1.5 连续函数

连续函数是微积分研究的主要对象.本节利用函数的极限讨论函数连续性的概念与间断点的分类,连续函数的基本性质与初等函数的连续性,以及闭区间上连续函数的重要性质(包括一致连续性)与应用.

5.1 函数的连续性概念与间断点的分类

1. 函数的连续性

纵观自然界中各种变量的变化,大体上可以分为渐变与突变两大类型.例如,在正常情况下,气温随时间的变化、地壳振动的振幅随时间的变化都是逐渐变化的,即在很短的时间内,温度和振幅的变化也很微小.但在严寒的冬季,由于寒流的突然袭击,在短时间内气温会骤然下降;在发生强烈地震的短时间内,地壳的振幅会发生巨变,造成地壳的断裂和下陷.气温和地壳振幅的这种变化相对于正常情况,可以看成是突变.为了描述变量变化的上述两种不同状态,数学上就抽象出函数的连续和间断这两个互相对立的概念.

仔细分析上面的例子不难发现,所谓渐变,就是当自变量(例如时间 $t$)的值变化很微小时,对应的函数值(例如气温 $T$ 或振幅 $A$)的变化也很小.并且,当自变量改变的数量无限趋近于0时,函数值改变的数量可以任意接近于0.因此,可以用极限来刻画这种渐变现象,给出函数连续性的严格定义.

设函数 $y=f(x)$ 定义在 $x_0$ 的某邻域内, 当自变量从 $x_0$ 变到 $x$ 时, 对应的函数值就从 $f(x_0)$ 变到 $f(x)$ , 称 $\Delta x=x-x_0$ 为自变量的改变量, $\Delta y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 为函数值的改变量或因变量的改变量, 习惯上也称 $\Delta y$ 为函数的改变量.

定义 5.1 函数在一点处连续

设有函数 $f:U(x_0)\subseteq \mathbf{R}\to \mathbf{R}$ ，若

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=0\text{或}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0),$$

数字资源 1.5.1·函数在一点处连续的等价定义

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(5.1)

则称函数$f$在 $x_0$ 处连续.

函数$f$在 $x_0$ 处连续也可以用 $\epsilon -\delta$ 语言定义如下：

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$ ，使得 $\forall x\in U(x_0,\delta )$ ，恒有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ .

(5.2)

易见, 将表示函数 $f$ 在 $x_0$ 处极限几何意义的图 1.17 略加修改就得到表示 $f$ 处连续几何意义的图 1.22. 它表明函数 $x_0$ 处连续几何意义的图 1.22. 它表明函数 $f$ 的图像在点 $(x_0,f(x_0))$ 不会断开.

类似于左极限和右极限,也可以定义函数在点 $x_0$ 处左连续和右连续.若函数$f$在 $x_0$ 的左邻域 $(x_0-{\delta }_0,x_0]$ （右邻域 $[x_0,x_0+\delta )$ ）上有定义,且

图1.22

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0)(\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)),$$

则称 $f$ 在 $x_0$ 处左连续（右连续），左、右连续统称为单侧连续。读者不难证明：

函数$f$在 $x_0$ 处连续 $\iff f$ 在 $x_0$ 处既左连续又右连续.

若$f$在开区间 $(a,b)$ 内每一点连续,则称它在开区间 $(a,b)$ 内连续;若$f$在有限区间 $(a,b)$ 内连续,并且在左端点$a$右连续,在右端点$b$左连续,则称它在闭区间 $[a,b]$ 上连续.类似地,可定义$f$在半开(半闭)区间上连续.一般,若$f$在定义区间$I$上处处连续,则称它是该区间上的连续函数.区间$I$上连续函数的全体构成的集合记作C($I$).

在几何上,区间上的连续函数的图像是该区间上的一条连续不断的平面曲线.

例 5.1

证明：幂函数 $x^n\in C(-\infty ,+\infty ),n\in {\mathbf{N}}_{+}$ . 注意：在 $x_0$ 处连续的函数不一定

证明

根据连续函数的定义, 只要证明 $x^n$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内每一点处连续. 为此, 任取 $x_0\in (-\infty ,+\infty )$ , 根据极限的乘法运算法则, 我们有

注意

在 $x_0$ 处连续的函数不一定在 $x_0$ 的某邻域内连续. 例如, 不难验证函数

$$\underset{x\to x_0}{\lim }{x}^n=(\underset{x\to x_0}{\lim }x{)}^n=x_0^n,$$$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\text{为有理数,}\\ 0,& x\text{为无理数}\end{array}$$

所以 $x^n$ 在 $x_0$ 处连续. 由于 $x_0$ 是 $(-\infty ,+\infty )$ 内的任意一点, 因此, $x^n\in C(-\infty ,+\infty )$ .

在 x=0 处连续,但在其余的 $x\ne 0$ 处均不连续,故在 x=0 的任何邻域内不连续.

例 5.2

证明: 函数 $\sin x,\cos x\in C(-\infty ,+\infty )$ .

证明

与例5.1类似, 只要证 $\sin x$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内每一点处连续. 任取 $x_0\in (-\infty ,+\infty )$ , 由和差化积公式得

$$\Delta y=\sin (x_0+\Delta x)-\sin x_0=2\cos \left(x_0+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2},$$

从而

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=2\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\cos \left(x_0+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2}=0,$$

故 $\sin x$ 在 $x_0$ 处连续. 由 $x_0$ 的任意性知 $\sin x\in C(-\infty ,+\infty )$ . 类似可证 $\cos x\in C(-\infty ,+\infty )$ .

例 5.3

证明: 指数函数 $e^x,a^x\in C(-\infty ,+\infty )$ ，其中 $a>0(a\ne 1)$ .

证明

根据本章例3.9, $\forall x_0\in (-\infty ,+\infty )$ , 都有

$$\underset{x\to x_0}{\lim }{a}^x=a^{x_0},\underset{x\to x_0}{\lim }{\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^{x_0},$$

所以, $a^x,e^x\in C(-\infty ,+\infty )$ .

