5.6 多元函数微分学在几何上的简单应用

本节从空间曲线和曲面的参数表示出发，应用多元函数微分学的知识，以向量为工具，研究空间曲线的切线与法平面、以及曲面的切平面与法线。

6.1 空间曲线的切线与法平面

1. 曲线的参数方程

我们知道，平面曲线可以用参数方程 $x=x(t),y=y(t)(\alpha ⩽t⩽\beta )$ 来表示。例如，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的参数方程是 $x=a\cos t,y=b\sin t(0⩽t⩽2\pi )$；空间直线 $L$ 的参数方程是

r = r₀ + ta (-∞ < t < +∞), (6.1)$$\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0+t\mathbf{a}(-\infty <t<+\infty ),\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

或

x = x₀ + lt, y = y₀ + mt, (-∞ < t < +∞), z = z₀ + nt$$\{\begin{array}{l}x=x_0+lt,\\ y=y_0+mt,(-\infty <t<+\infty ),\\ z=z_0+nt\end{array}$$

其中 $\mathbf{r}=(x,y,z)$ 为直线 $L$ 上动点 $P(x,y,z)$ 的向径，${\mathbf{r}}_0=(x_0,y_0,z_0)$ 为直线 $L$ 上的已知定点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的向径，$\mathbf{a}=(l,m,n)$ 为直线 $L$ 的方向向量。

由直线 $L$ 的参数方程可见，对于任一实数 $t$，按所给法则，在空间确定了唯一的点 $(x,y,z)$。因此，直线 $L$ 可以看作是从区间 $(-\infty ,+\infty )$ 到 ${\mathbf{R}}^3$ 的映射 $\mathbf{r}(t)={\mathbf{r}}_0+t\mathbf{a}$ 的像。

对于一般的空间曲线 $\Gamma$，也可看作是从区间 $[\alpha ,\beta ]$ 到 ${\mathbf{R}}^3$ 的一个连续映射 $\mathbf{r}$ 的像 $\{\mathbf{r}(t)\mid \alpha ⩽t⩽\beta \}$，$\mathbf{r}(t)$ 就是向径 $\overrightarrow{OP}$（图 5.24）。当 $t$ 在区间 $[\alpha ,\beta ]$ 上变化时，向径 $\overrightarrow{OP}$ 端点 $P$ 的轨迹就是曲线 $\Gamma$。它的方程可表示为

r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) (α ≤slant t ≤slant β), (6.2)$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))(\alpha ⩽t⩽\beta ),\text{\hspace{1em}(6.2)}$$

或

x = x(t), y = y(t), z = z(t) (α ≤slant t ≤slant β), (6.3)$$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t)\end{array}(\alpha ⩽t⩽\beta ),\text{\hspace{1em}(6.3)}$$

称 (6.2) 或 (6.3) 式为空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程。

图 5.24 空间曲线 $\Gamma$ 的向径 $\mathbf{r}(t)$

例 6.1 螺旋线的参数方程

在机械工程中常常遇到一种空间曲线，称为螺旋线，其形成规律是：动点 $P$ 沿半径为 $a$ 的圆周做匀速转动，而这圆周所在的平面又在空间做等速平移，移动的方向与圆周所在平面垂直。试推导此动点轨迹的方程。

解 取运动开始时（设 $t=0$）圆周的中心为坐标原点 $O$，圆周所在的平面为 $xOy$ 坐标面，$O{P}_0$ 的方向为 $x$ 轴的正向，其中 $P_0$ 为运动开始时动点的位置。圆周所在平面移动的方向为 $z$ 轴的正向（图 5.25）。

设点 $P$ 转动的角速度为 $\omega$，圆周沿 $z$ 轴方向移动的速度为 $v$，点 $P_0$ 的坐标为 $(a,0,0)$，于是经过时间 $t$ 后，动点沿圆周转动了一个角度 $\omega t$，并在 $z$ 轴方向上上升了一段距离 $QP=vt$。所以在时刻 $t$，动点的坐标是

x = acos ω t, y = asin ω t, z = vt, t ∈ [0, +∞).$$x=a\cos \omega t,y=a\sin \omega t,z=vt,t\in [0,+\infty ).$$

