6.5 重积分的应用

在第三章定积分应用一节中已经看到,求一个非均匀连续分布在区间 $[a,b]$ 上的可加量$Q$,可以通过“分”“匀”“合”“精”四步来建立积分式得到,这四步中的关键是“匀”,也即是建立积分微元.我们还看到,如果把分布在子区间 $[a,x](x\in [a,b])$ 上的量记作 $Q(x)$ ,那么在通常情况下,这个积分微元就是 $Q(x)$ 的微分,它通常可以在微小子区间 $[x,x+dx]$ 上,通过处理相应均匀量的乘法公式得到.

如果所求量 $Q$ 是非均匀地连续分布在平面或空间的某一区域 $(\Omega )$ 上, 那么要计算它就要建立相应的二重或三重积分. 和定积分情形一样, 建立积分式的关键在于求得积分微元, 下面我们就来阐述这一问题.

5.1 重积分的微元法

1. 区域函数及其对域的导数

让我们以求连续分布在平面区域 $(\sigma )$ 上的质量 $m$ 这一问题来说明有关概念. 把由区域 $(\sigma )$ 的所有可能的子区域 $(\Delta \sigma )$ 所构成的集合记作 ${\Omega }_{\sigma },{\Omega }_{\sigma }$ 中的任一元素 $(\Delta \sigma )$ 对应着确定的质量, 因而质量 $m$ 可以看作是定义在 ${\Omega }_{\sigma }$ 上的一个函数, 记作

$$m=F((\Delta \sigma )),(\Delta \sigma )\in {\Omega }_{\sigma }.$$

为了研究物质在 $(\sigma )$ 上分布的疏密情况,人们引入了面密度的概念.当物质均匀分布时,面密度

$$\mu =\frac{F((\Delta \sigma ))}{\Delta \sigma }(\Delta \sigma \text{是域}(\Delta \sigma )\text{的面积});$$

当物质非均匀分布时,若 $(\Delta \sigma )$ 收缩为其中一点 $(x,y)$ 时上述比值的极限存在,则将此极限值规定为此平面物体在点 $(x,y)$ 处的面密度,即

$$\mu =\underset{(\Delta \sigma )\to (x,y)}{\lim }\frac{F((\Delta \sigma ))}{\Delta \sigma }=f(x,y),(x,y)\in (\Delta \sigma ).$$

显然面密度 $\mu$ 是点 $(x,y)$ 的函数.

容易看出,在点 $M$ 处的面密度实际上就是质量函数 $F$ 在点 $M$ 处对区域面积的变化率.

一般地, 把由平面区域( $\sigma$ ) 中一切子区域( $\Delta \sigma$ ) 构成的集合记作 ${\Omega }_{\sigma }$ , 则映射 $F$: ${\Omega }_{\sigma }\to R$ 称为区域函数, 记作

$$F=F((\Delta \sigma )),(\Delta \sigma )\in {\Omega }_{\sigma },$$

其中 ${\Omega }_{\sigma }$ 称为其定义域.

为了研究此区域函数 $F$ 对区域面积的变化率, 相应于面密度, 我们引入如下定义:

定义 5.1

设 $F$ 是定义于 ${\Omega }_{\sigma }$ 上的区域函数, $M(x,y)$ 是 $(\sigma )$ 中的一点. 在 $(\sigma )$ 内任作一包含点 $M$ 的子域 $(\Delta \sigma ),(\Delta \sigma )\in {\Omega }_{\sigma }$ , 其面积记为 $\Delta \sigma$ . 若保持 $M$ 点不动, 当 $(\Delta \sigma )$ 的直径 $d\to 0$ (即 $(\Delta \sigma )\to M$ ) 时比式 $\frac{F((\Delta \sigma ))}{\Delta \sigma }$ 的极限存在, 记作 $f(M)$ , 则称此极限值 $f(M)$ 为区域函数 $F$ 在点 $M$ 处对区域面积的导数或对区域 $(\sigma )$ 的导数, 简称为区域函数 $F$ 在点 $M$ 处的导数. 记作

$$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\sigma }=\underset{d\to 0}{\lim }\frac{F((\Delta \sigma ))}{\Delta \sigma }=f(M),\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