2. 间断点及其分类

由定义5.1 可知, 函数 $f$ 在 $x_0$ 处连续必须且只需同时满足下面三个条件:

(1) f 在 $x_0$ 处有定义；

(2) ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在，即 $f(x_0-0)$ 与 $f(x_0+0)$ 均存在且相等；

(3) ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

如果其中有一个不满足, 就是说, 或者 $f$ 在 $x_0$ 处无定义; 或者 $f$ 在 $x_0$ 处虽有定义但在 $x_0$ 的极限不存在; 或者 $f$ 在 $x_0$ 处有定义, 极限也存在, 但极限值不等于 $f(x_0)$ , 那么 $f$ 在 $x_0$ 处就不连续.

定义 5.2 函数的间断点

设函数 $f$ 在 $x_0$ 的某注意:与许多同类教材不同,本书关于间断点没有采用连续点的否定形式简单地把函数$f$的不连续点定义为$f$的间断点.要了解这样做的原因,请参见二维码1.5.2.

一单侧邻域内(可以不包含 $x_0$ )有定义,若$f$在 $x_0$ 不连续,则称 $x_0$ 为$f$的一个间断点.

例 5.4

考察函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ . 由于该函数在 x=1 的去心邻域内有定义, 并且

数字资源 1.5.2·怎样理解函数间断点的定义

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$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2,$$

但 $f$ 在 $x=1$ 处无定义, 所以连续性条件 (3) 不成立, 按定义5.2, $x=1$ 是它的一个间断点. 对这种间断点, 只要补充定义 $f(1)=$

2, 即令 $f(x)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{x^2-1}{x-1},& x\ne 1,\\ & 2,& x=1,\end{array}$ 那么函数 $f$ 在 x=1 处就连续了. 类似地, 若考察函数

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1},& x\ne 1,\\ 1,& x=1,\end{array}$$

虽然它在 x=1 处有定义,但由于

$$\underset{x\to 1}{\lim }g(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2\ne g(1),$$

故 $x=1$ 仍是它的一个间断点. 如果改变它在 $x=1$ 的值, 即重新定义 $g(1)=2$ , 那么函数 $g$ 在 $x=1$ 处就连续了. 因此, 上述两种间断点都称为可去间断点.

一般地,可去间断点有这样的特征:函数在该点的左、右极限存在且相等,但函数在该点或者无定义,或者虽有定义但其极限值与该点的函数值不相等.

例 5.5

考察函数

$$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2+1,& x<0,\\ 0,& x=0,\\ x-1,& x>0.\end{array}$$

由于它在 x=0 的邻域内有定义,并且

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(x^2+1)=1,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x-1)=-1,$$

所以它在 x=0 处的左、右极限都存在但不相等，x=0 是间断点。这种左、右极限存在但不相等的间断点称为跳跃间断点。在几何上表现为该函数的图像在 $x_0$ 处产生一个跳跃（图 1.23），故而得名。

例 5.6

考察函数设 $f(x)=\frac{1}{x^2}$ ，与 $g(x)=\sin \frac{1}{x}$ . 易见， $f(x)$ 在 $x=0$ 的去心邻域内有定义,且当 $x\to 0$ 时, $f(x)\to +\infty$ , 故 $x=0$ 是 $f$ 的间断点. 这种使函数值趋于无穷大的间断点, 通常称为无穷间断点. 在本章第三节末已经指出, 函数 $g$ 在 $x=0$ 的去心邻域内有定义且极限不存在, 函数值在 -1 与 1 之间无限次往复振荡, 这种间断点常被称为振荡间断点.

综合以上各种情况,我们将函数的间断点分为两大类:一类是函数的左、右极限都存在的间断点,称为第一类间断点,可去间断点和跳跃间断点属于第一类间断点;不是第一类的间断点都称为第二类间断点,例如,无穷间断点、振荡间断点都属于第二类间断点.

图1.23

5.2 连续函数的运算性质与初等函数的连续性

利用函数的连续性定义与极限的有关性质,容易证明连续函数的下列性质:

注意

在判别函数间断点类型时,通常只要指出它是第一类或第二类间断点就可以了,若无特别要求,可不作更细致的区分.因为函数的间断点特别是第二类间断点中的情况是很复杂的.例如对函数 $f(x)={\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$ ,由于

定理 5.1

设函数 $f,g:U(x_0)\subseteq \mathbf{R}\to \mathbf{R}$ 在 $x_0$ 处连续，则

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=0,$$

(1)（和、差、积、商的连续性） $f\pm g$ ， $fg,\frac{f}{g}$ $(g(x_0)\ne 0)$ 在 $x_0$ 处都连续；

所以 x=0 既不是它的无穷间断点，又不是它的第一类间断点，只能笼统地说 x=0 是它的第二类间断点.

(2) f 在 $x_0$ 处是局部有界的.

例 5.7

证明:三角函数在它们的定义域上连续.

证明

例5.2中已证明 $\sin x$ 与 $\cos x$ 都是定义域 $(-\infty ,+\infty )$ 上的连续函数，又因为

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},$$

根据定理5.1, 可知它们也是定义域(区间 $(-\infty ,+\infty )$ 中除去使分母为0的点)上的连续函数. 类似可以证明 sec x 与 csc x 在定义域上的连续性, 因此, 所有三角函数在它们的定义域上连续.

定理 5.2 复合函数的连续性

设 $y=f(g(x))$ 是由 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 复合而成的， $x_0\in D(f\circ g)$ . 若 $g$ 在 $x_0$ 处连续，$f$ 在对应的 $g(x_0)$ 处连续，且 $u_0=g(x_0)$ ，则复合函数 $y=f(g(x))$ 也在 $x_0$ 处连续.

在本章第一节中已经证明了,区间 $I$ 上的严格单调增(减)函数 $f$ 的反函数 $f^{-1}$ 必存在,而且 $f^{-1}$ 在值域 $f(I)$ 上也是严格单调增(减)的.又因为 $y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图像关于y=x是对称的,因此,直观上容易理解,若 $y=f(x)$ 的图像是一条连续曲线,则 $y=f^{-1}(x)$ 的图像也是一条连续曲线.因此我们有(证明从略)

定理 5.3 反函数的连续性

设 $f:I\to R$ 是严格单调增（减）的连续函数，则其反函数 $f^{-1}$ 存在，并且在 $f(I)$ 上也是严格单调增（减）的连续函数.

