array}$$

而积分

$${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x}}\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x}}$$

收敛,由比较准则Ⅰ知原积分收敛.

(2) 取 $f(x)=\frac{\sin x}{x^{3/2}},g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ，则

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$$

又 ${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$ 收敛，由比较准则Ⅱ知原积分收敛.

(3) 取 $f(x)=\frac{1}{(\sqrt{x}{)}^3+3x^2}$ , $g(x)=\frac{1}{(\sqrt{x}{)}^3}$ , 则

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^{3/2}}{x^{3/2}+3x^2}=1.$$

又 ${\int }_0^1\frac{1}{x^{3/2}}\mathrm{d}x$ 发散，由比较准则Ⅱ知原积分发散.

(4) 由于 $\left|f(x)\right|=\left|\frac{1}{\sqrt{x}}\sin \frac{1}{x}\right|⩽\frac{1}{\sqrt{x}}$ ，而 ${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ 收敛，由比较准则 $I$ 知

${\int }_0^1|f(x)|\mathrm{d}x$ 收敛，因而原积分绝对收敛.

5.5 $\Gamma$ 函数

作为反常积分的一个具体例子,我们来介绍在工程技术中有重要应用的一个特殊函数—— $\Gamma (\text{Gamma})$ 函数,它是用含有参数的反常积分来定义的非初等函数.

在说明什么是 $\Gamma$ 函数之前, 先证明含参数 $a$ 的反常积分 ${\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx$ 当 $\alpha >0$ 时收敛.

事实上,由于这个反常积分的积分区间 $[0,+\infty )$ 是无穷的,并且当 $\alpha -1<0$ 时,x=0是 $x^{\alpha -1}{e}^{-x}$ 的奇点,因此,它既是无穷积分,又是无界函数的积分.为了讨论它的收敛性,将它改写成

$${\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x={\int }_0^1{x}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x+{\int }_1^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x.$$

对于积分 ${\int }_0^1{x}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x$ ，当 $\alpha ⩾1$ 时为定积分.当 $0<\alpha <1$ 时，由于反常积分 ${\int }_0^1{x}^{\alpha -1}\mathrm{d}x$ 收敛（它属于例5.6中的无界函数 $p$ 积分），而

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-x}}{x^{\alpha -1}}=1,$$

由无界函数积分的比较审敛准则Ⅱ可知, 当 $0<\alpha <1$ 时, 积分 ${\int }_0^1{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx$ 收敛. 故当 $\alpha >0$ 时, 该积分收敛.

又因为无穷积分 ${\int }_1^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}\mathrm{d}x$ 显然收敛，而对任何实数 $\alpha$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}}=0,$$

由无穷积分的比较准则Ⅱ可知,对于任何实数 $\alpha$ , 积分 ${\int }_1^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx$ 都收敛.

综上所述, 当 $\alpha >0$ 时, 反常积分 ${\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx$ 收敛.

定义 5.3 $\Gamma$ 函数

由反常积分 ${\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx$ 在区间 $(0,+\infty )$ 内确定的以 $\alpha$ 为自变量的函数, 称为 $\Gamma$ 函数, 记作

$$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x,\alpha \in (0,+\infty ).\text{\hspace{1em}(5.9)}$$

利用分部积分法不难得知, $\Gamma$ 函数满足如下的递推关系:

$$\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha ).\text{\hspace{1em}(5.10)}$$

事实上，

$$\begin{array}{rl}\Gamma (\alpha +1)& ={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha }{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=-x^{\alpha }{\mathrm{e}}^{-x}{|}_0^{+\infty }+\alpha {\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x\\ & =\alpha {\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=\alpha \Gamma (\alpha ).\end{array}$$

在递推关系式(5.10)中取 $\alpha =n\in N_{+}$ ，并连续使用 $n$ 次得

$$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=\cdots =n!\Gamma (1).$$

而

$$\Gamma (1)={\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=-{{\mathrm{e}}^{-x}|}_0^{+\infty }=1,$$

故

$$\Gamma (n+1)={\int }_0^{+\infty }{x}^n{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=n!.$$

3.5 反常积分 课后真题与自测练习

习题与真题

收录本小节对应期中、期末与精选习题· 提供推导解析、试卷溯源与 LaTeX 导出

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