或

$$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\sigma }=f(x,y).$$

能将（5.1）式中的 $d\to 0$ 改为 $\Delta \sigma \to 0$ 吗？

并称 $f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 为区域函数$F$在点 $M(x,y)$ 处对区域(σ)的微分,简称为区域函数$F$在点$M$处的微分.记作

$$\mathrm{d}F=f(x,y)\mathrm{d}\sigma .$$

由(5.1)式可见

$$\frac{F((\Delta \sigma ))}{\Delta \sigma }-f(M)=\alpha (\Delta \sigma ),$$

其中 $\alpha (\Delta \sigma )$ 是关于 $\Delta \sigma$ 的无穷小量.于是,

$$F((\Delta \sigma ))=f(x,y)\Delta \sigma +\alpha (\Delta \sigma )\cdot \Delta \sigma .$$

令 $\Delta \sigma =\mathrm{d}\sigma$ ，注意到 $\alpha (\Delta \sigma )\Delta \sigma$ 是 $\Delta \sigma$ 的高阶无穷小。可见，区域函数 $F((\Delta \sigma ))$ 的微分 $\mathrm{d}F=f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 是此区域函数 $F((\Delta \sigma ))$ 关于 $\Delta \sigma$ 的线性主部。这与一元函数的微分类似。

区域函数及其导数与微分的概念,不难推广到空间区域.

这种导数概念与第五章中所讲的偏导数、全导数是不同的概念.它在物理、力学及其他科学中同样有重要的地位.例如,平面在点$M$的压强 $p(M)$ 是力函数 $P((\Delta \sigma ))$ 在点$M$对区域( $\sigma$ )的导数

$$p(M)=\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\sigma }{|}_M=\underset{(\Delta \sigma )\to M}{\lim }\frac{P((\Delta \sigma ))}{\Delta \sigma }.$$

2. 变域上的重积分对域的导数

在定积分中我们知道,变上限积分 ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 是上限$x$的函数.由微积分学第一基本定理可知,当 $f(x)$ 连续时,有

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x).$$

在重积分中也有类似的结论,下面以二重积分为例来加以说明,三重积分完全类似.

设被积函数 $f\in C((\sigma ))$ ， $M(x,y)$ 为域 $(\sigma )$ 内任一点，任作一包含点$M$的子域 $(\Delta \sigma )\subseteq (\sigma )$ ，那么当被积函数$f$给定后，二重积分 ${\iint }_{(\Delta \sigma )}f(M)\mathrm{d}\sigma$ 的值将随 $(\Delta \sigma )$ 而变，是区域 $(\Delta \sigma )$ 的函数，记作

$$\Phi ((\Delta \sigma ))={\iint }_{(\Delta \sigma )}f(M)\mathrm{d}\sigma ,M\in (\Delta \sigma )\subseteq (\sigma ).$$

意到 $f\in C((\sigma ))$ ，由积分中值定理可知

$$\Phi ((\Delta \sigma ))={\iint }_{(\Delta \sigma )}f(M)\mathrm{d}\sigma =f(\overline{x},\overline{y})\Delta \sigma ,$$

其中点 $(\bar{x},\bar{y})\in (\Delta \sigma )$ ， $\Delta \sigma$ 是 $(\Delta \sigma )$ 的面积，于是

$$\frac{\Phi ((\Delta \sigma ))}{\Delta \sigma }=f(\bar{x},\bar{y}).$$

固定 $M$, 令子域 $(\Delta \sigma )$ 的直径 $d\to 0$ , 即令 $(\Delta \sigma )$ 收缩到点 $M(x,y)$ , 从而 $(\bar{x},\bar{y})\to (x,y)$ , 由 $f(x,y)$ 的连续性和区域函数导数的定义可得

$$\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}\sigma }=\underset{d\to 0}{\lim }\frac{\Phi ((\Delta \sigma ))}{\Delta \sigma }=f(x,y).\text{\hspace{1em}(5.2)}$$

(5.2)式表明：连续函数在变域上的二重积分作为区域函数，它在点 $(x,y)$ 处对区域的导数等于被积函数在该点的值.

