5.6 多元函数微分学在几何上的简单应用

本节从空间曲线和曲面的参数方程出发,利用多元函数微分学的知识,以向量为工具,来研究曲线的切线与法平面、弧长以及曲面的切平面与法线.

6.1 空间曲线的切线与法平面

1. 曲线的参数方程

我们知道,平面曲线可以用参数方程 $x=x(t)$ , $y=y(t)$ ( $\alpha ⩽t⩽\beta$ ) 来表示.例如,椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的参数方程是 $x=a\cos t$ , $y=b\sin t$ ( $0⩽t⩽2\pi$ ); 空间直线 $L$ 的参数方程是

$$\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0+t\mathbf{a}(-\infty <t<+\infty ),$$

或

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+lt,\\ y=y_0+mt,(-\infty <t<+\infty ),\\ z=z_0+nt\end{array}$$

其中 $\mathbf{r}=(x,y,z)$^① 为直线 $L$ 上动点 $P(x,y,z)$ 的向径 $\overrightarrow{OP},{\mathbf{r}}_0=(x_0,y_0,z_0)$ 为直线 $L$ 上的已知定点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的向径， $\mathbf{a}=(l,m,n)$ 为直线 $L$ 的方向向量.

由直线 $L$ 的参数方程可见, 对于任一实数 $t$, 按所给法则, 在空间确定了唯一的点 $(x,y,z)$ . 因此, 直线 $L$ 可以看作是从区间 $(-\infty ,+\infty )$ 到 $R^3$ 的映射 $r(t)=r_0+ta$ 的像.

对于一般的空间曲线 $\Gamma$ ，也可看作是从区间 $[\alpha ,\beta ]$ 到 ${\mathbf{R}}^3$ 的一个连续映射 $r$ 的像 $\{r(t)\mid \alpha ⩽$ $t⩽\beta \}$ ， $r(t)$ 就是向径 $\overrightarrow{OP}$ （图 5.24).当 $t$ 在区间 $[\alpha ,\beta ]$ 上变化时，向径 $\overrightarrow{OP}$ 端点 $P$ 的轨迹就是曲线 $\Gamma$ ，它的方程可表示为

图5.24

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))(\alpha ⩽t⩽\beta ),\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

或

$$x=x(t),y=y(t),z=z(t)(\alpha ⩽t⩽\beta ),\text{\hspace{1em}(6.2)}$$

称(6.1)或(6.2)式为空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程.

例 6.1

在机械工程中常常遇到一种空间曲线, 称为螺旋线, 其形成规律是: 动点 $P$ 沿半径为 $a$ 的圆周做匀速转动, 而这圆周所在的平面又在空间做等速平移, 移动的方向与圆周所在平面垂直. 试推导此动点轨迹的方程.

解

取运动开始时(设 t=0) 圆周的中心为坐标原点 $O$, 圆周所在的平面为 xOy 坐标面, $\overrightarrow{O{P}_0}$ 的方向为 $x$ 轴的正向, 其中 $P_0$ 为运动开始时动点的位置. 圆周所在平面移动的方向为 $z$ 轴的正向(图 5.25).

设点 $P$ 转动的角速度为 $\omega$ ，圆周沿 $z$ 轴方向移动的速度为 $v$，点 $P_0$ 的坐标为 $(a,0,0)$ ，于是经过时间 $t$ 后，动点沿圆周转动了一个角度 $\omega t$ ，并在 $z$ 轴方向上上升了一段距离 $\overline{QP}=vt$ 。所以在时刻 $t$，动点的坐标是

$$x=a\cos \omega t,y=a\sin \omega t,z=vt,t\in [0,+\infty ).$$

这就是螺旋线的参数方程,写成向量形式就是

$$\mathbf{r}=(a\cos \omega t,a\sin \omega t,vt),t\in [0,+\infty ).$$

图5.25

如果取 $\theta =\omega t$ 作参变量,便有

$$x=a\cos \theta ,y=a\sin \theta ,z=k\theta ,\theta \in [0,+\infty ),$$

其中 $k=\frac{v}{\omega }$ . 可见因参变量的不同选择, 曲线可以有不同的参数方程.

显然,上述螺旋线上的动点 $P$ 始终在圆柱面 $x^2+y^2=a^2$ 上.如果让 $\theta$ 取负值,那么动点就沿着圆柱面转到 xOy 平面的下方去了.

因为当 $\theta$ 角转过 $2\pi$ 后，动点 $P$ 恰巧在圆柱面上由原来的位置升高了一段距离 $h=z(\theta +2\pi )-z(\theta )=k(\theta +2\pi )-k\theta =2\pi k$ （称常数 $2\pi k$ 为螺距），所以曲线在圆柱面上始终以同样的间距上升（或下降），这就是螺丝钉上螺纹的曲线，因而称为螺旋线.

2. 简单曲线与有向曲线

设空间曲线 $\Gamma$ 的方程为 $r=r(t)(\alpha ⩽t⩽\beta )$ . 如果向量值函数 $r(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续，则称 $\Gamma$ 为连续曲线；如果 $\Gamma$ 为连续曲线，且 $\forall t_1,t_2\in (\alpha ,\beta ),t_1\ne t_2$ ，均有 $r(t_1)\ne r(t_2)$ ，即在 $(\alpha ,\beta )$ 上 $r$ 为单射，则称 $\Gamma$ 为简单曲线. 容易看出，简单曲线就是自身不相交的连续曲线. 如果 $\Gamma$ 为简单曲线，且 $r(\alpha )=r(\beta )$ ，则称 $\Gamma$ 为简单闭曲线. 对于选定了参数 $t$ 的曲线 $\Gamma$ ，我们规定 $t$ 增大的方向为 $\Gamma$ 的正向（自然地， $t$ 减小的方向，称为 $\Gamma$ 的负向).例如,螺旋线 $r=(a\cos \theta ,a\sin \theta ,k\theta )$ (k>0)的正向为上升的方向.对于规定了正向的曲线,称其为有向曲线.以下讨论的曲线均指有向曲线.

3. 空间曲线的切线与法平面

设空间简单曲线 $\Gamma$ 的方程为

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))(\alpha ⩽t⩽\beta ),$$

其中向量值函数 $\mathbf{r}(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上可导，其导数记作 $\dot{\mathbf{r}}(t)$ ，且有

$$\dot{\mathbf{r}}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t))\ne 0(\alpha ⩽t⩽\beta ).$$

我们来讨论 $\Gamma$ 在点 $P_0(x(t_0),y(t_0),z(t_0))$ 处的切线方程.

