7.2 函数项级数

所谓函数项级数，是指它的每一项都是函数的无穷级数。本节主要讨论一般的函数项级数的收敛性问题，包括处处收敛和一致收敛以及一致收敛的函数项级数所具有的重要性质。

2.1 函数项级数的处处收敛性

设 $\{u_n\}$ 是定义在同一个集合 $A\subseteq \mathbf{R}$ 上由无穷多项组成的一列函数（称为函数列），将它的各项依次用加号联结起来所得到的表达式

u₁ + u₂ + … + uₙ + … 或 ∑ₙ=1^(∞) uₙ (2.1)$$u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots \text{或}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

称为集合 $A$ 上的函数项级数，$u_n$ 称为它的通项，前 $n$ 项之和 $S_n={\sum }_{k=1}^n{u}_k$ 称为它的部分和。

函数项级数的收敛性及其和函数可借助于常数项级数来定义。

定义 2.1（函数项级数的处处收敛性与和函数）

设 $x_0\in A$，将 $x_0$ 代入函数项级数 (2.1)，它就变为一个常数项级数

∑ₙ=1^(∞) uₙ(x₀) = u₁(x₀) + u₂(x₀) + … + uₙ(x₀) + … (2.2)$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)=u_1(x_0)+u_2(x_0)+\cdots +u_n(x_0)+\cdots \text{\hspace{1em}(2.2)}$$

若级数 (2.2) 收敛，则称 $x_0$ 为函数项级数 (2.1) 的收敛点，由收敛点全体所构成的集合 $D$ 称为该级数的收敛域。若 $x_0$ 不是收敛点，则称其为该级数的发散点，由发散点的全体所构成的集合称为该级数的发散域。设 $D$ 为级数 (2.1) 的收敛域，则 $\forall x\in D$，级数 (2.1) 都收敛，称该级数的这种收敛为在 $D$ 上处处收敛（或逐点收敛）。此时，称由

S(x) = ∑ₙ=1^(∞) uₙ(x), x ∈ D$$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x),x\in D$$

定义的函数 $S:D\to \mathbf{R}$ 为级数 (2.1) 的和函数，简称为和。

若级数 (2.1) 在 $D$ 上处处收敛，则 $S(x)={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=1}^n{u}_k(x)={\lim }_{n\to \infty }{S}_n(x)$。因此，在 $D$ 上级数 (2.1) 的和函数就是其部分和 $S_n(x)$ 的极限。与常数项级数类似，也称

Rₙ(x) = S(x) - Sₙ(x) = ∑ₙ=1^(∞) uₖ(x)$$R_n(x)=S(x)-S_n(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_k(x)$$

为该级数的余项，并且 ${\lim }_{n\to \infty }{R}_n(x)=0$ ($x\in D$)。

由于函数项级数的收敛性是用常数项级数的收敛性逐点定义的，因此，只要利用已知的常数项级数的审敛准则就能判定一些函数项级数的收敛性，并求出它们的收敛域和函数。

例 2.1 研究等比级数

∑ₙ=0^(∞) a xⁿ = a + ax + ax² + … + axⁿ + …$$\sum _{n=0}^{\infty }a{x}^n=a+ax+a{x}^2+\cdots +a{x}^n+\cdots$$

的收敛性，并求其和函数（其中 $a\ne 0$）。

解

由例1.2 知，当 $|x|<1$ 时，该级数收敛；当 $|x|\ge 1$ 时，该级数发散。所以它的收敛域是 $(-1,1)$，和函数为

S(x) = ∑ₙ=0^(∞) axⁿ = (a)/(1 - x), x ∈ (-1, 1).$$S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a{x}^n=\frac{a}{1-x},x\in (-1,1).$$

例 2.2 研究级数

x + (x² - x) + (x³ - x²) + … + (xⁿ - xⁿ-1) + …$$x+(x^2-x)+(x^3-x^2)+\cdots +(x^n-x^{n-1})+\cdots$$

的收敛性，并求其和函数。

解

由于

Sₙ(x) = x + (x² - x) + (x³ - x²) + … + (xⁿ - xⁿ-1) = xⁿ,$$S_n(x)=x+(x^2-x)+(x^3-x^2)+\cdots +(x^n-x^{n-1})=x^n,$$