由(5.2)式可知

$$\Phi ((\Delta \sigma ))=f(M)\Delta \sigma +o(\Delta \sigma ),\text{\hspace{1em}(5.3)}$$

其中 $o(\Delta \sigma )$ 当 $(\Delta \sigma )\to M$ 点时是 $\Delta \sigma$ 的高阶无穷小.

令 $\Delta \sigma =\mathrm{d}\sigma$ ，可见，当 $f$ 在（ $\sigma$ ）上连续时，二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}f(M)\mathrm{d}\sigma$ 中的被积表达式 $f(M)\mathrm{d}\sigma$ 实际上就是注：由(5.2)与(5.3)式可见，尽管区域函数不能用平面坐标直接给出，但它的线性主部以及变化率均可通过二元函数表出.

区域函数 $\Phi ((\Delta \sigma ))$ 对区域的微分. 也就是区域函数 $\Phi ((\Delta \sigma ))$ 关于 $\Delta \sigma$ 的线性主部.

3. 微元法

由(5.3)式可知,如果把一个在域( $\sigma$ )上关于区域具有可加性的量 $\Phi$ 视为一定义在 ${\Omega }_{\sigma }$ 上的区域函数在区域 $(\sigma )$ 上的值，并且能把它用二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 来表示，那么当 $f(x,y)$ 在 $(\sigma )$ 上连续时，积分微元 $f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 就是这一区域函数 $\Phi$ 对区域

的微分.因此,在建立 $\Phi$ 的积分表达式时,寻找积分微元就是寻找区域函数 $\Phi$ 的微分 d $\Phi$ ,也就是寻找区域函数 $\Phi ((\Delta \sigma ))$ 的线性主部.在处理实际问题中,与定积分类似,通常在微小区域(d $\sigma$ )中把非均匀分布的量 $\Phi$ 视为均匀分布,或者将微小区域(d $\sigma$ )看作一点,然后利用已知的几何或物理公式,通过处理相应均匀量所用的乘法得到的近似值往往就是所求的注意: 求积分微元时, 首先分析造成所求量 $\Phi$ 非均匀分布的原因. 它往往是由于某一相关量 $f$ 变化所引起的. 将此量看作不变, 用处理相应均匀分布的乘法, 得出的乘积 $f\cdot d\sigma$ 往往就是所求的微元

$$\mathrm{d}\varphi =f\cdot \mathrm{d}\sigma .$$

微分 $\mathrm{d}\Phi$ ，也就是我们要寻求的积分微元.求得了积分微元 $\mathrm{d}\Phi$ 后，立即可写出计算 $\Phi$ 的二重积分表达式.这种方法称为重积分的微元法.下面我们以液体的静压力为例来具体说明.

图6.41

例 5.1

设有一水平放置的半径为 $R$ 的圆管道（图 6.41）内部充满液体，已知液体在管道的横截面上的压强 $p=f(x,y)$ 为一连续函数，求液体对管道闸门（垂直于管道的轴）的静压力 $P$.

解

在管道闸门上建立平面直角坐标系,取圆心为坐标原点.由于压强随点而变,所以闸门上静压力的分布是非均匀的,并且关于区域具有可加性,因此,这显然是在圆域( $\sigma$ ): $x^2+y^2⩽R^2$ 上的二重积分问题.

为寻找压力微元,我们在微小区域 $(\mathrm{d}\sigma )$ 上,把非均匀分布的压力看作是均匀的,即把变动的压强$p$看作是不变的,等于 $(\mathrm{d}\sigma )$ 上一点 $(x,y)$ 处压强的值 $f(x,y)$ .记 $(\mathrm{d}\sigma )$ 的面积为 $d\sigma$ ,于是有压力微元

$$\mathrm{d}P=f(x,y)\mathrm{d}\sigma ,\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

从而

$$P={\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma .$$

比如,设水平管道中充满水(水的密度为 $\mu$ ),则点 $(x,y)$ 处的压强

$$p=\mu g(R-y),$$

即 $f(x,y)=(R-y)\mu g$ ，其中 $g$ 为重力加速度，从而水对闸门的静压力为

$$P={\iint }_{(\sigma )}\mu g(R-y)\mathrm{d}\sigma =\mu g{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^R(R-\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\rho =\mu g\pi R^3.$$

若把压力 $P$ 视为区域函数, 则

$$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\sigma }=p=f(x,y),$$

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因而(5.4)式中的 $f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 就是这个区域函数$P$对区域的微分.