例 5.8

证明: 反三角函数、对数函数和一般幂函数在它们各自的定义区间上连续.

证明

由于 $y=\sin x$ 在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上严格单调增且连续, 根据定理5.3, 它的反函数 $y=\arcsin x$ 在 $[-1,1]$ 上连续. 其他反三角函数在定义区间上的连续性可类似地证明. 由 $a^x(a>0,a\ne 1)$ 与 $e^x$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 的严格单调性及连续性, 故它们的反函数对数函数 ${\log }_{a}x$ 与 $\ln x$ 在定义区间 $(0,+\infty )$ 内也是连续的.

又因为 $x^{\alpha }=e^{\alpha \ln x}(x>0,\alpha \in \mathbb{R})$ 可以看成是连续函数 $y=e^u$ 与 $u=\alpha \ln x$ 的复合函数, 根据定理5.2 它在 $(0,+\infty )$ 内是连续函数.

1. 初等函数的连续性

数字资源 1.5.3·为什么只说初等函数在它们的定义区间上连续

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由于常数(看作函数)是连续的,再综合例5.2、5.3、5.7与例5.8可知,所有基本初等函数在它们各自的定义域内都是连续的.再由定理5.1与定理5.2得知,所有初等函数在它们的定义域内的任何区间(即定义区间)上是连续的.

利用上述知识,我们就可以讨论一些具体函数的连续性,指出它们在何处连续、何处间断,间断点是什么类型.

例 5.9

讨论函数 $f(x)=\frac{x}{\tan x}$ 的连续性, 并判断间断点的类型.

解

由于题中所给函数 $f(x)$ 是初等函数,它在其定义区间上是连续的,所以它的间断点只可能是使 $\tan x$ 无定义的点 $x=n\pi +\frac{\pi }{2}$ 与使 $\tan x=0$ 的点 $x=n\pi$ ( $n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$ ).下面对这些点分别进行讨论.由于

数字资源 1.5.4·怎样才能在讨论函数的连续性与间断点问题中少犯错误

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$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\tan x}=1,$$

所以 x=0 是 $f(x)$ 的第一类间断点（可去间断点）. 又

$$\underset{x\to n\pi }{\lim }\frac{x}{\tan x}=\pm \infty (n=\pm 1,\pm 2,\dots ),$$

所以 $x=n\pi$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点（无穷间断点）. 最后，因为

$$\underset{x\to n\pi +\frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{x}{\tan x}=0(n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ),$$

所以 $x=n\pi +\frac{\pi }{2}$ 也是 $f(x)$ 的第一类间断点（可去间断点）.

例 5.10

讨论函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{\frac{x}{x-1}}},& x\ne 1,\\ 1,& x=1\end{array}$$

的连续性.

解

由于 $f$ 是分段函数, 故先讨论它在分界点 x=1 处的连续性. 因为

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{\frac{x}{x-1}}}=1,\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{\frac{x}{x-1}}}=0,$$

所以 $x=1$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点（跳跃间断点). 又因为初等函数 $\frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{\frac{x}{1-x}}}$ 在 $x=0$ 处无定义，并且

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{\frac{x}{x-1}}}=+\infty ,\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{\frac{x}{x-1}}}=-\infty ,$$

所以 x=0 是 $f(x)$ 的第二类间断点（无穷间断点）.

综上可知,除 x=0,1 是 $f(x)$ 的间断点外,由于 $(-\infty ,+\infty )$ 被 x=0 与 x=1 分割成的三个开区间 $(-\infty ,0),(0,1),(1,+\infty )$ 都是初等函数 $\frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{\frac{x}{x-1}}}$ 的定义区间,因此 $f(x)$ 在这些区间上是连续的.

根据连续函数的定义和定理5.2, 我们有

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f\left(x_0\right)=f\left(\underset{x\to x_0}{\lim }x\right),\text{\hspace{1em}(5.3)}$$$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(g(x))=f(g\left(x_0\right))=f(\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)).\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

因此,在求连续函数极限的时候,极限符号与函数符号可以交换次序.连续函数的这种极限运算性质为求连续函数的极限提供了方便.

例 5.11

证明下列极限等式:

(1) ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1;$ (2) ${\lim }_{x\to 0}\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}=1;$

(3) ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^{\alpha }-1}{x}=\alpha (\alpha \in \mathbf{R}).$

证明

（1）由于 $\frac{\ln (1+x)}{x}=\ln (1+x{)}^{\frac{1}{x}}$ 可以看成 $y=\ln u$ 与 $u=(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$ 的复合函数，由于 ${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e,$ 利用对数函数的连续性，我们有

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=\ln [\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}]=\ln e=1.$$

(2) 令 ${\mathrm{e}}^x-1=t$ ，则 $x=\ln (1+t)$ ，并且当 $x\to 0$ 时， $t\to 0$ . 由(1)我们得

注意

试用(5.3)式与复合函数的极限运算法则(定理3.5)证明下述结论:设 $y=f[g(x)]$ 是由 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 复合而成的函数,若“外层”函数$f$是连续的,“内层”函数 $u=g(x)$ 在 $x_0$ 处极限存在,且 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=A$ ,则

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f[g(x)]=f[\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)]=f(A).$$

并将此结论分别与(5.4)式,定理3.5的结论进行比较.

例5.11 中极限等式(1)实际上就是利用上述结论证明的.