与平面曲线的切线一样,空间曲线上点 $P_0$ 处的切线也定义为曲线上过点 $P_0$ 的割线 $P_{0}P$ 当点 $P$ 沿曲线趋于点 $P_0$ 时的极限位置 $P_{0}T$ (图 5.26).要求此切线的方程,关键在于求出它的一个方向向量.为此,在 $\Gamma$ 上点 $P_0$ 的邻近取点 $P(x(t_0+\Delta t),y(t_0+\Delta t),z(t_0+\Delta t))$ ,点 $P_0$ 与 $P$ 所对应的向径分别为 $r(t_0)$ 与 $r(t_0+\Delta t)$ .从而向量

图5.26

$$\overrightarrow{P_{0}P}=\mathbf{r}(t_0+\Delta t)-\mathbf{r}(t_0)=\Delta \mathbf{r}$$

为割线 $P_{0}P$ 的一个方向向量. 容易看出, 向量

$$\frac{\overrightarrow{P_{0}P}}{\Delta t}=\frac{\Delta r}{\Delta t}\text{\hspace{1em}(6.3)}$$

也是割线 $P_{0}P$ 的一个方向向量，而且不论 $\Delta t$ 是正的还是负的， $\frac{\Delta r}{\Delta t}$ 的方向始终与曲线 $\Gamma$ 的参数 $t$ 增大的方向（即 $\Gamma$ 的正向）相一致. 令 $\Delta t\to 0$ ，对(6.3)式两端取极限得

$$\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\overrightarrow{P_{0}P}}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta r}{\Delta t}=\dot{r}(t_0).$$

由于 $r(t)$ 的连续性, 当 $\Delta t\to 0$ 时, $\overrightarrow{P_{0}P}=\Delta r\to 0$ , 点 $P$ 沿曲线 $\Gamma$ 趋于点 $P_0$ , 从而割线 $P_{0}P$ 变成了切线 $P_{0}T$ , 而割线的方向向量变成了相应切线的方向向量 $\dot{r}(t_0)$ . 由此可见: 向径 $r(t)$ 的导数 $\dot{r}(t_0)$ 在几何上就注意:曲线的正向总规定为对应于$t$增大的方向.因此,当 $\Delta t>0$ 时, $\Delta r=r(t_0+\Delta t)-r(t_0)$ 与曲线正向一致,从而 $\frac{\Delta r}{\Delta t}$ 与曲线正向也一致.所以切向量 $\dot{r}(t_0)={\lim }_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta r}{\Delta t}$ 的方向与曲线正向一致;当 $\Delta t<0$ 时, $\Delta r$ 的方向与曲线正向相反,但由于 $\Delta t<0$ ,故 $\frac{\Delta r}{\Delta t}$ 的方向仍与曲线正向一致,从而切向量 $\dot{r}(t_0)$ 的方向始终指向曲线的正向.它的模为

$$\begin{array}{rl}& \Vert \dot{r}(t_0)\Vert \\ & =\sqrt{{\dot{x}}^2(t_0)+{\dot{y}}^2(t_0)+{\dot{z}}^2(t_0)}.\end{array}$$

表示曲线 $\Gamma$ 在相应点 $P_0$ 处的切线 $P_{0}T$ 的一个方向向量, 而且它的方向与 $\Gamma$ 的正向相一致, 称它为 $\Gamma$ 在点 $P_0$ 处的切向量.

我们已知 $\mathbf{r}(t_0)$ 是曲线 $\Gamma$ 上点 $P_0$ 的向径，而 $\dot{\mathbf{r}}(t_0)$ 是 $\Gamma$ 在点 $P_0$ 的切向量，利用直线方程的向量形式，可将曲线 $\Gamma$ 在 $P_0(\mathbf{r}(t_0))$ 处切线的向量方程写为

$$\mathbf{\rho }=\mathbf{r}(t_0)+t\dot{\mathbf{r}}(t_0),\text{\hspace{1em}(6.4)}$$

其中 $\mathbf{\rho }=(x,y,z)$ 为切线上动点 $P(x,y,z)$ 的向径, $t\in R$ 为参数. 消去参数 $t$, 即得该切线的对称式方程

$$\frac{x-x\left(t_0\right)}{\dot{x}\left(t_0\right)}=\frac{y-y\left(t_0\right)}{\dot{y}\left(t_0\right)}=\frac{z-z\left(t_0\right)}{\dot{z}\left(t_0\right)}.\text{\hspace{1em}(6.5)}$$

由以上可知, 当 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ 可导, 且 $\dot{\mathbf{r}}(t)\ne 0(\alpha ⩽t⩽\beta )$ 时, 曲线 $\Gamma$ 上各点处都存在切线. 进一步, 如果 $\dot{\mathbf{r}}(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续, 则切线方向连续变化. 一般地, 称切线方向连续变化的曲线为光滑曲线. 因此, 当函数 $\mathbf{r}(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上有连续的导数且 $\dot{\mathbf{r}}(t)\ne 0(\alpha ⩽t⩽\beta )$ 时, 曲线 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)(\alpha ⩽t⩽\beta )$ 为光滑曲线. 如果曲线 $\Gamma$ 不是光滑曲线, 但将 $\Gamma$ 分成若干段后, 每段都是光滑曲线, 则称 $\Gamma$ 为分段光滑曲线.

过曲线 $\Gamma$ 上点 $P_0$ 且与点 $P_0$ 处的切线垂直的任一直线称为此曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 处的法线，这些法线显然位于同一平面内，此平面称为 $\Gamma$ 在点 $P_0$ 的法平面. 显然 $\dot{r}(t_0)$ 是法平面的一个法线向量，于是法平面的方程是

$$\dot{\mathbf{r}}\left(t_0\right)\cdot \left[\mathbf{\rho }-\mathbf{r}\left(t_0\right)\right]=0,$$

或

$$\dot{x}\left(t_0\right)\left[x-x\left(t_0\right)\right]+\dot{y}\left(t_0\right)\left[y-y\left(t_0\right)\right]+\dot{z}\left(t_0\right)\left[z-z\left(t_0\right)\right]=0,\text{\hspace{1em}(6.6)}$$

其中 $\mathbf{\rho }=(x,y,z)$ 是法平面上点 $(x,y,z)$ 的向径.

