6.4 含参变量的积分与反常重积分

在许多问题中所遇到的积分，其被积函数除依赖于积分变量外，还可能依赖于另外的变量。例如，在变力沿直线做功的问题中，如果此变力 $f$ 不仅与位移 $x$ 有关，还与时间 $t$ 有关，那么此变力将物体由 $x=a$ 移至 $x=b$ 所做的功为 $W(t)={\int }_a^{b}f(x,t)\mathrm{d}x$，这种积分称为含参变量积分。其实，我们已经不止一次地遇到过这种积分。例如将二重积分化成为累次积分时所遇到的积分 ${\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y$，第三章第五节中所介绍的 $\Gamma$ 函数，都是含参变量积分。本节将不通过计算其值而直接讨论含参变量积分的某些重要性质。此外，为了满足科学技术的需求，还要将重积分的概念加以拓广，介绍反常重积分的概念、性质与计算。

4.1 含参变量的积分

在本段中我们总记 $D=[a,b]\times [c,d]$。如果 $f\in C(D)$，那么对任一固定的 $y\in [c,d]$，积分

F(y) = ∫ₐ^(b) f(x, y) dx (4.1)$$F(y)={\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

存在，且将随 $y$ 的改变而变化，我们称积分 (4.1) 为含参变量 $y$ 的积分，它是参变量 $y$ 的函数。同样，对任一 $x\in [a,b]$，积分

G(x) = ∫_(c)^(d) f(x, y) dy$$G(x)={\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y$$

称为含参变量 $x$ 的积分，它是参变量 $x$ 的函数。

下面我们以含参变量积分 (4.1) 为例来讨论其有关性质。

定理 4.1 (连续性)

若 $f\in C(D)$，则

F(y) = ∫ₐ^(b) f(x, y) dx$$F(y)={\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x$$

在区间 $[c,d]$ 上连续。

证明

任取 $y\in [c,d]$，令 $y+\Delta y\in [c,d]$。由于 $f\in C(D)$，且 $D$ 是有界闭域，故 $f$ 必在 $D$ 上一致连续，从而对 $\forall \epsilon >0$，存在仅与 $\epsilon$ 有关的 $\delta (\epsilon )>0$，使得 $\forall (x,y)\in D$，当 $\Delta x=0,|\Delta y|<\delta$ 时有

|f(x, y + Δ y) - f(x, y)| < (ε)/(b - a)$$|f(x,y+\Delta y)-f(x,y)|<\frac{\epsilon }{b-a}$$

于是

|F(y + Δ y) - F(y)| &≤slant ∫ₐ^(b) |f(x, y + Δ y) - f(x, y)| dx &< ∫ₐ^(b) (ε)/(b - a) dx = ε$$\begin{array}{rl}|F(y+\Delta y)-F(y)|& ⩽{\int }_a^b|f(x,y+\Delta y)-f(x,y)|\mathrm{d}x\\ & <{\int }_a^b\frac{\epsilon }{b-a}\mathrm{d}x=\epsilon \end{array}$$

因此 $F(y)$ 在 $[c,d]$ 上连续。由定理可知，

lim_y → y₀ F(y) = F(y₀)$$\underset{y\to y_0}{\lim }F(y)=F(y_0)$$

即

lim_(y → y₀ ∫ₐ^(b) f(x, y) dx = ∫ₐ^b) f(x, y₀) dx = ∫ₐ^(b) [lim_y → y₀ f(x, y)] dx$$\underset{y\to y_0}{\lim }{\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(x,y_0)\mathrm{d}x={\int }_a^b[\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)]\mathrm{d}x$$

思路分析

定理4.1 证明的思想是：$\forall \epsilon >0$ 要证明 $\exists \delta (\epsilon )$ 使 $|\Delta y|<\delta$ 恒有 $|F(y+\Delta y)-F(y)|<\epsilon$。由于 (4.1) 式右端的积分变量和积分上、下限均与 $y$ 及 $\Delta y$ 无关，故可将 $F$ 的变量变化转化为被积函数 $f$ 的变量。为了保证 $|f(x,y+\Delta y)-f(x,y)|<\frac{\epsilon }{b-a}$ 中的 $\epsilon$ 是与 $x$ 和 $y$ 无关的常数，需要 $f$ 在 $D$ 上一致连续。不难看出，实际上我们证明了 $F(y)$ 在 $[c,d]$ 上是一致连续的。

