6.3 三重积分的计算

3.1 化三重积分为单积分与二重积分的累次积分

在本章第一节中我们已经知道，三元函数 $u=f(x,y,z)$ 在空间区域 $(V)$ 上的三重积分就是下列和极限：

iiintlimits_((V)) f(x, y, z) dV = lim_(d → 0) ∑ₖ=1ⁿ f(ξₖ, ηₖ, ζₖ) Δ Vₖ tag$$\underset{(V)}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}V=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta V_k\text{\hspace{1em}()}$$

而且当 $f\in C(V)$ 时，其三重积分一定存在，今后我们总假定被积函数 $f\in C(V)$。

设积分域 $V=\{(x,y,z)\mid z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),(x,y)\in (\sigma )\subseteq {\mathbf{R}}^2\}$，其中 $z_1,z_2\in C(\sigma )$，$(\sigma )$ 是 $(V)$ 在 $xOy$ 平面的投影区域（图 6.26）。

图 6.26 积分域 $V$ 及其在 $xOy$ 平面的投影 $\sigma$

我们已经知道（定）积分和二重积分的计算方法，因此，如果能把三重积分化成单积分和二重积分的累次积分，那么它的计算问题也就得到了解决。为此，先把 $(V)$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域 $(\sigma )$ 分成若干子域 $(\Delta \sigma )$，以每一子域 $(\Delta \sigma )$ 的边界曲线为母线，作母线平行于 $z$ 轴的柱面把区域 $(V)$ 分割成了若干竖长条，再用平行于 $xOy$ 平面的平面把这些竖长条切割成若干小柱台（图 6.26），于是这些小柱台 $(\Delta V)$ 的体积为 $\Delta V=\Delta z\Delta \sigma$。

在 $(\Delta V)$ 内任取一点 $P(x,y,z)$，它在 $xOy$ 平面的投影点 $M(x,y,0)$ 必在 $(\Delta \sigma )$ 内，于是由三重积分定义可知，

iiintlimits_((V)) f(x, y, z) dV = lim_(d → 0) ∑_((V)) f(x, y, z) Δ z Δ σ$$\underset{(V)}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}V=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{(V)}f(x,y,z)\Delta z\Delta \sigma$$

如果我们把乘积项 $f(x,y,z)\Delta z\Delta \sigma$ “无限累加”时，先固定 $(x,y)$ 和 $\Delta \sigma$，沿竖长条（即沿 $z$ 轴方向）进行，并把相同的公因式 $\Delta \sigma$ 提出，然后把 $(\sigma )$ 上各竖长条中求得的和“无限累加”，那么便有

lim_(d → 0) ∑_((V)) f(x, y, z) Δ z Δ σ = lim_(d' → 0) ∑_((σ)) ( lim_(max Δ z → 0) ∑_z f(x, y, z) Δ z ) Δ σ, tag$$\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{(V)}f(x,y,z)\Delta z\Delta \sigma =\underset{d^{\prime }\to 0}{\lim }\sum _{(\sigma )}\left(\underset{\max \Delta z\to 0}{\lim }\sum _{z}f(x,y,z)\Delta z\right)\Delta \sigma ,\text{\hspace{1em}()}$$

其中 $d^{\prime }$ 是 $(\sigma )$ 中各 $(\Delta \sigma )$ 的直径中最大者，由定积分与二重积分的概念知

lim_(max Δ z → 0) ∑_z f(x, y, z) Δ z = ∫_(z₁(x, y))^(z₂(x, y)) f(x, y, z) dz stackreldef= Φ(x, y), tag$$\underset{\max \Delta z\to 0}{\lim }\sum _{z}f(x,y,z)\Delta z={\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z\stackrel{\text{def}}{=}\Phi (x,y),\text{\hspace{1em}()}$$ lim_(d' → 0) ∑_((σ)) Φ(x, y) Δ σ = iintlimits_((σ)) Φ(x, y) dσ, tag$$\underset{d^{\prime }\to 0}{\lim }\sum _{(\sigma )}\Phi (x,y)\Delta \sigma =\underset{(\sigma )}{\iint }\Phi (x,y)\mathrm{d}\sigma ,\text{\hspace{1em}()}$$

于是得

iiintlimits_((V)) f(x, y, z) dV = iintlimits_((σ)) [ ∫_(z₁(x, y))^(z₂(x, y)) f(x, y, z) dz ] dσ (3.1)$$\underset{(V)}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}V=\underset{(\sigma )}{\iint }\left[{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z\right]\mathrm{d}\sigma \text{\hspace{1em}(3.1)}$$

这样，就把三重积分化成了单积分与二重积分的累次积分，这种积分顺序简称为“先单后重”。

在计算 (3.1) 式中内层的定积分时，$x$ 与 $y$ 视为常数，积分变量是 $z$。求出原函数后根据 Newton-Leibniz 公式，把 $z$ 用上下限代入，从而得到一个二元函数 $\Phi (x,y)$，然后再按本章第二节中所讲的方法计算二重积分 $\underset{(\sigma )}{\iint }\Phi (x,y)\mathrm{d}\sigma$。