如果曲线 $\Gamma$ 是由两柱面的交线给出, 设它的方程为

$$y=y(x),z=z(x)(a⩽x⩽b),$$

把 $x$ 看作是参数, 上式也可写成参数方程形式

$$x=x,y=y(x),z=z(x)(a⩽x⩽b),$$

那么 $\Gamma$ 上与参数 $x=x_0$ 相对应的点处的切线方程是

$$\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y(x_0)}{\dot{y}(x_0)}=\frac{z-z(x_0)}{\dot{z}(x_0)},\text{\hspace{1em}(6.7)}$$

法平面方程是

$$x-x_0+\dot{y}(x_0)[y-y(x_0)]+\dot{z}(x_0)[z-z(x_0)]=0.\text{\hspace{1em}(6.8)}$$

如果曲线 $\Gamma$ 的方程由一般式方程

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0\end{array}\text{\hspace{1em}(6.9)}$$

给出，且在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某邻域内方程组(6.9)满足隐函数存在定理的条件，不妨设

$${\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}|}_{P_0}\ne 0,$$

那么在点 $P_0$ 的某邻域内由(6.9)式确定了两个具有连续导数的一元隐函数 $y=y(x)$ 和 $z=z(x)$ . 由隐函数求导法求出 $\dot{y}(x_0)$ 和 $\dot{z}(x_0)$ 之后, 代入(6.7)和(6.8)式, 即得曲线 $\Gamma$ 在点 $P_0$ 处的切线方程和法平面方程.

在曲线 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ 上, $\mathrm{d}\mathbf{r}=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)=(\dot{x},\dot{y},\dot{z})\mathrm{d}t$ 与 $(\dot{x},\dot{y},\dot{z})$ 共线, 因而向量 $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)$ 也是曲线 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ 的一个切向量. 因此, 求曲线 (6.9) 在点 $P_0$ 处的切向量也可以用下面的方法: 由 (6.9) 式两端求全微分, 并将点 $P_0$ 代入, 得

$$\{\begin{array}{l}{F}_x(P_0)\mathrm{d}x+F_y(P_0)\mathrm{d}y+F_z(P_0)\mathrm{d}z=0,\\ G_x(P_0)\mathrm{d}x+G_y(P_0)\mathrm{d}y+G_z(P_0)\mathrm{d}z=0,\end{array}$$

将上式看作是以 dx, dy, dz 为未知量的齐次线性代数方程组, 由于其所含方程个数 (2) 小于未知量个数 (3), 由线性代数的知识知它必有非零解, 求出它的任意一个非零解 $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z){\mid }_{P_0}$ , 便是曲线 (6.9) 在点 $P_0$ 处的一个切向量.

例 6.2

求曲线 $\{\begin{array}{rl}& 2x^2+y^2+z^2=45,\\ & x^2+2y^2=z\end{array}$ 在点 $P_0(-2,1,6)$ 处的切线与法平面方程.

虽然导数 $\dot{\mathbf{r}}(t_0)$ 与微分 $\mathrm{d}\mathbf{r}(t_0)$ 都表示曲线 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ 上与 $t_0$ 所对应的点 $P_0$ 处的切向量, 但它们方向却不一定相同, $\dot{\mathbf{r}}(t_0)$ 与曲线的正向 (即 $t$ 增大方向) 一致; 而 $\mathrm{d}\mathbf{r}(t_0)=\dot{\mathbf{r}}(t_0)\Delta t$ 的方向, 取决于 $\Delta t$ 的正负. 当 $\Delta t<0$ 时它与曲线正向相反, 它的模

解

由曲线方程两端求全微分,利用一阶全微分形式不变性,得

$$\begin{array}{rl}\Vert \mathrm{d}\mathbf{r}\Vert & =\sqrt{{\left(\mathrm{d}x\right)}^2+{\left(\mathrm{d}y\right)}^2+{\left(\mathrm{d}z\right)}^2}\\ & =\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2}|\Delta t|\end{array}$$$$\{\begin{array}{l}4x\mathrm{d}x+2y\mathrm{d}y+2z\mathrm{d}z=0,\\ 2x\mathrm{d}x+4y\mathrm{d}y-\mathrm{d}z=0,\end{array}$$$$\Vert \dot{\mathbf{r}}\Vert =\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2}$$

相比，伸缩了 $|\Delta t|$ 倍.

将点 $P_0$ 的坐标代入,得

$$\{\begin{array}{l}4\mathrm{d}x-\mathrm{d}y-6\mathrm{d}z=0,\\ 4\mathrm{d}x-4\mathrm{d}y+\mathrm{d}z=0,\end{array}$$

微分

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}r& =(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)\\ & =(\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t))\mathrm{d}t.\end{array}$$

容易求出这个齐次线性代数方程组的一个非零解是

这里为什么没有“dt”？

$$(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z){\mid }_{P_{\mathrm{n}}}=(25,28,12),$$

它就是曲线在点 $P_0$ 处的一个切向量. 从而得曲线在点 $P_0$ 处的切线方程是

$$\frac{x+2}{25}=\frac{y-1}{28}=\frac{z-6}{12},$$

法平面方程是

$$25(x+2)+28(y-1)+12(z-6)=0,$$

或

$$25x+28y+12z-50=0.$$

6.2 弧长

1. 弧长的定义与计算

弧长是指一般曲线的长度,这在直观上是容易理解的.但直至目前,我们并未严格地定义它,更不知如何计算它.我们知道,对于联结两点 $P_1(x_1,y_1,z_1)$ 与 $P_2(x_2,y_2,z_2)$ 的直线段,其长度为

$$\Vert \overrightarrow{P_1{P}_2}\Vert =\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2+{\left(z_1-z_2\right)}^2}.\text{\hspace{1em}(6.10)}$$

对于曲线段,当弧段很短时可以近似地看成是直线段,从而可以利用公式(6.10)来近似计算它的长度.因此,我们可以利用定积分的思想来定义和计算曲线的弧长.

定义 6.1 弧长

设简单曲线 $\Gamma$ 的方程是

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))(\alpha ⩽t⩽\beta ).$$

$\Gamma$ 的两个端点 $A$, $B$ 分别对应于向径 $\mathbf{r}(\alpha ),\mathbf{r}(\beta )$ ，在 $\Gamma$ 上介于 $A$ 和 $B$ 之间沿着参数 $t$ 增大的方向依次取 n-1 个分点 $P_1,P_2,\cdots ,P_{n-1}$ （图 5.27），它们把 $\Gamma$ 分成了 $n$ 段。用直线段把相邻分点联结起来，即得一折线，它的长度是

图5.27

$$s_n=\sum _{i=1}^n\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert ,$$

其中记 $A=P_0,B=P_n$ . 如果不论分点如何选取, 当 $d={\max }_{1⩽i⩽n}\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert \to 0$ 时, 折线的长度 $s_n$ 有确定的极限 $s$ , 则称 $\Gamma$ 为可求长的曲线, 且称这个极限值 $s$ 为 $\Gamma$ 的长度, 或 $\Gamma$ 的弧长, 即

$$s=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert .$$

定理 6.1 弧长的计算公式

设在 $[\alpha ,\beta ]$ 上 $\dot{r}(t)$ 连续且 $\dot{r}(t)\ne 0$ ，则曲线 $r=r(t)(\alpha ⩽t⩽\beta )$ 是可求长的曲线，且 $\Gamma$ 的长度为