注意

定理4.1 告诉我们，当 $f\in C(D)$ 时，求极限与积分可以交换顺序。

定理 4.2 (可导性)

若 $f\in C(D),f_y\in C(D)$，则

F(y) = ∫ₐ^(b) f(x, y) dx$$F(y)={\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x$$

在 $[c,d]$ 上有连续的导数，且求导与积分可交换顺序，即

F'(y) = (d)/(dy) ∫ₐ^(b) f(x, y) dx = ∫ₐ^(b) (∂ f(x, y))/(∂ y) dx$$F^{\prime }(y)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}{\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x={\int }_a^b\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\mathrm{d}x$$

证明

任取 $y\in [c,d]$，令 $y+\Delta y\in [c,d]$，于是

Δ F = F(y + Δ y) - F(y) = ∫ₐ^(b) [f(x, y + Δ y) - f(x, y)] dx$$\Delta F=F(y+\Delta y)-F(y)={\int }_a^b[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)]\mathrm{d}x$$

由微分中值定理知

f(x, y + Δ y) - f(x, y) = f_y(x, y + θ Δ y) Δ y, 0 < θ < 1$$f(x,y+\Delta y)-f(x,y)=f_y(x,y+\theta \Delta y)\Delta y,0<\theta <1$$

代入上式并除以 $\Delta y$ 得

(Δ F)/(Δ y) = ∫ₐ^(b) f_y(x, y + θ Δ y) dx (4.2)$$\frac{\Delta F}{\Delta y}={\int }_a^b{f}_y(x,y+\theta \Delta y)\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

由于 $f_y(x,y)$ 在闭域 $D$ 上连续，根据定理4.1 可知

F'(y) = lim_(Δ y → 0) (Δ F)/(Δ y) = ∫ₐ^(b) lim_(Δ y → 0) f_y(x, y + θ Δ y) dx = ∫ₐ^(b) f_y(x, y) dx$$F^{\prime }(y)=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{\Delta F}{\Delta y}={\int }_a^b\underset{\Delta y\to 0}{\lim }{f}_y(x,y+\theta \Delta y)\mathrm{d}x={\int }_a^b{f}_y(x,y)\mathrm{d}x$$

并且 $F^{\prime }(y)$ 在 $[c,d]$ 上连续。

例 4.1

例4.1 求 ${\int }_0^1\arctan \frac{x}{y}\mathrm{d}x$ ($y\ne 0$) 对参数 $y$ 的导数

解

当 $y\ne 0$ 时，由定理4.2 得

(d)/(dy) ∫₀¹ arctan x/y dx = ∫₀¹ ( (∂)/(∂ y) arctan x/y ) dx = -∫₀¹ (x)/(x² + y²) dx = -1/2 ln (y²)/(1 + y²)$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}{\int }_0^1\arctan \frac{x}{y}\mathrm{d}x={\int }_0^1\left(\frac{\partial }{\partial y}\arctan \frac{x}{y}\right)\mathrm{d}x=-{\int }_0^1\frac{x}{x^2+y^2}\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\ln \frac{y^2}{1+y^2}$$

定理 4.3 (积分顺序交换性)

若 $f\in C(D)$，则

F(y) = ∫_(c)^(d) f(x, y) dx 在 [c, d] 上可积,$$F(y)={\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}x\text{在 }[c,d]\text{ 上可积,}$$G(x) = ∫ₐ^(b) f(x, y) dy 在 [a, b] 上可积,$$G(x)={\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}y\text{在 }[a,b]\text{ 上可积,}$$

且

∫_(c)^(d) ( ∫ₐ^(b) f(x, y) dx ) dy = ∫ₐ^(b) ( ∫_(c)^(d) f(x, y) dy ) dx$${\int }_c^d\left({\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y={\int }_a^b\left({\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x$$

证明

从二重积分的几何意义来看，等式的成立是显然的。下面我们再加以分析证明。 设

I(t) = ∫_(c)^(d) dy ∫ₐ^(b) f(x, y) dx - ∫ₐ^(b) dx ∫_(c)^(d) f(x, y) dy (4.3)$$I(t)={\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x-{\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