例 3.1 计算 $I = \iiint\limits_{(V)} xyz \mathrm{d}V$

其中 $(V)$ 由三个坐标面 $x=0,y=0,z=0$ 和平面 $x+y+z=1$ 所围成。

解

首先算出积分域 $(V)$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域 $(\sigma )$ 为三角形区域：

(σ) = {(x, y) | x+y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}. tag$$(\sigma )=\{(x,y)\mid x+y\le 1,x\ge 0,y\ge 0\}.\text{\hspace{1em}()}$$

于是由 (3.1) 式得

I = iintlimits_((σ)) ( ∫₀¹-x-y xyz dz ) dσ$$I=\underset{(\sigma )}{\iint }\left({\int }_0^{1-x-y}xyz\mathrm{d}z\right)\mathrm{d}\sigma$$= 1/2 iintlimits_((σ)) xyz² g|₀¹-x-y dσ$$=\frac{1}{2}\underset{(\sigma )}{\iint }xy{z}^2{|}_0^{1-x-y}\mathrm{d}\sigma$$= 1/2 iintlimits_((σ)) xy(1-x-y)² dσ$$=\frac{1}{2}\underset{(\sigma )}{\iint }xy(1-x-y{)}^2\mathrm{d}\sigma$$= 1/2 ∫₀¹ dx ∫₀¹-x xy(1-x-y)² dy$$=\frac{1}{2}{\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{1-x}xy(1-x-y{)}^2\mathrm{d}y$$= (1)/(720). tag$$=\frac{1}{720}.\text{\hspace{1em}()}$$

注

右端的累次积分应理解为 ${\int }_0^1\left[{\int }_0^{1-x}\left[{\int }_0^{1-x-y}xyz\mathrm{d}z\right]\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x$。

图 6.27 积分域 $V$ 的几何形状

这个三重积分也可以先化成如下三个单积分的累次积分后再逐步计算：

I = iiintlimits_((σ)) [ ∫₀¹-x-y xyz dz ] dσ = ∫₀¹ dx ∫₀¹-x dy ∫₀¹-x-y xyz dz. tag$$I=\underset{(\sigma )}{\iiint }\left[{\int }_0^{1-x-y}xyz\mathrm{d}z\right]\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{1-x}\mathrm{d}y{\int }_0^{1-x-y}xyz\mathrm{d}z.\text{\hspace{1em}()}$$

例 3.2 计算 $I = \iiint\limits_{(V)} z \mathrm{d}V$

其中 $(V)$ 是以原点为中心，$R$ 为半径的上半球体。

解

因为 $(V)=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le R^2,0\le z\le \sqrt{R^2-x^2-y^2}\}$，它在 $xOy$ 平面的投影区域 $(\sigma )=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le R^2\}$（图 6.28）。于是

I = iintlimits_((σ)) ( ∫₀^(√(R²-x²-y²)) z dz ) dσ$$I=\underset{(\sigma )}{\iint }\left({\int }_0^{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}z\mathrm{d}z\right)\mathrm{d}\sigma$$= 1/2 iintlimits_((σ)) (R² - x² - y²) dσ. tag$$=\frac{1}{2}\underset{(\sigma )}{\iint }(R^2-x^2-y^2)\mathrm{d}\sigma .\text{\hspace{1em}()}$$

对这个二重积分，显然用极坐标计算比较方便，从而

I = 1/2 iintlimits_((σ)) (R² - ρ²) ρ dρ dθ = 1/2 ∫₀²π dθ ∫₀^R (R² - ρ²) ρ dρ$$I=\frac{1}{2}\underset{(\sigma )}{\iint }(R^2-{\rho }^2)\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^R(R^2-{\rho }^2)\rho \mathrm{d}\rho$$= 1/2 ∫₀²π ( (R⁴)/(2) - (R⁴)/(4) ) dθ = (π R⁴)/(4). tag$$=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\left(\frac{R^4}{2}-\frac{R^4}{4}\right)\mathrm{d}\theta =\frac{\pi R^4}{4}.\text{\hspace{1em}()}$$

图 6.28 半球体的投影区域

3.2 柱面与球面坐标下三重积分的计算算法

1. 曲线坐标下的三重积分

与二重积分一样，三重积分也可以通过换元法来计算。对于在 $Oxyz$ 直角坐标系下给出的三重积分 $\underset{(V)}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}V$，作正则变换：

u = u(x, y, z), v = v(x, y, z), w = w(x, y, z), (3.4)$$\{\begin{array}{l}u=u(x,y,z),\\ v=v(x,y,z),\\ w=w(x,y,z),\end{array}\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

其中 $(V)$ 与 $(V^{\prime })$ 均为 ${\mathbf{R}}^3$ 中的有界闭域，函数 $u,v,w\in C^1(V)$；Jacobi 行列式 $\frac{\partial (u,v,w)}{\partial (x,y,z)}\ne 0,\forall (x,y,z)\in (V)$；而且此变换将域 $(V)$ 一一对应地映射为 $(V^{\prime })$。与二元函数类似，这时也存在唯一的逆变换

x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w), (u, v, w) ∈ (V'), (3.5)$$x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w),(u,v,w)\in (V^{\prime }),\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