故当 $|x|<1$ 时，${\lim }_{n\to \infty }{S}_n(x)={\lim }_{n\to \infty }{x}^n=0$；当 $x=1$ 时，${\lim }_{n\to \infty }{S}_n(1)=1$；当 $x=-1$ 时，$S_n(-1)=(-1{)}^n$，故 $n\to \infty$ 时它的极限不存在；当 $|x|>1$ 时，${\lim }_{n\to \infty }{S}_n(x)={\lim }_{n\to \infty }{x}^n=\pm \infty$。因此，该级数的收敛域为 $(-1,1]$，和函数为

S(x) = 0, & |x| < 1, 1, & x = 1.$$S(x)=\{\begin{array}{ll}0,& |x|<1,\\ 1,& x=1.\end{array}$$

在上册中我们知道，有限个函数之和保持各相加函数许多重要的分析性质。例如：(1) 有限个连续函数之和仍为连续函数；(2) 有限个可导函数之和仍为可导函数，并且它的导数等于各个函数的导数之和；(3) 有限个可积函数之和仍为可积函数，并且它的积分等于各函数的积分之和。那么，无限多个函数相加（即函数项级数）是否也具有这些性质呢？细心的读者可能已经发现，例2.2 中级数的每一项在区间 $(-1,1]$ 上都是连续而且可导的，但它的和函数在 $(-1,1]$ 上却不连续，自然也不可导。这说明，在处处收敛的条件下，函数项级数不具备有限个函数之和的上述性质，这是非常遗憾的事！因为，如果上述性质仍然成立，那么函数项级数的分析运算就非常方便。因此，研究在什么条件下函数项级数才能保持各相加函数的分析性质就是摆在我们面前的一个非常重要的问题。研究发现，函数项级数一致收敛的概念对解决这个问题起着至关重要的作用。

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2.2 函数项级数的一致收敛性概念与判别方法

为了更好地理解函数项级数的一致收敛性，先对它的处处收敛性作进一步的分析。设级数 (2.1) 在 $D$ 上处处收敛于 $S(x)$，即 $\forall x\in D,{\lim }_{n\to \infty }{S}_n(x)=S(x)$。用 $\epsilon$-$N$ 语言表述，就是 $\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbf{N}}_{+}$，当 $n>N$ 时，恒有

|Sₙ(x) - S(x)| < ε. (2.3)$$|S_n(x)-S(x)|<\epsilon .\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

应当注意的是，这里的 $N$ 不仅与 $\epsilon$ 有关，而且与 $x$ 有关。即便对同一个 $\epsilon$，当 $x$ 不同时，$N$ 也不尽相同。因此，常将它写成 $N=N(x,\epsilon )$。下面以例2.2 来说明。

例2.2 中的级数在区间 $[0,1)$ 上处处收敛于零，即 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n(x)=0,x\in [0,1)$。故 $\forall \epsilon >0$，使不等式 (2.3) 成立的 $N$ 应满足

|Sₙ(x) - 0| = xⁿ < ε,$$|S_n(x)-0|=x^n<\epsilon ,$$

解之可得 $N=\left[\frac{\ln \epsilon }{\ln x}\right]$。显然，它不但与 $\epsilon$ 有关，而且与 $x$ 有关。这个事实从图 7.2 也可以很清楚地看到。对于给定的 $\epsilon$，在 $x_1$ 处，只要 $n>2$ 曲线 $S_n(x)=x^n$ 上的对应点 $(x_1,x_1^n)$ 就落到以函数 $S(x)=0$ 为对称轴的宽为 $2\epsilon$ 的带形域中；而在点 $x_2$ 处，需要 $n>10$ 才行。而且，不论 $n$ 取多大，曲线 $S_n(x)=x^n$ 上与 $[0,1)$ 相对应部分始终不能全部落到这个带形域中。这就是说，使不等式 $x^n<\epsilon$ 成立的 $N$ 对于不同的 $x$ 是不一致的。如果对于所有的 $x\in D$，能找到一个共同的 $N$，它仅与 $\epsilon$ 有关，使不等式 (2.3) 成立，那么就说级数 (2.1) 在 $D$ 上一致收敛于 $S(x)$。