对变量 $t$ 求导，对于其中第一个积分直接利用微积分学第一基本定理；对于第二个积分，先利用定理4.2，再利用微积分学第一基本定理，得

I'(t) = ∫_(c)^(d) f(x, t) dx - ∫ₐ^(b) f(x, t) dx ≡ 0$$I^{\prime }(t)={\int }_c^{d}f(x,t)\mathrm{d}x-{\int }_a^{b}f(x,t)\mathrm{d}x\equiv 0$$

于是在 $[c,d]$ 上有 $I(t)\equiv k$ ($k$ 为常数)。 由 (4.3) 式可知 $I(c)=0$，从而 $k=0$。于是 $I(t)\equiv 0,\forall t\in [c,d]$，所以 $I(d)=0$，即结论成立。

注意

定理4.3 告诉我们，当 $f\in C(D)$ 时，若积分限均为常数，则对含参变量积分求积分可以在积分号内进行，或者说积分可以交换顺序。

例 4.2

例4.2 计算积分 ${\int }_0^1\frac{x^b-x^a}{\ln x}\mathrm{d}x$ ($a, b >

0$)

解

这个积分难以直接计算，需要利用定理4.3 来求。由于

(x^b - x^a)/(ln x) = ∫ₐ^(b) xʸ dy$$\frac{x^b-x^a}{\ln x}={\int }_a^b{x}^y\mathrm{d}y$$

由定理4.3 可知

∫₀¹ (x^b - x^a)/(ln x) dx = ∫₀¹ dx ∫ₐ^(b) xʸ dy = ∫ₐ^(b) dy ∫₀¹ xʸ dx = ∫ₐ^(b) (1)/(1 + y) dy = ln (1 + b)/(1 + a)$${\int }_0^1\frac{x^b-x^a}{\ln x}\mathrm{d}x={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_a^b{x}^y\mathrm{d}y={\int }_a^b\mathrm{d}y{\int }_0^1{x}^y\mathrm{d}x={\int }_a^b\frac{1}{1+y}\mathrm{d}y=\ln \frac{1+b}{1+a}$$

在把二重积分化为累次积分时，我们更频繁地碰到含参变量积分，其上、下限是参变量的函数。接下来就讨论这种含参变量积分的连续性和求导法。

定理 4.4

设 $f(x,y)\in C(D),x_1(y),x_2(y)\in C[c,d],i=1,2$，且其值域均为 $[a,b]$，则

F(y) = ∫ₓ₁(y)ˣ₂(y) f(x, y) dx$$F(y)={\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$$

必在 $[c,d]$ 上连续。

证明

$\forall y\in [c,d]$，令 $y+\Delta y\in [c,d]$，有

Δ F = F(y + Δ y) - F(y) &= ∫ₓ₁(y+Δ y)ˣ₂(y+Δ y) f(x, y + Δ y) dx - ∫ₓ₁(y)ˣ₂(y) f(x, y) dx &= ∫ₓ₁(y+Δ y)ˣ₂(y) f(x, y + Δ y) dx + ∫ₓ₂(y)ˣ₂(y+Δ y) f(x, y + Δ y) dx & + ∫ₓ₁(y)ˣ₁(y+Δ y) f(x, y + Δ y) dx - ∫ₓ₁(y)ˣ₂(y) [f(x, y + Δ y) - f(x, y)] dx (4.4)$$\begin{array}{rl}\Delta F=F(y+\Delta y)-F(y)& ={\int }_{x_1(y+\Delta y)}^{x_2(y+\Delta y)}f(x,y+\Delta y)\mathrm{d}x-{\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{x_1(y+\Delta y)}^{x_2(y)}f(x,y+\Delta y)\mathrm{d}x+{\int }_{x_2(y)}^{x_2(y+\Delta y)}f(x,y+\Delta y)\mathrm{d}x\\ & +{\int }_{x_1(y)}^{x_1(y+\Delta y)}f(x,y+\Delta y)\mathrm{d}x-{\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)]\mathrm{d}x\end{array}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