它将 $(V^{\prime })$ 变为 $(V)$，它也是正则的且保持内部变成内部，外部变成外部，边界变成边界。

在变换 (3.4) 下，$Oxyz$ 直角坐标空间中，点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 也可以用三片曲面

u(x, y, z) = u(x₀, y₀, z₀) = u₀, v(x, y, z) = v(x₀, y₀, z₀) = v₀, w(x, y, z) = w(x₀, y₀, z₀) = w₀$$u(x,y,z)=u(x_0,y_0,z_0)=u_0,v(x,y,z)=v(x_0,y_0,z_0)=v_0,w(x,y,z)=w(x_0,y_0,z_0)=w_0$$

的交点来确定。$(u_0,v_0,w_0)$ 称为空间点 $P_0$ 的曲线坐标。

在 $Ouvw$ 直角坐标空间，用坐标面族 $u=c_1,v=c_2,w=c_3$ 来划分积分域 $(V^{\prime })$，可得体积微元 $\mathrm{d}{V}^{\prime }=\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w$。它在 $Oxyz$ 空间上对应于由曲面族

u(x, y, z) = c₁, v(x, y, z) = c₂, w(x, y, z) = c₃$$u(x,y,z)=c_1,v(x,y,z)=c_2,w(x,y,z)=c_3$$

划分区域 $(V)$ 所得的体积微元 $\mathrm{d}V$。像二重积分一样可以证明 $(\mathrm{d}V)$ 与 $\mathrm{d}{V}^{\prime }$ 有如下关系：

dV = | (∂(x, y, z))/(∂(u, v, w)) | dV' = | (∂(x, y, z))/(∂(u, v, w)) | du dv dw, (3.6)$$\mathrm{d}V=\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\right|\mathrm{d}{V}^{\prime }=\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w,\text{\hspace{1em}(3.6)}$$

其中

(∂(x, y, z))/(∂(u, v, w)) = xᵤ & xᵥ & x_w yᵤ & yᵥ & y_w zᵤ & zᵥ & z_w$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\left|\begin{array}{ccc}{x}_u& x_v& x_w\\ y_u& y_v& y_w\\ z_u& z_v& z_w\end{array}\right|$$

是变换 (3.5) 的 Jacobi 行列式。从而

iiintlimits_((V)) f(x, y, z) dV = iiintlimits_((V')) f[x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)] | (∂(x, y, z))/(∂(u, v, w)) | du dv dw, (3.7)$$\underset{(V)}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}V=\underset{(V^{\prime })}{\iiint }f[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)]\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w,\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

其中积分域 $(V^{\prime })$ 是积分域 $(V)$ 通过变换 (3.4) 在 $Ouvw$ 平面上的像。 (3.7) 式右端的积分称为曲线坐标下的三重积分。可以依照二重积分化为累次积分的思想，把它化成累次（三次）积分。

通过此变换，在 $Oxyz$ 空间利用“无限累加”的思想把三重积分直接化成累次积分。这时公式 (3.7) 可写成

iiintlimits_((V)) f(x, y, z) dV = iiintlimits_((V')) f[x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)] | (∂(x, y, z))/(∂(u, v, w)) | du dv dw, (3.8)$$\underset{(V)}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}V=\underset{(V^{\prime })}{\iiint }f[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)]\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w,\text{\hspace{1em}(3.8)}$$

其中右端积分区域 $(V)$ 的边界曲面应当用相应的曲线坐标表示。

正极坐标是常见而且重要的一种平面曲线坐标那样，空间曲线坐标也有两种常见的重要类型，我们分述如下。

2. 柱面坐标及柱面坐标下三重积分的计算算法

作变换

x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = z (ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π, -∞ < z < +∞), (3.9)$$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,z=z(\rho \ge 0,0\le \theta \le 2\pi ,-\infty <z<+\infty ),\text{\hspace{1em}(3.9)}$$

由于

(∂(x, y, z))/(∂(ρ, θ, z)) = cos θ & -ρ sin θ & 0 sin θ & ρ cos θ & 0 0 & 0 & 1 = ρ, (3.10)$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,z)}=\left|\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\rho \sin \theta & 0\\ \sin \theta & \rho \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=\rho ,\text{\hspace{1em}(3.10)}$$

从而当 $\rho \ne 0,0\le \theta <2\pi$ 时，(3.9) 为一正则变换，其逆变换由表达式

ρ = √(x² + y²), cos θ = (x)/(√(x² + y²)), sin θ = (y)/(√(x² + y²)), z = z (x² + y² ≠ 0)$$\rho =\sqrt{x^2+y^2},\cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\sin \theta =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},z=z(x^2+y^2\ne 0)$$