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\Vert \dot{\mathbf{r}}(t)\Vert \mathrm{d}t={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[\dot{x}(t){]}^2+[\dot{y}(t){]}^2+[\dot{z}(t){]}^2}\mathrm{d}t.\text{\hspace{1em}(6.11)}$$

证明

设分点 $P_i$ 对应于参数 $t_i(i=0,1,\cdots ,n)$ ，其中 $t_0=\alpha ,t_n=\beta$ 。这样便有

$$\alpha =t_0<t_1<\cdots <t_{n-1}<t_n=\beta .$$

首先来求 $\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert$ 的表达式.由于

$$\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert =\Vert \mathbf{r}(t_i)-\mathbf{r}(t_{i-1})\Vert =\sqrt{{\left(\Delta x_i\right)}^2+{\left(\Delta y_i\right)}^2+{\left(\Delta z_i\right)}^2},$$

利用 Lagrange 微分中值公式得

$$\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert =\sqrt{{\left[\dot{x}({\xi }_i)\right]}^2+{\left[\dot{y}({\eta }_i)\right]}^2+{\left[\dot{z}({\zeta }_i)\right]}^2}\Delta t_i,$$

其中

$$\Delta t_i=t_i-t_{i-1},{\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i\in (t_{i-1},t_i),i=1,2,\dots ,n.$$

为了使上式右端根式中的函数在同一点处取值,将其变形得到

$$\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert =\sqrt{{\left[\dot{x}({\xi }_i)\right]}^2+{\left[\dot{y}({\xi }_i)\right]}^2+{\left[\dot{z}({\xi }_i)\right]}^2}\Delta t_i+R_i\Delta t_i=\Vert \dot{\mathbf{r}}({\xi }_i)\Vert \Delta t_i+R_i\Delta t_i,$$

其中

$$R_i=\sqrt{{\left[\dot{x}({\xi }_i)\right]}^2+{\left[\dot{y}({\eta }_i)\right]}^2+{\left[\dot{z}({\zeta }_i)\right]}^2}-\sqrt{{\left[\dot{x}({\xi }_i)\right]}^2+{\left[\dot{y}({\xi }_i)\right]}^2+{\left[\dot{z}({\xi }_i)\right]}^2}.\text{\hspace{1em}(6.12)}$$

于是

$$s_n=\sum _{i=1}^n\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert =\sum _{i=1}^n\Vert \dot{\mathbf{r}}({\xi }_i)\Vert \Delta t_i+\sum _{i=1}^n{R}_i\Delta t_i.\text{\hspace{1em}(6.13)}$$

令 $\lambda ={\max }_{1⩽i⩽n}\Delta t_i$ ，由定积分的定义和存在定理，易知

$$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\Vert \dot{\mathbf{r}}({\xi }_i)\Vert \Delta t_i={\int }_{\alpha }^{\beta }\Vert \dot{\mathbf{r}}(t)\Vert \mathrm{d}t.\text{\hspace{1em}(6.14)}$$

这样,由(6.13)式及(6.14)式便知,要证明(6.11)式成立,只要证明

$$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n{R}_i\Delta t_i=0.\text{\hspace{1em}(6.15)}$$

为此,我们来估计 $R_i$ . 利用不等式 ^①

$$\left|\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}-\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}\right|⩽\left|a_1-b_1\right|+\left|a_2-b_2\right|+\left|a_3-b_3\right|,$$

由(6.12)式便得

$$\left|R_i\right|⩽\left|\dot{y}\left({\eta }_i\right)-\dot{y}\left({\xi }_i\right)\right|+\left|\dot{z}\left({\zeta }_i\right)-\dot{z}\left({\xi }_i\right)\right|.$$

因为 $\dot{y}(t),\dot{z}(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续，从而在 $[\alpha ,\beta ]$ 上一致连续，所以 $\forall \epsilon >0,\exists \delta =\delta (\epsilon )>0$ ，只要 $t^{\prime },t^{\prime \prime }\in [\alpha ,\beta ],|t^{\prime }-t^{\prime \prime }|<\delta$ ，就有

$$\left|\dot{y}(t^{\prime })-\dot{y}(t^{\prime \prime })\right|<\epsilon ,\left|\dot{z}(t^{\prime })-\dot{z}(t^{\prime \prime })\right|<\epsilon .$$

特别地，当 $\lambda ={\max }_{1⩽i⩽n}\Delta t_i<\delta$ 时，有

$$\mid R_i\mid <2\epsilon ,\left|\sum _{i=1}^n{R}_i\Delta t_i\right|<2\epsilon (\beta -\alpha ),$$

从而(6.15)式成立.

平面曲线是空间曲线的特例 $(z=0)$ ，因此，对于平面曲线 $\Gamma :x=x(t),y=y(t)$ $(\alpha ⩽t⩽\beta )$ ，其弧长为

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[\dot{x}(t){]}^2+[\dot{y}(t){]}^2}\mathrm{d}t.$$

从而有

(1) 若平面曲线 $\Gamma$ 在直角坐标系下的方程是

$$y=y(x)(a⩽x⩽b),$$

则 $\Gamma$ 有参数方程 $x=x,y=y(x)(a⩽x⩽b)$ ，因而 $\Gamma$ 的弧长为

$$s={\int }_a^b\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}\mathrm{d}x.$$

(2) 若平面曲线 $\Gamma$ 在极坐标下的方程是

$$\rho =\rho (\theta )(\alpha ⩽\theta ⩽\beta ),$$

则 $\Gamma$ 有参数方程 $x=\rho (\theta )\cos \theta ,y=\rho (\theta )\sin \theta (\alpha ⩽\theta ⩽\beta )$ ，于是 $\Gamma$ 的弧长为

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(\theta ){]}^2+[y^{\prime }(\theta ){]}^2}\mathrm{d}\theta ={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[\rho (\theta ){]}^2+[{\rho }^{\prime }(\theta ){]}^2}\mathrm{d}\theta .$$

例 6.3

计算(平面曲线)摆线(也称旋轮线)一拱

$$x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)(0⩽t⩽2\pi )$$

的弧长.

解

因为

$$\sqrt{{\dot{x}}^2(t)+{\dot{y}}^2(t)}=\sqrt{a^2(1-\cos t{)}^2+a^2{\sin }^{2}t}=a\sqrt{2(1-\cos t)}=2a\left|\sin \frac{t}{2}\right|,$$

所以

$$s=2a{\int }_0^{2\pi }\left|\sin \frac{t}{2}\right|\mathrm{d}t=2a{\int }_0^{2\pi }\sin \frac{t}{2}\mathrm{d}t=8a.$$

例 6.4

求平面曲线 $x=\frac{1}{4}{y}^2-\frac{1}{2}\ln y(1⩽y⩽e)$ 的弧长.