由于 $f\in C(D)$，令 $\Delta y\to 0$，注意到 (4.4) 式右端第二个积分的上、下限与 $\Delta y$ 无关，故由定理4.1 可知，其值趋于 $0$；又由于 $f$ 在闭域 $D$ 有界，设 $|f(x,y+\Delta y)|⩽M$，故有

| ∫ₓ₁(y+Δ y)ˣ₂(y) f(x, y + Δ y) dx | ≤slant M |x₂(y) - x₁(y + Δ y)|,$$\left|{\int }_{x_1(y+\Delta y)}^{x_2(y)}f(x,y+\Delta y)\mathrm{d}x\right|⩽M|x_2(y)-x_1(y+\Delta y)|,$$| ∫ₓ₂(y)ˣ₂(y+Δ y) f(x, y + Δ y) dx | ≤slant M |x₂(y + Δ y) - x₂(y)|.$$\left|{\int }_{x_2(y)}^{x_2(y+\Delta y)}f(x,y+\Delta y)\mathrm{d}x\right|⩽M|x_2(y+\Delta y)-x_2(y)|.$$

再由条件 $x_1(y),x_2(y)\in C[c,d]$，由上述不等式可知当 $\Delta y\to 0$ 时，(4.4) 式右端第一与第三个积分也均趋于 $0$。所以

lim_(Δ y → 0) Δ F = 0.$$\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\Delta F=0.$$

即 $F(y)={\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$ 在 $[c,d]$ 上连续。

定理 4.5

若 $f(x,y)$ 与 $f_y(x,y)$ 均在 $D$ 上连续，$x_1(y)$ 与 $x_2(y)$ 的值域均为 $[a,b]$ 且它们都在 $[c,d]$ 上可导，则

F(y) = ∫ₓ₁(y)ˣ₂(y) f(x, y) dx (4.5)$$F(y)={\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

也在 $[c,d]$ 上可导，且有

F'(y) = ∫ₓ₁(y)ˣ₂(y) f_y(x, y) dx + f[x₂(y), y]x₂'(y) - f[x₁(y), y]x₁'(y).$$F^{\prime }(y)={\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}{f}_y(x,y)\mathrm{d}x+f[x_2(y),y]x_2^{\prime }(y)-f[x_1(y),y]x_1^{\prime }(y).$$

证明

将由 (4.5) 式所确定的函数看作是由

G(y, x₁, x₂) = ∫ₓ₁ˣ₂ f(x, y) dx 与 x₁ = x₁(y), x₂ = x₂(y)$$G(y,x_1,x_2)={\int }_{x_1}^{x_2}f(x,y)\mathrm{d}x\text{与 }{x}_1=x_1(y),x_2=x_2(y)$$

所构成的复合函数。考察三元函数 $G(y,x_1,x_2)$。由所设条件，根据定理4.2 可知 $G$ 对第一个变量 $y$ 的导数：

G_y = ∫ₓ₁ˣ₂ f_y(x, y) dx 存在且连续.$$G_y={\int }_{x_1}^{x_2}{f}_y(x,y)\mathrm{d}x\text{存在且连续.}$$

再根据变上限求导定理，可知

Gₓ₁ = -f(x₁, y), Gₓ₂ = f(x₂, y)$$G_{x_1}=-f(x_1,y),G_{x_2}=f(x_2,y)$$

4.2 反常重积分

与一元函数的反常积分一样，重积分也可以推广为无穷区域与无界函数两类反常重积分。下面以二重积分为例，对这两类反常重积分的概念和收敛的判别法则作一个简单介绍（证明略去）。

1. 无界区域的二重积分

定义 4.1 无界区域的二重积分

设 $(\sigma )$ 是一个无界区域，$f\in C((\sigma ))$，任作一有界区域序列 $({\sigma }_1),({\sigma }_2),\dots ,({\sigma }_n),\dots$，使 $({\sigma }_n)\stackrel{\text{set}}{\to }(\sigma )$ ($n=1,2,\dots$)，且当 $n\to +\infty$ 时 $({\sigma }_n)$ 扩张成为 $(\sigma )$。如果论 ${\lim }_{n\to +\infty }{\iint }_{({\sigma }_n)}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 总存在，那么称 $f(x,y)$ 在无界区域 $(\sigma )$ 上的二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 收敛，并称此极限值为该反常二重积分的值，即

iint_((σ)) f(x, y) dσ = limₙ → +∞ iint_((σₙ)) f(x, y) dσ$${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{n\to +\infty }{\lim }{\iint }_{({\sigma }_n)}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

否则称此反常二重积分发散。

例 4.4

例4.4 讨论无界区域的二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma$ 的收敛性

讨论无界区域的二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma$ 的收敛性，其中 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$，$(\sigma )$ 为去掉以原点 $O$ 为中心的单位圆 $\Gamma$ 内部的全平面。