所确定。于是空间中点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 也可用坐标 $({\rho }_0,{\theta }_0,z_0)$ 表示，它是圆柱面 $x^2+y^2={\rho }_0^2$（即 $\rho ={\rho }_0$），过 $z$ 轴且对 $xOz$ 平面的转角为 $\theta ={\theta }_0$ 的半平面 $y=x\tan {\theta }_0$（即 $\theta ={\theta }_0$），以及平面 $z=z_0$ 的交点，称为点 $P_0$ 的柱面坐标（图 6.31）。

用曲面族

ρ = c₁, θ = c₂, z = c₃$$\rho =c_1,\theta =c_2,z=c_3$$

划分积分域 $(V)$，由 (3.10) 与 (3.17) 式可知，柱面坐标下的体积微元为

dV = ρ dρ dθ dz, tag$$\mathrm{d}V=\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z,\text{\hspace{1em}()}$$

从而

iiintlimits_((V)) f(x, y, z) dV = iiintlimits_((V)) f(ρ cos θ, ρ sin θ, z) ρ dρ dθ dz, (3.11)$$\underset{(V)}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}V=\underset{(V)}{\iiint }f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,z)\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z,\text{\hspace{1em}(3.11)}$$

图 6.31 柱面坐标系

其中 $(V)$ 的边界曲面由柱面坐标表示。

注

柱面坐标的体积微元也容易从图 6.32 中直接得到。

如果积分域 $(V)$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域为 $(\sigma )$，且 $(V)$ 的边界曲面可关于 $z$ 被分成两个单值曲面 $z=z_1(x,y),z=z_2(x,y),(x,y)\in (\sigma )$，如图 6.26 所示，那么把 (3.11) 式右端在柱面坐标下的三重积分化成对 $z$ 的定积分与关于 $(\sigma )$ 的二重积分的累次积分得

iiintlimits_((V)) f(ρ cos θ, ρ sin θ, z) ρ dρ dθ dz = iintlimits_((σ)) ρ dρ dθ ∫_(z₁(ρ cos θ, ρ sin θ))^(z₂(ρ cos θ, ρ sin θ)) f(ρ cos θ, ρ sin θ, z) dz. tag$$\underset{(V)}{\iiint }f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,z)\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z=\underset{(\sigma )}{\iint }\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta {\int }_{z_1(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )}^{z_2(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,z)\mathrm{d}z.\text{\hspace{1em}()}$$

图 6.32 柱面坐标体积微元的几何解释

例 3.5 计算 $I = \iiint\limits_{(V)} z \mathrm{d}V$

其中 $(V)$ 是由旋转抛物面 $z=x^2+y^2$，圆柱面 $x^2+y^2=2y$ 与平面 $z=0$ 所围成区域，位于抛物面之外，$xOy$ 平面之上部分。

解

由图 6.33 可见，积分域 $(V)$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域 $(\sigma )$ 的边界曲线为圆周 $x^2+y^2=2y$。因此，用柱面坐标计算比较方便。利用直角坐标与柱面坐标的关系 (3.9)，将积分域的边界曲面方程化成柱面坐标得

z = ρ², ρ = 2 sin θ, z = 0, tag$$z={\rho }^2,\rho =2\sin \theta ,z=0,\text{\hspace{1em}()}$$

从而

I = iiintlimits_((V)) z dV = iiintlimits_((σ)) ρ dρ dθ ∫₀^(ρ² z dz, tag)$$I=\underset{(V)}{\iiint }z\mathrm{d}V=\underset{(\sigma )}{\iiint }\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta {\int }_0^{{\rho }^2}z\mathrm{d}z,\text{\hspace{1em}()}$$(σ) = {(ρ, θ) | 0 ≤ ρ ≤ 2 sin θ, 0 ≤ θ ≤ π}. tag$$(\sigma )=\{(\rho ,\theta )\mid 0\le \rho \le 2\sin \theta ,0\le \theta \le \pi \}.\text{\hspace{1em}()}$$

注意到 $(\sigma )$ 关于 $y$ 轴的对称性，可知

I = ∫₀^π dθ ∫₀² sin θ ρ⁵ dρ = (64)/(6) ∫₀^π sin⁶ θ dθ = 5/3 π. tag$$I={\int }_0^{\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{2\sin \theta }{\rho }^5\mathrm{d}\rho =\frac{64}{6}{\int }_0^{\pi }{\sin }^6\theta \mathrm{d}\theta =\frac{5}{3}\pi .\text{\hspace{1em}()}$$

图 6.33 积分域 $V$ 的几何形状

例 3.6 计算 $I = \iiint\limits_{(V)} (x^3y^2+z) \mathrm{d}V$

其中 $(V)$ 由曲面 $z=x^2+y^2$ 与平面 $z=4$ 所围成。

解

积分域 $(V)$ 如图 6.34 所示。由于被积函数中 $x^3{y}^2$ 是 $x$ 的奇函数，而积分域 $(V)$ 关于 $yOz$ 坐标平面对称，从而

iiintlimits_((V)) x³y² dV = 0, tag$$\underset{(V)}{\iiint }{x}^3{y}^2\mathrm{d}V=0,\text{\hspace{1em}()}$$