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\ln (1+t)}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{\frac{\ln (1+t)}{t}}=1.$$

(3) 令 $(1+x{)}^{\alpha }-1=t$ ，则 $\alpha \ln (1+x)=\ln (1+t)$ ，并且当 $x\to 0$ 时， $t\to 0$ 。于是有

$$\begin{array}{rl}{\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^{\alpha }-1}{x}& ={\lim }_{\genfrac{}{}{0ex}{}{t\to 0}{(x\to 0)}}\frac{t}{\ln (1+t)}\cdot \frac{\alpha \ln (1+x)}{x}\\ & ={\lim }_{t\to 0}\frac{t}{\ln (1+t)}\cdot {\lim }_{x\to 0}\frac{\alpha \ln (1+x)}{x}=\alpha .\end{array}$$

由此例,我们又得到三个常用的等价无穷小关系式:当 $x\to 0$ 时,

$$\ln (1+x)\sim x,{\mathrm{e}}^x-1\sim x,(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x.\text{\hspace{1em}(5.5)}$$

2. 幂指函数的连续性与极限

设 $f,g:A\subseteq \mathbf{R}\to \mathbf{R}$ 是两个函数, 若 $\forall x\in A,f(x)>0$ , 则称形如 $f(x{)}^{g(x)}$ 的函数为幂指函数. 由于

$$f(x{)}^{g(x)}={\mathrm{e}}^{g(x)\ln f(x)}$$

可看成 $y=e^u$ 与 $u=g(x)\ln f(x)$ 的复合函数. 因此, 若 $f$ 与 $g$ 都是连续函数, 则 $f(x{)}^{g(x)}$ 也是连续函数. 若 $\lim g(x)\ln f(x)$ 存在, 则有

$$\lim f(x{)}^{g(x)}={\mathrm{e}}^{\lim g(x)\ln f(x)}.$$

这样,求幂指函数的极限问题就转化为求函数 $g(x)\ln f(x)$ 的极限问题.

例 5.12

求 ${\lim }_{x\to 0}(1+\sin x{)}^{\frac{1}{x}}$ .

解

因为 $(1+\sin x{)}^{\frac{1}{x}}={\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}\ln (1+\sin x)}$ ，利用(5.5)式我们有

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\ln (1+\sin x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\sin x=1,$$

所以 ${\lim }_{x\to 0}(1+\sin x{)}^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}.$

5.3 闭区间上连续函数的性质

定义在闭区间上的连续函数有很多在理论和应用中都十分重要的整体性质,本段将给予详细的介绍和论证. 其实,读者也不难从几何上说明这些性质的正确性.

定理 5.4 有界性

设 $f\in C[a,b]$ ，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界.

证明

用反证法. 假定 $f$ 在 $[a,b]$ 上无界, 则对于任一 $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ 必存在 $[a,b]$ 的一点, 记作 $x_n$ , 使得

$$\left|f\left(x_n\right)\right|>n,\text{\hspace{1em}(5.6)}$$

从而得到一个有界数列 $\{x_n\}\subseteq [a,b]$ . 根据 Weierstrass 定理, 必存在 $\{x_n\}$ 的一个收敛子数列 $\{x_{n_k}\}$ , 设 $x_{n_k}\to x_0(k\to \infty )$ . 由于 $a⩽x_{n_k}⩽b(k=1,2,\cdots )$ , 根据保序性得知 $x_0\in [a,b]$ . 又因为 $f$ 在 $x_0$ 连续, 故 ${\lim }_{k\to \infty }f(x_{n_k})=f(x_0)$ , 这就是说, $\{f(x_{n_k})\}$ 是收敛数列, 从而得知 $\{f(x_{n_k})\}$ 是有界数列. 这与 (5.6) 式相矛盾, 因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界.

定理 5.5 最大最小值定理

设 $f\in C[a,b]$ ，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上一定能取得它的最

大值与最小值,即至少存在两点 $x_1,x_2\in [a,b]$ (图 1.24), 使得

$$f(x_1)=\underset{x\in [a,b]}{\max }\{f(x)\},f(x_2)=\underset{x\in [a,b]}{\min }\{f(x)\}.$$

证明

仅证 $f$ 能在 $[a,b]$ 上取得最大值. 由于 $f\in C[a,b]$ , 根据定理5.4, $f$ 在 $[a,b]$ 上有界, 即 $R(f)$ 是有界数集. 因而 $R(f)$ 必有上、下确界, 设它们分别为

图1.24

$$\underline{M}=\sup R(f),m=\inf R(f).$$

下面证明 $M$ 与 $m$ 必能被 $f$ 在 $[a,b]$ 上某两点分别取得，从而它们分别就是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的最大与最小值。事实上，根据上确界的定义， $\forall n\in {\mathbb{N}}_{+}$ ， $\exists {\xi }_n\in [a,b]$ ，使得 $M-\frac{1}{n}<f({\xi }_n)⩽M$ ，由此得一有界数列 $\{{\xi }_n\}\subseteq [a,b]$ 。由Weierstrass定理， $\{{\xi }_n\}$ 必有一收敛子列 $\{{\xi }_{n_k}\}$ ，设 ${\xi }_{n_k}\to x_1(k\to \infty )$ ，则 $x_1\in [a,b]$ ，再利用 $f$ 在 $[a,b]$ 上的连续性得 ${\lim }_{k\to \infty }f({\xi }_{n_k})=f(x_1)$ 。又由

$$M-\frac{1}{n_k}<f({\xi }_{n_k})⩽M$$

及夹逼性,对上式令 $k\to \infty$ 得知 $f(x_1)=M$ . 从而上确界 $M$ 被 $f$ 在 $[a,b]$ 上的点 $x_1$ 处取得,所以它就是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的最大值.

类似可证,存在 $x_2\in [a,b]$ , 使 $f(x_2)=m={\min }_{x\in [a,b]}\{f(x)\}$ .

应当指出,在这两个定理中,$f$的定义域是闭区间以及$f$在 $[a,b]$ 上连续这两个条件,如果有一个不满足,那么定理中的结论就不一定成立.例如, $\tan x$ 仅在开区间 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 上连续,但它在该区间上无界,且没有最大值与最小值.又如函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& x\in (0,1]\setminus \{0\},\\ 0,& x=0,\end{array}$$

虽然定义在闭区间[0,1]上,但由于在x=0处不连续,所以它在该区间上既无界,也无最大值.