这就是螺旋线的参数方程，写成向量形式就是

r = (acos ω t, asin ω t, vt), t ∈ [0, +∞).$$\mathbf{r}=(a\cos \omega t,a\sin \omega t,vt),t\in [0,+\infty ).$$

如果取 $\theta =\omega t$ 作变参量，便有

x = acos θ, y = asin θ, z = kθ, θ ∈ [0, +∞),$$x=a\cos \theta ,y=a\sin \theta ,z=k\theta ,\theta \in [0,+\infty ),$$

其中 $k=\frac{v}{\omega }$。可见因变参量的不同选择，曲线可以有不同的参数方程。

图 5.25 螺旋线的几何构造

2. 简单曲线与有向曲线

设空间曲线 $\Gamma$ 的方程为 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)(\alpha ⩽t⩽\beta )$。如果向量值函数 $\mathbf{r}(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续，则 $\Gamma$ 为连续曲线；如果 $\Gamma$ 为连续曲线，且 $\forall t_1,t_2\in (\alpha ,\beta ),t_1\ne t_2$，均有 $\mathbf{r}(t_1)\ne \mathbf{r}(t_2)$，即在 $(\alpha ,\beta )$ 上 $\mathbf{r}$ 为单射，则称 $\Gamma$ 为简单曲线。容易看出，简单曲线就是自身不相交的连续曲线。对于选定了参数 $t$ 的曲线 $\Gamma$，我们规定：增大的方向为 $\Gamma$ 的正向（自然地，$t$ 减小的方向，称 $\Gamma$ 的负向）。例如，螺旋线 $\mathbf{r}=(a\cos \theta ,a\sin \theta ,k\theta )(k>0)$ 的正向为上升的方向。对于规定了正向的曲线，称其为有向曲线。以下讨论的曲线均指有向曲线。

3. 空间曲线的切线与法平面

设空间简单曲线 $\Gamma$ 的方程为

r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) (α ≤slant t ≤slant β),$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))(\alpha ⩽t⩽\beta ),$$

其中向量值函数 $\mathbf{r}(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上可导，其导数记作 $\dot{\mathbf{r}}(t)$，且有

dotr(t) = (dotx(t), doty(t), dotz(t)) ≠ 0 (α ≤slant t ≤slant β).$$\dot{\mathbf{r}}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t))\ne 0(\alpha ⩽t⩽\beta ).$$

我们来讨论 $\Gamma$ 在点 $P_0(x(t_0),y(t_0),z(t_0))$ 处的切线方程。

与平面曲线的切线一样，空间曲线上点 $P_0$ 处的切线也定义为曲线上点 $P_0$ 的割线 $P_{0}P$，当点 $P$ 沿曲线趋于点 $P_0$ 时的极限位置 $P_{0}T$（图 5.26）。要求此切线的方程，关键在于求出它的一个方向向量。为此，在 $\Gamma$ 上点 $P_0$ 的邻近取点 $P(x(t_0+\Delta t),y(t_0+\Delta t),z(t_0+\Delta t))$，点 $P_0$ 与 $P$ 所对应的向径分别为 $\mathbf{r}(t_0)$ 与 $\mathbf{r}(t_0+\Delta t)$。从而向量

overrightarrowP₀P = r(t₀+Δ t) - r(t₀) = Δ r$$\overrightarrow{P_{0}P}=\mathbf{r}(t_0+\Delta t)-\mathbf{r}(t_0)=\Delta \mathbf{r}$$

为割线 $P_{0}P$ 的一个方向向量。容易看出，向量

fracoverrightarrowP₀PΔ t = (Δ r)/(Δ t) (6.3)$$\frac{\overrightarrow{P_{0}P}}{\Delta t}=\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}\text{\hspace{1em}(6.3)}$$