于是

I = iiintlimits_((V)) x³y² dV + iiintlimits_((V)) z dV = iiintlimits_((V)) z dV. tag$$I=\underset{(V)}{\iiint }{x}^3{y}^2\mathrm{d}V+\underset{(V)}{\iiint }z\mathrm{d}V=\underset{(V)}{\iiint }z\mathrm{d}V.\text{\hspace{1em}()}$$

易见 $(V)$ 在 $xOy$ 平面的投影区域为

(σ) = {(x, y) | x²+y² ≤ 4}, tag$$(\sigma )=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4\},\text{\hspace{1em}()}$$

为了利用柱面坐标计算，将积分域 $(V)$ 的边界曲面化为柱面坐标方程得

z = ρ², z = 4, tag$$\{\begin{array}{l}z={\rho }^2,\\ z=4,\end{array}\text{\hspace{1em}()}$$

于是

I = iiintlimits_((V)) z dρ dθ dz = iintlimits_((σ)) ρ dρ dθ ∫_(ρ²⁴ z dz = ∫₀²π) dθ ∫₀² ρ dρ ∫_(ρ²⁴ z dz = (64)/(3) π. tag)$$I=\underset{(V)}{\iiint }z\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z=\underset{(\sigma )}{\iint }\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta {\int }_{{\rho }^2}^{4}z\mathrm{d}z={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^2\rho \mathrm{d}\rho {\int }_{{\rho }^2}^{4}z\mathrm{d}z=\frac{64}{3}\pi .\text{\hspace{1em}()}$$

图 6.34 积分域 $V$ 的几何形状

例 3.7 计算 $I = \iiint\limits_{(V)} \sqrt{x^2+z^2} \mathrm{d}V$

其中 $(V)$ 是由 $y=x^2+z^2$ 与 $y=4$ 所围成的区域。

解

由图 6.35 可见，若将积分域 $(V)$ 向 $xOy$ 平面投影，则必须将旋转抛物面分成两个单值支 $z=\pm \sqrt{y-x^2}$，这将导致积分运算的繁难。注意到 $(V)$ 向 $xOz$ 平面投影是一圆域

(σ) = {(x, y) | x²+z² ≤ 4}$$(\sigma )=\{(x,y)\mid x^2+z^2\le 4\}$$

以及被函数的表达式，利用柱面坐标，或先对 $y$ 作积分再在 $xOz$ 平面上利用极坐标计算二重积分将会方便得多。为此，令

x = ρ cos θ, z = ρ sin θ, y = y, tag$$x=\rho \cos \theta ,z=\rho \sin \theta ,y=y,\text{\hspace{1em}()}$$

得

I = ∫_ρ dρ dθ ∫_y ρ dy = ∫₀² ρ dρ ∫₀²π dθ ∫_(ρ²⁴ ρ dy = ∫₀² ρ dρ ∫₀²π) dθ ∫_ρ²⁴ ρ dy = …$$I={\int }_{\rho }\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta {\int }_y\rho \mathrm{d}y={\int }_0^2\rho \mathrm{d}\rho {\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{{\rho }^2}^4\rho \mathrm{d}y={\int }_0^2\rho \mathrm{d}\rho {\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{{\rho }^2}^4\rho \mathrm{d}y=\dots$$= ∫₀² ρ dρ ∫₀²π dθ ∫_(ρ²⁴ ρ dy = ∫₀² ρ dρ ∫₀²π) dθ [ ρ(4-ρ²) ] = …$$={\int }_0^2\rho \mathrm{d}\rho {\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{{\rho }^2}^4\rho \mathrm{d}y={\int }_0^2\rho \mathrm{d}\rho {\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta \left[\rho (4-{\rho }^2)\right]=\dots$$= ∫₀² ρ²(4-ρ²) dρ ∫₀²π dθ = 2π ∫₀² (4ρ² - ρ⁴) dρ = 2π [ 4/3ρ³ - 1/5ρ⁵ ]₀² = 2π ( (32)/(3) - (32)/(5) ) = (128)/(15) π. tag$$={\int }_0^2{\rho }^2(4-{\rho }^2)\mathrm{d}\rho {\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta =2\pi {\int }_0^2(4{\rho }^2-{\rho }^4)\mathrm{d}\rho =2\pi {\left[\frac{4}{3}{\rho }^3-\frac{1}{5}{\rho }^5\right]}_0^2=2\pi \left(\frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right)=\frac{128}{15}\pi .\text{\hspace{1em}()}$$