定理 5.6 零点存在定理

设 $f\in C[a,b]$ ，若 $f(a)f(b)<0$ ，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使 $f(\xi )=0$ .

$$f(a)<0,f(b)>0.$$$$[a,b]$$$$f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$$$$\xi =\frac{a+b}{2}$$

注意

在几何上,零点存在定理表示:若在闭区间 $[a,b]$ 上的连续曲线 $y=f(x)$ 的两个端点 $(a,f(a))$ 与 $(b,f(b))$ 分别位于$x$轴的两侧,则此曲线与$x$轴至少有一个交点.

若 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)\ne 0$ ，则它必与 $f(a)$ 或 $f(b)$ 异号。故必有一子区间，使$f$在该子区间两个端点的值异号，设为 $\left[a_1,b_1\right]$ ，并且假定 $f(a_1)<0,f(b_1)>0$ 。再将 $\left[a_1,b_1\right]$ 二等分，同样可得 $\left[a_1,b_1\right]$ 的一个子区间 $\left[a_2,b_2\right]$ ，使 $f(a_2)<0,f(b_2)>0$ 。如此继续等分下去，若经过有限次等分后，$f$在某分点 $\frac{a_n+b_n}{2}$ 处之值为0，则该分点就是所求之点 $\xi$ 。否则，再继续等分，得到一闭区间列 $\left\{\left[a_n,b_n\right]\right\}$ ，满足

(1) $[a,b]\supseteq [a_1,b_1]\supseteq [a_2,b_2]\supseteq \cdots \supseteq [a_n,b_n]\supseteq \cdots$ ;

(2) $b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\to 0(n\to \infty )$ ,

并且 $f(a_n)<0<f(b_n)$ ( $n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ). 根据闭区间套定理，存在唯一的数 $\xi \in {\bigcap }_{n=1}^{\infty }[a_n,b_n]$ ， ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }{b}_n=\xi$ . 由 $f$ 的连续性和极限的保号性得

注意

在零点存在定理的证明中,在证明函数零点存在的同时,还给出了零点的计算方法.这种证明称为构造性的证明.

$$f(\xi )=\underset{n\to \infty }{\lim }f(a_n)⩽0,f(\xi )=\underset{n\to \infty }{\lim }f(b_n)⩾0,$$

从而必有 $f(\xi )=0$ 又由于 $\xi \ne a,\xi \ne b$ ，所以 $\xi \in (a,b)$ .

零点存在定理不但可用以判定函数方程 $f(x)=0$ 根的存在性,而且它的证明过程也提供了一种求方程近似解的方法,称之为二分法.利用这种方法,只要不断等分区间 $[a,b]$ ,使第$n$级子区间的长度 $b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}$ 足够小,就可以求得方程所需精确度的近似解.

例 5.13

证明方程 $x^3+x^2-4x+1=0$ 的三个根都在区间 $(-3,2)$ 内.

证明

设 $f(x)=x^3+x^2-4x+1$ ，显然， $f\in C[-3,2]$ . 为了证明三个根都在 $(-3,2)$ 内，只要证明它所对应的连续曲线 $y=x^3+x^2-4x+1$ 与 $x$ 轴有三个交点. 由于 $f(-3)=-5<0$ ， $f(0)=1>0$ ， $f(1)=-1<0$ ， $f(2)=5>0$ ，因此根据零点存在定理，该方程在 $(-3,0)$ ， $(0,1)$ ， $(1,2)$ 内均分别至少有一个根. 又因为三次方程至多有三个根，所以它们都在 $(-3,2)$ 内.

利用二分法不难求得这三个实根的近似值.例如,为了求得在区间(0,1)内的根的近似值,将区间[0,1]不断地二等分,并求出函数$f$在区间 $[a,b]$ 和相继等分所得子区间的中点的值如下:

在 $[0,1]$ 的中点 $\frac{1}{2}$ 处的函数值 $f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{5}{8}<0$

在 $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ 的中点 $\frac{1}{4}$ 处的函数值 $f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{64}>0,$

在 $\left[\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right]$ 的中点 $\frac{3}{8}$ 处的函数值 $f\left(\frac{3}{8}\right)=-\frac{157}{512}<0.$

因此,若取 $\left[\frac{3}{8},\frac{1}{2}\right]$ 的中点 $\frac{7}{16}$ 作为该方程在(0,1)内根的近似值,其误差不超过该区间长度的一半,即 $\frac{1}{16}$ .若精度还未达到问题的要求,还可以继续做下去,直至满意为止.读者可以利用二分法在计算机上求得该方程任意精度的近似根.

例 5.14

设函数 $f:[0,1]\to [0,1]$ 连续，证明存在 $t\in [0,1]$ ，使 $f(t)=t$ .

证明

为了证明题中的结论, 只要证明函数 $f(x)-x$ 在 $[0,1]$ 上有一个零点即可. 设 $F(x)=f(x)-x$ , 则 $F\in C[0,1]$ , 并且 $F(0)=f(0)⩾0,F(1)=f(1)-1⩽$ 想一想: 你能说明例5.14的几何意义吗?

0. 若 $F(0)=0$ （或 $F(1)=0$ ），则 t=0 （或 t=1）就是所求之点。若 $F(0)>0$ 且 $F(1)<0$ ，则由零点存在定理，存在 $t\in (0,1)$ 使 $F(t)=0$ ，即 $f(t)=t$ 。综上所述，我们就证明了题中的结论。

例 5.15

证明: 在温度非均匀连续分布的金属圆环上, 至少存在两个关于圆心的对称点, 它们的温度相等.

证明

以金属圆环的圆心为原点建立直角坐标系（图 1.25）.在圆环上任取一点 $P_1$ ，设 $\overline{O{P}_1}$ 与 $x$ 轴的夹角为 $\theta$ ，则点 $P_1$ 的坐标为 $(R\cos \theta ,R\sin \theta )$ ，与 $P_1$ 关于 $O$ 的对称点 $P_2$ 的坐标为 $(R\cos (\pi +\theta ),R\sin (\pi +\theta ))$ .由于圆环上各点的温度是非均匀连续分布的，因此，温度是 $\theta$ 的非常数连续函数.设 $P_1$ 处的温度为 $T(R\cos \theta ,R\sin \theta )$ ，则 $P_2$ 处的温度为 $T(R\cos (\pi +\theta ),R\sin (\pi +\theta ))$

图1.25

注意

在用数学理论和方法研究实际应用问题时,常常需要建立一个坐标系,并分析题意,将该问题用数学的语言表示出来,建立它的数学模型.