也是割线 $P_{0}P$ 的一个方向向量，而且不论 $\Delta t$ 是正的还是负的，$\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}$ 的方向始终与曲线 $\Gamma$ 的参数 $t$ 增大的方向（即 $\Gamma$ 的正向）相一致。令 $\Delta t\to 0$，对 (6.3) 式两端取极限得

lim_(Δ t → 0) fracoverrightarrowP₀PΔ t = lim_(Δ t → 0) (Δ r)/(Δ t) = dotr(t₀).$$\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\overrightarrow{P_{0}P}}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}=\dot{\mathbf{r}}(t_0).$$

由于 $\mathbf{r}(t)$ 的连续性，当 $\Delta t\to 0$ 时，$\overrightarrow{P_{0}P}=\Delta \mathbf{r}\to 0$，点 $P$ 沿曲线 $\Gamma$ 趋于点 $P_0$，从而割线 $P_{0}P$ 变成了切线 $P_{0}T$，而割线的方向向量变成了相应切线的方向向量 $\dot{\mathbf{r}}(t_0)$。由此可见：向径 $\mathbf{r}(t)$ 的导数 $\dot{\mathbf{r}}(t_0)$ 在几何上就表示曲线 $\Gamma$ 在相应点 $P_0$ 处的切线 $P_{0}T$ 的一个方向向量，而且它的方向与 $\Gamma$ 的正向相一致，称它为 $\Gamma$ 在点 $P_0$ 处的切向量。

图 5.26 空间曲线切线的几何定义

注意

曲线的正向总规定为对应于 $t$ 增大的方向。因此，当 $\Delta t>0$ 时，$\Delta \mathbf{r}=\mathbf{r}(t_0+\Delta t)-\mathbf{r}(t_0)$ 与曲线正向一致，从而 $\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}$ 与曲线正向也一致；当 $\Delta t<0$ 时，$\Delta \mathbf{r}$ 的方向与曲线正向相反，但由于 $\Delta t<0$，故 $\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}$ 的方向仍与曲线正向一致，从而切向量 $\dot{\mathbf{r}}(t_0)$ 的方向始终指向曲线的正向。它的模为

|dotr(t₀)| = sqrtdotx²(t₀) + doty²(t₀) + dotz²(t₀).$$\Vert \dot{\mathbf{r}}(t_0)\Vert =\sqrt{{\dot{x}}^2(t_0)+{\dot{y}}^2(t_0)+{\dot{z}}^2(t_0)}.$$

利用直线方程的向量形式，可将曲线 $\Gamma$ 在 $P_0(\mathbf{r}(t_0))$ 处切线的向量方程写为

ρ = r(t₀) + tdotr(t₀), (6.4)$$\mathbf{\rho }=\mathbf{r}(t_0)+t\dot{\mathbf{r}}(t_0),\text{\hspace{1em}(6.4)}$$

其中 $\mathbf{\rho }=(x,y,z)$ 为切线上动点 $P(x,y,z)$ 的向径，$t\in \mathbf{R}$ 为参数。消去参数 $t$，即得该切线的对称式方程

fracx - x(t₀)dotx(t₀) = fracy - y(t₀)doty(t₀) = fracz - z(t₀)dotz(t₀). (6.5)$$\frac{x-x(t_0)}{\dot{x}(t_0)}=\frac{y-y(t_0)}{\dot{y}(t_0)}=\frac{z-z(t_0)}{\dot{z}(t_0)}.\text{\hspace{1em}(6.5)}$$

由以上可知，当 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ 可导，且 $\dot{\mathbf{r}}(t)\ne 0(\alpha ⩽t⩽\beta )$ 时，曲线 $\Gamma$ 各点处都存在切线。进一步，如果 $\dot{\mathbf{r}}(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续，则切线方向连续变化。一般地，称切线方向连续变化的曲线为光滑曲线。因此，当函数 $\mathbf{r}(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上有连续的导数且 $\dot{\mathbf{r}}(t)\ne 0(\alpha ⩽t⩽\beta )$ 时，曲线 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)(\alpha ⩽t⩽\beta )$ 为光滑曲线。如果曲线 $\Gamma$ 不是光滑曲线，但将其分成若干段后，每段都是光滑曲线，则称 $\Gamma$ 为分段光滑曲线。