5.2 应用举例

例 5.2

求物质均匀分布, 半径为 $a$ 的半球体的质心.

用微元法建立 重积分表达式 的思想剖析.

解

我们先回顾一下质点系质心的计算. 设空间内有 $n$ 个质点 $P_1,P_2,\cdots ,P_n,P_i$ 的质量为 $m_i$ ; 坐标为 $(x_i,y_i,z_i)(i=1,2,\cdots ,n)$ 的质点

$P_i$ 对 xOy 坐标平面的静矩为 $m_i{z}_i$ . 由于质点系对各坐标平面的静矩具有可加性, 因而上述质点系对 xOy, yOz, zOx 坐标平面的静矩分别为

$$M_{xy}=\sum _{i=1}^n{m}_i{z}_i,M_{yz}=\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i,M_{zx}=\sum _{i=1}^n{m}_i{y}_i.$$

由物理学知道,如果把质点系的质量集中在这样一点 $P$,使得集中的质量在点 $P$ 对各坐标平面的静矩分别等于质点系对同一坐标平面的静矩,那么点 $P$ 就称为该质点系的质心.于是可求得质心 $P(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$ 的坐标为

$$\overline{x}=\frac{M_{yz}}{m},\overline{y}=\frac{M_{zx}}{m},\overline{z}=\frac{M_{xy}}{m},m=\sum _{i=1}^n{m}_i.$$

现在来计算上述半球体的质心.建立坐标系如图 6.42所示,由对称性可知质心应在$z$轴上,从而

$$\bar{x}=0,\bar{y}=0.$$

为求 $\bar{z}$ ，我们首先需要求此半球体对 xOy 平面的静矩。由于半球体上各点到 xOy 平面的距离不尽相同，因而上半球体对 xOy 平面的静矩是一个非均匀分布的可加量。容易看出，这是一个三重积分问题。将半球体所在的区域（$V$）划分成若干子域，把微

图6.42

小子域(dV)近似地看作是一个质点 $(x,y,z)$ ，(dV)中的质量都集中于此点，(dV)的体积记作dV.这样一来，就把半球体离散化而看作是一个质点系.容易看出，(dV)上的质量对xOy平面的静矩近似地等于

$$\mathrm{d}{M}_{xy}=Kz\mathrm{d}V,$$

它就是此半球体对 xOy 平面的静矩微元, 其中常数 $K$ 是半球体的体密度. 从而

$$M_{xy}={\iiint }_{(V)}Kz\mathrm{d}V,$$

其中 $(V)$ 为 $0⩽z⩽\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ . 利用柱面坐标可求得

$$M_{xy}={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^a\rho \mathrm{d}\rho {\int }_0^{\sqrt{a^2-{\rho }^2}}Kz\mathrm{d}z=\frac{K\pi }{4}{a}^4.$$

又容易求得半球体的质量为

$$m={\iiint }_{(V)}K\mathrm{d}V={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^a\rho \mathrm{d}\rho {\int }_0^{\sqrt{a^2-{\rho }^2}}K\mathrm{d}z=\frac{2K\pi }{3}{a}^3,$$

于是 $\bar{z}=\frac{M_{xy}}{m}=\frac{3}{8}a$ ，故所求质心为 $P\left(0,0,\frac{3}{8}a\right)$ .

$$\pi \left(a^2-z^2\right)$$

成是不变的,均等于$z$,于是可立即得到此薄片对xOy平面的静矩

$$\mathrm{d}{M}_{xy}=z\cdot K\pi (a^2-z^2)\mathrm{d}z,$$

读者不难看出,这种作法其实就相当于在柱面坐标下,对三重积分利用“先重后单”的思想化成累次积分来计算的方法.