定义 2.2（函数项级数的一致收敛性）

若存在一个函数 $S:D\to \mathbf{R}$，满足

∀ ε > 0, ∃ N(ε) ∈ N_+, 当 n > N(ε) 时, ∀ x ∈ D, 恒有 |Sₙ(x) - S(x)| < ε, (2.4)$$\forall \epsilon >0,\exists N(\epsilon )\in {\mathbf{N}}_{+},\text{当 }n>N(\epsilon )\text{ 时},\forall x\in D,\text{恒有 }|S_n(x)-S(x)|<\epsilon ,\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

则称级数 (2.1) 在 $D$ 上一致收敛于 $S$。

注

在解不等式 $x^n<\epsilon$ 得到的 $N=\left[\frac{\ln \epsilon }{\ln x}\right]$ 中只需考虑 $x>0$ 的情况，因为当 $x=0$ 时，不等式 $x^n<\epsilon$ 显然对任何 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 都成立。

级数 (2.1) 在 $D$ 上一致收敛于 $S$ 的几何意义是：对于给定的 $\epsilon >0$，当 $n>N(\epsilon )$ 时，它的部分和函数列 $\{S_n\}$ 的图像全部落到关于函数 $S$ 图像对称的宽为 $2\epsilon$ 的带形域中（图 7.3）。

图 7.2

图 7.3

例 2.3 证明：函数项级数

(x)/(1 + x²) + ∑ₙ=2^(∞) [ (x)/(1 + n² x²) - (x)/(1 + (n-1)² x²) ]$$\frac{x}{1+x^2}+\sum _{n=2}^{\infty }\left[\frac{x}{1+n^2{x}^2}-\frac{x}{1+(n-1{)}^2{x}^2}\right]$$

在区间 $[0,1]$ 上一致收敛于 0。

证

由于该级数的部分和函数列为 $S_n(x)=\frac{x}{1+n^2{x}^2}$，所以 $\forall x\in [0,1],{\lim }_{n\to \infty }{S}_n(x)=0$。就是说，在 $[0,1]$ 上该级数处处收敛于 $S(x)=0$。下面证明它在 $[0,1]$ 上一致收敛于 0。由于

|Sₙ(x) - S(x)| = | (x)/(1 + n² x²) | = (1)/(2n) · (2nx)/(1 + n² x²) ≤ (1)/(2n),$$|S_n(x)-S(x)|=\left|\frac{x}{1+n^2{x}^2}\right|=\frac{1}{2n}\cdot \frac{2nx}{1+n^2{x}^2}\le \frac{1}{2n},$$

因此，对于任给的 $\epsilon >0$，要使 $|S_n(x)-S(x)|<\epsilon$，只要 $\frac{1}{2n}<\epsilon$ 就行了。取 $N=\left[\frac{1}{2\epsilon }\right]$，当 $n>N$ 时，$\forall x\in [0,1]$，恒有 $|S_n(x)-0|<\epsilon$。根据定义2.2，该级数在 $[0,1]$ 上一致收敛于 0。

例 2.4 证明：例 2.2 中的函数项级数在区间 $(-1, 1]$ 上不一致收敛。

证

由例2.2 知，该级数在 $(-1,1]$ 上处处收敛于和函数

S(x) = 0, & |x| < 1, 1, & x = 1.$$S(x)=\{\begin{array}{ll}0,& |x|<1,\\ 1,& x=1.\end{array}$$

为了证明它在 $(-1,1]$ 上不一致收敛于 $S(x)$，只要证明：$\exists {\epsilon }_0>0,\forall n\in {\mathbf{N}}_{+},\exists x_n\in (-1,1]$，使 $|S_n(x_n)-S(x_n)|\ge {\epsilon }_0$ 就行了。由于级数的部分和 $S_n(x)=x^n$，且 $\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}$，取点 $x_n=\frac{1}{\sqrt{2}}\in (0,1]$，故有

|Sₙ(xₙ) - S(xₙ)| = | ((1)/(√(2)))ⁿ - 0 | = ((1)/(√(2)))ⁿ （此处原书印刷体略有微调，按整体逻辑取值）$$|S_n(x_n)-S(x_n)|=\left|{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^n-0\right|={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^n\text{（此处原书印刷体略有微调，按整体逻辑取值）}$$

因此，只要取 ${\epsilon }_0\le \frac{1}{2}$，则 $\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}$，在点 $x_n$ 处都有 $|S_n(x_n)-S(x_n)|\ge {\epsilon }_0$，这样就证明了题中的结论。