过曲线 $\Gamma$ 上点 $P_0$ 且与点 $P_0$ 处的切线垂直的任一直线称为此曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 处的法线，这些法线显然位于同一平面内，此平面称为 $\Gamma$ 在点 $P_0$ 的法平面。显然 $\dot{\mathbf{r}}(t_0)$ 是法平面的一个法向量，于是法平面的方程是

dotr(t₀) · [ρ - r(t₀)] = 0,$$\dot{\mathbf{r}}(t_0)\cdot [\mathbf{\rho }-\mathbf{r}(t_0)]=0,$$

或

dotx(t₀)[x - x(t₀)] + doty(t₀)[y - y(t₀)] + dotz(t₀)[z - z(t₀)] = 0, (6.6)$$\dot{x}(t_0)[x-x(t_0)]+\dot{y}(t_0)[y-y(t_0)]+\dot{z}(t_0)[z-z(t_0)]=0,\text{\hspace{1em}(6.6)}$$

其中 $\mathbf{\rho }=(x,y,z)$ 是法平面上点 $(x,y,z)$ 的向径。

如果曲线 $\Gamma$ 是由两柱面的交线给出，设它的方程为

y = y(x), z = z(x) (a ≤slant x ≤slant b),$$\{\begin{array}{l}y=y(x),\\ z=z(x)\end{array}(a⩽x⩽b),$$

把 $x$ 看作参数，上式也可写成参数方程形式

x = x, y = y(x), z = z(x) (a ≤slant x ≤slant b),$$x=x,y=y(x),z=z(x)(a⩽x⩽b),$$

那么 $\Gamma$ 上与参数 $x=x_0$ 相对应的点处的切线方程是

(x - x₀)/(1) = fracy - y(x₀)doty(x₀) = fracz - z(x₀)dotz(x₀), (6.7)$$\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y(x_0)}{\dot{y}(x_0)}=\frac{z-z(x_0)}{\dot{z}(x_0)},\text{\hspace{1em}(6.7)}$$

法平面方程是

x - x₀ + doty(x₀)[y - y(x₀)] + dotz(x₀)[z - z(x₀)] = 0. (6.8)$$x-x_0+\dot{y}(x_0)[y-y(x_0)]+\dot{z}(x_0)[z-z(x_0)]=0.\text{\hspace{1em}(6.8)}$$

如果曲线 $\Gamma$ 的方程由一般形式方程

F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0 (6.9)$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0\end{array}\text{\hspace{1em}(6.9)}$$

给出，且在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某邻域内方程组 (6.9) 满足隐函数存在定理的条件，不妨设

. (∂(F,G))/(∂(y,z)) |_P₀ ≠ 0,$${\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}|}_{P_0}\ne 0,$$

那么在点 $P_0$ 的某邻域内由 (6.9) 式确定了两个具有连续导数的一元隐函数 $y=y(x)$ 和 $z=z(x)$。由隐函数求导法求出 $\dot{y}(x_0)$ 和 $\dot{z}(x_0)$ 之后，代入 (6.7) 和 (6.8) 式，即得曲线 $\Gamma$ 在点 $P_0$ 处的切线方程和法平面方程。

注意

在曲线 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ 上，$\mathrm{d}\mathbf{r}=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)=(\dot{x},\dot{y},\dot{z})\mathrm{d}t$ 与 $(\dot{x},\dot{y},\dot{z})$ 共线，因而向量 $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)$ 也是曲线 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ 的一个切向量。因此，求曲线 (6.9) 在点 $P_0$ 处的切向量也可以用下面的方法：由 (6.9) 式两端求全微分，并将点 $P_0$ 代入，得