从而

$$M_{xy}={\int }_0^{a}K\pi z(a^2-z^2)\mathrm{d}z=\frac{K\pi }{4}{a}^4.\text{I}$$

例 5.3

求半径为 $R$、质量均匀分布的圆盘对于其中心轴的转动惯量 $I_0$ 和对其直径的转动惯量 $I_D$ .

解

先回顾一下转动惯量的概念. 设有一质量为 $m$ 的质点, 它到一已知轴 $L$ 的垂直距离为 $r$, 绕轴 $L$ 旋转的角速度为 $\omega$ . 由于质点转动时的切线速度为 $v=r\omega$ , 因而它的动能为

$$\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}(m{r}^2){\omega }^2.\text{\hspace{1em}(5.5)}$$

如果此质点平动,则动能为

$$E_{\kappa }=\frac{1}{2}m{v}^2,\text{\hspace{1em}(5.6)}$$

其中质量 $m$ 为平动惯性大小的度量. 将(5.5)式与(5.6)式比较可见, $m{r}^2$ 相当于平动时的质量 $m$, 它是质点转动时惯性大小的度量, 称为质点对轴 $L$ 的转动惯量. 由力学可知, 质点系对同一轴的转动惯量也具有可加性, 即质点系对轴 $L$ 的转动惯量等于各质点对 $L$ 转动惯量之和.

现在回到我们的问题.设圆盘的面密度为常数 $\mu$ ，取圆盘的中心为坐标原点， $z$ 轴为中心轴，则圆盘上各点到 $z$ 轴的距离 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ ，它随点的位置而异，圆盘对其中心轴的转动惯量在圆盘上是非均匀分布的，并且具有可加性，因此需要用二重积分来计算。设圆盘所在区域为 $(\sigma )$ ，把 $(\sigma )$ 任意划分成若干小区域，首先求点 $(x,y)$ 处的质量微元 $\mathrm{dm}=\mu \mathrm{d}\sigma$ 对中心轴的转动惯量，即转动惯量微元

$$\mathrm{d}{I}_0=r^2\mathrm{d}m=\mu (x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma ,$$

从而

$$I_0={\iint }_{(\sigma )}\mu (x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma =\mu {\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^R{\rho }^3\mathrm{d}\rho =\frac{\pi \mu R^4}{2}.$$

因为圆盘的质量 $m=\mu \pi R^2$ ，故 $I_0$ 也可写作

$$I_o=\frac{m{R}^2}{2}.$$

由对称性可知

(1) 试用圆心在原点的同心圆划分圆盘. 通过半径为 $\rho$ 与 $\rho +\mathrm{d}\rho$ 的圆周所围成圆环的转动惯量来求圆盘的转动惯量.

$$I_D=I_x=I_y,$$

由上面计算可知，

$$I_0=I_x+I_y,$$

(2) 这样计算与例5.3 计算法有何关系?

故

$$I_D=\frac{1}{2}{I}_0=\frac{m{R}^2}{4}.\text{ II }$$

例 5.4

设有一圆板, 半径为 $R$, 密度为一常数 $\mu$ , 在板的中心垂线上有一质量为 1 的质点 $P^{\prime }$ , 求板对该质点的引力.

解

设质点 $P^{\prime }$ 与圆心的距离为 $h$，取坐标系如图 6.43 所示。由 Newton 万有引力定律可知，若有质量分别为 $m$ 与 $m^{\prime }$ 的质点 $P$ 与 $P^{\prime }$ ，则 $P$ 对 $P^{\prime }$ 的引力为