解

思路分析

由于定义要求 $({\sigma }_n)$ 的任意性，无法直接计算二重积分，故将 $({\sigma }_n)$ 夹在两个圆环域序列中，再运用夹逼定理。

注意到任一可扩张到 ${\mathbf{R}}^2$ 的有界区域序列 $\{({\sigma }_n)\}$，当 $n\gg 1$ 时，总存在以原点 $O$ 为中心，${\rho }_n$ 与 ${\rho }_n^{\prime }$ 为半径，分别与圆周 $\Gamma$ 所围成的两同心圆环序列 $(R_n)$ 与 $(R_n^{\prime })$，使 $n\to +\infty$ 时 ${\rho }_n\to +\infty ,{\rho }_n^{\prime }\to +\infty$，且有

(R'ₙ) ⊆ (σₙ) ⊆ (Rₙ)$$(R_n^{\prime })\subseteq ({\sigma }_n)\subseteq (R_n)$$

因此，研究 ${\iint }_{(\sigma )}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma$ 的收敛性，即极限 ${\lim }_{n\to +\infty }{\iint }_{({\sigma }_n)}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma$ 的存在性，只需证明极限 ${\lim }_{n\to +\infty }{\iint }_{(R_n^{\prime })}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma$ 与 ${\lim }_{n\to +\infty }{\iint }_{(R_n)}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma$ 均存在且相等。注意到二者的等价性，只需证明 ${\lim }_{n\to +\infty }{\iint }_{(R_n)}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma$ 存在即可。应用极坐标化为累次积分得

iint_((Rₙ)) (1)/(ρ^α) dσ = ∫₀²π dθ ∫_(ρ₁^(ρₙ (1)/(ρ^α) ρ dρ = 2π (1)/(2-α) (ρₙ²-α) - ρ₁²-α)) (α ≠ 2)$${\iint }_{(R_n)}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{{\rho }_1}^{{\rho }_n}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\rho \mathrm{d}\rho =2\pi \frac{1}{2-\alpha }({\rho }_n^{2-\alpha }-{\rho }_1^{2-\alpha })(\alpha \ne 2)$$

当 $\alpha =2$ 时，

iint_((Rₙ)) (1)/(ρ²) dσ = ∫₀²π dθ ∫_ρ₁^ρₙ (1)/(ρ) dρ = 2π ln ρₙ$${\iint }_{(R_n)}\frac{1}{{\rho }^2}\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{{\rho }_1}^{{\rho }_n}\frac{1}{\rho }\mathrm{d}\rho =2\pi \ln {\rho }_n$$

于是可知反常二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma$ 当 $\alpha >2$ 时收敛；类似地，通过讨论 ${\lim }_{n\to +\infty }{\iint }_{(R_n^{\prime })}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma$ 的发散性，可知当 $\alpha \le 2$ 时发散。

定理 4.6 收敛判别法

设 $f(x,y)$ 在无界区域 $(\sigma )$ 上连续，若存在 ${\rho }_0>0$，使当 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}\ge {\rho }_0$ 且 $(x,y)\in (\sigma )$ 时，有

|f(x, y)| ≤ (M)/(ρ^α)$$|f(x,y)|\le \frac{M}{{\rho }^{\alpha }}$$

其中 $M$ 与 $\alpha$ 均为常数，则当 $\alpha >2$ 时反常二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 收敛。

例 4.5

例4.5 证明无界区域上的二重积分 $I={\iint }_{({\mathbf{R}}^2)}{e}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 收敛，并求其值

证明无界区域上的二重积分 $I={\iint }_{({\mathbf{R}}^2)}{e}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 收敛，并求其值，其中 ${\mathbf{R}}^2$ 是全平面。

证

由于对任意实数 $\alpha$ 均有

lim_(ρ → +∞) ρ^α e⁻ρ² = 0 < 1$$\underset{\rho \to +\infty }{\lim }{\rho }^{\alpha }{e}^{-{\rho }^2}=0<1$$

从而 $\exists {\rho }_0>0$，使当 $\rho >{\rho }_0$ 时

e⁻ρ² < (1)/(ρ^α)$$e^{-{\rho }^2}<\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}$$