Fₓ(P₀)dx + F_y(P₀)dy + F_z(P₀)dz = 0, Gₓ(P₀)dx + G_y(P₀)dy + G_z(P₀)dz = 0.$$\{\begin{array}{l}{F}_x(P_0)\mathrm{d}x+F_y(P_0)\mathrm{d}y+F_z(P_0)\mathrm{d}z=0,\\ G_x(P_0)\mathrm{d}x+G_y(P_0)\mathrm{d}y+G_z(P_0)\mathrm{d}z=0.\end{array}$$

将上式看作是以 $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z$ 为未知量的齐次线性代数方程组，由于其所含方程数 (2) 小于未知量数 (3)，由线性代数的知识知它必有非零解，求出它的任意一个非零解 $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z){|}_{P_0}$，便是曲线 (6.9) 在点 $P_0$ 处的一个切向量。

例 6.2 求曲线交线处的切线与法平面

求曲线 $\{\begin{array}{l}2x^2+y^2+z^2=45\\ x^2+2y^2=z\end{array}$ 在点 $P_0(-2,1,6)$ 处的切线与法平面方程。

解 由曲线方程两端求全微分，利用一阶全微分形式不变性，得

4xdx + 2ydy + 2zdz = 0, 2xdx + 4ydy - dz = 0.$$\{\begin{array}{l}4x\mathrm{d}x+2y\mathrm{d}y+2z\mathrm{d}z=0,\\ 2x\mathrm{d}x+4y\mathrm{d}y-\mathrm{d}z=0.\end{array}$$

将点 $P_0$ 的坐标代入，得

4dx - 2dy - 12dz = 0, -4dx + 4dy - dz = 0.$$\{\begin{array}{l}4\mathrm{d}x-2\mathrm{d}y-12\mathrm{d}z=0,\\ -4\mathrm{d}x+4\mathrm{d}y-\mathrm{d}z=0.\end{array}$$

（注：此处根据原书计算过程，代入 $P_0(-2,1,6)$ 后应为 $4(-2)\mathrm{d}x+2(1)\mathrm{d}y+2(6)\mathrm{d}z=-8\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y+12\mathrm{d}z=0$，化简为 $4\mathrm{d}x-\mathrm{d}y-6\mathrm{d}z=0$。原书此处可能有笔误或印刷问题，以下按原书结果进行）

容易求出这个齐次线性代数方程组的一个非零解是

(dx, dy, dz)|_P₀ = (25, 28, 12),$$(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z){|}_{P_0}=(25,28,12),$$

它就是曲线在点 $P_0$ 处的一个切向量。从而切线的方程是

(x+2)/(25) = (y-1)/(28) = (z-6)/(12),$$\frac{x+2}{25}=\frac{y-1}{28}=\frac{z-6}{12},$$

法平面方程是

25(x+2) + 28(y-1) + 12(z-6) = 0,$$25(x+2)+28(y-1)+12(z-6)=0,$$

或

25x + 28y + 12z - 50 = 0.$$25x+28y+12z-50=0.$$

6.2 弧长

1. 弧长的定义与计算

弧长是指一般曲线的长度，这在直观上是容易理解的。但直至目前，我们并未严格地定义它，更不知如何计算它。我们知道，对于联结两点 $P_1(x_1,y_1,z_1)$ 与 $P_2(x_2,y_2,z_2)$ 的直线段，其长度为

|overrightarrowP₁P₂| = √((x₁-x₂)² + (y₁-y₂)² + (z₁-z₂)²). (6.10)$$\Vert \overrightarrow{P_1{P}_2}\Vert =\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2}.\text{\hspace{1em}(6.10)}$$

对于曲线段，当弧段很短时可以近似地看成是直线段，从而可以利用公式 (6.10) 来近似计算它的长度。因此，我们可以利用积分的思想来定义和计算曲线的弧长。

定义 6.1 (弧长)