为了证明题中的结论, 只要证明至少存在一个 $\overline{\theta }\in [0,\pi ]$ , 使 $P_1$ 与 $P_2$ 两点对应于 $\overline{\theta }$ 的温度相等, 也就是这两点对应于 $\overline{\theta }$ 的温度之差为零. 为此, 令

$$f(\theta )=T(R\cos \theta ,R\sin \theta )-T(R\cos (\pi +\theta ),R\sin (\pi +\theta )),\theta \in [0,\pi ].$$

显然, $f(\theta )\in C([0,\pi ])$ ,且

$$\begin{array}{l}f(0)=T(R,0)-T(-R,0),\\ f(\pi )=T(-R,0)-T(R,0).\end{array}$$

若 $f(0)=0$ ，则 $f(\pi )=0$ 。这就是说， $\theta =0$ 与 $\theta =\pi$ 所对应的两点的温度都相等，题中结论成立。若 $f(0)\ne f(\pi )$ ，则易见 $f(0)\cdot f(\pi )<0$ 。由零点存在定理，至少存在一个 $\bar{\theta }\in (0,\pi )$ ，使 $f(\bar{\theta })=0$ ，即与 $\bar{\theta }$ 相对应的两点温度相等：

$$T(R\cos \bar{\theta },R\sin \bar{\theta })=T(R\cos (\pi +\bar{\theta }),R\sin (\pi +\bar{\theta })).$$

综上可知,题中结论成立.

由此例不难得知,地球赤道上总存在两个关于地球中心的对称点,它们具有相同的温度.

定理 5.7 介值定理

设 $f\in C[a,b]$ , $f(a)\ne f(b)$ ，并且 $\mu$ 为介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任一值（不含 $f(a)$ 与 $f(b)$ ），则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使 $f(\xi )=\mu$ .

证明

为了证明至少 $\exists$ 一点 $\xi \in (a,b)$ , 使 $f(\xi )=\mu$ , 只要证明 $f(\xi )-\mu =0$ . 为此, 令 $F(x)=f(x)-\mu$ , 则 $F\in C[a,b]$ , 且 $F(a)=f(a)-\mu$ 与 $F(b)=f(b)-\mu$ 异号. 由定理5.6, 至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ , 使 $F(\xi )=0$ , 即 $f(\xi )=\mu$ .

容易看出,在定理5.6 与定理5.7 中,如果函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上还是严格单调的,那么点 $\xi$ 是唯一的.

推论 5.1

设 $f\in C[a,b]$ , 则 $f$ 在 $[a,b]$ 上能取得

注意

介于它的最大值 $M$ 与最小值 $m$ 之间(含 $M$ 与 $m$ ) 的 任一值. 如何证明推论5.1?

这个推论也可称为介值定理.

例 5.16

设 $f\in C(a,b)$ , $a<x_1<x_2<\cdots <x_n<b$ , 则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ , 使

$$f(\xi )=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(x_i).\text{\hspace{1em}(5.7)}$$

证明

由于 $f\in C(a,b)$ , 因此 $f\in C[x_1,x_n]$ . 根据定理5.5, 必存在 ${\xi }_1,{\xi }_2\in [x_1,x_n]$ , 使得

$$f({\xi }_1)=m=\underset{x\in [x_1,x_n]}{\min }\{f(x)\},f({\xi }_2)=M=\underset{x\in [x_1,x_n]}{\max }\{f(x)\}.$$

为了得到所要证明的等式(5.7)，根据推论5.1只要证明(5.7)式右端的值介于 $m$ 与 $M$ 之间（含 $M$ 与 $m$ ).事实上，由于

$$m⩽f(x_i)⩽M(i=1,2,\dots ,n),$$

所以有

$$nm⩽\sum _{i=1}^{n}f(x_i)⩽nM,$$

从而得

$$m⩽\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)⩽M.$$

根据推论5.1，至少存在一点 $\xi \in [x_1,x_n]\subseteq (a,b)$ ，使 $f(\xi )=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}f(x_i)$ .

推论 5.2 值域定理

设 $f\in C[a,b]$ ，且 $f(x)\ne$ 常数，则 $f([a,b])$ 是一个闭区间.

证明

由定理5.5得知, $f$ 在 $[a,b]$ 上必能取得最大值 $M$ 和最小值 $m$ . 由于 $f(x)$ 不是常数, 所以 $\forall x\in [a,b]$ , 有 $m⩽f(x)⩽M$ . 下面只要证明相反的包含关系成立就可以了. 事实上, 由推论5.1, $f([a,b])\subseteq [m,M]$ . 下面只要证明相反的包含关系成立就可以了. 事实上, 由推论5.1, $\forall \mu \in [m,M]$ , 至少存在一点 $x\in [a,b]$ 使 $f(x)=\mu$ , 从而有 $[m,M]\subseteq f([a,b])$ . 因此有

注意

推论5.2表明,定义在闭区间上非常数的连续函数的值域不会是支离破碎的点集,其值连续不断地充满了闭区间[$m$,$M$],就是说,它将闭区间映为闭区间.

$$f([a,b])=[m,M].$$

5.4 函数的一致连续性

本段介绍一种比连续性要求更强的所谓一致连续性,它在许多理论问题的研究中是很重要的.大家知道,函数$f$在区间$I$上连续,是指它在该区间的每一点 $x_0$ 处都连续,即

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$ ，使得 $\forall x\in U(x_0,\delta )$ ，恒有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ .

(5.8)

值得注意的是,上式中的 $\delta$ 不但与 $\epsilon$ 有关,而且通常还与 $x_0$ 有关.即便对于同一个 $\epsilon$ ,当 $x_0$ 不同时,一般情况下, $\delta$ 也不尽相同.例如,显然函数 $y=\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 内每一点都连续.由图 1.26 易见,表示该函数的曲线在靠近原点的地方较陡峭,而在远离原点的地方较平坦.因此,对于同样大小的 $\epsilon ,\delta$ 的最大允许值(就是使 (5.8) 式成立的 $\delta$ 值中最大者)在远离原点 $O$ 的 ${\tilde{x}}_0$ 处

图1.26

的 $\tilde{\delta }$ 比在靠近原点 $O$ 的 $x_0$ 处的 $\delta$ 要大得多, 而且离原点越近, $\delta$ 越小. 这说明, 在 $(0,+\infty )$ 内的不同点附近, 函数值随自变量改变的“步伐”是不一致的. 又因为 $(0,+\infty )$ 内包含无穷多个不同的 $x_0$ , 所以也就存在无穷多个不同的 $\delta$ . 并且由图 1.26 可见, 当 $x_0\to 0$ 时, $\delta \to 0$ . 从而可知, 对于函数 $y=\frac{1}{x}$ 来说, 在无穷多个 $\delta$ 中找不到一个共同的 $\delta >0$ , 使 (5.8) 式成立. 试问, 是否存在这样的连续函数, 使对给定的 $\epsilon >0$ , 对连续区间内所有点能找到一个共同的 $\delta$ 呢? 这就是函数在区间上的一致连续问题.

定义 5.3 一致连续函数

设 $f:I\to R$ 为任一函数，若

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$ ，使得 $\forall x_1,x_2\in I$ ，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，

$$\text{ 恒有 }\mid f(x_1)-f(x_2)\mid <\epsilon ,\text{\hspace{1em}(5.9)}$$

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则称$f$是区间$I$上的一致连续函数,其中 $\delta$ 仅与 $\epsilon$ 有关.

函数$f$在区间$I$上连续与一致连续是两个不同的概念.前者只要求对于$I$中的各点 $x_0$ 能分别找到使不等式(5.8)成立的 $\delta$ 就行了,它刻画了函数的局部状态,所以,$f$在区间$I$上连续也叫做$f$在$I$上处处

有界闭区间上连续函数性质的归纳与小结.

连续;后者则要求对于$I$中的所有点,能找到一个共同的 $\delta$ ,使不等式(5.9)成立,它刻画了函数的整体性态.易见,如果函数$f$在$I$上一致连续,则在$I$上处处连续,反之不一定成立.

例 5.17

证明: 正弦函数 $\sin x$ 与余弦函数 $\cos x$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上是一致连续的.

证明

由于 $\forall x_1,x_2\in (-\infty ,+\infty )$ , 都有

$$\mid \sin x_1-\sin x_2\mid =2\left|\sin \frac{x_1-x_2}{2}\right|\left|\cos \frac{x_1+x_2}{2}\right|⩽\mid x_1-x_2\mid ,$$

所以，对任给的 $\epsilon >0$ ，只要取 $\delta =\epsilon$ ，就有

$\forall x_1,x_2\in (-\infty ,+\infty )$ ，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，恒有 $|\sin x_1-\sin x_2|<\epsilon .$

因此,根据定义5.3, $\sin x$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致连续.类似可证 $\cos x$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致连续.

例 5.18

证明: 函数 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,1]$ 上连续但却不一致连续.

证明

由于 $\sin \frac{1}{x}$ 是初等函数, 因此它在区间 $(0,1]$ 上是连续的. 下面证明它在 $(0,1]$ 上不一致连续. 取 $x_1=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}},x_2=\frac{1}{n\pi }(n\in {\mathbf{N}}_{+})$ , 则

注意

根据定义5.3,证明 $\sin \frac{1}{x}$ 在(0,1]上不一致连续的基本思路是存在某个 ${\epsilon }_0$ ,使得对于任何 $\delta >0$ ,在(0,1]中都能找到 $x_1$ 与 $x_2$ ,使得当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时,恒有

$$\sin \frac{1}{x_1}=1,\sin \frac{1}{x_2}=0.$$$$\left|\sin \frac{1}{x_1}-\sin \frac{1}{x_2}\right|>{\epsilon }_0.$$

而且, 当 $n\to \infty$ 时, $x_1-x_2\to 0$ . 因此, 对于 $\epsilon =\frac{1}{2}$ 及任何 $\delta >0$ , 都存在 $x_1,x_2\in (0,1]$ , 只要 $n$ 充分大, 都满足 $|x_1-x_2|<\delta$ , 却有

在此例中，取 ${\epsilon }_0=\frac{1}{2},x_1=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}},$ $x_2=\frac{1}{n\pi }(n\in {\mathbf{N}}_{+})$

$$\left|\sin \frac{1}{x_1}-\sin \frac{1}{x_2}\right|=1>\epsilon ,$$

故 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,1]$ 上不一致连续.

定理 5.8

设 $f\in C[a,b]$ ，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续.

* 证 用反证法. 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上不一致连续, 则由定义5.3,

$\exists {\epsilon }_0>0,$ 对 ${\delta }_n=\frac{1}{n}(n\in {\mathbf{N}}_{+}),\exists x_n^{(1)},x_n^{(2)}\in [a,b],$

满足 $\left|x_n^{(1)}=x_n^{(2)}\right|<\frac{1}{n}$ ，但是 $\left|f(x_n^{(1)})-f(x_n^{(2)})\right|⩾{\epsilon }_0$

由于 $\{x_n^{(1)}\}\subseteq [a,b]$ 是有界数列，根据Weierstrass定理，它有收敛子列 $\{x_{n_k}^{(1)}\}$ ，设 $x_{n_k}^{(1)}\to x_0\in [a,b]$ .在 $\{x_n^{(2)}\}$ 中取与 $\{x_{n_k}^{(1)}\}$ 相对应的子列 $\{x_{n_k}^{(2)}\}$ ，由于 $|x_{n_k}^{(1)}-x_{n_k}^{(2)}|<\frac{1}{n_k}\to 0(k\to \infty )$ ，故 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_{n_k}^{(2)}={\lim }_{k\to \infty }(x_{n_k}^{(2)}-x_{n_k}^{(1)})+{\lim }_{k\to \infty }{x}_{n_k}^{(1)}=x_0$ .根据 $f$ 的连续性，有 ${\lim }_{k\to \infty }[f(x_{n_k}^{(1)})-f(x_{n_k}^{(2)})]=f(x_0)-f(x_0)=0$ ，这与 $|f(x_{n_k}^{(1)})-f(x_{n_k}^{(2)})|⩾{\epsilon }_0$ 相矛盾.故 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续.