由定义2.2 易知，若级数 (2.1) 在 $D$ 上一致收敛于 $S$；反之，结论不一定成立，例2.2 中的级数就属于这种情况。$S$；反之，结论不一定成立，例 2.2 中的级数就属于这种情况。

用定义来判断函数项级数的一致收敛性需要先知道它的和函数，是比较困难的，下面介绍判别级数一致收敛的 Cauchy 原理，它无需知道和函数。

定理 2.1（Cauchy 一致收敛原理）

函数项级数 (2.1) 在 $D$ 上一致收敛的充要条件是

∀ ε > 0, ∃ N(ε) ∈ N_+, 使得 ∀ n, p ∈ N_+, 当 n > N(ε) 时, ∀ x ∈ D, 恒有$$\forall \epsilon >0,\exists N(\epsilon )\in {\mathbf{N}}_{+},\text{使得 }\forall n,p\in {\mathbf{N}}_{+},\text{当 }n>N(\epsilon )\text{ 时},\forall x\in D,\text{恒有}$$|Sₙ+p(x) - Sₙ(x)| = | ∑ₖ=n+1ⁿ+p uₖ(x) | < ε. (2.5)$$|S_{n+p}(x)-S_n(x)|=\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_k(x)\right|<\epsilon .\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

证明

必要性 设级数 (2.1) 在 $D$ 上一致收敛于 $S:D\to \mathbf{R}$，则 $\forall \epsilon >0,\exists N(\epsilon )\in {\mathbf{N}}_{+}$，使得 $\forall n,p\in {\mathbf{N}}_{+},\text{当 }n>N(\epsilon )\text{ 时},\forall x\in D$，恒有

|Sₙ(x) - S(x)| < (ε)/(2), |Sₙ+p(x) - S(x)| < (ε)/(2),$$|S_n(x)-S(x)|<\frac{\epsilon }{2},|S_{n+p}(x)-S(x)|<\frac{\epsilon }{2},$$

从而有

|Sₙ+p(x) - Sₙ(x)| ≤ |Sₙ+p(x) - S(x)| + |Sₙ(x) - S(x)| < ε.$$|S_{n+p}(x)-S_n(x)|\le |S_{n+p}(x)-S(x)|+|S_n(x)-S(x)|<\epsilon .$$

充分性 设不等式 (2.5) 成立。由常数项级数的 Cauchy 收敛原理，对于任意固定的 $x\in D$，部分和数列 $\{S_n(x)\}$ 收敛，即级数 (2.1) 是收敛的常数项级数，故它在 $D$ 上处处收敛，设其极限函数为 $S:D\to \mathbf{R}$。在不等式 (2.5) 中令 $p\to \infty$，便得：当 $n>N(\epsilon )$ 时，$\forall x\in D$，

|S(x) - Sₙ(x)| ≤ ε.$$|S(x)-S_n(x)|\le \epsilon .$$

由定义2.2，$\{S_n\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $S$，故级数 (2.1) 在 $D$ 上一致收敛于 $S$.

Cauchy 一致收敛原理给出了判别函数项级数一致收敛的充要条件，虽然应用起来并不方便，却有着重要的理论意义。下面我们利用 Cauchy 原理推出一致收敛的一个常用的判别准则——Weierstrass 准则或称 $M$ 判别准则。

定理 2.2（$M$ 判别准则）

如果存在一个收敛的正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{M}_n,\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 以及 $\forall x\in D$，恒有 $|u_n(x)|\le M_n$，那么级数 (2.1) 在 $D$ 上一致收敛。

证

由于正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{M}_n$ 收敛，根据常数项级数的 Cauchy 收敛原理，$\forall \epsilon >0,\exists N(\epsilon )\in {\mathbf{N}}_{+}$，使得 $\forall n,p\in {\mathbf{N}}_{+},\text{当 }n>N(\epsilon )$ 时，恒有

Mₙ+1 + Mₙ+2 + … + Mₙ+p < ε.$$M_{n+1}+M_{n+2}+\cdots +M_{n+p}<\epsilon .$$

又已知 $\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}$，以及 $\forall x\in D,|u_n(x)|\le M_n$，故得

|uₙ+1(x) + uₙ+2(x) + … + uₙ+p(x)| ≤ |uₙ+1(x)| + … + |uₙ+p(x)| ≤ Mₙ+1 + Mₙ+2 + … + Mₙ+p < ε.$$|u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+\cdots +u_{n+p}(x)|\le |u_{n+1}(x)|+\cdots +|u_{n+p}(x)|\le M_{n+1}+M_{n+2}+\cdots +M_{n+p}<\epsilon .$$