解

当 $1⩽y⩽e$ 时, 此曲线的参数方程可视为 $x=\frac{1}{4}{y}^2-\frac{1}{2}\ln y,y=y$ , 由于

$$\sqrt{1+{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)}^2}=\sqrt{1+\frac{1}{4}{\left(y-\frac{1}{y}\right)}^2}=\frac{1}{2}\left(y+\frac{1}{y}\right),$$

故

$$s=\frac{1}{2}{\int }_1^{\mathrm{e}}\left(y+\frac{1}{y}\right)\mathrm{d}y=\frac{1}{4}({\mathrm{e}}^2+1).$$

例 6.5

求螺旋线 $x=a\cos \theta ,y=a\sin \theta ,z=k\theta$ 一个螺距之间的长度.

解

由于

$$\sqrt{{\dot{x}}^2(\theta )+{\dot{y}}^2(\theta )+{\dot{z}}^2(\theta )}=\sqrt{a^2+k^2},$$

所以所求弧长为

$$s={\int }_{{\theta }_0}^{{\theta }_0+2\pi }\sqrt{a^2+k^2}\mathrm{d}\theta =2\pi \sqrt{a^2+k^2}({\theta }_0\in \mathbf{R}).$$

2. 弧微分与自然参数

注意到

设曲线 $\Gamma$ 的参数方程为 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)(\alpha ⩽t⩽\beta )$ ， $\dot{\mathbf{r}}(t)$ 连续且 $\dot{\mathbf{r}}(t)\ne 0,t_0$ 为 $[\alpha ,\beta ]$ 上的固定参数值， $s(t)$ 为从 $\mathbf{r}(t_0)$ 到 $\mathbf{r}(t)$ 的弧长函数，而且规定：当 $t>t_0$ 时， $s(t)>0$ ；当 $t<t_0$ 时， $s(t)<0$ ，则由（6.11）式有

$$s(t)={\int }_{t_0}^t\Vert \dot{r}(\tau )\Vert \mathrm{d}\tau (\alpha ⩽t⩽\beta ).\text{\hspace{1em}(6.16)}$$

$\Vert \dot{r}(t)\Vert =\sqrt{x^2(t)+y^2(t)+z^2(t)}$ (6-16)式的右端就是一个变上限的定积分. 由于被积函数 $\Vert \dot{r}(t)\Vert$ 连续, 故由微积分第一基本定理可知

显然,由(6.16)式定义的函数 $s(t)$ 是 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续可导且单调增的函数,$t$ 增加的方向也是 $s(t)$ 增大的方向,且有

$$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\Vert \dot{\mathbf{r}}(t)\Vert ,$$

于是弧段的长度

$$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\Vert \dot{\mathbf{r}}(t)\Vert =\sqrt{{\left[\dot{x}(t)\right]}^2+{\left[\dot{y}(t)\right]}^2+{\left[\dot{z}(t)\right]}^2},$$

我们称

$$\Delta s=\Vert \dot{r}(t)\Vert \Delta t+o(\Delta t).\text{\hspace{1em}(6.17)}$$ $$\mathrm{d}s=\Vert \dot{\mathbf{r}}(t)\Vert \mathrm{d}t=\sqrt{{\left[\dot{x}(t)\right]}^2+{\left[\dot{y}(t)\right]}^2+{\left[\dot{z}(t)\right]}^2}\mathrm{d}t$$

可见 $ds=\Vert \dot{r}(t)\Vert \Delta t$ 就是 $\Delta s$ 的线性主部. 因此, 求弧长 $s$, 只需求出各小弧段 $\Delta s$ 的线性主部后将其无限累加(积分)即可.

为弧长 $s(t)$ 的微分, 简称为弧微分.

由于 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\Vert \dot{r}(t)\Vert >0$ ，故 $s=s(t)$ 存在反函数 $t=t(s)$ ，将它代入 $\Gamma$ 的参数方程 $r=r(t)$ ，便得到 $\Gamma$ 的以弧长 $s$ 为参数的方程

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t(s))(a⩽s⩽b),$$

从几何上看,由于 $\dot{r}(t)$ 是曲线 $r=r(t)$ 上 $t$ 所对应的点 $P$ 处曲线正方向的一个切向量,从而 $\Vert \dot{r}(t)\Vert \Delta t(\Delta t>0)$ 就是与 $\Delta t$ 所对应的上述切向量的模.所以,弧长也就是将上述这些切向量的模无限累加所得.

称 $s$ 为曲线 $\Gamma$ 的自然参数, 其中 $[a,b]$ 为函数 $s=s(t)(\alpha ⩽t⩽\beta )$ 的值域. 这样, 通过上式, 就建立了区间 $[a,b]$ 上 $s$ 值与曲线 $\Gamma$ 上点之间的一一对应关系. 采用自然参数, 对讨论曲线的许多问题会带来方便. 例如, 切线向量 $\frac{dr}{ds}$ 是单位向量. 事实上, 由 (6.17) 式有

$$(\mathrm{d}s{)}^2=(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}y{)}^2+(\mathrm{d}z{)}^2,$$

故

$${\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s}\right)}^2=1.$$

这就说明

$$\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}=\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s},\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s}\right)$$

是一个单位切向量.于是,设切向量与$x$轴、$y$轴、$z$轴正向的夹角分别为 $\alpha ,\beta ,\gamma$ ,则有

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}=\cos \alpha ,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s}=\cos \beta ,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s}=\cos \gamma .\text{\hspace{1em}(6.18)}$$

6.3 曲面的切平面与法线

1. 曲面的参数方程

正像曲线可用参数方程来表示一样,曲面的方程也可以表示成参数形式,并且曲面的参数方程为研究曲面问题带来许多方便.

我们知道,方程

$$x^2+y^2=R^2\text{\hspace{1em}(6.19)}$$

在 $xOy$ 平面上表示中心在原点、半径为 $R$ 的圆.若令

$$x=R\cos \theta ,$$

则可将它表示成参数方程

$$x=R\cos \theta ,y=R\sin \theta (0⩽\theta ⩽2\pi ).$$

方程(6.19)在 Oxyz 空间表示半径为 $R$、中心轴为 $z$ 轴的圆柱面，其中 $z\in (-\infty ,+\infty )$ ，因此圆柱面的方程可以通过参数 $\theta$ 与 $z$ 写成

$$x=R\cos \theta ,y=R\sin \theta ,z=z\left((\theta ,z)\in D=[0,2\pi ]\times (-\infty ,+\infty )\right),\text{\hspace{1em}(6.20)}$$

或向量形式

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(\theta ,z)=(R\cos \theta ,R\sin \theta ,z)((\theta ,z)\in D).\text{\hspace{1em}(6.21)}$$

由方程(6.20)或(6.21)可见,此圆柱面也可以看作是平面区域 ^① D到 $R^3$ 的连续映射下的像.