图 6.35 积分域 $V$ 的几何形状

3. 球面坐标及球面坐标下三重积分的计算方法

空间中的点 $P(x,y,z)$ 还可以用以下三个曲面的交点来表示：半径为 $r$ 的球面，顶点在原点 $O$、对称轴为 $z$ 轴且半顶角为 $\phi$ 的圆锥面，通过 $z$ 轴且与 $xOz$ 坐标平面的转角为 $\theta$ 的半平面（图 6.36）。数组 $(r,\phi ,\theta )$ 的球面坐标。由图 6.36 可见，直角坐标到球面坐标的变换公式为$P$ 的球面坐标。由图 6.36 可见，直角坐标到球面坐标的变换公式为

x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ, (3.12)$$\{\begin{array}{l}x=r\sin \phi \cos \theta ,\\ y=r\sin \phi \sin \theta ,\\ z=r\cos \phi ,\end{array}\text{\hspace{1em}(3.12)}$$

其中 $r\ge 0,0\le \phi \le \pi ,0\le \theta \le 2\pi$。

思路分析

容易看出，如果把 $r$ 固定，那么 (3.12) 式就是第五章例6.6 所建立的半径为 $r$ 的球面的参数方程。

用曲面族 $r=c_1,\phi =c_2,\theta =c_3$ 划分积分区域 $(V)$，由于

(∂(x, y, z))/(∂(r, φ, θ)) = sin φ cos θ & r cos φ cos θ & -r sin φ sin θ sin φ sin θ & r cos φ sin θ & r sin φ cos θ cos φ & -r sin φ & 0 = r² sin φ,$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\phi ,\theta )}=\left|\begin{array}{ccc}\sin \phi \cos \theta & r\cos \phi \cos \theta & -r\sin \phi \sin \theta \\ \sin \phi \sin \theta & r\cos \phi \sin \theta & r\sin \phi \cos \theta \\ \cos \phi & -r\sin \phi & 0\end{array}\right|=r^2\sin \phi ,$$

由 (3.6) 与 (3.7) 式可知，在球面坐标下的体积微元为

dV = r² sin φ dr dφ dθ. (3.13)$$\mathrm{d}V=r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta .\text{\hspace{1em}(3.13)}$$

实际上，球面坐标下的体积微元 (3.13) 也可利用图 6.37，从几何上直接得到。于是

iiintlimits_((V)) f(x, y, z) dV &= &= iiintlimits_((V)) f(r sin φ cos θ, r sin φ sin θ, r cos φ) r² sin φ dr dφ dθ, (3.14)$$\begin{array}{rl}\underset{(V)}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}V& =\\ & =\underset{(V)}{\iiint }f(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi )r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta ,\end{array}\text{\hspace{1em}(3.14)}$$

其中 $(V)$ 的边界曲面由球面坐标表示。

为了把 (3.14) 右端的三重积分化成累次积分，我们将诸子域上的乘积项 $f(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi )r^2\sin \phi$ “无限累加”时，先固定 $\phi ,\theta ,\Delta \phi ,\Delta \theta$，沿 $r$ 方向“无限累加”，把因子 $\Delta \phi \Delta \theta$ 提出（图 6.38）；然后固定 $\theta$ 与 $\Delta \theta$，把各锥形条上“无限累加”所得的结果沿 $\phi$ 方向“无限累加”，把因子 $\Delta \theta$ 提出，这样就在各“橘瓣”形上得到结果；最后再把这些结果沿 $\theta$ 方向“无限累加”。这样，就把 (3.14) 式右端的三重积分化成了先对 $r$、后对 $\phi$ 再对 $\theta$ 的累次（三次）积分。

图 6.37 积分区域的几何划分

图 6.38 累次积分的几何构造

例 3.8 求区域 $(V)$ 的体积

设 $(V)$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=2az(a>0)$ 和锥面（以 $z$ 轴为对称轴，顶角为 $2\alpha$）所围的空间区域，求 $(V)$ 的体积。

解

由于区域 $(V)$ 由球面和锥面围成（图 6.39），因此，使用球面坐标比较方便。在球面坐标下，所给球面的方程为

r = 2a cos φ,$$r=2a\cos \phi ,$$

所给圆锥面的方程为

φ = α,$$\phi =\alpha ,$$

容易看出，对所给区域 $(V)$ 来说，$r,\phi ,\theta$ 的变化范围为

0 ≤ r ≤ 2a cos φ, 0 ≤ φ ≤ α, 0 ≤ θ < 2π.$$0\le r\le 2a\cos \phi ,0\le \phi \le \alpha ,0\le \theta <2\pi .$$

于是

V = iiintlimits_((V)) dV &= iiintlimits_((V)) r² sin φ dr dφ dθ &= ∫₀²π dθ ∫₀^(α) sin φ φ dφ ∫₀²a cos φ r² dr &= (16)/(3) π a³ ∫₀^(α) cos³ φ sin φ dφ &= (4π a³)/(3) (1 - cos⁴ α).$$\begin{array}{rl}V=\underset{(V)}{\iiint }\mathrm{d}V& =\underset{(V)}{\iiint }{r}^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta \\ & ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\alpha }\sin \phi \phi \mathrm{d}\phi {\int }_0^{2a\cos \phi }{r}^2\mathrm{d}r\\ & =\frac{16}{3}\pi a^3{\int }_0^{\alpha }{\cos }^3\phi \sin \phi \mathrm{d}\phi \\ & =\frac{4\pi a^3}{3}(1-{\cos }^4\alpha ).\end{array}$$