根据定理2.1，级数 (2.1) 在 $D$ 上一致收敛。

注

$M$ 判别准则将判定函数项级数一致收敛的问题，转化为求一个收敛的正项级数作为该级数的控制级数的问题。

定理2.2 中的级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{M}_n$ 称为级数 (2.1) 的优级数或控制级数。利用 $M$ 判别准则证明级数 (2.1) 在 $D$ 上一致收敛，关键在于找到它的一个优级数。

微课视频 7.2.1函数项级数一致收敛性微课 ↗

例 2.5

证明级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^2}$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致收敛。

证

由于 $\forall x\in (-\infty ,+\infty )$，不等式

|(sin nx)/(n²)| ≤ (1)/(n²) (n ∈ N_+)$$\left|\frac{\sin nx}{n^2}\right|\le \frac{1}{n^2}(n\in {\mathbf{N}}_{+})$$

成立，并且级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ 是收敛的，故由 $M$ 判别准则，原级数在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致收敛。

例 2.6

证明级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }n{e}^{-nx}$ 在区间 $[\delta ,+\infty )$（其中 $\delta >0$）上一半一致收敛。

证

由于 $\forall x\in [\delta ,+\infty )$，$\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}$，恒有

|uₙ(x)| = ne⁻nx ≤ ne⁻nδ.$$|u_n(x)|=n{e}^{-nx}\le n{e}^{-n\delta }.$$

记 $M_n=n{e}^{-n\delta }$，则

limₙ → ∞ fracMₙ+1Mₙ = limₙ → ∞ (n+1)/(n) e⁻δ = e⁻δ < 1.$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{M_{n+1}}{M_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{n}{e}^{-\delta }=e^{-\delta }<1.$$

由比值法知级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{M}_n$ 收敛，所以级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }n{e}^{-nx}$ 在区间 $[\delta ,+\infty )$ 上一致收敛。

2.3 一致收敛级数的性质

现在证明，在一致收敛的条件下，函数项级数的和函数保持了有限个函数之和的一些重要分析性质。

定理 2.3（和函数的连续性）

设 $u_n\in C(I)(n\in {\mathbf{N}}_{+})$，若函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 在区间 $I$ 上一致收敛于 $S:I\to \mathbf{R}$，则和函数 $S\in C(I)$。

证

为证明 $S$ 在 $I$ 上连续，只要证明 $S$ 在任意一点 $x_0\in I$ 处连续。根据连续的定义，就是要证明：$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$，使得当 $x\in U(x_0,\delta )\cap I$ 时，恒有

|S(x) - S(x₀)| < ε.$$|S(x)-S(x_0)|<\epsilon .$$

证明续

由于级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 在 $I$ 上一致收敛于 $S$，根据定义2.2，$\forall \epsilon >0,\exists N=N(\epsilon )\in {\mathbf{N}}_{+}$，使得 $\forall x\in I$，恒有

|S(x) - S_N(x)| < (ε)/(3), (2.6)$$|S(x)-S_N(x)|<\frac{\epsilon }{3},\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

因而，对于任意的 $x_0\in I$，也有

|S(x₀) - S_N(x₀)| < (ε)/(3). (2.7)$$|S(x_0)-S_N(x_0)|<\frac{\epsilon }{3}.\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

又由 $u_n\in C(I)$ 得知，部分和 $S_N={\sum }_{k=1}^N{u}_k$ 也在 $x_0$ 处连续，故对于上述 $\epsilon >0$，必 $\exists \delta >0$，使得 $\forall x\in U(x_0,\delta )\cap I$，有

|S_N(x) - S_N(x₀)| < (ε)/(3). (2.8)$$|S_N(x)-S_N(x_0)|<\frac{\epsilon }{3}.\text{\hspace{1em}(2.8)}$$