为了说明曲面的方程可以用含有两个参数的参数方程来表示,我们再来看一个例子.

例 6.6

建立半径为 $R$ 的球面的参数方程.

解

设球心在坐标原点 $O,P(x,y,z)$ 为此球面上任一点，从 $z$ 轴正向到向径 $\overrightarrow{OP}$ 的转角为 $\phi$ ，从坐标平面 $xOz$ 到由 $z$ 轴和 $\overrightarrow{OP}$ 所确定的平面 $\pi$ 的转角（从 $z$ 轴正向看去，其旋转方向为逆时针方向）为 $\theta$ 。取 $\phi$ 与 $\theta$ 为参数，显然有

$$\begin{array}{rl}(\phi ,\theta )\in D=\{(\phi ,\theta )|0⩽\phi ⩽\pi ,& \\ & 0⩽\theta ⩽2\pi \}\subseteq {\mathbf{R}}^2.\end{array}$$

图5.28

由图 5.28 易见，

$$x=\Vert \overrightarrow{OM}\Vert \cos \theta ,y=\Vert \overrightarrow{OM}\Vert \sin \theta ,$$

而

$$\Vert \overrightarrow{OM}\Vert =R\sin \phi ,$$

从而知此球面的参数方程为

$$x=R\sin \phi \cos \theta ,y=R\sin \phi \sin \theta ,z=R\cos \phi (0⩽\phi ⩽\pi ,0⩽\theta ⩽2\pi ).$$

或

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(\phi ,\theta )=(R\sin \phi \cos \theta ,R\sin \phi \sin \theta ,R\cos \phi )(0⩽\phi ⩽\pi ,0⩽\theta ⩽2\pi ).\text{\hspace{1em}(6.22)}$$

因此,此球面可看成平面区域

$$D=\{(\phi ,\theta )|0⩽\phi ⩽\pi ,0⩽\theta ⩽2\pi \}$$

到 $R^3$ 的连续映射(6.22)的像.

一般地,曲面 $S$ 可以看作是由平面上某一区域 $D$ 到空间 Oxyz 的某一连续映射的像,从而 $S$ 的方程可用此映射表示为

$$x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)((u,v)\in D),\text{\hspace{1em}(6.23)}$$

或写成向量形式为

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))((u,v)\in D),$$

(6.24)

称(6.23)或(6.24)式为曲面的参数方程,其中函数$x$,$y$,$z$均在$D$中连续.

2. 曲面上曲线的表示

对于曲面的参数方程(6.23)或(6.24)，若在$D$中固定 $v=v_0$ ，让$u$变化，则此时在映射$r$下像点的集合应是曲面$S$上的一条曲线，称为曲面$S$上的$u$曲线。它的方程应为

与曲线不同,曲面的参数方程是由两个独立参数构成的.例如,方程(6.20)或(6.21)就是以 $\theta ,z$ 为参数的上述圆柱面的参数方程,(6.22)是以 $\theta ,\phi$ 为参数的球面方程.

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v_0)=(x(u,v_0),y(u,v_0),z(u,v_0))(u\in I_1),$$

同理可得曲面 $S$ 上的 $v$ 曲线的方程为

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u_0,v)=(x(u_0,v),y(u_0,v),z(u_0,v))(v\in I_2),$$

其中 $I_1$ 与 $I_2$ 分别为 $u$ 与 $v$ 所允许的变化区间.

这样, 过曲面 $S$ 上的每一点 $P$ 就有一条 $u$ 曲线和一条 $v$ 曲线, 它们的交点就是 $P$. u 曲线族和 $v$ 曲线族构成曲面 $S$ 上的参数曲线网, 而曲面 $S$ 可以看成是由它的 $u$ 曲线族和 $v$ 曲线族织成的. 从直观上来看, 曲面 $S$ 可以看成是映射 $r$ 将平面 uOv 上的区域 $D$

比较一下空间曲面与空间曲线，

(1) 它们的参数方程有何不同？

(2) 它们的一般式方程有何不同?

在 $R^3$ 中变形后得到的(图 5.29)，而 $D$ 内的坐标网相应地变成了曲面 $S$ 的参数曲线网.

图5.29

例如,在球面的方程(6.22)中令 $\theta ={\theta }_0$ 便得到此球面的 $\phi$ 曲线,其方程为

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(\phi ,{\theta }_0)=(R\sin \phi \cos {\theta }_0,R\sin \phi \sin {\theta }_0,R\cos \phi )(0⩽\phi ⩽\pi ).$$

在图 5.28 中, $\phi$ 曲线就是过 $z$ 轴的半平面 $\pi$ 与球面的交线,即球面的经线.

在(6.22)中令 $\phi ={\phi }_0$ 便得到此球面的 $\theta$ 曲线, 其方程为

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}\left({\phi }_0,\theta \right)=\left(R\sin {\phi }_0\cos \theta ,R\sin {\phi }_0\sin \theta ,R\cos {\phi }_0\right)(0⩽\theta ⩽2\pi ).$$

在图 5.28 中, $\theta$ 曲线就是以 $z$ 轴为对称轴、$O$ 为顶点的圆锥面与球面的交线, 即球面的纬线.

当 ${\theta }_0$ 与 ${\phi }_0$ 在相应区间变化时, 就得到 $\phi$ 曲线族和 $\theta$ 曲线族, 它们构成了球面的参数曲线网. 球面可以看成是由它们织成的.

由于曲面 $S$ 是平面区域 $D$ 在连续映射 $r$ 下像点的集合, 所以曲面 $S$ 上任一曲线必是区域 $D$ 内某一平面曲线 $u=u(t)$ , $v=v(t)$ ( $t\in I$ ) 在映射 $r$ 下像点的集合, 因而它的方程为

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}[u(t),v(t)]=(x(u(t),v(t)),y(u(t),v(t)),z(u(t),v(t)))(t\in I).$$

例 6.7

机械工程中常见的一种曲面称为正螺面, 它是当长为 $l$ 的一动直线段(或直线)在平面上匀速地绕与此平面垂直的轴旋转, 而此直线段(或直线)所在平面又匀速地沿此轴向上或向下运动时, 该直线段(或直线)的运动轨迹. 试建立它的方程.