图 6.39 区域 $(V)$ 的几何形状

例 3.9 计算三重积分 $I = \iiint\limits_{(V)} z^2 \, \mathrm{d}V$

其中 $(V)=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le R^2,x^2+y^2+(z-R{)}^2\le R^2\}$。

解法一：利用柱坐标

把 $(V)$ 的边界曲面方程化成柱坐标（图 6.40），得

z = √(R² - ρ²), z = R - √(R² - ρ²).$$z=\sqrt{R^2-{\rho }^2},z=R-\sqrt{R^2-{\rho }^2}.$$

它们的交线在 $xOy$ 平面上的投影方程为

ρ = (√(3))/(2)R, z = 0.$$\{\begin{array}{l}\rho =\frac{\sqrt{3}}{2}R,\\ z=0.\end{array}$$

于是

I = iiintlimits_((V)) z² ρ dρ dθ dz &= ∫₀²π dθ ∫₀^((√(3))/(2)R) ρ dρ ∫_(R - √(R² - ρ²))^(√(R² - ρ²)) z² dz &= (2π)/(3) ∫₀^((√(3))/(2)R) ρ [ (R² - ρ²)³/2 - (R - √(R² - ρ²))³ ] dρ &= -(2π)/(3) [ 2/5(R² - ρ²)⁵/2 + 2R³ρ² - 3/4Rρ⁴ + R²(R² - ρ²)⁵/2 ] g|₀^((√(3))/(2)R) &= (59)/(480) π R⁵.$$\begin{array}{rl}I=\underset{(V)}{\iiint }{z}^2\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z& ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}R}\rho \mathrm{d}\rho {\int }_{R-\sqrt{R^2-{\rho }^2}}^{\sqrt{R^2-{\rho }^2}}{z}^2\mathrm{d}z\\ & =\frac{2\pi }{3}{\int }_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}R}\rho \left[(R^2-{\rho }^2{)}^{\frac{3}{2}}-(R-\sqrt{R^2-{\rho }^2}{)}^3\right]\mathrm{d}\rho \\ & =-\frac{2\pi }{3}\left[\frac{2}{5}(R^2-{\rho }^2{)}^{\frac{5}{2}}+2R^3{\rho }^2-\frac{3}{4}R{\rho }^4+R^2(R^2-{\rho }^2{)}^{\frac{5}{2}}\right]{|}_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}R}\\ & =\frac{59}{480}\pi R^5.\end{array}$$

图 6.40 区域 $(V)$ 的柱坐标表示

解法二：利用球面坐标

把 $(V)$ 的边界曲面方程化成球面坐标，得

r = R, r = 2R cos φ,$$r=R,r=2R\cos \phi ,$$

它们的交线为圆

r = R, φ = (π)/(3).$$\{\begin{array}{l}r=R,\\ \phi =\frac{\pi }{3}.\end{array}$$

因此，$(V)$ 的边界曲面由

r = 2R cos φ, & ( (π)/(3) ≤ φ ≤ (π)/(2) ) r = R, & ( 0 ≤ φ ≤ (π)/(3) )$$\{\begin{array}{ll}r=2R\cos \phi ,& \left(\frac{\pi }{3}\le \phi \le \frac{\pi }{2}\right)\\ r=R,& \left(0\le \phi \le \frac{\pi }{3}\right)\end{array}$$

组成（图 6.40）。于是

I = iiintlimits_((V)) r² cos² φ · r² sin φ dr dφ dθ &= &= ∫₀²π dθ ∫₀^((π)/(3)) cos² φ sin φ dφ ∫₀^(R) r⁴ dr + ∫₀²π dθ ∫_((π)/(3))^((π)/(2)) cos² φ sin φ dφ ∫₀²R cos φ r⁴ dr &= (2π)/(5) R⁵ ( -1/3 cos³ φ ) g|₀^((π)/(3)) + (2π)/(5) (2R)⁵ ( -1/8 cos⁸ φ ) g|_((π)/(3))^((π)/(2)) &= (59)/(480) π R⁵.$$\begin{array}{rl}I=\underset{(V)}{\iiint }{r}^2{\cos }^2\phi \cdot r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta & =\\ & ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}{\cos }^2\phi \sin \phi \mathrm{d}\phi {\int }_0^R{r}^4\mathrm{d}r+{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\phi \sin \phi \mathrm{d}\phi {\int }_0^{2R\cos \phi }{r}^4\mathrm{d}r\\ & =\frac{2\pi }{5}{R}^5\left(-\frac{1}{3}{\cos }^3\phi \right){|}_0^{\frac{\pi }{3}}+\frac{2\pi }{5}(2R{)}^5\left(-\frac{1}{8}{\cos }^8\phi \right){|}_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\\ & =\frac{59}{480}\pi R^5.\end{array}$$