综合不等式 $(2.6)$、$(2.7)$ 与 $(2.8)$，就有：$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$，使得当 $x\in U(x_0,\delta )\cap I$ 时，

|S(x) - S(x₀)| &≤ |S(x) - S_N(x)| + |S_N(x) - S_N(x₀)| + |S_N(x₀) - S(x₀)| &< (ε)/(3) + (ε)/(3) + (ε)/(3) = ε,$$\begin{array}{rl}|S(x)-S(x_0)|& \le |S(x)-S_N(x)|+|S_N(x)-S_N(x_0)|+|S_N(x_0)-S(x_0)|\\ & <\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}=\epsilon ,\end{array}$$

从而定理得证。

由定理2.3 易知

limₓ → x₀ ∑ₙ=1^(∞) uₙ(x) = limₓ → x₀ S(x) = S(x₀) = ∑ₙ=1^(∞) uₙ(x₀) = ∑ₙ=1^(∞) limₓ → x₀ uₙ(x). (2.9)$$\underset{x\to x_0}{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }S(x)=S(x_0)=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)=\sum _{n=1}^{\infty }\underset{x\to x_0}{\lim }{u}_n(x).\text{\hspace{1em}(2.9)}$$

定理 2.4（和函数的可积性）

设 $u_n\in C[a,b](n\in {\mathbf{N}}_{+})$。若级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $S:[a,b]\to \mathbf{R}$，则和函数 $S$ 在 $[a,b]$ 上可积，且 $\forall x\in [a,b]$，

∫ₐˣ S(t) dt = ∫ₐˣ (∑ₙ=1^(∞) uₙ(t)) dt = ∑ₙ=1^(∞) ∫ₐˣ uₙ(t) dt. (2.10)$${\int }_a^{x}S(t)\mathrm{d}t={\int }_a^x\left(\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(t)\right)\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_a^x{u}_n(t)\mathrm{d}t.\text{\hspace{1em}(2.10)}$$

证

由定理2.3，$S\in C[a,b]$，所以 $S$ 在 $[a,b]$ 上可积。为了证明 $(2.10)$ 式，由于 $\forall x\in [a,b]$，

∑ₙ=1^(∞) ∫ₐˣ uₙ(t) dt = limₙ → ∞ ∑ₖ=1ⁿ ∫ₐˣ uₖ(t) dt = limₙ → ∞ ∫ₐˣ ∑ₖ=1ⁿ uₖ(t) dt = limₙ → ∞ ∫ₐˣ Sₙ(t) dt,$$\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_a^x{u}_n(t)\mathrm{d}t=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n{\int }_a^x{u}_k(t)\mathrm{d}t=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^x\sum _{k=1}^n{u}_k(t)\mathrm{d}t=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^x{S}_n(t)\mathrm{d}t,$$

所以只要证明

∫ₐˣ S(t) dt = limₙ → ∞ ∫ₐˣ Sₙ(t) dt.$${\int }_a^{x}S(t)\mathrm{d}t=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^x{S}_n(t)\mathrm{d}t.$$

证明续

又由于

|∫ₐˣ S(t) dt - ∫ₐˣ Sₙ(t) dt| &= |∫ₐˣ [S(t) - Sₙ(t)] dt| &≤ ∫ₐˣ |S(t) - Sₙ(t)| dt ≤ ∫ₐ^b |S(t) - Sₙ(t)| dt,$$\begin{array}{rl}\left|{\int }_a^{x}S(t)\mathrm{d}t-{\int }_a^x{S}_n(t)\mathrm{d}t\right|& =\left|{\int }_a^x[S(t)-S_n(t)]\mathrm{d}t\right|\\ & \le {\int }_a^x|S(t)-S_n(t)|\mathrm{d}t\le {\int }_a^b|S(t)-S_n(t)|\mathrm{d}t,\end{array}$$

并且级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $S$，即 $\forall \epsilon >0,\exists N(\epsilon )\in {\mathbf{N}}_{+}$，使得当 $n>N(\epsilon )$ 时，$\forall x\in [a,b]$，恒有 $|S(x)-S_n(x)|<\epsilon$。因而当 $n>N(\epsilon )$ 时，

|∫ₐˣ S(t) dt - ∫ₐˣ Sₙ(t) dt| < ∫ₐ^b ε dt = ε(b - a).$$\left|{\int }_a^{x}S(t)\mathrm{d}t-{\int }_a^x{S}_n(t)\mathrm{d}t\right|<{\int }_a^b\epsilon \mathrm{d}t=\epsilon (b-a).$$