解

建立坐标系使运动开始时直线段位于 $xOy$ 平面 $x$ 轴的正向上，且该直线段以原点为起点（图 5.30).设 $\overrightarrow{OM}$ 旋转的角速度为 $\omega >0$ ，平面垂直移动的速度为 $b>0$ ，正螺面上动点 $P(x,y,z)$ 与 $z$ 于是由图 5.30易得$u.$ 于是由图5.30易得

$$x=u\cos \omega t,y=u\sin \omega t,z=bt.$$

不要将双参数$u$,$v$的正螺面方程 $r(u,v)=(ucosv,usinv,av)$ 与单参数的螺旋线方程 $r(v)=(acosv,asinv,kv)$ 混淆.实际上,当将参数$u$固定后,正螺面就是一条螺旋线,这正说明螺旋线是正螺面的$v$曲线,而正螺面就是由这种$v$曲线族所织成的.

由正螺面方程可以看到:曲面用双参数方程表示的优点之一是可以表示多值曲面.

令 $\omega t=v,\frac{b}{\omega }=a$ ，于是正螺面的参数方程为

$$\mathbf{r}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,av)(0⩽u⩽l,-\infty <v<+\infty ),$$

其中 a>0 为常数, $u$ 与 $v$ 为参数, 正螺面的图形如图 5.31 所示. 机械中的螺杆及某些建筑中的旋转楼梯都是正螺面.

图5.30

图5.31

3. 曲面的切平面与法线

设曲面 $S$ 的参数方程为

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))((u,v)\in D\subseteq {\mathbf{R}}^2),$$

其中 $r$ 在 $D$ 内连续, 在点 $(u_0,v_0)\in D$ 可微, 其偏导数为

$${\mathbf{r}}_u\left(u_0,v_0\right)=\left(\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial u}\right){|}_{\left(u_0,v_0\right)},{\mathbf{r}}_v\left(u_0,v_0\right)=\left(\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial z}{\partial v}\right){|}_{\left(u_0,v_0\right)},$$

且 ${\mathbf{r}}_u(u_0,v_0)\times {\mathbf{r}}_v(u_0,v_0)\ne 0$ （此时点 $(u_0,v_0)$ 称为曲面 $S$ 的正则点）.

曲面 $S$ 上过点 $\mathbf{r}(u_0,v_0)$ 的 $u$ 曲线为

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v_0),$$

它是以 $u$ 为参数的空间曲线的参数方程. 由于 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)$ 在 $(u_0,v_0)$ 点可微, 故 $u$ 曲线在点 ${\mathbf{r}}_0=\mathbf{r}(u_0,v_0)$ 的切向量为 ${\mathbf{r}}_u(u_0,v_0)$ ; 同理可得, $v$ 曲线在点 $r_0$ 的切向量为 ${\mathbf{r}}_v(u_0,v_0)$ . 由于 $(u_0,v_0)$ 是正则点, 所以向量 ${\mathbf{r}}_u(u_0,v_0)$ 与 ${\mathbf{r}}_v(u_0,v_0)$ 不平行, 从而由上述 $u$ 曲线的切线与 $v$ 曲线的切线确定了一张平面 $\pi$ (图 5.32), 它是过点 $r_0$ 且以 ${\mathbf{r}}_u(u_0,v_0)\times {\mathbf{r}}_v(u_0,v_0)$ 为法线方向向量的平面.

图5.32

下面证明:曲面 $S$ 上过点 $r_0$ 的任一曲线在点 $r_0$ 若有切线,则此切线必位于平面 $\pi$ 上.事实上,在 $S$ 上过点 $r_0$ 任作一条在 $r_0$ 处有切线的曲线 $\Gamma$ ,它的方程为

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}[u(t),v(t)](t\in I),$$

其中 $u(t_0)=u_0,v(t_0)=v_0$ . 由上式两端在 $t_0$ 处对 $t$ 求导, 根据链式法则有

$$\dot{\mathbf{r}}\left(t_0\right)={\mathbf{r}}_u\left(u_0,v_0\right)\dot{u}\left(t_0\right)+{\mathbf{r}}_v\left(u_0,v_0\right)\dot{v}\left(t_0\right).\text{\hspace{1em}(6.25)}$$

(6.25)式表明,曲面 $S$ 上过点 $r_0$ 的任一曲线 $\Gamma$ 在点 $r_0$ 的切向量 $\dot{r}(t_0)$ 都可以用 ${\mathbf{r}}_u(u_0,v_0)$ 与 ${\mathbf{r}}_v(u_0,v_0)$ 线性表示,故 $\Gamma$ 在点 $r_0$ 的切线必位于平面 $\pi$ 上.

因此,我们把在点 $r_0$ 处由$u$曲线和$v$曲线的切向量 $r_u(u_0,v_0)$ 与 $r_v(u_0,v_0)$ 所确定的平面 $\pi$ 称为曲面$S$在点 $r_0$ 的切平面,而把过点 $r_0$ 且垂直于切平面 $\pi$ 的直线称为此曲面$S$在点 $r_0$ 处的法线,法线的方向向量称为法向量.显然,法向量可取为

$$(r_u\times r_v{)}_{(u_0,v_0)}={\left(\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right)}_{(u_0,v_0)}\stackrel{\text{记为}}{=}(A,B,C),$$

于是 $S$ 在点 $r_0$ 的切平面方程为

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0,$$

法线方程为

$$\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C},$$

其中 $x_0=x(u_0,v_0)$ , $y_0=y(u_0,v_0)$ , $z_0=z(u_0,v_0)$ .

若偏导数

$${\mathbf{r}}_u=\left(\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial u}\right),{\mathbf{r}}_v=\left(\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial z}{\partial v}\right)$$

均在区域 $D$ 内连续, 则称曲面 $S$ 是一光滑曲面, 在几何上表示此曲面有连续转动的切平面.

若曲面 $S$ 的方程为直角坐标系下的方程 $F(x,y,z)=0$ ，设 $F$ 具有对各个变量的连续偏导数，且 $(F_x,F_y,F_z)\ne 0$ 。不妨设 $F_z\ne 0$ ，则由隐函数存在定理，方程 $F(x,y,z)=0$ 确定了一个单值连续且有连续偏导数的二元函数 $z=z(x,y)$ 。把 $x$ 与 $y$ 看作是参数，于是曲面 $S$ 的参数方程为

$$\mathbf{r}(x,y)=(x,y,z(x,y)).$$

由于

$${\mathbf{r}}_x=(1,0,z_x)=\left(1,0,-\frac{F_x}{F_z}\right),{\mathbf{r}}_y=(0,1,z_y)=\left(0,1,-\frac{F_y}{F_z}\right),$$

从而

$${\mathbf{r}}_x\times {\mathbf{r}}_y=\left(\frac{F_x}{F_z},\frac{F_y}{F_z},1\right),$$

故可取 $n=(F_x,F_y,F_z)$ 作为法向量，于是曲面在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的切平面方程为

$$F_x\left(P_0\right)\left(x-x_0\right)+F_y\left(P_0\right)\left(y-y_0\right)+F_z\left(P_0\right)\left(z-z_0\right)=0,\text{\hspace{1em}(6.26)}$$

法线方程为

$$\frac{x-x_0}{F_x(P_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(P_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(P_0)}.\text{\hspace{1em}(6.27)}$$

若曲面方程为 $z=f(x,y)$ 或 $f(x,y)-z=0$ ，则由(6.26)及(6.27)两式可得曲面在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面与法线方程分别为

$$z-z_0=f_x\left(x_0,y_0\right)\left(x-x_0\right)+f_y\left(x_0,y_0\right)\left(y-y_0\right)\text{\hspace{1em}(6.28)}$$

及

$$\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1},\text{\hspace{1em}(6.29)}$$

其中 $z_0=f(x_0,y_0)$ .