特别当 $\alpha >2$ 时不等式仍然成立。由定理4.6 可知反常二重积分 $I$ 收敛。

因此，要求 $I$ 的值只需要选取一组可以扩充到全平面的特殊区域序列去计算就可以了。

现取 $({\sigma }_n)=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le a_n^2\}$，当 $n\to +\infty$ 时，有 $a_n\to +\infty$，于是

I = iint_((R²)) e⁻(x²+y²) dxdy = limₙ → +∞ iint_((σₙ)) e⁻(x²+y²) dxdy$$I={\iint }_{({\mathbf{R}}^2)}{e}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\iint }_{({\sigma }_n)}{e}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$= limₙ → +∞ ∫₀²π dθ ∫₀^(aₙ e⁻ρ² ρ dρ = limₙ → +∞) π (1 - e⁻aₙ²) = π$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{a_n}{e}^{-{\rho }^2}\rho \mathrm{d}\rho =\underset{n\to +\infty }{\lim }\pi (1-e^{-a_n^2})=\pi$$

如果我们把扩充到全平面的区域序列选作正方形序列 $(D_n)=\{(x,y)\mid -n\le x\le n,-n\le y\le n\}$，那么有

I = iint_((R²)) e⁻(x²+y²) dxdy = limₙ → +∞ iint_((Dₙ)) e⁻(x²+y²) dxdy$$I={\iint }_{({\mathbf{R}}^2)}{e}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\iint }_{(D_n)}{e}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$= limₙ → +∞ [ ∫_(-n)ⁿ e⁻y² dy ∫_(-n)ⁿ e⁻x² dx ] = limₙ → +∞ ( ∫_(-n)ⁿ e⁻x² dx )² = ( ∫_(-∞)⁺∞ e⁻x² dx )²$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left[{\int }_{-n}^n{e}^{-y^2}\mathrm{d}y{\int }_{-n}^n{e}^{-x^2}\mathrm{d}x\right]=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left({\int }_{-n}^n{e}^{-x^2}\mathrm{d}x\right)}^2={\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}\mathrm{d}x\right)}^2$$

由于反常二重积分 $I$ 存在，其值为 $\pi$，从而

( ∫_(-∞)⁺∞ e⁻x² dx )² = π$${\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}\mathrm{d}x\right)}^2=\pi$$

或

(1)/(√(π)) ∫_(-∞)⁺∞ e⁻x² dx = 1 (4.6)$$\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=1\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

注

(4.6) 式中的反常积分称为概率积分，它在概率统计中占有重要的地位。

2. 无界函数的二重积分

定义 4.2 无界函数的二重积分

设 $f(x,y)$ 在有界闭域 $(\sigma )$ 上除一点 $P_0(x_0,y_0)$ 外处连续，且当 $(x,y)\to (x_0,y_0)$ 时，$f(x,y)\to \infty$。作点 $P_0$ 的任一 $d$ 邻域 $U(P_0,d)$，记 $N_d=U(P_0,d)\cap (\sigma )$。如果不论 $U(P_0,d)$ 如何选取，当 $d\to 0$，即 $N_d$ 缩为点 $P_0$ 时，极限

lim_(d → 0) iint_((σ) ∖ (N_d)) f(x, y) dσ$$\underset{d\to 0}{\lim }{\iint }_{(\sigma )\setminus (N_d)}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

存在，那么称在区域 $(\sigma )$ 上无界函数 $f(x,y)$ 的反常二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 收敛，并称该极限值为此反常二重积分的值，即

iint_((σ)) f(x, y) dσ = lim_(d → 0) iint_((σ) ∖ (N_d)) f(x, y) dσ$${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{d\to 0}{\lim }{\iint }_{(\sigma )\setminus (N_d)}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

否则称其发散。

例 4.6

例4.6 讨论无界函数的二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma$ ($\alpha >

0$) 的收敛性

讨论无界函数的二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma$ ($\alpha >0$) 的收敛性，其中 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$，$(\sigma )$ 为以原点 $O$ 为圆心、半径为 $R$ 的圆域。