由 $\epsilon$ 的任意性得

∫ₐˣ S(t) dt = limₙ → ∞ ∫ₐˣ Sₙ(t) dt.$${\int }_a^{x}S(t)\mathrm{d}t=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^x{S}_n(t)\mathrm{d}t.$$

定理 2.5（和函数的可导性）

设 $u_n\in C^{(1)}(I)(n\in {\mathbf{N}}_{+})$。若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 在 $I$ 上处处收敛于 $S:I\to \mathbf{R}$，${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n^{\prime }$ 在 $I$ 上一致收敛于 $\sigma :I\to \mathbf{R}$，则和函数 $S\in C^{(1)}(I)$，并且

S'(x) = (∑ₙ=1^(∞) uₙ(x))' = ∑ₙ=1^(∞) uₙ'(x) = σ(x). (2.11)$$S^{\prime }(x)={\left(\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)\right)}^{\prime }=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n^{\prime }(x)=\sigma (x).\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

证

由于 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n^{\prime }$ 在 $I$ 上一致收敛于 $\sigma$，$u_n^{\prime }$ 在 $I$ 上连续，根据定理2.3。又由定理2.4，$\sigma \in C(I)$。又由定理 2.4，$\forall x_0,x\in I$，

∫ₓ₀ˣ σ(t) dt = ∫ₓ₀ˣ ∑ₙ=1^(∞) uₙ'(t) dt = ∑ₙ=1^(∞) ∫ₓ₀ˣ uₙ'(t) dt = ∑ₙ=1^(∞) uₙ(x) - ∑ₙ=1^(∞) uₙ(x₀) = S(x) - S(x₀).$${\int }_{x_0}^x\sigma (t)\mathrm{d}t={\int }_{x_0}^x\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n^{\prime }(t)\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{x_0}^x{u}_n^{\prime }(t)\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)-\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)=S(x)-S(x_0).$$

在上式中固定 $x_0$，对积分上限 $x$ 求导得

σ(x) = (d)/(dx) (∫ₓ₀ˣ σ(t) dt) = S'(x).$$\sigma (x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left({\int }_{x_0}^x\sigma (t)\mathrm{d}t\right)=S^{\prime }(x).$$

因此，$S^{\prime }\in C(I)$，即 $S\in C^{(1)}(I)$，并且

S'(x) = (∑ₙ=1^(∞) uₙ(x))' = ∑ₙ=1^(∞) uₙ'(x).$$S^{\prime }(x)={\left(\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)\right)}^{\prime }=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n^{\prime }(x).$$

等式 $(2.9)$、$(2.10)$ 与 $(2.11)$ 表明，在对应定理的条件下，对级数可以逐项求极限、逐项求积分与逐项求导。换句话说，求极限、求积分与求导数都可以与求和交换次序，关键的条件是一致收敛性。但是，一致收敛仅是保证这些结论成立的充分条件，而不是必要条件。

例 2.7

证明：函数

f(x) = ∑ₙ=1^(∞) (cos nx)/(n³)$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos nx}{n^3}$$

在 $(-\infty ,+\infty )$ 内有连续的导数，并且 $f^{\prime }(x)=-{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^2}$。

证

只要证明级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\cos nx}{n^3}$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上满足定理2.5 的条件即可。由于 $\forall x\in (-\infty ,+\infty )$，

|(cos nx)/(n³)| ≤ (1)/(n³),$$\left|\frac{\cos nx}{n^3}\right|\le \frac{1}{n^3},$$

并且 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^3}$ 收敛，根据 $M$ 判别准则，级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\cos nx}{n^3}$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致收敛，因而处处收敛。又 $u_n(x)=\frac{\cos nx}{n^3}\in C^{(1)}(-\infty ,+\infty )$，${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n^{\prime }(x)=-{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^2}$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致收敛（例2.5），由定理2.5，$f\in C^{(1)}(-\infty ,+\infty )$，并且

f'(x) = (∑ₙ=1^(∞) (cos nx)/(n³))' = ∑ₙ=1^(∞) ((cos nx)/(n³))' = -∑ₙ=1^(∞) (sin nx)/(n²).$$f^{\prime }(x)={\left(\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos nx}{n^3}\right)}^{\prime }=\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{\cos nx}{n^3}\right)}^{\prime }=-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^2}.$$

7.2 函数项级数