设简单曲线 $\Gamma$ 的方程是 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))(\alpha ⩽t⩽\beta )$。$\Gamma$ 的两个端点 $A,B$ 分别对应于向径 $\mathbf{r}(\alpha ),\mathbf{r}(\beta )$，在 $\Gamma$ 上介于 $A$ 和 $B$ 之间沿着参数 $t$ 增大的方向依次取 $n-1$ 个分点 $P_1,P_2,\dots ,P_{n-1}$（图 5.27），它们把 $\Gamma$ 分成了 $n$ 段。用直线段把相邻点联结起来，即得一折线，它的长度是

sₙ = ∑ᵢ=1ⁿ |overrightarrowPᵢ-1Pᵢ|,$$s_n=\sum _{i=1}^n\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert ,$$

其中记 $A=P_0,B=P_n$。如果不论分点如何选取，当 $d={\max }_{1⩽i⩽n}\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert \to 0$ 时，折线的长度 $s_n$ 有确定的极限 $s$，则称 $\Gamma$ 为可求长的曲线，且称这个极限值 $s$ 为 $\Gamma$ 的长度，或 $\Gamma$ 的弧长，即

s = lim_(d → 0) ∑ᵢ=1ⁿ |overrightarrowPᵢ-1Pᵢ|.$$s=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert .$$

图 5.27 弧长定义的折线逼近过程

定理 6.1 (弧长的计算公式)

设在 $[\alpha ,\beta ]$ 上 $\dot{\mathbf{r}}(t)$ 连续且 $\dot{\mathbf{r}}(t)\ne 0$，则曲线 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)(\alpha ⩽t⩽\beta )$ 可求长的曲线，且 $\Gamma$ 的长度为

s = ∫_α^β |dotr(t)| dt = ∫_α^β sqrt[dotx(t)]² + [doty(t)]² + [dotz(t)]² dt. (6.11)$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\Vert \dot{\mathbf{r}}(t)\Vert \mathrm{d}t={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[\dot{x}(t){]}^2+[\dot{y}(t){]}^2+[\dot{z}(t){]}^2}\mathrm{d}t.\text{\hspace{1em}(6.11)}$$

证 设分点 $P_i$ 对应于参数 $t_i(i=0,1,\dots ,n)$，其中 $t_0=\alpha ,t_n=\beta$。这样便有

α = t₀ < t₁ < … < tₙ-1 < tₙ = β.$$\alpha =t_0<t_1<\cdots <t_{n-1}<t_n=\beta .$$

首先求 $\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert$ 的表达式。由于

|overrightarrowPᵢ-1Pᵢ| = |r(tᵢ) - r(tᵢ-1)| = √((Δ xᵢ)² + (Δ yᵢ)² + (Δ zᵢ)²),$$\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert =\Vert \mathbf{r}(t_i)-\mathbf{r}(t_{i-1})\Vert =\sqrt{(\Delta x_i{)}^2+(\Delta y_i{)}^2+(\Delta z_i{)}^2},$$

利用 Lagrange 微分中值公式得

|overrightarrowPᵢ-1Pᵢ| = sqrt[dotx(ξᵢ)]² + [doty(ηᵢ)]² + [dotz(ζᵢ)]² Δ tᵢ,$$\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert =\sqrt{[\dot{x}({\xi }_i){]}^2+[\dot{y}({\eta }_i){]}^2+[\dot{z}({\zeta }_i){]}^2}\Delta t_i,$$

其中 $\Delta t_i=t_i-t_{i-1},{\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i\in (t_{i-1},t_i),i=1,2,\dots ,n$。

为了使上式右端根式中的函数在同一点处取值，将其变形得到

|overrightarrowPᵢ-1Pᵢ| = sqrt[dotx(ξᵢ)]² + [doty(ξᵢ)]² + [dotz(ξᵢ)]² Δ tᵢ + Rᵢ Δ tᵢ = |dotr(ξᵢ)| Δ tᵢ + Rᵢ Δ tᵢ,$$\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert =\sqrt{[\dot{x}({\xi }_i){]}^2+[\dot{y}({\xi }_i){]}^2+[\dot{z}({\xi }_i){]}^2}\Delta t_i+R_i\Delta t_i=\Vert \dot{\mathbf{r}}({\xi }_i)\Vert \Delta t_i+R_i\Delta t_i,$$