根据定义5.3 后面的一段分析和定理5.8 可得下述重要结论：

函数$f$在闭区间 $[a,b]$ 上一致连续的充要条件是$f$在 $[a,b]$ 上处处连续.

这个结论在第三章证明闭区上连续函数的可积性定理中起着关键的作用.

*5.5 一维空间 $R$ 上的压缩映射原理与迭代法

作为极限理论与函数连续性的一个重要应用,本段介绍用于判定方程根的存在唯一性的重要原理——压缩映射原理以及求解方程近似根的常用方法——迭代法.

设$f$是从集合$A$到自身的一个映射.若存在一个 $x\in A$ ,使 $f(x)=x$ ,则称$x$是映射$f$的一个不动点.易见,映射$f$有一个不动点等价于方程 $f(x)=x$ 有一个根.因此,研究映射不动点的存在唯一性及其求法的问题,实质上就是研究相应方程根的存在唯一性及其求法的问题.

若映射(函数) $f:R\to R$ 满足不等式

$$\left|f(x)-f(y)\right|⩽k|x-y|,\text{\hspace{1em}(5.10)}$$

其中 $x,y\in \mathbb{R},0<k<1$ ，则称 $f$ 为压缩映射。

定理 5.9 压缩映射原理

设 $f:R\to R$ 是一个压缩映射，则 $f$ 在 $R$ 上有唯一的不动点。试证明压缩映射（函数） $f:R\to R$ 是连续的。

证明

(1) 首先证明: 任取 $x_0\in \mathbb{R}$ , 利用压缩映射 $f$ 所作的迭代数列 $\{x_n\}$ :

$$x_1=f(x_0),x_2=f(x_1),\dots ,x_n=f(x_{n-1}),\dots$$

是收敛数列.事实上,因为

$$\begin{array}{rl}\mid x_n-x_{n-1}\mid & =\mid f(x_{n-1})-f(x_{n-2})\mid ⩽k\mid x_{n-1}-x_{n-2}\mid \\ & =k\mid f(x_{n-2})-f(x_{n-3})\mid ⩽k^2\mid x_{n-2}-x_{n-3}\mid \\ & ⩽\cdots ⩽k^{n-1}\mid x_1-x_0\mid ,\end{array}$$

其中 $0<k<1$ ，所以，对于任何 $p\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，有

$$\begin{array}{rl}\left|x_{n+p}-x_n\right|& ⩽\left|x_{n+p}-x_{n+p-1}\right|+\left|x_{n+p-1}-x_{n+p-2}\right|+\cdots +\left|x_{n+1}-x_n\right|\\ & ⩽\left(k^{n+p-1}+k^{n+p-2}+\cdots +k^n\right)\left|x_1-x_0\right|\\ & =\frac{k^n(1-k^p)}{1-k}\left|x_1-x_0\right|<\frac{k^n}{1-k}\left|x_1-x_0\right|.\end{array}$$

由于 $0<k<1$ ，故 $\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，当 $n>N$ 时，恒有

$$\mid x_{n+p}-x_n\mid <\frac{k^n}{1-k}\mid x_1-x_0\mid <\epsilon .\text{\hspace{1em}(5.11)}$$

根据 Cauchy 收敛原理, $\{x_n\}$ 是收敛数列,设 $x_n\to \tilde{x}(n\to \infty )$ .

(2) 其次证明: $\tilde{x}$ 是 $f$ 的一个不动点. 事实上, 在迭代关系式 $x_n=f(x_{n-1})$ 两边取极限, 由 $f$ 的连续性得 $\tilde{x}=f(\tilde{x})$ . 因此, $\tilde{x}$ 是 $f$ 的一个不动点, 即 $\tilde{x}$ 是方程 $x=f(x)$ 的一个根.

(3) 最后证明不动点的唯一性. 如果 $f$ 还有另一个不动点 ${\tilde{x}}_1$ ,即 ${\tilde{x}}_1=f\left({\tilde{x}}_1\right)$ ,那么

$$\left|{\tilde{x}}_1-\tilde{x}\right|=\left|f\left({\tilde{x}}_1\right)-f(\tilde{x})\right|<k\left|{\tilde{x}}_1-\tilde{x}\right|.$$

因为 $0<k<1$ ，所以上式当且仅当 $\left|{\tilde{x}}_1-\tilde{x}\right|=0$ 时才成立，故 ${\tilde{x}}_1=\tilde{x}$

综上所述， $f$ 有唯一的不动点.

上面的定理不但证明了压缩映射 $f$ 不动点的存在唯一性, 即方程 $f(x)=x$ 根的存在唯一性, 而且定理的证明过程还提供了求该方程近似根的一种方法. 事实上, 由于定理证明中所作的迭代数列 $\{x_n\}$ 收敛于方程的精确解 $\tilde{x}$ , 因此, 其中的任何一项 $x_n$ 都可作为它的近似解, 而且 $n$ 越大, 精度越高.

若在(5.11)式中,令 $p\to \infty$ ,则

$$\mid \tilde{x}-x_n\mid ⩽\frac{k^n}{1-k}\mid x_1-x_0\mid =\frac{k^n}{1-k}\mid f(x_0)-x_0\mid ,$$

从而得到 $n$ 次迭代的近似解 $x_n$ 与精确解 $\tilde{x}$ 的误差估计式. 上述利用迭代数列求方程根的近似解的方法, 是方程求根中一种常用而且简便易行的方法, 称为迭代法. 只要编出简单的程序, 就可以在计算机上求出方程足够精确的近似解.