值得指出的是, 当 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微时, 方程(6.28) 的右端恰好是函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的全微分, 而左端是切平面上点的竖坐标的改变量. 因此, 函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的全微分在几何上表示曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ （其中 $z_0=f(x_0,y_0)$ ）处的切平面上点的竖坐标的改变量——有向线段 $\overrightarrow{PM}$ 的值(图 5.33). 当 $|x-x_0|$ 与 $|y-y_0|$

图5.33

充分小时,用全微分 dz 去近似代替函数的改变量 $\Delta z$ ,也就是用

$$f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$

去近似代替 $f(x,y)$ ，在几何上就是用曲面在点 $P_0$ 的切平面去近似代替曲面.这是局部线性化思想在二元函数中的体现

由曲面的法向量还可以看到三元可微函数 $u=F(x,y,z)$ 的一个事实: 它的梯度向量 $\nabla u=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)$ 正是它的等值面 $F(x,y,z)=C$ (其中 $C$ 为常数)的一个法向量. 我们知道, 沿梯度方向, 函数 $u$ 增长最快; 沿梯度的负方向, 函数 $u$ 减小最快. 而函数值 $u$ 的变化对应于 $u$ 的等值面的变化, 所以, 从几何上看, 函数 $u$ 变化最剧烈的方向, 正是沿着与 $u$ 的等值面“垂直”的法线方向.

例 6.8

求正螺面 $x=u\cos v,y=u\sin v,z=av$ 在 $u=\sqrt{2},v=\frac{\pi }{4}$ 处的切平面与法线方程，其中常数 $a\ne 0$ .

解

由于 $r=(u\cos v,u\sin v,av)$ ，所以

$${\mathbf{r}}_u=\left(x_u,y_u,z_u\right)=(\cos v,\sin v,0),{\mathbf{r}}_v=\left(x_v,y_v,z_v\right)=(-u\sin v,u\cos v,a),$$

在 $u=\sqrt{2},v=\frac{\pi }{4}$ 处， $r_u=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right),r_v=(-1,1,a),r_u\times r_v=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a,-\frac{\sqrt{2}}{2}a,\sqrt{2}\right)$ ，于是曲面上对应于点 $\left(1,1,\frac{\pi }{4}a\right)$ 处的法线向量可取为

$$\mathbf{n}=(a,-a,2),$$

从而可得所求切平面方程是

$$ax-ay+2z=\frac{\pi }{2}a,$$

法线方程是

$$\frac{x-1}{a}=\frac{y-1}{-a}=\frac{z-\frac{\pi }{4}a}{2}.\text{ I }$$

例 6.9

已知椭球面 $S:x^2+2y^2+z^2=\frac{5}{2}$ 和平面 $\pi :x-y+z+4=0$ .

(1) 求 $S$ 的与平面 $\pi$ 平行的切平面的方程；

(2) 求 $S$ 上距离平面 $\pi$ 最近和最远的点.

当曲线是以一般式方程的形式, 即两个曲面的交线给出时, 如何利用两曲面的切平面或法向量, 求出该曲线的切向量及切线方程?

解

（1）设 $S$ 上点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面与平面 $\pi$ 平行，由于 $S$ 上点 $P_0$ 处法向量为

$$\mathbf{n}{\mid }_{P_0}=\left(x_0,2y_0,z_0\right),$$

平面 $\pi$ 的法向量为 $(1,-1,1)$ ，按照平面平行的条件，应该有

$$\frac{x_0}{1}=\frac{2y_0}{-1}=\frac{z_0}{1},$$

从而得 $x_0=z_0,y_0=-\frac{1}{2}{z}_0$ 。代入曲面 $S$ 的方程得 $z_0=\pm 1$ ，因而得到满足要求的点 $P_0$ 有两个： $P_0^{\prime }\left(1,-\frac{1}{2},1\right)$ 和 $P_0^{\prime \prime }\left(-1,\frac{1}{2},-1\right)$ ，则点 $P_0^{\prime }$ 和 $P_0^{\prime \prime }$ 处的切平面方程分别是

$$(x-1)-\left(y+\frac{1}{2}\right)+(z-1)=0\text{和}(x+1)-\left(y-\frac{1}{2}\right)+(z+1)=0,$$

或

$$x-y+z-\frac{5}{2}=0\text{ 和 }x-y+z+\frac{5}{2}=0.$$

它们都与平面 $\pi$ 平行.

（2）容易求出点 $P_0^{\prime }$ 和 $P_0^{\prime \prime }$ 到平面 $\pi$ 的距离分别是 $\frac{13}{2\sqrt{3}}$ 和 $\frac{3}{2\sqrt{3}}$ 显然，椭球面上每一点的切平面都使椭球面位于切平面的一侧，因此，椭球面 $S$ 夹在(1)中所求出的两个相互平行的切平面之间.易求出原点到上述与 $\pi$ 平行的两个切平面的距离都是 $\frac{5}{2\sqrt{3}}$ ，而原点到平面 $\pi$ 的距离为 $\frac{4}{\sqrt{3}}$ .由于 $\frac{4}{\sqrt{3}}>\frac{5}{2\sqrt{3}}$ ，所以平面 $\pi$ 位于上述两个平行的切平面所夹空间区域之外，从而知平面 $\pi$ 与椭球面 $S$ 不相交.由上述椭球面 $S$ 、平面 $\pi$ 以及与之平行的 $S$ 的切平面之间的关系可知 $P_0^{\prime \prime }$ 和 $P_0^{\prime }$ 分别是 $S$ 上距离平面 $\pi$ 最近和最远的点.

5.6 多元函数微分学在几何上的简单应用 课后真题与自测练习

习题与真题

收录本小节对应期中、期末与精选习题· 提供推导解析、试卷溯源与 LaTeX 导出

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