解

注意到 $\rho \to 0$ 时 $\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\to +\infty$，故所给积分是一无界函数的二重积分。对于任一包含原点且缩小为原点的闭区域序列 $\{({\sigma }_n)\}$，当 $n=1,2,\dots$，总存在圆心为原点，半径分别为 ${\epsilon }_n$ 与 ${\epsilon }_n^{\prime }$ ($0<{\epsilon }_n^{\prime }<{\epsilon }_n<R$) 的圆域序列 $\{(R_n)\}$ 与 $\{(R_n^{\prime })\}$，使当 $n\to +\infty$ 时，${\epsilon }_n\to 0,{\epsilon }_n^{\prime }\to 0$，且有

(R'ₙ) ⊆ (σₙ) ⊆ (Rₙ), n = 1, 2, …$$(R_n^{\prime })\subseteq ({\sigma }_n)\subseteq (R_n),n=1,2,\dots$$

由定义4.2 可知，研究 ${\iint }_{(\sigma )}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma$ ($\alpha >0$) 的收敛性，需要证明极限 ${\lim }_{n\to +\infty }{\iint }_{(\sigma )\setminus ({\sigma }_n)}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma$，类似于例4.4，只需证明极限$(\sigma )\setminus (R_n)\subseteq (\sigma )\setminus ({\sigma }_n)\subseteq (\sigma )\setminus (R_n^{\prime })$，类似于例 4.4，只需证明极限

limₙ → +∞ iint_((σ) ∖ (Rₙ)) (1)/(ρ^α) dσ 存在即可。$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\iint }_{(\sigma )\setminus (R_n)}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma \text{ 存在即可。}$$

利用极坐标得

limₙ → +∞ iint_((σ) ∖ (Rₙ)) (1)/(ρ^α) dσ &= limₙ → +∞ ∫₀²π dθ ∫_(εₙ^(R) (1)/(ρ^α) ρ dρ &= limₙ → +∞) 2π (1)/(2-α) (R²-α - εₙ²-α), & α ≠ 2, limₙ → +∞ 2π (ln R - ln εₙ), & α = 2.$$\begin{array}{rl}\underset{n\to +\infty }{\lim }{\iint }_{(\sigma )\setminus (R_n)}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma & =\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{{\epsilon }_n}^R\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\rho \mathrm{d}\rho \\ & =\{\begin{array}{ll}{\lim }_{n\to +\infty }2\pi \frac{1}{2-\alpha }(R^{2-\alpha }-{\epsilon }_n^{2-\alpha }),& \alpha \ne 2,\\ {\lim }_{n\to +\infty }2\pi (\ln R-\ln {\epsilon }_n),& \alpha =2.\end{array}\end{array}$$

由此可见，反常积分 ${\iint }_{(\sigma )}\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\mathrm{d}\sigma$ ($\alpha >0$) 当 $0<\alpha <2$ 时收敛；类似地，可以证明 $\alpha \ge 2$ 时原积分发散。

定理 4.7 收敛判别法

想一想

AI 解答

如何给出无界函数二重积分发散的判别法。

设 $f(x,y)$ 在有界闭域 $(\sigma )$ 上除 $P_0(x_0,y_0)$ 外处连续，且当 $(x,y)\to (x_0,y_0)$ 时 $f(x,y)\to \infty$。若不等式

|f(x, y)| ≤ (M)/(ρ^α)$$|f(x,y)|\le \frac{M}{{\rho }^{\alpha }}$$

在 $(\sigma )$ 上除点 $P_0(x_0,y_0)$ 外处成立，其中 $M$ 与 $\alpha$ 均为常数，$\rho =\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}$，则当 $\alpha <2$ 时反常二重积分 ${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 收敛。

例 4.7

例4.7 证明反常二重积分 $I={\iint }_{(\sigma )}\frac{1}{|x|+|y|}\mathrm{d}\sigma$ 收敛

证明反常二重积分 $I={\iint }_{(\sigma )}\frac{1}{|x|+|y|}\mathrm{d}\sigma$ 收敛，其中 $(\sigma )=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$。

证

由于

(|x| + |y|)² ≥ x² + y²$$(|x|+|y|{)}^2\ge x^2+y^2$$

从而在 $(\sigma )$ 内除点 $(0,0)$ 外有

(1)/(|x| + |y|) < (1)/(√(x² + y²)) = (1)/(ρ)$$\frac{1}{|x|+|y|}<\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{1}{\rho }$$

由定理4.7 可知反常重积分 $I$ 收敛。

6.4 含参变量的积分与反常重积分