图6.43

$$\mathbf{F}=G\frac{m{m}^{\prime }}{r^2}{\mathbf{e}}_r,$$

其中 $r$ 为 $P$ 与 $P^{\prime }$ 两点间的距离, $e_r$ 为由 $P^{\prime }$ 指向 $P$ 的单位向量, $G$ 为万有引力常量. 现在, 点 $P^{\prime }$ 到圆板内各点的距离不尽相同, 方向也随圆板内点的不同而改变. 因此, 我们需要将圆板划分成小块, 运用积分的思想来求其引力. 将圆板所占区域 ( $\sigma$ ) 任意划分, 把微元 ( $\Delta \sigma$ ) 看作一质点 $P$, 它对质点 $P^{\prime }$ 的引力即引力微元可应用 Newton 万有引力公式得到:

$$\mathrm{d}\mathbf{F}=G\frac{{\mathbf{e}}_r}{r^2}\mu \mathrm{d}\sigma =G\frac{\mathbf{r}}{r^3}\mu \mathrm{d}\sigma .$$

由于 dF 为一向量, 没有可加性, 要把它在 $(\sigma )$ 内无限累加, 只能对其分量分别进行. 由图 6.43 可见

$$\mathbf{r}=\overrightarrow{P^{\prime }P}=(x,y,-h),$$

从而

$$\mathrm{d}\mathbf{F}=\left(\frac{G\mu x}{{\left(x^2+y^2+h^2\right)}^{3/2}}\mathrm{d}\sigma ,\frac{G\mu y}{{\left(x^2+y^2+h^2\right)}^{3/2}}\mathrm{d}\sigma ,\frac{-G\mu h}{{\left(x^2+y^2+h^2\right)}^{3/2}}\mathrm{d}\sigma \right).$$

因此,要求引力,一般说来需要计算三个二重积分.然而,对于我们现在的问题,由对称性易见,引力$F$在$x$轴和$y$轴上的分量 $F_x$ 与 $F_y$ 必因相互抵消而为零,即 $F_x=F_y=0$ ,于是只需计算 $F_z$ .采用极坐标得

若用同心圆划分圆盘,通过半径 $\rho$ 与 $\rho +\mathrm{d}\rho$ 所围圆环对点 $P^{\prime }$ 的引力来求圆盘对点$P$的引力,应如何求?

$$\begin{array}{rl}{F}_z& ={\iint }_{(\sigma )}\frac{-G\mu h}{(x^2+y^2+h^2{)}^{3/2}}\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^R\frac{-G\mu h}{(h^2+{\rho }^2{)}^{3/2}}\rho \mathrm{d}\rho \\ & =-2\pi \mu hG{\int }_0^R\frac{\rho }{(h^2+{\rho }^2{)}^{3/2}}\mathrm{d}\rho =-2\pi \mu G\left(1-\frac{h}{\sqrt{h^2+R^2}}\right),\end{array}\text{\hspace{1em}(5.7)}$$

所以引力为

$$\mathbf{F}=-2\pi \mu G\left(1-\frac{h}{\sqrt{h^2+R^2}}\right)\mathbf{k}.$$

值得指出,在 $R\gg h$ 的情况下,可以把半径为 $R$ 的圆域( $\sigma$ )视为全平面,即将( $\sigma$ )视为一无界区域,这时引力 $F$ 在 $z$ 轴上的投影可作为无界区域( $\sigma$ )上的反常三重积分计算,

$$F_z={\iint }_{(\sigma )}\frac{-G\mu h}{{\left(x^2+y^2+h^2\right)}^{3/2}}\mathrm{d}\sigma =\underset{n\to +\infty }{\lim }{\iint }_{({\sigma }_n)}\frac{-G\mu h}{{\left(x^2+y^2+h^2\right)}^{3/2}}\mathrm{d}\sigma ,$$

其中 $({\sigma }_n)$ 是半径为 $R_n$ 的圆域，当 $n\to +\infty$ 时 $R_n\to +\infty$ ，于是由(5.7)式可得：

$$F_z=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left[-2\pi \mu G\left(1-\frac{h}{\sqrt{h^2+R_n^2}}\right)\right]=-2\pi \mu G,$$

从而引力

$$\mathbf{F}=-2\pi \mu G\mathbf{k}.$$

6.5 重积分的应用 课后真题与自测练习

习题与真题

收录本小节对应期中、期末与精选习题· 提供推导解析、试卷溯源与 LaTeX 导出

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