注意

将直角坐标下的三重积分化为球面坐标下三重积分的步骤：

1. 将积分域 $(V)$ 的边界曲面利用关系式 (3.12) 用球面坐标表示；
2. 将被积函数通过 (3.12) 式用球面坐标表示；
3. 将体积微元变换成球面坐标下的体积微元 $\mathrm{d}V=r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$。

数字资源 6.3.4在计算三重积分时如何选用柱坐标或球面坐标 ↗

解法三：利用“先横截后纵贯”的方法

用平行于 $xOy$ 的平面 $z=c$ 去横截区域 $(V)$，所得的圆域记为 $({\sigma }_z)$。由图 6.40 可见，为了在 $z$ 的变化区间上给出 $({\sigma }_z)$ 的表达式，必须求得两球交线 $z$ 的值。为求解方程组

x² + y² + z² = k², x² + y² + (z - R)² = R²,$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=k^2,\\ x^2+y^2+(z-R{)}^2=R^2,\end{array}$$

可得 $z=\frac{R}{2}$。于是

(σ_z) = { (x, y) | x² + y² ≤ R² - (z - R)² }, & 0 ≤ z ≤ R/2, { (x, y) | x² + y² ≤ R² - z² }, & R/2 ≤ z ≤ R.$$({\sigma }_z)=\{\begin{array}{ll}\{(x,y)\mid x^2+y^2\le R^2-(z-R{)}^2\},& 0\le z\le \frac{R}{2},\\ \{(x,y)\mid x^2+y^2\le R^2-z^2\},& \frac{R}{2}\le z\le R.\end{array}$$

因此

I = ∫₀^(R/2) z² iintlimits_((σ_z)) dσ + ∫_(R/2)^(R) z² iintlimits_((σ_z)) dσ.$$I={\int }_0^{\frac{R}{2}}{z}^2\underset{({\sigma }_z)}{\iint }\mathrm{d}\sigma +{\int }_{\frac{R}{2}}^R{z}^2\underset{({\sigma }_z)}{\iint }\mathrm{d}\sigma .$$

在平面 $z=z$ 上直接运用截面面积公式可得

I &= ∫₀^(R/2) z² π [R² - (z - R)²] dz + ∫_(R/2)^(R) z² π (R² - z²) dz &= π [ ( (2R)/(4) z⁴ - 1/5 z⁵ ) g|₀^(R/2) + ( (R²)/(3) z³ - 1/5 z⁵ ) g|_(R/2)^(R) ] &= (59)/(480) π R⁵.$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{\frac{R}{2}}{z}^2\pi [R^2-(z-R{)}^2]\mathrm{d}z+{\int }_{\frac{R}{2}}^R{z}^2\pi (R^2-z^2)\mathrm{d}z\\ & =\pi \left[\left(\frac{2R}{4}{z}^4-\frac{1}{5}{z}^5\right){|}_0^{\frac{R}{2}}+\left(\frac{R^2}{3}{z}^3-\frac{1}{5}{z}^5\right){|}_{\frac{R}{2}}^R\right]\\ & =\frac{59}{480}\pi R^5.\end{array}$$

例 3.10

例3.10 计算三重积分 $I=\underset{(V)}{\iiint }(x+y+z)\cos (x+y+z{)}^2\mathrm{d}V$

其中 $(V)=\{(x,y,z)\mid 0\le x-y\le 1,0\le x-z\le 1,0\le x+y+z\le 1\}$。

解

为了使积分域 $(V)$ 变得简单，我们利用坐标变换

x - y = u, x - z = v, x + y + z = w.$$x-y=u,x-z=v,x+y+z=w.$$

由于

(∂(u, v, w))/(∂(x, y, z)) = 1 & -1 & 0 1 & 0 & -1 1 & 1 & 1 = 3,$$\frac{\partial (u,v,w)}{\partial (x,y,z)}=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 1& 0& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=3,$$

所以

(∂(x, y, z))/(∂(u, v, w)) = 1/3.$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\frac{1}{3}.$$

由 (3.8) 式得

I = iiintlimits_((V)) w cos w² | (∂(x, y, z))/(∂(u, v, w)) | du dv dw = 1/3 iiintlimits_((V)) w cos w² du dv dw.$$I=\underset{(V)}{\iiint }w\cos w^2\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w=\frac{1}{3}\underset{(V)}{\iiint }w\cos w^2\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w.$$

再用 $u,v,w$ 表示 $(V)$，得

(V) = { (u, v, w) | 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1, 0 ≤ w ≤ 1 },$$(V)=\{(u,v,w)\mid 0\le u\le 1,0\le v\le 1,0\le w\le 1\},$$

因此

I = ∫₀¹ du ∫₀¹ dv ∫₀¹ 1/3 w cos w² dw = 1/6 sin 1.$$I={\int }_0^1\mathrm{d}u{\int }_0^1\mathrm{d}v{\int }_0^1\frac{1}{3}w\cos w^2\mathrm{d}w=\frac{1}{6}\sin 1.$$

6.3 三重积分的计算