其中

Rᵢ = sqrt[dotx(ξᵢ)]² + [doty(ηᵢ)]² + [dotz(ζᵢ)]² - sqrt[dotx(ξᵢ)]² + [doty(ξᵢ)]² + [dotz(ξᵢ)]². (6.12)$$R_i=\sqrt{[\dot{x}({\xi }_i){]}^2+[\dot{y}({\eta }_i){]}^2+[\dot{z}({\zeta }_i){]}^2}-\sqrt{[\dot{x}({\xi }_i){]}^2+[\dot{y}({\xi }_i){]}^2+[\dot{z}({\xi }_i){]}^2}.\text{\hspace{1em}(6.12)}$$

于是

sₙ = ∑ᵢ=1ⁿ |overrightarrowPᵢ-1Pᵢ| = ∑ᵢ=1ⁿ |dotr(ξᵢ)| Δ tᵢ + ∑ᵢ=1ⁿ Rᵢ Δ tᵢ. (6.13)$$s_n=\sum _{i=1}^n\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert =\sum _{i=1}^n\Vert \dot{\mathbf{r}}({\xi }_i)\Vert \Delta t_i+\sum _{i=1}^n{R}_i\Delta t_i.\text{\hspace{1em}(6.13)}$$

令 $\lambda =\max \Delta t_i$，由积分的定义和存在定理，易知

lim_(λ → 0) ∑ᵢ=1ⁿ |dotr(ξᵢ)| Δ tᵢ = ∫_α^β |dotr(t)| dt. (6.14)$$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\Vert \dot{\mathbf{r}}({\xi }_i)\Vert \Delta t_i={\int }_{\alpha }^{\beta }\Vert \dot{\mathbf{r}}(t)\Vert \mathrm{d}t.\text{\hspace{1em}(6.14)}$$

这样，由 (6.13) 式及 (6.14) 式便知，要证明 (6.11) 式成立，只要证明

lim_(λ → 0) ∑ᵢ=1ⁿ Rᵢ Δ tᵢ = 0. (6.15)$$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n{R}_i\Delta t_i=0.\text{\hspace{1em}(6.15)}$$

为此，我们来估计 $R_i$。利用不等式：

|√(a₁² + a₂² + a₃²) - √(b₁² + b₂² + b₃²)| ≤slant |a₁ - b₁| + |a₂ - b₂| + |a₃ - b₃|,$$|\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}-\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}|⩽|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+|a_3-b_3|,$$

由 (6.12) 式便得

|Rᵢ| ≤slant |doty(ηᵢ) - doty(ξᵢ)| + |dotz(ζᵢ) - dotz(ξᵢ)|.$$|R_i|⩽|\dot{y}({\eta }_i)-\dot{y}({\xi }_i)|+|\dot{z}({\zeta }_i)-\dot{z}({\xi }_i)|.$$

因为 $\dot{y}(t),\dot{z}(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续，从而在 $[\alpha ,\beta ]$ 上一致连续，所以 $\forall \epsilon >0,\exists \delta =\delta (\epsilon )>0$，只要 $|t^{\prime }-t^{\prime \prime }|<\delta$，就有

|doty(t') - doty(t'')| < ε, |dotz(t') - dotz(t'')| < ε.$$|\dot{y}(t^{\prime })-\dot{y}(t^{\prime \prime })|<\epsilon ,|\dot{z}(t^{\prime })-\dot{z}(t^{\prime \prime })|<\epsilon .$$

特别地，当 $\lambda =\max \Delta t_i<\delta$ 时，有

|Rᵢ| < 2ε, | ∑ᵢ=1ⁿ Rᵢ Δ tᵢ | < 2ε(β - α),$$|R_i|<2\epsilon ,\left|\sum _{i=1}^n{R}_i\Delta t_i\right|<2\epsilon (\beta -\alpha ),$$

从而 (6.15) 式成立。

5.6 多元函数微分学在几何上的简单应用